πを含む式の一覧

以下は数学定数πに関する重要な公式の一覧です。これらの公式の多くは、円周率（Pi）またはπの近似値（Period ）の記事に記載されています。

ユークリッド幾何学

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}}$

ここで、Cは円周、dは直径、rは半径です。より一般的には 、

${\displaystyle \pi ={\frac {L}{w}}}$

ここで、Lとwはそれぞれ一定幅の曲線の周囲長と幅です。

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

ここでAは円の面積である。より一般的には、

${\displaystyle A=\pi ab}$

ここで、Aは半長軸aと半短軸bを持つ楕円で囲まれた領域です。

${\displaystyle C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)}$

ここで、Cは長軸aと短軸bを持つ楕円の円周であり、は の算術および幾何反復であり、初期値 および を使用したaとbの算術幾何平均です。 ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {agm} (a,b)}$ ${\displaystyle a_{0}=a}$ ${\displaystyle b_{0}=b}$

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$

ここで、Aはアグネーシの魔女とその漸近線の間の面積、 rは定義円の半径です。

${\displaystyle A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

ここで、Aは短半径rのスクエアクルの面積、はガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}}$

ここで、Aは半径rの小さい円と半径kr ( )の大きい円を持つ外転サイクロイドの面積であり、初期点が大きい円上にあると仮定します。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}}$

ここで、Aは角周波数k（）と振幅aを持つバラの面積です。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}}$

ここで、Lは焦点距離cのベルヌーイのレムニスケートの周囲長です。

${\displaystyle V={4 \over 3}\pi r^{3}}$

ここで、Vは球の体積、rは半径です。

${\displaystyle SA=4\pi r^{2}}$

ここで、SAは球の表面積、rは半径です。

${\displaystyle H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}}$

ここで、Hは3 次元球面の超体積、rは半径です。

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}}$

ここで、SVは 3 次元球の表面積、rは半径です。

正凸多角形

n辺の正凸多角形の内角の和S :

${\displaystyle S=(n-2)\pi }$

n辺、辺の長さがsの正凸多角形の面積A：

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

n辺と辺の長さsを持つ正凸多角形の内接円の半径r :

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

n辺、辺の長さがsの正凸多角形の円周半径R：

${\displaystyle R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}}$

物理

• 宇宙定数：

  ${\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }$

• ハイゼンベルクの不確定性原理：

  ${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}$

• 一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式：

  ${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

• 真空中の 電気力に関するクーロンの法則：

  ${\displaystyle F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$

• 自由空間の透磁率：^{[注1 ]}

  ${\displaystyle \mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$

• 小さな振幅を持つ単振り子のおおよその周期：

  ${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• 振幅（は算術幾何平均） を持つ単振り子の正確な周期：${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {agm} }$

  ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

• バネ定数と質量を持つバネ質量系の周期: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

  ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

• ケプラーの惑星運動の第三法則：

  ${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}$

• 座屈の式:

  ${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

「ビリヤードのボールが衝突する」パズル：

${\displaystyle \lfloor {b^{N}\pi }\rfloor }$

は、（理想的な条件、摩擦のない完全な弾性体の場合）最初は静止していた質量mの物体が、固定された壁と質量b ^{2 N} mの別の物体との間に衝突し、他の物体に衝突された回数である。^{[ 1 ]} （これは、基数bのπのN桁目 までの数字を示す。）

πを与える公式

積分

${\displaystyle 2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi }$ （2つの半分を積分して単位円の面積を求める）${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{2}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx=\pi }$ （半径2の円の4分の1を積分して）${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}$ ${\displaystyle {4\pi }/4}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi }$

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi }$ ^{[ 2 ] [注 2 ]} （コーシー分布も参照）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi }$ （ディリクレ積分を参照）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ （ガウス積分を参照）。

