数学記号の用語集

数学記号とは、数学的対象、数学的対象への作用、数学的対象間の関係を表すために使用される図形または図形の組み合わせ、あるいは数式や数式に現れる他の記号を構造化するために使用される図形または図形の組み合わせです。より正式には、数学記号とは数式や数式で使用される書記素のことです。数式や数式は様々な種類の記号で構成されていることから、すべての数学を表現するには多くの記号が必要です。

最も基本的な記号は、小数点（ 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 ）とラテンアルファベットの文字です。小数点 の数字は、ヒンドゥー–アラビア数字システムで数字を表すために使用されます。歴史的に、大文字は幾何学の点を表すために使用され、小文字は変数と定数に使用されていました。文字は、他の多くの種類の数学的対象を表すために使用されます。これらの種類の数が増えるにつれて、ギリシャ語のアルファベットと一部のヘブライ文字も使用されるようになりました。より多くの記号については、他の書体も使用されます。主に、太字 ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠ 、... 、スクリプト書体⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ 、... (小文字のスクリプト書体は、標準書体と混同される可能性があるため、ほとんど使用されません)、ドイツ語のフラクトゥール⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、...、および黒板太字⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ (他の文字はこの書体ではほとんど使用されないか、その使用法は非標準です) です。アルファベット、フォント、書体を使用して記号をタイプ別にグループ化するのは一般的です (たとえば、太字はベクトルによく使用され、大文字は行列によく使用されます)。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

数学的対象を表す記号として特定のラテン文字やギリシャ文字を用いることについては、この記事では説明しません。そのような用法については、「変数 § 慣習的な変数名」および「数学定数一覧」を参照してください。ただし、ここで説明する記号の中には、やのように、その由来となった文字と同じ形をしているものもあります。 ${\displaystyle \textstyle \prod {}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum {}}$

これらの文字だけでは数学者のニーズを満たすには不十分であり、他の多くの記号が用いられます。中には、伝統的に印刷術で使用されてきた句読点や分音記号に由来するものもあれば、やのように文字の形を変形させたものもあります。また、 +や=のように、数学のために特別に設計されたものもあり ます。${\displaystyle \in}$ ${\displaystyle \forall }$

この記事のレイアウト

• 通常、用語集の項目はトピックごとに構造化され、アルファベット順に並べられます。しかし、ここでは記号に自然な順序がなく、多くの記号が数学の様々な分野で異なる意味を持ち、しばしば全く関連性のないものとして使用されているため、これは不可能です。そのため、いくつかの恣意的な選択を行う必要があり、その概要は以下にまとめられています。
• この記事は、専門性のレベルが上がるにつれてセクションに分かれています。つまり、最初のセクションには、ほとんどの数学の教科書で見られる記号、つまり初心者でも知っているはずの記号が含まれています。一方、最後のセクションには、数学の特定の分野に特有の記号が含まれており、それ以外の分野では無視されます。ただし、括弧に関する長いセクションは、ほとんどの項目が初歩的であるにもかかわらず、末尾近くに配置されています。これにより、スクロールして記号の項目を探しやすくなります。
• ほとんどの記号には複数の意味があり、一般的には、記号が使用される数学の分野または構文、つまり数式内での位置と、数式のその記号に近い他の部分の性質によって区別されます。
• 読者は探している記号が数学のどの分野に関係しているかを認識していない場合があるため、記号のさまざまな意味は、最も一般的な意味に対応するセクションでグループ化されています。
• 構文によって意味が異なる場合、記号は構文に応じて異なるエントリを持つことがあります。エントリ名で構文を要約するために、記号は、その記号を含む数式の隣接する部分を表すために使用されます。使用例については、§ 括弧を参照してください。${\displaystyle \Box}$
• ほとんどの記号には2つの印刷バージョンがあります。Unicode文字として表示することも、LaTeX形式で表示することもできます。Unicodeバージョンでは、検索エンジンの使用やコピー＆ペーストが容易です。一方、LaTeX形式の表示は多くの場合はるかに優れており（見た目も美しく）、数学では一般的に標準とみなされています。そのため、この記事では、記号のエントリのラベル付けには（可能な場合）Unicodeバージョンを使用し、説明にはLaTeXバージョンを使用します。したがって、LaTeXで記号を入力する方法を知るには、記事のソースを参照するだけで十分です。
• ほとんどの記号の場合、エントリ名は対応するUnicode記号です。そのため、記号のエントリを検索するには、検索テキストボックスにUnicode記号を入力またはコピーするだけで十分です。同様に、可能な場合は、記号のエントリ名もアンカーとして扱われ、他のWikipedia記事から簡単にリンクできます。エントリ名に[、]、|などの特殊文字が含まれている場合もアンカーとして扱われますが、それを確認するには記事のソースを確認する必要があります。
• 最後に、記号自体（数学的な意味ではない）に関する記事がある場合は、エントリ名にリンクされています。

算術演算子

+ (プラス記号)

1.加算を表し、 「プラス」と読みます。たとえば、3 + 2 です。

2. 数が正であることを示し、 「プラス」と読みます。冗長ですが、文脈内の他の数が負であるか負である可能性がある場合に、数が正であることを強調するために使用されることがあります（例：+2）。

3.集合の非結合和集合に対しての代わりに が使用されることもあります。${\displaystyle \sqcup }$

−（マイナス記号）

1.減算を表し、マイナスと読みます。たとえば、3 − 2 です。

2. は加法逆数を表し、マイナス、の負、またはの反対として読み取られます。たとえば、−2 です。

3.集合論的補集合を表すために\の代わりに使用される。§集合論の\を参照。

×（乗算記号）

1.初等算術では、 は乗算を表し、 の倍数と読みます。たとえば、3 × 2です。

2.幾何学と線形代数では、 は外積を表します。

3.集合論と圏論において、 は直積と直積を表す。§集合論の×も参照のこと。

· (ドット)

1.乗算を表し、倍として読みます。たとえば、3 ⋅ 2です。

2.幾何学と線形代数では、 はドット積を表します。

3. 不確定な要素を置き換えるために使用されるプレースホルダー。例えば、「絶対値は| · |で表される」と言う方が、 |  |で表されると言うよりも明確かもしれません。

±（プラスマイナス記号）

1. プラス記号またはマイナス記号の代替を示します。

2. 測定された量が取り得る値の範囲を示します。たとえば、10 ± 2 は8から12までの範囲にある未知の値を表します。

∓（マイナス＋プラス記号）

±と組み合わせて使用​​すると、反対の符号を表します。つまり、±が−の場合は+、±が+の場合は− になります。

÷（除算記号）

英語圏の国では割り算を表すのに広く使われているが、数学ではもはや一般的には使われておらず、その使用は「推奨されない」。^{[ 1 ]}一部の国では、引き算を表すこともできる。

