ホップ代数

数学 において、ホップ代数はハインツ・ホップにちなんで名付けられ、（単位結合的）代数と（共単位共結合的）余代数の両方である構造であり、これらの構造の適合性により双代数となり、さらに特定の性質を満たす反対準同型性を備えている。ホップ代数の表現論は特に優れており、適合する余乗法、余単位、反対称の存在により、表現のテンソル積、自明な表現、双対表現の構成が可能となる。

ホップ代数は代数位相幾何学において自然に出現し、そこで生まれ、H空間概念と関連している。また、群スキーム理論、群論（群環の概念を介して）、その他多くの分野でも出現し、おそらく最もよく知られている双代数の一種である。ホップ代数はそれ自体も研究されており、一方では特定の例のクラス、他方では分類問題に関する多くの研究がなされている。ホップ代数は、凝縮物質物理学や量子場の理論^{[ 1 ]}から弦理論^{[ 2 ]}やLHC現象論[ ^{3 ]}に至るまで、^{多様な応用を持つ。}

正式な定義

体上の（結合的かつ共結合的な）双代数を とする。積がで与えられるK線型写像の畳み込み代数を考えることができる。畳み込み代数の恒等式は${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$ ${\displaystyle (f\star g)(h)=\nabla \circ (f\otimes g)\circ \Delta (c).}$ ${\displaystyle \eta \circ \varepsilon .}$

双代数はホップ代数であるとは、 の恒等元が畳み込み逆元（対蹠と呼ばれる）を持つ場合を言う。が の逆元であるという命題は、次の図式 の 可換性と同値である。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{H}\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {Hom} _{K}(H,H)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{H}}$

和のないスウィードラー記法では、この性質は次のようにも表現できる。

${\displaystyle S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\varepsilon (c)1\qquad {\mbox{ すべての }}c\in H に対して。}$

代数に関しては、上記の定義において基礎体Kを可換環Rに置き換えることができる。 ^{[ 4 ]}

ホップ代数の定義は自己双対である（上図の対称性に反映されているように）ので、 Hの双対を定義できれば（ Hが有限次元であれば常に可能）、それは自動的にホップ代数となる。^{[ 5 ]}

構造定数

基礎となるベクトル空間の基底を固定すると、乗算の 構造定数の観点から代数を定義できます。${\displaystyle \{e_{k}\}}$

${\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k}}$

共乗の場合:

${\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k}}$

そしてその対蹠地：

${\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}}$

結合性は、

${\displaystyle \mu _{\;ij}^{k}\mu _{\;kn}^{m}=\mu _{\;jn}^{k}\mu _{\;ik}^{m}}$

一方、共結合性は

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\nu _{i}^{\;mn}=\nu _{k}^{\;mi}\nu _{i}^{\;nj}}$

接続公理は、

${\displaystyle \nu _{k}^{\;ij}\tau _{j}^{\;m}\mu _{\;im}^{n}=\nu _{k}^{\;jm}\tau _{j}^{\,\;i}\mu _{\;im}^{n}}$

対蹠体の特性

対掌体SにはK線型逆元が必要となることがあるが、これは有限次元の場合^{[ 6 ]}、あるいはHが可換あるいは共可換（あるいはより一般的には準三角）の場合に自動的に求められる。

一般にSは反準同型[ ^{7 ]}なのでS2^は準同型であり、したがってSが^逆であれば（必要に応じて）自己同型となる。

S ² = id _Hならば、ホップ代数は反転的である（反転を含む基礎代数は*-代数である）と言われる。Hが特性零、可換、または余可換な体上の有限次元半単純体であるならば、H は反転的である。

双代数B が対蹠体Sを許容する場合、Sは一意である（「双代数は最大で1つのホップ代数構造を許容する」）。^{[ 8 ]}したがって、対蹠体は選択できる追加の構造を課さない。ホップ代数であることは双代数の性質である。

