ミルナー・ムーアの定理

代数学において、ジョン・W・ミルナーとジョン・C・ムーア （1965年）によって導入された ミルナー・ムーアの定理は、代数位相幾何学においてコホモロジー環としてよく現れる種類のホップ代数の重要なクラスを分類します。

定理は次のように述べている。任意のnに対して、特性0の体上の連結で次数付き、可換なホップ代数Aが与えられたとき、自然なホップ代数準同型性 薄暗い⁡あn<∞{\displaystyle \dim A_{n}<\infty }

あなた（P（あ））→あ{\displaystyle U(P(A))\to A}

Aの原始元からなる次数付きリー代数の普遍包絡代数からAへの同型写像は、 A が連結であるとは、体 が負のnに対してであるときである。次数付きリー代数Lの普遍包絡代数は、Lのテンソル代数を、形 のすべての元によって生成される両側イデアルで割った商である。 P（あ）{\displaystyle P(A)}あ0{\displaystyle A_{0}}あn＝0{\displaystyle A_{n}=0}×y−（−1）|×||y|y×−[×、y]{\displaystyle xy-(-1)^{|x||y|}yx-[x,y]}

代数的位相幾何学において、この用語は通常、前述の結果の系を指し、尖った単連結空間 X に対して、次の同型が成り立ちます。

あなた（π∗（ΩX）⊗質問）≅H∗（ΩX;質問）、{\displaystyle U(\pi _{\ast }(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} )\cong H_{\ast }(\Omega X;\mathbb {Q} ),}

ここで はXのループ空間を表す。Félix , Halperin & Thomas (2001)の定理21.5と比較されたい。この研究は (Halpern 1958a , 1958b )の研究とも比較できる 。ここで、右辺の乗算は の積 によって誘導され、その後 Eilenberg-Zilber 乗算 によって誘導される。 ΩX{\displaystyle \オメガX}ΩX×ΩX→ΩX{\displaystyle \オメガX\times \オメガX\rightarrow \オメガX}C∗（ΩX）×C∗（ΩX）→C∗（ΩX）{\displaystyle C_{*}(\Omega X)\times C_{*}(\Omega X)\rightarrow C_{*}(\Omega X)}

左側は 単連結なので -ベクトル空間であり 、この表記は普遍包絡代数を表します。 X{\displaystyle X}π∗（ΩX）⊗質問{\displaystyle \pi _{\ast }(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }質問{\displaystyle \mathbb {Q} }あなた（V）{\displaystyle U(V)}

参考文献

原作

二次著作物

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