: (コロン)

1. 2 つの量の比率を表します。

2. 一部の国では、 は除算を表す場合があります。

3.集合表記法では、「～のような」という意味の区切りとして使われます。{□ : □}を参照してください。

/ (スラッシュ)

1.割り算を表し、「 〜で割る」または「〜で割る」と読みます。横棒に置き換えられることが多いです。例：3 / 2または⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ 。

2.商構造を表します。例えば、商集合、商群、商圏などです。

3.数論および体論において、は体の拡大を表し、ここでFは体Eの拡大体である。${\displaystyle F/E}$

4.確率論において、は条件付き確率を表します。例えば、は、Bが起こった場合にAが起こる確率を表します。通常は⁠ ⁠と表記されます。「|」を参照してください。${\displaystyle P(A/B)}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$

√（平方根記号）

平方根を表し、 「 の平方根」と読みます。現代数学では、引数の幅を示す水平バーなしで使われることはほとんどありません（次項参照）。例えば、√2 などです。

√  （ルート記号）

1. は平方根を表し、の平方根と読みます。例えば、⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {3+2}}}$ 。

2. 左上付き文字として2より大きい整数を付けると、n乗根を表します。例えば、3の7乗根を表します。${\displaystyle {\sqrt[{7}]{3}}}$

平等、同値、類似

= (等号)

1.等式を表します。

2. 「let ⁠ ⁠」のような文中で数学的なオブジェクトに名前を付けるために使用されます。ここで、Eは式です。≝ 、≜ 、:=も参照してください。${\displaystyle x=E}$

≝、 ≜、:=

これらはいずれも、数学的対象に名前を付ける際に使用されることがあります。例えば、 、 、はそれぞれ「let${\displaystyle x\triangleq E}$ ⁠ ⁠ 」という語句の略語であり、⁠ ⁠は式、⁠ ⁠は変数です。${\displaystyle x\mathrel {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}} E}$ ${\displaystyle x\mathrel {:=} E}$ ${\displaystyle E\mathrel {=:} x}$ ${\displaystyle x=E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$

≠ (不等号)

不平等を示し、「等しくない」ことを意味します。

≈ (近似等号)

近似値を表す最も一般的な記号。たとえば、⁠ ⁠${\displaystyle \pi \approx 3.14159}$ 。

~ (チルダ)

1. 2 つの数値の間では、 ≈の代わりに使用され、「ほぼ等しい」という意味になるか、「同じ桁数である」という意味になります。

2. 2 つの関数またはシーケンスの漸近的同値性を示します。

3.行列の類似性や幾何学的形状の類似性など、他の種類の類似性を示すためによく使用されます。

4.同値関係の標準的な表記法。

5.確率統計学において、確率変数の確率分布を指定するために使用される。例えば、確率変数Xの分布が標準正規分布に従う ことを意味する。^{[ 2 ]}${\displaystyle X\sim N(0,1)}$

6.比例の表記法。より分かりやすい記号として∝も参照のこと。

≡ (三本線)

1.恒等式、つまり、そこに現れる変数にどのような値を与えても真となる等式を表します。

2.数論、より具体的にはモジュラー算術において、は整数を法とする合同を表します。

3.論理的等価性を示す場合がある。

≅

1. 2 つの数学的構造間の同型性を示す場合があり、「同型である」と読みます。

2.幾何学において、 は 2 つの幾何学的図形の合同（つまり、変位までの等式）を表し、「 と合同である」と読みます。

比較

< (小なり記号)

1.   2 つの数値間の厳密な不等式。 は「より小さい」と読みます。

2. 一般的には、厳密な順序を表すために使用されます。

3. 2 つのグループの間では、最初のグループが2 番目のグループの適切なサブグループであることを意味する場合があります。

> (大なり記号)

1.   2 つの数値間の厳密な不等式。 は「より大きい」と読みます。

2. 一般的には、厳密な順序を表すために使用されます。

3. 2 つのグループの間では、2 番目のグループが最初のグループの適切なサブグループであることを意味する場合があります。

≤

1. 「以下」を意味します。つまり、AとBが何であっても、A ≤ BはA < BまたはA = Bと同じです。

2. 2 つのグループの間では、最初のグループが2 番目のグループのサブグループであることを意味する場合があります。

≥

1. 「より大きいか等しい」という意味です。つまり、AとBが何であっても、A ≥ BはA > BまたはA = Bと等しくなります。

2. 2 つのグループの間では、2 番目のグループが最初のグループのサブグループであることを意味する場合があります。

${\displaystyle \ll {\text{ と }}\gg }$

1. 「はるかに小さい」と「はるかに大きい」を意味します。一般的に、「はるかに」は正式には定義されていませんが、小さい方の量が他方の量に対して無視できることを意味します。これは通常、小さい方の量が他方の量よりも1桁または数桁小さい場合に当てはまります。

2.測度論において、測度が測度⁠ ⁠に関して絶対連続であることを意味します。${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle \leqq {\text{ と }}\geqq }$

めったに使用されない記号。通常はそれぞれ≤および≥と同義です。

${\displaystyle \prec {\text{ と }}\succ }$

多くの場合、順序、またはより一般的には、事前順序を示すために使用されます。<と>を使用すると混乱したり不便になったりする場合に使用されます。

集合論

∅ (ヌル記号)

空集合を表し、 ⁠ ⁠${\displaystyle \emptyset }$ と表記されることが多い。集合構築記法では⁠ ⁠${\displaystyle \{\}}$ と表記されることもある。

# (番号記号)

1. 要素数:集合Sの基数を表す。別の表記法は⁠ ⁠である。⁠ ⁠を参照。${\displaystyle \#{}S}$ ${\displaystyle \vert S\vert }$ ${\displaystyle \vert \square \vert }$

2.  素数: n以下の素数の積を表します。${\displaystyle n{}\#}$

3.位相幾何学において、は2 つの多様体または 2 つの結び目の連結和を表します。${\displaystyle M\#N}$

∈

集合 の要素であることを示し、「含まれる」「属する」「要素である」と読みます。つまり、 はxが集合Sの要素であることを意味します。${\displaystyle x\in S}$

∉

「含まれていない」という意味です。つまり、⁠ ⁠を意味します。${\displaystyle x\notin S}$ ${\displaystyle \neg (x\in S)}$

⊂

集合の包含を表します。ただし、わずかに異なる2つの定義が一般的です。

1. は  、 AがBのサブセットであり、Bと等しい可能性があることを意味します。つまり、Aのすべての要素はBに属します。式で表すと、⁠ ⁠ です。${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle \forall x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