対掌体は、 gをg ⁻¹に写す群上の反転写像の類似体である。^{[ 9 ]}

ホップ部分代数

ホップ代数Hの部分代数Aは、それがHの部分余代数であり、対掌体S がAをAに写すとき、ホップ部分代数である。言い換えれば、ホップ部分代数 A は、Hの乗法、余乗法、余単位元、対掌体がAに制限されているとき（さらにHの恒等元 1 がA にあることが要求されるとき）、それ自体がホップ代数である。ウォーレン・ニコルズとベッティーナ・ゾラー(1989) のニコルズ・ゾラー自由定理は、 Hが有限次元である場合、自然なA加群Hは有限ランクから自由であることを確立した。これは、部分群に対するラグランジュの定理の一般化である。^{[ 10 ]}この定理と積分理論の系として、半単純有限次元ホップ代数のホップ部分代数は自動的に半単純である。

ホップ部分代数Aがホップ代数Hにおいて右正規であるとは、安定条件ad _r ( h )( A ) ⊆ A がHのすべてのhに対して成立する場合である。ここで右随伴写像ad _rは、 Aのすべてのa、Hのすべての h に対してad _r ( h )( a ) = S ( h ₍₁₎ ) ah ₍₂₎で定義される。同様に、ホップ部分代数AがHにおいて左正規であるとは、左随伴写像ad _l ( h )( a ) = h ₍₁₎ aS ( h _{(2) ) の下で安定する場合である。正規性の 2 つの条件は}、対掌体Sが全単射である場合に等しく、この場合Aは正規ホップ部分代数であると言われる。

Hの正規ホップ部分代数Aは、（ H の部分集合の等式に関する）条件HA ⁺ = A ⁺ Hを満たす。ここでA ^{+ は}A上の余単位核を表す。この正規性条件は、HA ^+がHのホップイデアル（つまり、余単位核の代数イデアルであり、余代数余イデアルで、対掌体の下で安定）であることを意味する。結果として、商ホップ代数H / HA ⁺とエピモーフィズムH → H / A ⁺ Hが成立する。これは群論における正規部分群と商群の理論に類似している。^{[ 11 ]}

ホップ注文

分数体Kを持つ整域R上のホップ順序Oは、代数演算と余代数演算に関して閉じたK上のホップ代数Hの順序である。特に、共乗法 Δ はOをO ⊗ Oに写す。^{[ 12 ]}

グループのような要素

群的元とは、 Δ( x ) = x ⊗ xを満たす非零元xのことである。群的元は、その逆元が対掌体によって与えられる群を形成する。^{[ 13 ]}原始元xは、 Δ( x ) = x ⊗1 + 1⊗ x を満たす。^{[ 14 ] [ 15 ]}

例

	に応じて	共乗	議会	対蹠地	可換性	可換性	備考
群代数KG	グループG	Gのすべてのgに対してΔ( g ) = g⊗g	Gのすべてのgに対してε ( g )=1	S ( g ) = g ^−1（Gのすべてのgに対して）	Gがアーベルである場合に限り	はい
有限[ a ]群からK、K、^Gへの関数f（点ごとの加算と乗算を含む）	有限群G	Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x ^−1 )	はい	Gがアーベルである場合に限り	これは群代数KGの双対である
コンパクト群上の代表関数	コンパクト群G	Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x ^−1 )	はい	Gがアーベルである場合に限り	逆に、有限ハール積分を持つC上のすべての可換な巻き込み的縮小ホップ代数はこのようにして生じ、タナカ・クライン双対性の1つの定式化を与える。[ 16 ]
代数群上の正規関数		Δ( f )( x , y ) = f ( xy )	ε ( f ) = f (1 G )	S ( f )( x ) = f ( x ^−1 )	はい	Gがアーベルである場合に限り	逆に、体上のすべての可換ホップ代数はこのようにして群スキームから生じ、カテゴリの反同値性を与える。[ 17 ]
テンソル代数T( V )	ベクトル空間V	Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x、x がVにあるとき、 Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε ( x ) = 0	S ( x ) = − x 'T ^1 ( V ) 内のすべてのxに対して（および高次のテンソル冪に拡張）	dim( V )=0,1の場合にのみ	はい	対称代数と外積代数（テンソル代数の商）もホップ代数であり、この余乗法、余単位元、反対称の定義に従う。
普遍包絡代数U(g)	リー代数g	Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x （ gのすべてのxについて）（この規則は交換子と互換性があるため、 U全体に一意に拡張できます）	gのすべてのxに対してε ( x ) = 0 （これもUに拡張）	S ( x ) = − x	gがアーベルである場合に限り	はい
スウィードラーのホップ代数H = K [ c , x ]/ c ^2 = 1、x ^2 = 0、xc = − cx。	Kは2とは異なる特性を持つ体である	Δ( c ) = c ⊗ c、Δ( x ) = c ⊗ x + x ⊗ 1、Δ(1) = 1 ⊗ 1	ε ( c ) = 1 かつε ( x ) = 0	S ( c ) = c ^−1 = cかつS ( x ) = − cx	いいえ	いいえ	基礎となるベクトル空間は {1, c , x , cx } によって生成されるため、次元は 4 になります。これは、非可換かつ非共可換なホップ代数の最小の例です。
対称関数の環[ 18 ]		完全同次対称関数h k ( k ≥ 1) に関して： Δ( h k ) = 1 ⊗ h k + h 1 ⊗ h k −1 + ... + h k −1 ⊗ h 1 + h k ⊗ 1.	ε ( h k ) = 0	S ( h k ) = (−1) ^k e k	はい	はい