${\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}$ （積分の経路が 0 の周りを反時計回りに 1 回曲がる場合。コーシーの積分公式も参照）。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi }$ ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi }$ (22/7 がπ を超えることの証明も参照)。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{2}(1+x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx=\pi -{17 \over 15}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}}$ （ここでは算術幾何平均である。^{[ 4 ]}楕円積分も参照）${\displaystyle \operatorname {agm} }$

対称的な積分関数の場合、形式の式は式に変換することもできることに注意してください。 ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$ ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$

効率的な無限級数

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}}$ （二重階乗も参照）

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}(2k+1)!!}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}}$ （チュドノフスキーアルゴリズムを参照）

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}}$ （シュリニヴァーサ・ラマヌジャン、ラマヌジャン・佐藤シリーズを参照）

以下はπの任意の 2 進数を計算するのに効率的です。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi }$ ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }$ （ベイリー・ボーウェイン・プルーフの式を参照）

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=2\pi }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi }$

πの任意の小数桁を計算するためのプルーフ級数：^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3}$

その他の無限級数

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ （バーゼル問題とリーマンゼータ関数も参照）

${\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$ ここで、B _{2 n}はベルヌーイ数です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi }$ ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7^{n}-1}{8^{n}}}\,\zeta (n+1)=(1+{\sqrt {2}})\pi }$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}}$ （円周率のライプニッツの公式を参照）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3n+1}}-{\frac {1}{3n+2}}\right)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+\cdots ={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$ （ニュートン、オルデンバーグへの第二の手紙、1676年）^{[ 8 ]}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}}$ （マダヴァシリーズ）

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$

一般的に、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$

ここではオイラー数である。^{[ 9 ]}${\displaystyle E_{2k}}$ ${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}}$ （グレゴリー係数を参照）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1}{\pi }}}$ （ここでは上昇階乗）^{[ 10 ]}${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3}$ （ニラカンタシリーズ）

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}}$ （ここで番目のフィボナッチ数）${\displaystyle F_{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {L_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{5}}}$ （ここで番目のルーカス数）${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}}$ （ここでは約数の和の関数）${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots }$   （ここで はの形の素因数の数である）^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }$   （ここで はの形の素因数の数である）^{[ 13 ]}${\displaystyle \varepsilon (n)}$ ${\displaystyle p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}}$

${\displaystyle \pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}}$ ^{[ 14 ]}

最後の2つの式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}}$

無限に多くの類似した式を生成する。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{2}}}}}}$ （バーゼル問題に対するオイラーの解から導出される）

πと調和数に関するいくつかの公式をここに示します。πを含むその他の無限級数は以下のとおりです。^{[ 15 ]}

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {32}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {27}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {72}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}}$
${\displaystyle \pi ={\frac {3528}{Z}}}$	${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}}$

ここで、 は上昇階乗を表すポッホハマー記号です。ラマヌジャン・佐藤級数も参照してください。 ${\displaystyle (x)_{n}}$

マシンのような数式

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ （オリジナルのマシンの式）

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

無限の製品

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$ （オイラー）

ここで、分子は奇数の素数であり、各分母は分子に最も近い 4 の倍数です。

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots }$

${\displaystyle {\frac {2\pi ^{2}}{25}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {5}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p^{2}}{(p-1)^{2}}}\right)\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 2,3{\pmod {5}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p^{2}}{p^{2}+1}}\right)\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 4{\pmod {5}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p^{2}}{(p+1)^{2}}}\right)={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {9}{10}}\cdot {\frac {49}{50}}\cdot {\frac {121}{100}}\cdot {\frac {169}{170}}\cdots }$ 、

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$ （ウォリス積も参照）

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots }$ （ウォリス積の別の形式）

ヴィエトの式：

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }$

Thue-Morse 列を含む二重無限積の公式:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},}$

ここで、およびはThue-Morse列（Tóth 2020）である。 ${\displaystyle \epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{n}}$

逆正接の公式

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

ここで、 となる。 ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

ここで、 番目のフィボナッチ数です。 ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {a}{b+c}}+\arctan {\frac {b}{a+c}},}$