2. は  、 AがBの真部分集合であること、つまり 2 つの集合が異なり、Aのすべての要素がBに属することを意味します。式で表すと、⁠ ⁠ です。${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A\neq B\land \forall {}x,\,x\in A\Rightarrow x\in B}$

⊆

${\displaystyle A\subseteq B}$ は、 AがBのサブセットであることを意味します。等式が可能であることを強調する場合、またはが⁠ ⁠の真サブセットであることを意味する場合に使用します。${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

⊊

${\displaystyle A\subsetneq B}$ は、 AがBの真部分集合であることを意味します。 が ⁠ ⁠ の真部分集合であることを意味しない場合、または が⁠ ⁠の真部分集合であることを強調するために使用されます。${\displaystyle A\neq B}$ ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

⊃、⊇、⊋

、、の逆関係をそれぞれ表します。例えば、は⁠ ⁠と同等です。${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subsetneq }$ ${\displaystyle B\supset A}$ ${\displaystyle A\subset B}$

∪

集合論的な和集合、つまりAとBの要素を合わせた集合 を表します。つまり、 です。${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{x\mid (x\in A)\lor (x\in B)\}}$

∩

集合論的な交差、つまりAとBの両方の要素によって形成される集合 を表します。つまり、 です。${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid (x\in A)\land (x\in B)\}}$

∖ (バックスラッシュ)

差集合。つまり、はAの要素のうちBに含まれない要素によって形成される集合です。 の代わりに が使われる場合もあります。§算術演算子 の−を参照してください。${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle AB}$

⊖または${\displaystyle \triangle }$

対称差: つまり、またはは、 2 つの集合AとBのうちの 1 つにのみ属する要素によって形成される集合です。${\displaystyle A\ominus B}$ ${\displaystyle \ A\operatorname {\triangle } B\ }$

${\displaystyle \complement }$

1. 下付き文字が付いている場合は、集合の補集合を表します。つまり、⁠ ⁠${\displaystyle B\subseteq A}$ ならば⁠ ⁠${\displaystyle \complement _{A}B=A\setminus B}$ となります。

2. 添え字がない場合、 は絶対補集合、すなわち⁠ ⁠${\displaystyle \complement A=\complement _{U}A}$ を表します。ここで、Uは現在検討中のすべての可能な集合を含む集合であり、文脈によって暗黙的に定義されます。この集合Uは、論議宇宙と呼ばれることもあります。

3. 集合記号の上付き文字として使用され、その集合の補集合を表します。つまり、定義 2 にあるように、 Uは全体集合です。${\displaystyle \ A^{\complement }=U\ \backslash \ A\ ,}$

×（乗算記号）

§ 算術演算子の×も参照してください。

1. 2つの集合の直積を表す。つまり、はAの元とBの元のすべてのペアによって形成される集合である。${\displaystyle A\times B}$

2.同じ種類の2つの数学的構造の直積を表す。これは、同じ種類の構造を備えた基礎集合の直積である。例えば、環の直積、位相空間の直積など。

3.圏論では、 は2 つのオブジェクトの直積(単に積と呼ばれることが多い) を表します。これは、前述の積の概念を一般化したものです。

${\displaystyle \sqcup }$

は互いに素な和集合を表します。つまり、AとBが集合である場合、はペアの集合であり、i _Aとi _Bはそれぞれ、 ⁠ ⁠におけるAとBのメンバーを区別する異なるインデックスです。${\displaystyle A\sqcup B=\left(A\times \{i_{A}\}\right)\cup \left(B\times \{i_{B}\}\right)}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$

${\displaystyle \bigsqcup {\text{ or }}\coprod }$

1.集合族の非結合和集合を表すのに用いられる。例えば、${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}.}$

2.数学的構造またはカテゴリ内のオブジェクトの共積を表します。

よ（ひらがなよ）またはh

カテゴリー理論における米田埋め込みを表します。

基本的なロジック

数学全般で広く使用されている論理記号がいくつかあり、ここに列挙されています。数理論理学でのみ使用される記号、またはあまり使用されない記号については、「論理記号一覧」を参照してください。

¬ (記号ではない)

否定を表し、「not」と読みます。Eが論理述語である場合、E がfalseと評価される場合にのみtrueと評価される述語です。明確化のため、「not」という単語に置き換えられることがよくあります。${\displaystyle \neg E}$

∨ (下降ウェッジ)

1.論理和を表し、「または」と読みます。EとF が論理述語である場合、EかF のいずれか、または両方が真であれば、 は真となります。これはしばしば「または」という単語に置き換えられます。${\displaystyle E\lor F}$

2.格子理論では、結合または最小上限演算を表します。

3.位相幾何学において、 は2つの尖った空間のくさび和を表します。

∧ (くさび)

1.論理積を表し、「and」と読みます。E と F が論理述語 である場合、EとFが両方とも真であれば は真です。これはしばしば「and」という単語または記号「 & 」に置き換えられます。${\displaystyle E\land F}$

2.格子理論では、は、一致する、または最大の下限操作を表します。

3.多重線型代数、幾何学、多変数微積分学では、外積（ウェッジ積とも呼ばれる）を表します。

⊻

排他的論理和を表します。E と F が論理述語である場合、は排他的論理和を表します。E XOR Fという表記もよく使用されます。⊕を参照してください。${\displaystyle E\veebar F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$

∀ ( A になった)

1.全称量化を表し、「すべてに対して」と読みます。Eが論理述語である場合、変数xのあらゆる可能な値に対してE が真であることを意味します。${\displaystyle \forall x\;E}$

2. プレーンテキストでは「for all」または「for every」の略語としてよく使用されます。

∃

1.存在量化を表し、「…が存在する」と読みます。Eが論理述語である場合、Eが真となるxの値が少なくとも1つ存在することを意味します。${\displaystyle \exists x\;E}$

2. プレーンテキストでは「there exists」の略語としてよく使用されます。

∃!