有限群上の関数は群環と同一視できますが、より自然には双対として考えることができます。群環は有限の要素の和で構成され、したがって、和された要素上の関数を評価することによって、群上の関数と対になります。

リー群のコホモロジー

リー群のコホモロジー代数（体上）はホップ代数である。乗算はカップ積によって提供され、コ乗算は ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H^{*}(G,K)\rightarrow H^{*}(G\times G,K)\cong H^{*}(G,K)\otimes H^{*}(G,K)}$

群の乗法によって。この観察は、実はホップ代数の概念の源泉となった。ホップはこの構造を用いて、リー群のコホモロジー代数の構造定理を証明した。 ${\displaystyle G\times G\to G}$

定理（ホップ）^{[ 19 ]}を特性0の体上の有限次元、次数可換、次数共可換ホップ代数とする。すると（代数として）は奇数次数の生成元を持つ自由外代数となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

量子群と非可換幾何学

上記の例のほとんどは、可換（つまり、乗算が可換）または共可換（つまり、^{[ 20 ]} Δ = T ∘ Δ で、ツイスト マップ^{[ 21 ]} T : H ⊗ H → H ⊗ HがT ( x ⊗ y ) = y ⊗ xで定義される）です。その他の興味深いホップ代数は、例 3 の可換でも共可換でもない特定の「変形」または「量子化」です。これらのホップ代数は、しばしば量子群と呼ばれますが、この用語はまだ緩く定義されています。これらは非可換幾何学において重要であり、その考え方は次のとおりです。標準的な代数群は、正則関数の標準的なホップ代数によって適切に記述されます。このホップ代数の変形版は、ある「非標準的」あるいは「量子化された」代数群（これは代数群ではない）を記述するものと考えることができます。これらの非標準的対象を直接定義したり操作したりする方法はないように思われますが、それでもホップ代数を扱うことは可能であり、実際、ホップ代数と同一視されています。そのため、「量子群」と呼ばれます。

表現論

Aをホップ代数とし、MとNをA加群とする。すると、M⊗NもA加群となり、

${\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n)}$

m ∈ M、n ∈ N、 Δ( a ) = ( a ₁ , a ₂ )に対して、自明な表現を基底体Kとして 定義することができる。

${\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}$

m ∈ Kに対して、 Aの双対表現を定義することができる。MがA -加群で、M*がその双対空間であるとき、

${\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m)}$

ここでf ∈ M*かつm ∈ Mである。

Δ、ε、 Sの関係は、ベクトル空間の特定の自然準同型がA加群の準同型であることを保証する。例えば、ベクトル空間M → M ⊗ KとM → K ⊗ Mの自然同型は、 A加群の同型でもある。また、ベクトル空間M* ⊗ M → Kのf ⊗ m → f ( m )による写像もA加群の準同型である。しかし、写像M ⊗ M* → Kは必ずしもA加群の準同型とは限らない。

関連概念

次数付きホップ代数は代数位相幾何学でよく使用されます。これは、H 空間のすべてのホモロジー グループまたはコホモロジーグループの直和上の自然な代数構造です。

局所コンパクト量子群はホップ代数を一般化し、位相を持つ。リー群上の連続関数全体の代数は局所コンパクト量子群である。

準ホップ代数はホップ代数の一般化であり、共結合性はねじれに対してのみ成立する。クニジニク・ザモロドチコフ方程式の研究に用いられてきた。^{[ 22 ]}

^{1994年にアルフォンス・ファン・ダーレ[ 23 ]}によって導入された乗数ホップ代数は、ホップ代数の一般化であり、代数（単位付きまたは単位なし）から、その代数とそれ自身のテンソル積代数の乗数代数への共乗が行われる。