ピタゴラスの三つ組(a,b,c) の場合。

${\displaystyle \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c}$

、、が正の実数であるときはいつでも（三角関数の恒等式の一覧を参照）。特別な場合として、 ${\displaystyle a+b+c=abc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.}$

複雑な関数

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ （オイラーの恒等式）

任意の複素数 に対して、次の同値性が成り立ちます。 ${\displaystyle z}$

${\displaystyle e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z} }$ ^{[ 16 ]}

また

${\displaystyle {\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .}$

格子が2つの周期によって生成されると仮定する。この格子の擬周期をおよびで定義する。ここではワイエルシュトラスのゼータ関数である（は実際には に依存しない）。すると、周期と擬周期はルジャンドル恒等式によって関連付けられる。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ ${\displaystyle \eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$ ${\displaystyle \eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \eta _{1}}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.}$

連分数

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}$ ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4+{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad }$ (ラマヌジャン、レムニスケート定数です) ^{[ 18 ]}${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$ ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle 2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi =4-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1-{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

4 番目の恒等式の詳細については、オイラーの連分数公式を参照してください。

反復アルゴリズム

${\displaystyle a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}}$

${\displaystyle a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}}$ （ヴィエトの公式と密接に関連している）

${\displaystyle \omega (i_{n},i_{n-1},\dots ,i_{1})=2+i_{n}{\sqrt {2+i_{n-1}{\sqrt {2+\cdots +i_{1}{\sqrt {2}}}}}}=\omega (b_{n},b_{n-1},\dots ,b_{1}),\,i_{k}\in \{-1,1\},\,b_{k}={\begin{cases}0&{\text{if }}i_{k}=1\\1&{\text{if }}i_{k}=-1\end{cases}},\,\pi ={\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n+1}}{2h+1}}{\sqrt {\omega \left(\underbrace {10\ldots 0} _{n-m}g_{m,h+1}\right)}}}}$ （ここで、はmビットグレイコードのh+1番目のエントリである）^{[ 19 ]}${\displaystyle g_{m,h+1}}$ ${\displaystyle h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}}$

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\,a_{1}=2^{-k},\,a_{n+1}=a_{n}+2^{-k}(1-\tan(2^{k-1}a_{n})),\,\pi =2^{k+1}\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ （二次収束）^{[ 20 ]}

${\displaystyle a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ （三次収束）^{[ 21 ]}

${\displaystyle a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatorname {hm} (a_{n},b_{n}),\,b_{n+1}=\operatorname {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ （アルキメデスのアルゴリズム、調和平均と幾何平均も参照）^{[ 22 ]}

その他の反復アルゴリズムについては、ガウス・ルジャンドル アルゴリズムとボルワイン アルゴリズムを参照してください。

漸近解析

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}}$ （中心二項係数の漸近的成長率）

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}}$ （カタラン数の漸近的成長率）

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ （スターリング近似）

${\displaystyle \log n!\simeq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n-n+{\frac {\log 2\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}$ （オイラーのトーティエント関数は）${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}}$

記号は、左側と右側の比がのにつれて 1 に近づくことを意味します。 ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

記号は、左側と右側の差が としてゼロに近づくことを意味します。 ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

超幾何反転

は超幾何関数である： ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{2}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)}$

どこ

${\displaystyle q=\exp \left(-\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

は2つの平方関数の和です。 ${\displaystyle r_{2}}$

同様に、

${\displaystyle 1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}},1,z\right)^{4}}$

どこ

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

は除数関数です。 ${\displaystyle \sigma _{3}}$

ラマヌジャンの楕円関数の理論によって説明されているように、この性質の式は他にもたくさんあります。

おそらく最も注目すべき超幾何反転は、ラマヌジャンのタウ関数とJ 不変量のフーリエ係数( OEISのシーケンスA000521 ) を含む次の 2 つの例です。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathrm {j} }$

${\displaystyle \sum _{n=-1}^{\infty }\mathrm {j} _{n}q^{n}=256{\dfrac {(1-z+z^{2})^{3}}{z^{2}(1-z)^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}={\dfrac {z^{2}(1-z)^{2}}{256}}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)^{12}}$