は一意性量化を表します。つまり、 は「 P （が真）となるx が1つだけ存在する」という意味です。言い換えると、 は の略語です。${\displaystyle \exists !x\;P}$ ${\displaystyle \exists !x\;P(x)}$ ${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

⇒

1. は物質的条件節を表し、「意味する」と読みます。PとQが論理述語である場合、P ⇒ QはPが真ならばQも真であることを意味します。したがって、P ⇒ Qは⁠ ⁠と論理的に同値です。${\displaystyle Q\lor \neg P}$

2. プレーンテキストでは「implies」の略語としてよく使用されます。

⇔

1. は論理的同値性を示し、「〜と等しい」または「〜の場合に限り〜 」と読みます。P とQが論理述語である場合、は⁠ ⁠、または⁠ ⁠の略語です。${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$ ${\displaystyle (P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$

2. プレーンテキストでは、「 if and only if 」の略語としてよく使用されます。

⊤ (ティー)

1.  論理述語が常に真であることを示します。${\displaystyle \top }$

2.真理値trueも表します。

3.境界付き格子の最上位要素を表すこともあります（前述の意味は具体的な例です）。

⊥ (アップタック)

1.  論理述語が常に偽であることを示します。${\displaystyle \bot }$

2.真理値falseも表します。

3.境界付き格子の底部要素を表すこともあります（前述意味は具体例です）。

4.暗号化では、通常の値の代わりにエラーを示すことがよくあります。

5. 上付き文字として使用する場合は□ ^⊥を参照してください。

6. 同様の記号については、 を参照してください。${\displaystyle \perp }$

黒板太字

黒板太字は、基本的な数体系を表すために広く用いられています。これらの体系は、対応する大文字の太字で表記されることもよくあります。黒板太字の明らかな利点は、これらの記号が他の記号と混同されないことです。そのため、数学のあらゆる分野で、定義を思い出すことなく使用することができます。例えば、組合せ論で に出会った場合、これが実数を表すことはすぐに分かるはずです。ただし、組合せ論では実数は研究対象としていません（ただし、多くの証明では実数を使用します）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {N} }$

自然数 の集合を表します。あるいは、区別が重要で、読者がどちらかの定義を想定する可能性がある場合には、それぞれ と が使用され、どちらかの定義を明確に表します。 という表記法もよく使用されます。${\displaystyle \{1,2,\ldots \},}$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数 の集合を表す。また、次のようにも表記される。${\displaystyle \{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1. p進整数の集合を表します。ここでpは素数です。

2. 場合によっては、はn を法とする整数を表します。ここで、 nは0 より大きい整数です。という表記法も使用され、こちらの方が曖昧さが少なくなります。${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} }$

有理数（2つの整数の分数）の集合を表す。また、次のようにも表記される。${\displaystyle \mathbf {Q} .}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

p進数の集合を表します。ここで、pは素数です。

${\displaystyle \mathbb {R} }$

実数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} }$

複素数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {H} }$

四元数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

q個の元を持つ有限体を表す。ここでqは素数（素数を含む）のべき乗である。GF ( q )とも表記される。

${\displaystyle \mathbb {O} }$

八元数の集合を表す。また、次のように表記されることもある。${\displaystyle \mathbf {O} .}$

${\displaystyle \mathbb {S} }$

セデニオンの集合を表す。これはしばしば次のようにも表記される。${\displaystyle \mathbf {S} .}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$

三ギンタデュオニオンの集合を表す。これはしばしば次のようにも表記される。${\displaystyle \mathbf {T} .}$

微積分

□′

ラグランジュの微分表記：f が一変数関数である場合、 ⁠ ⁠（「f${\displaystyle f'}$ prime」と読みます）は、この変数に関するfの微分です。二階微分は⁠ ⁠${\displaystyle f'}$ の微分であり、 ⁠ ⁠${\displaystyle f''}$ と表記されます。

${\displaystyle {\dot {\Box }}}$

ニュートンの記法 は、時間に関する微分に最も一般的に用いられます。xが時間に依存する変数である場合、⁠ ⁠${\displaystyle {\dot {x}}}$ （「x点」と読みます）は、その時間に関する微分です。特に、x が移動点の位置である場合、 はその速度です。${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\ddot {\Box }}}$

ニュートンの記法、2 次導関数の場合: x が移動点の位置である場合、 はその加速度です。${\displaystyle {\ddot {x}}}$

⁠d □/d □⁠

ライプニッツの導関数表記法。いくつかの若干異なる方法で使用されます。

1. yがxに依存する変数である場合、 （「d y over d x」（通常は「d y d x 」と短縮される）と読み、 はxに関するyの導関数です。${\displaystyle \textstyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}$

2. f が単一変数xの関数である場合、 はfの導関数であり、 はaにおける導関数の値です。${\displaystyle \textstyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}(a)}$

3.  全微分：がxに依存する複数の変数の関数である場合、fの微分はxの関数として扱われます。つまり、${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}}$ ${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\ {\frac {\operatorname {d} x_{i}}{\operatorname {d} x}}~.}$

⁠∂□/∂□⁠

偏微分: が複数の変数の関数である場合、 はi番目の変数を独立変数と見なし、他の変数を定数と見なした微分です。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

⁠𝛿□/𝛿□⁠

関数微分:が複数の関数の関数である場合、はn番目の関数を独立変数と見なし、他の関数を定数と見なした場合の関数微分です。${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\delta f}{\delta y_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\Box }}}$

1.  複素共役：zが複素数ならば、 はその複素共役である。例えば、${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {a+bi}}=a-b\ i~.}$

2.  位相閉包: S が位相空間Tの部分集合である場合、 はその位相閉包、つまりSを含むTの最小の閉部分集合です。${\displaystyle {\overline {S}}}$

3.  代数的閉包：Fが体 である場合、 はその代数的閉包、すなわちFを含む最小の代数的閉体である。例えば、はすべての代数的数の体である。${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$

4.  平均値: x が数値のシーケンスSで値を取る変数である場合、 はSの要素の平均を表すことができます。${\displaystyle {\overline {x}}}$

5.  否定：バーの下の式全体の否定を表すために使用されることがあります。特にブール代数を扱う場合です。例えば、ド・モルガンの法則の一つは、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {A\land B}}={\overline {A}}\lor {\overline {B}}}$ としています。

→

1.   A → B は、定義域Aと共定義域Bを持つ関数を表す。このような関数に名前を付けるには、f  : A → Bと書きます。これは「関数fは集合Aの任意の集合を集合Bに写像する」、または「 f はAをB に写像する 」と読みます 。

2. より一般的には、A → Bは準同型またはAからBへの射を表します。

3.論理的含意を表す場合がある。数学的推論において広く用いられる物質的含意については、現在では一般的に⇒に置き換えられている。数理論理学においては、含意を表すために依然として用いられているが、その正確な意味は研究対象となる特定の理論に依存する。

4.変数名の上に は、通常の変数がスカラーを表すコンテキストで、変数がベクトルを表すことを意味します。たとえば、⁠ ⁠です。太字 ( ⁠ ⁠ )、黒板太字 ( 𝕧 )、またはサーカムフレックス( ⁠ ⁠ ) も同じ目的でよく使用されます。${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