2000 年に VG Turaev によって導入されたホップ群 (コ) 代数もホップ代数の一般化です。

弱ホップ代数

弱ホップ代数、あるいは量子群はホップ代数の一般化である。ホップ代数と同様に、弱ホップ代数は自己双対な代数クラスを形成する。すなわち、Hが（弱）ホップ代数ならば、H上の線型形式の双対空間であるH *も（ Hとその余代数-代数構造との自然な対から得られる代数-余代数構造に関して）ホップ代数となる 。弱ホップ代数Hは通常、

• ホップ代数の公理をすべて満たす、余積 Δ: H → H ⊗ H と余単位 ε: H → kを持つ有限次元代数と余代数。ただし、 H内の何らかのa,bに対して Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 または ε( ab ) ≠ ε( a )ε( b )となる可能性は除く。代わりに以下が必要である。

${\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)}$

${\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}$

H内のすべてのa、b、cについて。

• Hには弱められた対掌体S : H → H があり、次の公理を満たす:

1. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}\epsilon (a1_{(2)})}$ Hのすべてのaに対して（右辺は、通常 Π ^R ( a ) または ε _s ( a ) で表される興味深い射影であり、そのイメージはH ^RまたはH _sで表される分離可能な部分代数である）。
2. ${\displaystyle a_{(1)}S(a_{(2)})=\epsilon (1_{(1)}a)1_{(2)}}$ Hのすべてのaに対して（別の興味深い射影で、通常は Π ^R ( a ) または ε _t ( a ) で表され、像は分離代数H ^LまたはH _tで、 Sを介してH ^Lと反同型である）
3. ${\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a)}$ H内のすべてのaについて。

Δ(1) = 1 ⊗ 1の場合には、これらの条件はホップ代数の対蹠上の2つの通常の条件に簡約されることに注意する。

公理は部分的に、 H -加群の圏が剛体モノイド圏となるように選択される。単位H -加群は、上述の 可分代数H ^{Lである。}

例えば、有限群代数は弱ホップ代数である。特に、[n]上の群代数で、[ n ]においてiとj の間に一組の可逆な矢印e _ijとe _jiを持つものは、 n x n行列の代数Hと同型である。この特定のH上の弱ホップ代数構造は、余積Δ( e _ij ) = e _ij ⊗ e _ij、余単位ε( e _ij ) = 1、対掌体S ( e _ij ) = e _jiで与えられる。可分部分代数H ^LとH ^Rは一致し、この特定の場合（対角行列の部分代数）では非中心可換代数である。

^{弱ホップ代数への初期の理論的貢献は[ 24 ]}と^{[ 25 ]}に見られる。

ホップ代数

ホップ代数を参照

グループとの類似性

群はホップ代数と同じ図式（つまり演算）で公理化できる。ただし、Gは加群ではなく集合とみなされる。この場合、

• K体は1点集合に置き換えられる
• 自然な共単位が存在する（1点にマップ）
• 自然な共乗法（対角写像）が存在する
• 単位はグループの単位元である
• 乗算はグループ内の乗算です
• 対蹠は逆である

この考え方では、群は「 1つの元を持つ体」上のホップ代数として考えることができる。^{[ 26 ]}

編組モノイド圏におけるホップ代数

ホップ代数の定義は、任意の編組モノイドカテゴリに自然に拡張される。^{[ 27 ] [ 28 ]}このようなカテゴリのホップ代数は、が 内のオブジェクトであり、 ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon ,S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \nabla :H\otimes H\to H}$ （乗算）、

${\displaystyle \eta :I\to H}$ （ユニット）、

${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes H}$ （共乗）、

${\displaystyle \varepsilon :H\to I}$ （コユニット）、

${\displaystyle S:H\to H}$ （対蹠）

— は、 ${\displaystyle C}$

1) 三つ組はモノイドカテゴリのモノイドである。つまり、次の図は可換である。^{[ b ]}${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