どちらの場合も

${\displaystyle q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$

さらに、最後の式をべき級数として展開すると、

${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1-(1-z)^{1/4}}{1+(1-z)^{1/4}}}}$

と設定すると、の急速に収束する級数が得られる。^{[注 3 ]}${\displaystyle z=1/2}$ ${\displaystyle e^{-2\pi }}$

${\displaystyle e^{-2\pi }=w^{2}+4w^{6}+34w^{10}+360w^{14}+4239w^{18}+\cdots ,\quad w={\dfrac {1}{2}}{\dfrac {2^{1/4}-1}{2^{1/4}+1}}.}$

その他

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}}$ （オイラーの反射公式、ガンマ関数を参照）

${\displaystyle \pi ={\sqrt {6\zeta (2)}}}$ （バーゼル問題に対するオイラーの解から導出される。リーマンゼータ関数を参照）

${\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}$ （リーマンゼータ関数の関数方程式）

${\displaystyle e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}}$ （ここではハーウィッツゼータ関数であり、導関数は最初の変数に関して取られます）${\displaystyle \zeta (s,a)}$

${\displaystyle \pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}}$ （ベータ関数も参照）

${\displaystyle \pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}}$ （ここでagmは算術幾何平均です）

${\displaystyle \pi =\operatorname {agm} \left(\theta _{2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\right)}$ （ここで、およびはヤコビのシータ関数である^{[ 23 ]}）${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$

${\displaystyle \operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$ （ガウス^{[ 24 ]} によれば、レムニスケート定数である）${\displaystyle \varpi }$

${\displaystyle \operatorname {N} (2\varpi )=e^{2\pi },\quad \operatorname {N} (\varpi )=e^{\pi /2}}$ （ここではガウスN関数）${\displaystyle \operatorname {N} }$

${\displaystyle i\pi =\operatorname {Log} (-1)=\lim _{n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)}$ （ここで複素対数の主値）^{[注4 ]}${\displaystyle \operatorname {Log} }$

${\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})}$ （nをkで 割った余り）${\textstyle n{\bmod {k}}}$

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{cases}}}$ （円の面積を合計する）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}}$ （単位円の面積を求めるためのリーマン和）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}}$ （スターリング近似とウォリス積を組み合わせることにより）

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln {\frac {16}{\lambda (ni)}}}$ （ここではモジュラーラムダ関数）^{[ 25 ] [注5 ]}${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}G_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}g_{n}\right)}$ （ここで、およびはラマヌジャンのクラス不変量である）^{[ 26 ] [注6 ]}${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$

参照

• 数学的恒等式の一覧
• 数学のトピックのリスト
• 三角関数の恒等式の一覧
• πに関連するトピックのリスト
• eの表現のリスト

参考文献

注記

1. この関係は2019 年の SI 改訂まで有効でした。${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}}$
2. (アークタンジェントの全領域にわたる積分形の周期を与える)
3. 係数はピュイズー級数を逆にすることで得られる 。

   ${\displaystyle z\mapsto {\sqrt {z}}{\dfrac {\sum _{n=0}^{\infty }z^{2n^{2}+2n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }z^{2n^{2}}}}}$

   で。${\displaystyle z=0}$
4. 最も小さい正の主引数を持つ番目が選択される。${\displaystyle n}$
5. のとき、これはゲルフォンド定数 の代数近似値。${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$
6. のとき、これはゲルフォンド定数 の代数近似値を与えます。${\displaystyle {\sqrt {n}}\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$

他の

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13. オイラー、レオンハルト (1748)。『analysin infinitorum』の紹介（ラテン語）。 Vol. 1.244ページ
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さらに読む

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• 加藤和也、黒川信繁、斎藤健：『数論1：フェルマーの夢』アメリカ数学会、プロビデンス、1993年、ISBN 0-8218-0863-X。