5.ユークリッド幾何学、そしてより一般的にはアフィン幾何学において、は2点PとQによって定義されるベクトルを表し、これはPをQに写す平行移動と同一視できる。同じベクトルは⁠ ⁠とも表記される。アフィン空間を参照のこと。${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ ${\displaystyle Q-P}$

↦

「にマップ」：関数に名前を付けずに定義するために使用します。例えば、は平方関数です。${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$

○ ^{[ 3 ]}

1.  関数の合成: fとgが 2 つの関数である場合、 はxのすべての値に対してとなる関数です。${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

2.  行列のアダマール積：AとBが同じサイズの2つの行列である場合、行列は となる。べき級数 のアダマール積では、 ⊙の代わりに が使用される場合もある。${\displaystyle A\circ B}$ ${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}$ ${\displaystyle \circ }$

∂

1.  位相部分空間の境界: S が位相空間の部分空間である場合、その境界( ⁠ ⁠と表記) はSの閉包と内部との差集合です。${\displaystyle \partial S}$

2.  偏微分: ⁠ を参照∂□/∂□⁠。

∫

1. 添え字がない場合、 は不定積分を表します。例えば、${\displaystyle \textstyle \int x^{2}\operatorname {d} x={\frac {\;x^{3}}{3}}+C.}$

2. 上付き文字と下付き文字、あるいはその上下に式が置かれた場合は、定積分を表します。例えば、${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}x^{2}\operatorname {d} x={\frac {\;b^{3}-a^{3}}{3}}~.}$

3. 曲線を表す添え字 は線積分を表します。例えば、r が曲線Cの媒介変数化である場合、点t = aから点t = bまでです。${\displaystyle \textstyle \ \int _{C}f\ =\ \int _{a}^{b}\ f\!{\bigl (}\ \!r\!\left(t\right)\ \!\!{\bigr )}\ r'\!\left(t\right)\operatorname {d} t\ ,}$

∮

物理学では、閉曲線上の線積分に対しての代わりによく使用されます。${\displaystyle \textstyle \int }$

∬、∯

表面積分のおよびと同様です。${\displaystyle \textstyle \int }$ ${\displaystyle \textstyle \oint }$

∭、∰

体積積分については およびと同様です。${\displaystyle \textstyle \int }$ ${\displaystyle \textstyle \oint }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ または${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

1.  ナブラ、勾配ベクトル微分演算子、${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$ delまたはgradとも呼ばれる、

2.共変微分などの接続。

∇ ²または∇⋅∇

ラプラス演算子またはラプラシアン：⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ 。勾配（または⁠ ⁠ ）とそれ自身とのドット積を表します。Δ（次項）とも表記されます。${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Δ

(ギリシャ文字の大文字デルタ。幾何学的な三角形、または2 つの集合の対称差を表す⁠ ⁠${\displaystyle \triangle }$ と混同しないでください。)

1.ラプラシアンの別の表記法（上記参照）。

2.差分演算子。

${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ または${\displaystyle \partial _{\mu }}$

(注:は明確に使用できますが、と の両方がダランベルシアンを表すために使用されるため、この表記法は 4 勾配には推奨されません。以下を参照してください。) ${\displaystyle \ {\vec {\Box }}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Box }}}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle {\Box }^{2}}$

Quad、4ベクトル勾配演算子または4勾配、${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\ \partial }{\ \partial t\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial x\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial y\ }},{\frac {\ \partial }{\ \partial z\ }}\right)~.}$

${\displaystyle \Box }$ または${\displaystyle {\Box }^{2}}$

（ここでのシンボルはプレースホルダーではなく実際のボックスです）

ダランベルシアン勾配または平方四元勾配を表します。これはラプラシアン勾配を4次元時空に一般化したものです。ユークリッド座標系の平坦時空では、これは ⁠ ⁠または⁠ ⁠のいずれかを意味します。符号規則を指定する必要があります。曲がった時空（または非ユークリッド座標系の平坦時空）では、定義はより複雑になります。ボックス勾配またはquablaとも呼ばれます。${\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle +{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

線形代数と多重線形代数

∑（大文字シグマ表記）

1.またはのように、下付き文字と上付き文字（下と上に付けることもできます）によって決まる有限個の項の合計を表します。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{0<i<j<n}j-i}$

2.級数を表し、級数が収束 する場合は級数の和 を表します。例えば、 です。${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}$

∏（大文字のπ表記）

1.またはのように、下付き文字と上付き文字（下と上に付けることもできます）によって決まる有限個の項の積を表します。${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}i^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0<i<j<n}j-i}$

2.無限積を表します。例えば、リーマンゼータ関数のオイラー積の公式は です。${\displaystyle \textstyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$

3.任意の数の集合の直積や、任意の数の数学的構造の直積にも使用されます。

${\displaystyle \oplus }$

1. 内部直和：EとF がアーベル群Vのアーベル部分群である場合、表記はVがEとFの直和であることを意味します。つまり、Vのすべての元は、 Eの元とFの元の和として一意に表すことができます。これは、 EとF がベクトル空間または加群Vの線型部分空間または部分加群である場合にも当てはまります。${\displaystyle V=E\oplus F}$

2.  直和： EとF が2つのアーベル群、ベクトル空間、または加群である場合、それらの直和 は、それぞれ2つの単射と を備えたアーベル群、ベクトル空間、または加群であり、 はとの内部直和となる。この定義は、この直和が唯一の同型を除いて唯一のものであるため、意味を成す。${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f:E\to E\oplus F}$ ${\displaystyle g:F\to E\oplus F}$ ${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle f(E)}$ ${\displaystyle g(F)}$

3.  排他的論理和: EとF が2つのブール変数または述語である場合、は排他的論理和を表すことができます。E XOR Fという表記もよく使用されます。⊻を参照してください。${\displaystyle E\oplus F}$ ${\displaystyle E\veebar F}$

${\displaystyle \otimes }$

1.アーベル群、ベクトル空間、 加群、または⁠ ⁠や⁠ ⁠などの他の数学的構造のテンソル積を表します。${\displaystyle E\otimes F}$ ${\displaystyle E\otimes _{K}F}$

2.要素のテンソル積を表します。つまり、および⁠ ⁠の場合、⁠ ⁠ です。${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle y\in F}$ ${\displaystyle x\otimes y\in E\otimes F}$

□ ^T

転置：Aが行列の場合、Aの転置、つまりAの行と列を入れ替えた行列を表します。表記法も使用されます。${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle ^{\mathsf {T}}\!\!A}$

□ ^⊥

1.  直交補空間: W が内積空間Vの線型部分空間である場合、W ^{⊥ は}その直交補空間、つまりWの要素との内積がすべてゼロになるようなVの要素の線型空間を表します。