2) 三つ組はモノイドカテゴリのコモノイドである。つまり、次の図は可換である。^{[ b ]}${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

3) 上のモノイドとコモノイドの構造は両立する: 乗法と単位はコモノイドの射であり、同時に (この状況ではこれは同値である) 余乗法と余単位はモノイドの射である; これは次の図が可換でなければならないことを意味する:${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

ここで、 は における左単位射であり、 はカテゴリ における構造変換 (結合性、左単位と右単位、転置、およびそれらの逆) から構成される関数の自然変換のクラスで一意である関数の自然変換です。${\displaystyle \lambda _{I}:I\otimes I\to I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes (C\otimes D){\stackrel {\theta }{\rightarrowtail }}(A\otimes C)\otimes (B\otimes D)}$ ${\displaystyle C}$

1)、2)、3) の性質を持つ五つ組は、カテゴリの双代数と呼ばれます。 ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

4) 対蹠図は可換である:

代表的な例は以下のとおりです。

• グループ。集合のモノイドカテゴリ（直積をテンソル積、任意の単音、たとえばを単位対象とする）では、3 つ組がカテゴリカルな意味でのモノイドである場合と、通常の代数的な意味でのモノイドである場合、つまり、演算と がにおける通常の乗算​​や単位演算のように振舞う場合（ただし、要素 の可逆性はない可能性がある）は、3 つ組がカテゴリカルな意味でのコモノイドである場合に限ります。同時に、3 つ組がカテゴリカルな意味でのコモノイドである場合と、は対角演算である場合（かつ、演算 も一意に定義される： ）に限ります。そして、そのようなコモノイドの構造は、定義のセクション 3 の図が常に可換であるという意味で、任意のモノイドの構造と互換性があります。系として、の各モノイドは自然にの双代数と見なすことができ、その逆も同様です。そのような双代数の反対称体の存在は、すべての要素に乗算 に関する逆元が存在することを意味します。したがって、集合のカテゴリでは、ホップ代数はまさに通常の代数の意味での群です。${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle \eta (1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta (x)=(x,x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon (x)=\varnothing }$ ${\displaystyle (H,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$ ${\displaystyle S:H\to H}$ ${\displaystyle (H,\nabla ,\eta ,\Delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle x^{-1}\in H}$ ${\displaystyle \nabla (x,y)=x\cdot y}$ ${\displaystyle ({\text{Set}},\times ,1)}$
• 古典的なホップ代数。が与えられた体上のベクトル空間のカテゴリである特別な場合において、 のホップ代数はまさに上で説明した古典的なホップ代数である。${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,s,I)}$
• 群上の関数代数。群上の標準的な関数代数 、、、（連続、滑らか、正則、正則関数）は、ステレオタイプ空間のカテゴリ（Ste、）のホップ代数である^{[ 29 ]。}${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(G)}$ ${\displaystyle \odot }$
• 群代数。群上のステレオタイプ群代数 、、、（測度、超関数、解析関数、カレント）は、ステレオタイプ空間のカテゴリ（ Ste、）のホップ代数である。^{[ 29 ]}これらのホップ代数は、非可換群の双対性理論で用いられる。^{[ 30 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$ ${\displaystyle \circledast }$

参照

• 準三角ホップ代数
• 代数/集合の類推
• ホップ代数の表現論
• リボンホップ代数
• 超代数
• スーパーグループ
• 任意リー代数
• スウィードラーのホップ代数
• 順列のホップ代数
• ミルナー・ムーアの定理

注釈と参考文献

注記

1. Gの有限性は、 K ^G ⊗ K ^GがK ^{G x G}と自然に同型であることを意味する。これは、上記の共乗法の式で使用されている。無限群Gに対して、 K ^G ⊗ K ^GはK ^{G x G}の真部分集合である。この場合、有限台を持つ関数の空間はホップ代数構造を持つことができる。
2. ここで、、は結合法則の自然変換であり、モノイドカテゴリの左単位と右単位の自然変換である。${\displaystyle \alpha _{H,H,H}:(H\otimes H)\otimes H\to H\otimes (H\otimes H)}$ ${\displaystyle \lambda _{H}:I\otimes H\to H}$ ${\displaystyle \rho _{H}:H\otimes I\to H}$ ${\displaystyle (C,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho ,\gamma )}$

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