2.  双対空間の直交部分空間: W がベクトル空間(またはモジュール) Vの線型部分空間(またはサブモジュール)である場合、W ^{⊥ は}Wの直交部分空間、つまりW をゼロに写すすべての線型形式の集合を表すことができます。

3. シンボルのインライン使用については、⊥ を参照してください。

高度な群論

⊲ ⊴

それぞれ、等式を含む の正規部分群と の正規部分群。NとG が、NがGの（等式を含む）正規部分群となるような群である場合、これは⁠ ⁠ と${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ 表記されます。

⋉ ⋊

1. 内部半直積：NとHが群Gの部分群であり、NがGの正規部分群である場合、およびはGがNとHの半直積であることを意味します。つまり、Gのすべての要素は、 Nの要素とHの要素の積として一意に分解できます。（群の直積とは異なり、因子の順序が変更されると、 Hの要素が変化する可能性があります。）${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle G=H\ltimes N}$

2. 外半直積: NとH が2 つのグループで、 がNからHの自己同型群へのグループ準同型である場合、 はグループ同型を除いて一意のグループGを表します。これはNとHの半直積であり、 NとHの元の交換はによって定義されます。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H=H\ltimes _{\varphi }N}$ ${\displaystyle \varphi }$

≀

群論において、は群GとHの輪積を表す。これは または とも表記される。いくつかの表記法については、輪積 § 表記法と規則 を参照のこと。${\displaystyle G\wr H}$ ${\displaystyle G\operatorname {wr} H}$ ${\displaystyle G\operatorname {Wr} H}$

無限の数

${\displaystyle \infty }$ （無限大記号）

1. 記号は「無限大」と読みます。和の上限、無限積、積分などの上限は、計算が無制限であることを意味します。同様に、下限は、計算が負の値に制限されないことを意味します。${\displaystyle -\infty }$

2.  および は、実数直線に追加され、拡張された実数直線を形成する一般化された数です。${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

3.  は、射影的に拡張された実数直線を形成するために実数直線に追加される一般化された数です。${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ （フラクトゥール𝔠）

${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ は連続体の濃度、つまり実数の集合の濃度を表します。

${\displaystyle \aleph }$ （アレフ）

序数iを下付き文字として用いると、i番目のアレフ数、つまりi番目の無限基数を表します。例えば、は最小の無限基数、つまり自然数の基数です。${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth }$ （賭け）

序数iを下付き文字として用いると、 はi番目の数を表します。例えば、は自然数の基数であり、 は連続体の基数です。${\displaystyle \beth _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$

${\displaystyle \omega }$ （オメガ）

1. 第一極限順序数を表す。これは とも表記され、自然数の順序集合と同一視される。${\displaystyle \omega _{0}}$

2.序数iを下付き文字として、その前のすべての序数よりも大きい基数を持つi番目の極限序数を表します。

3.コンピュータサイエンスでは、行列乗算の計算複雑さの指数の（未知の）最大の下限を表します。

4. 別の関数の関数として書かれ、2つの関数の漸近的増加を比較するために使用されます。Big O記法 § 関連する漸近記法 を参照してください。

5.数論において、 は素オメガ関数を表すことがあります。つまり、は整数nの異なる素因数の個数です。${\displaystyle \omega (n)}$

括弧

数学では様々な種類の括弧が用いられます。それらの意味は、括弧の形だけでなく、括弧で囲まれるものの性質や配置、そして時には括弧の間や括弧の前に現れるものによっても異なります。そのため、項目のタイトルでは、括弧の意味の根底にある構文を図式化するためのプレースホルダーとして □記号が用いられています。

括弧

（□）

括弧内の部分式を単一のエンティティとして扱う必要があることを指定する式で使用されます。通常は演算の順序を指定するために使用されます。

□(□) □(□, □) □(□, ..., □)

1.  関数記法：最初の式が関数名（記号）である場合、 は括弧内の式に適用される関数の値を表します。例：, 。多変数関数の場合、括弧内には のようにカンマで区切られた複数の式が含まれます。${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sin(x+y)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

2. は、 のように積を表すこともあります。混同が生じる可能性がある場合は、文脈からどの記号が関数を表し、どの記号が変数を表すかを区別する必要があります。${\displaystyle a(b+c)}$

（□、□）

1.数学的オブジェクトの順序付けられたペアを表します。たとえば、 です。${\displaystyle (\pi ,0)}$

2. aとbが実数、、またはで、a < bの場合、はaとbで区切られる開区間を表します。別の表記については]□、□[を参照してください。${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (a,b)}$

3. aとbが整数の場合、はaとbの最大公約数を表すことがあります。代わりに という表記がよく用いられます。${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)}$

（□、□、□）

x , y , zが のベクトルである場合、 はスカラー三重積を表すことがあります。§角括弧の[□,□,□]も参照してください。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

（□、…、□）

タプルを表します。カンマで区切られたn 個のオブジェクトがある場合は、 nタプルになります。

（□、□、…）（□、…、□、…）

無限シーケンスを表します。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{pmatrix}}}$

行列を表します。多くの場合、角括弧で囲んで表記されます。

${\displaystyle {\binom {\Box }{\Box }}}$

二項係数を表します。2つの非負整数が与えられた場合、は「n からkを選ぶ」と読み、整数として定義されます（k = 0の場合、その値は慣例的に1です）。左辺の式を用いると、nの多項式を表し、任意の実数または複素数nに対して定義・使用されます。${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle {\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\Box }{\Box }}\right)}$

ルジャンドル記号：pが奇数の素数でa が整数の場合、 の値は、a がpを法とする平方剰余であれば1、a がpを法とする平方非剰余であれば-1、pがa を割り切る場合は0となる。ヤコビ記号とクロネッカー記号にも同じ表記法が用いられる。これらはそれぞれp が任意の奇数の正の整数、または任意の整数である場合の一般化である。${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

角括弧

[□]

1. 入れ子になった括弧を避けるために(□)の同義語として使用されることもあります。

2.  同値クラス:同値関係が与えられた場合、要素xの同値クラスを表すことがよくあります。${\displaystyle [x]}$

3.  整数部：xが実数の場合、xの整数部、つまり小数点以下の桁をすべて削除して得られる整数を表すことが多い。この表記法は、床関数と天井関数の他のバリエーションにも使用されている。${\displaystyle [x]}$

4.  アイバーソン括弧：Pが述語 である場合、はアイバーソン括弧を表すことがあります。これは、P内の自由変数の値のうちPが真となる値に対して1 を、そうでない場合は0 をとる関数です。例えば、はクロネッカーのデルタ関数であり、 の場合は 1 、そうでない場合は 0 になります。${\displaystyle [P]}$ ${\displaystyle [x=y]}$ ${\displaystyle x=y}$

5. 組合せ論やコンピュータサイエンスでは、がnまでの正の整数の集合を表し、 が となる場合があります。${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle [0]=\emptyset }$

□[□]

部分集合の像：関数fの定義域の部分集合Sの場合、 はSの像を表すために使用されることがあります。混乱を避けるため、f ( S )という表記が一般的に使用されます。${\displaystyle f[S]}$

[□, □]

1.  閉区間: aとb がとなる実数である場合、 はそれらによって定義される閉区間を表します。${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

2.  交換子（群論）：aとb が群に属する場合、。${\displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}$

3.  交換子（環論）：aとb が環に属する場合、。${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$

4.リー代数の演算であるリー括弧を表します。

[□ : □]

1.  体拡大の次数：Fが体Eの拡大である場合、 は体拡大の次数を表します。例えば、 です。${\displaystyle [F:E]}$ ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$

2.  部分群の添字：H が群Eの部分群である場合、HのGにおける添字を表す。 | G:H |という表記も用いられる。${\displaystyle [G:H]}$

[□, □, □]

x , y , zが のベクトルである場合、 はスカラー三重積を表すことがあります。^{[ 4 ]} § 括弧の(□,□,□)も 参照してください。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y,z]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{bmatrix}}}$

行列を表します。括弧で囲んで表記されることが多いです。

ブレース

{ }

空集合の集合構築記法。または∅とも表記されます。${\displaystyle \emptyset }$

{□}

1. 入れ子になった括弧を避けるために、(□)や[□]の同義語として使用されることもあります。

2.  シングルトン セットの集合構築表記: x を単一の要素として持つ集合を表します。${\displaystyle \{x\}}$

{□, ..., □}

セットビルダー表記法:要素が中括弧内にコンマで区切られてリストされているセットを表します。

{□ : □} {□ | □}

セットビルダー表記法: が変数xに依存する述語である場合、と は両方とも、が真となるxの値によって形成されるセットを表します。${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \{x:P(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}}$ ${\displaystyle P(x)}$

シングルブレース

1. 複数の方程式を同時方程式として考えなければならないことを強調するために使用されます。例:${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}2x+y=1\\3x-y=1\end{cases}}}$

2.  区分的な定義。たとえば、。${\displaystyle \textstyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}x\geq 0\\-x&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

3. 数式内の要素をグループ化した注釈に使用します。例: 、、${\displaystyle \textstyle \underbrace {(a,b,\ldots ,z)} _{26}}$ ${\displaystyle \textstyle \overbrace {1+2+\cdots +100} ^{=5050}}$ ${\displaystyle \textstyle \left.{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}\right\}m+n{\text{ rows}}}$

その他の括弧

| □ |

1.  絶対値: xが実数または複素数の場合、その絶対値を表します。${\displaystyle |x|}$

2. 要素の数: Sが集合の場合、はその基数、つまり要素の数を表すことがあります。もよく使用されます。#を参照してください。${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \#S}$

3.線分の長さ: PとQ がユークリッド空間内の 2 つの点である場合、 はこれらの点が定義する線分の長さ ( PからQまでの距離) を表すことが多く、 と表記されることが多いです。${\displaystyle |PQ|}$ ${\displaystyle d(P,Q)}$

4. 似た演算子については、|を参照してください。

| □:□ |

部分群の添字：H が群Gの部分群である場合、HのGにおける添字を表す。 [G:H]という表記も用いられる。${\displaystyle |G:H|}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{vmatrix}\Box &\cdots &\Box \\\vdots &\ddots &\vdots \\\Box &\cdots &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{vmatrix}}}$ は正方行列の行列式を表します。${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1,1}&\cdots &x_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n,1}&\cdots &x_{n,n}\end{bmatrix}}}$

||□||

1.ノルムベクトル空間の要素のノルムを表します。

2. 似たような演算子「 parallel 」については、「 」を参照してください。

⌊□⌋

床関数: xが実数の場合、はxより大きくない最大の整数です。${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

⌈□⌉

天井関数: xが実数の場合、xより小さくない最小の整数です。${\displaystyle \lceil x\rceil }$

⌊□⌉

最も近い整数関数: xが実数の場合、xに最も近い整数です 。${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

]□, □[

開区間：aとbが実数、または、およびの場合、は aとbで区切られる開区間を表します。別の表記については(□, □)を参照してください。${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle ]a,b[}$

(□, □] ]□, □]

どちらの表記法も左開きの間隔に使用されます。

[□, □) [□, □[

両方の表記法は右開音程に使用されます。

⟨□⟩

1.  生成オブジェクト：Sが代数構造の要素の集合である場合、Sによって生成されるオブジェクトを表すことが多い。 の場合は、（括弧は省略して）と書く。特に、これは ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S=\{s_{1},\ldots ,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$

• ベクトル空間における線型スパン（ Span( S )とも表記される）、
• グループ内の生成されたサブグループ、
• 環内の生成されたイデアル、
• モジュール内の生成されたサブモジュール。

2. 主に物理学において、期待値を表すためによく用いられる。確率論では、一般に の代わりに が用いられる。${\displaystyle E(X)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

⟨□, □⟩ ⟨□ | □⟩

と はどちらも、内積空間における内積を表すためによく使用されます。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$

${\displaystyle \langle \Box |{\text{ and }}|\Box \rangle }$

ブラケット表記またはディラック表記: xとyが内積空間の要素である場合、はxによって定義されるベクトル、 はyによって定義される共ベクトルです。それらの内積は です。${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y|}$ ${\displaystyle \langle y\mid x\rangle }$

数式に属さない記号

このセクションで列挙されている記号は、数学的推論における句読点、あるいは自然言語の句の略語として用いられます。これらの記号は、通常、数式の中では用いられません。古典論理学においては、平易な言葉で書かれた文間の論理的依存関係を示すために、いくつかの記号が用いられていました。最初の2つを除き、これらの記号は通常、印刷された数学のテキストでは用いられません。これは、読みやすさの観点から、2つの数式の間には少なくとも1つの単語を入れることが一般的に推奨されるためです。しかしながら、黒板においては、数式間の関係を示すために、今でも用いられています。

■、□

証明の終わりを示し、現在の本文と区別するために用いられます。Q.EDまたは QED（ラテン語：quod erat demonstrandum 、「示されるべきもの」）という頭字語 は、大文字でも小文字でも、同じ目的でよく用いられます。

☡

ブルバキの危険な曲がり角の記号: 重大な誤りを犯す危険性がある読者に事前に警告するため、または特に微妙な議論のために初めて読むときには難しい文章を示すために、余白に使用されることがあります。

∴

「したがって」の略語。2つの主張の間に置かれ、最初の主張が2番目の主張を暗示することを意味します。例：「すべての人間は死ぬ運命にあり、ソクラテスは人間である。∴ ソクラテスは死ぬ運命にある。」

∵

「because」または「since」の略語。2つの言明の間に置かれ、最初の言明が2番目の言明によって暗示されることを意味します。例：「11は素数である∵ 1とそれ自身以外に正の整数因数を持たない。」

∋

1. 「such that」の略語。例えば、通常は「 x such that 」と表記されます。${\displaystyle x\ni x>3}$ ${\displaystyle x>3}$

2. の被演算子を反転するために使用されることもあります。つまり、 はと同じ意味を持ちます。§集合論の∈を参照してください。${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S\ni x}$ ${\displaystyle x\in S}$

∝

「〜に比例する」の略語。

その他

!

1.  階乗: nが正の整数の場合、n !は最初のn 個の正の整数の積となり、「n の階乗」と読みます。

2.  二重階乗：nが正の整数の場合、n !!はnと同じ偶奇性を持つnまでのすべての正の整数の積です。つまり、n が奇数の場合は 1 からnまでのすべての奇数の積、n が偶数の場合はnまでのすべての偶数の積です 。これは「 nの二重階乗」と読みます。

3.  サブファクタリアル: nが正の整数の場合、! nはn個の要素の集合の順序の数であり、「n のサブファクタリアル」と読みます。

*

数学ではさまざまな用途があります。「Asterisk § 数学」を参照してください。

|

1.  割り切れるかどうか: mとnが 2 つの整数の場合、m はn を均等に割り切れることを意味します。${\displaystyle m\mid n}$

2.集合表記法では、「～のような」という意味の区切り文字として使われます。{□ | □}を参照してください。

3.  関数の制限: f が関数であり、Sがその定義域のサブセットである場合、 はSを定義域とする関数であり、 S上のfに等しい。${\displaystyle f|_{S}}$

4.  条件付き確率：事象Eが発生した場合のXの確率を表します。 とも表記されます。「/」を参照してください。${\displaystyle P(X\mid E)}$ ${\displaystyle P(X/E)}$

5.括弧としてのいくつかの用法（ペアで、または⟨と⟩と一緒に）については、 § その他の括弧を参照してください。

∤

割り切れない: nがmの約数ではないことを意味します。${\displaystyle n\nmid m}$

∥

1.初等幾何学における平行性を表します。PQとRS が2本の線分である場合、それらは平行であることを意味します。${\displaystyle PQ\parallel RS}$

2.  並列– 高調波和 –電気工学において、並列に接続された2 つのインピーダンス(例:並列抵抗器) または直列に接続された2 つのアドミタンス(例:直列コンデンサ)を合計する算術演算。${\displaystyle \ x\parallel y={\frac {1}{\ {\frac {\ 1\ }{x}}+{\frac {\ 1\ }{y}}\ }}={\frac {x\ y}{\ x+y\ }}~.}$

3. 括弧としてペアで使用され、ノルムを表します。||□||を参照してください。

4.  連結: 通常はコンピュータサイエンスで使用され、yの数字をxの末尾に追加した結果の値を表すと言われています。${\displaystyle x\mathbin {\vert \vert } y}$

5. は  、 1 つの確率分布P が 2 番目の基準確率分布 Q とどの程度異なるかを示す統計距離または尺度を表します。${\displaystyle {\displaystyle D_{\text{KL}}(P\parallel Q)}}$

∦

2 本の線が平行ではないことを示すために使用されることもあります。例:${\displaystyle PQ\not \parallel RS}$

${\displaystyle \perp }$

1.垂直性と直交性を表します。例えば、A、B、Cがユークリッド空間上の3点である場合、線分ABとACは垂直であり、直角を形成することを意味します。${\displaystyle AB\perp AC}$

2. 同様の記号については、 を参照してください。${\displaystyle \bot }$

⊙

べき級数のアダマール積：およびならば。行列のアダマール積では、 ○の代わりに が使用される場合もあります。${\displaystyle \textstyle S=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle T=\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \textstyle S\odot T=\sum _{i=0}^{\infty }s_{i}t_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \odot }$

Ш

アーベル多様体のTate –Shafarevich 群。

参照

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Unicodeシンボル

• ユニコードブロック
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• Unicode文字の一覧
• 文字のような記号
• Unicodeの数学演算子と記号
• その他の数学記号: A、B、技術記号
• 矢印（シンボル）およびその他のシンボルと矢印
• 数値形式
• 幾何学的形状

参考文献

1. ISO 80000-2、第9章「運用」、2-9.6
2. Tamhane, Ajit C.; Dunlop, Dorothy D. (2000). 『統計とデータ分析：初級から中級へ』 Prentice Hall. ISBN 978-0-13-744426-7。
3. Unicode記号∘と○の両方に対応するLaTeXの記号は\circです。\circと同じサイズのUnicode記号は、ブラウザとその実装によって異なります。場合によっては、∘は小さすぎて点と混同される可能性があり、 ○は\circと似ています。また、○は二項演算を表すには大きすぎるため、∘が\circのように見えます。LaTeXは一般的に数学表記の標準と考えられており、これら2つのUnicode記号を区別しないため、ここでは同じ数学的意味を持つものとみなします。
4. Rutherford, DE (1965).ベクトル法. 大学数学テキスト. Oliver and Boyd Ltd., エディンバラ.

外部リンク

• ジェフ・ミラー：様々な数学記号の初期の使用
• ヌメリカナ：科学記号とアイコン
• 数学記号のGIFおよびPNG画像
• Unicodeの数学記号
• Detexify: LaTeX手書き認識ツール

数学演算子と記号の Unicode チャートをいくつか示します。

• Unicodeシンボルのインデックス
• 範囲2100～214F: Unicode文字状記号
• 範囲 2190–21FF: Unicode 矢印
• 範囲 2200～22FF: Unicode 数学演算子
• 範囲 27C0–27EF: Unicode その他の数学記号–A
• 範囲 2980～29FF: Unicode その他の数学記号–B
• 範囲 2A00～2AFF: Unicode 補助数学演算子

いくつかの Unicode 相互参照:

• よく使われる LaTeX シンボルの短いリストと包括的な LaTeX シンボル リスト
• MathML 文字– Unicode、HTML、MathML/TeX の名前を 1 ページにまとめます
• Unicode値とMathML名
• GhostscriptのソースコードからのUnicode 値と Postscript 名