モデル理論

数理論理学において、モデル理論は、形式理論（数学的構造についての言明を形式言語で表現した文の集まり）とモデル（理論の言明が成り立つ構造）との関係を研究する学問である。 ^{[ 1 ]}研究対象となる側面には、理論のモデルの数と大きさ、異なるモデル同士の関係、形式言語自体との相互作用などがある。特に、モデル理論家は、理論のモデルで定義できる集合、およびそのような定義可能な集合同士の関係も研究する。独立した学問分野としてのモデル理論は、 1954年の著書で「モデル理論」という用語を初めて使用したアルフレッド・タルスキに遡る。 ^{[ 2 ]} 1970年代以降、この分野はサハロン・シェラの安定性理論 によって決定的に形作られてきた。

証明理論などの数理論理学の他の分野と比較すると、モデル理論は形式的な厳密さをあまり重視せず、その精神は古典数学に近いことが多い。このことから、「証明理論が神聖なものならば、モデル理論は俗なもの」というコメントが生まれた。^{[ 3 ]}代数幾何学やディオファントス幾何学 へのモデル理論の応用は、代数幾何学とモデル理論の結果や手法の統合を伴うことが多く、古典数学とのこの近さを反映している。したがって、証明理論は本質的に統語論的であるのに対し、モデル理論は本質的に意味論的である。

概要

このページでは有限一次モデル理論に焦点を当てます。

モデル内の定義可能な集合のクラスに対する理論のモデルのクラスへの相対的な重点は、この分野の歴史の中で変動しており、2 つの方向性はそれぞれ 1973 年と 1997 年の簡潔な特徴付けによって要約されています。

モデル理論=普遍代数+論理^{[ 1 ]}

ここで、普遍代数は数学的構造を表し、論理は論理理論を表します。

モデル理論=代数幾何学−場。

ここで、論理式と定義可能集合の関係は、体上の多様体に対する方程式の関係と同じである。^{[ 4 ]}

それでもなお、モデルのクラスとそれらに定義可能な集合との相互作用は、モデル理論の発展においてその歴史を通じて極めて重要であった。例えば、安定性はもともと、与えられた濃度におけるモデルの数によって理論を分類するために導入されたが、安定性理論は定義可能な集合の幾何学を理解する上で極めて重要であることが証明された。

第一階モデル理論の基本概念

一階論理

一階述語論理式は、ブール接続詞と量指定子または接頭辞を用いて、またはなどの原子論理式から構築されます。文とは、変数の各出現が対応する量指定子のスコープ内にある論理式です。論理式の例としては、（または が内の非束縛変数であることを示す）や（または）が挙げられ、これらは以下のように定義されます。 ${\displaystyle R(f(x,y),z)}$ ${\displaystyle y=x+1}$ ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$ ${\displaystyle \forall v}$ ${\displaystyle \exists v}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}}$

（等号はここでは二重の意味を持つことに注意してください。）このような式を数学的な意味に翻訳する方法は直感的に明らかです。例えば、自然数の半環 を、加算と乗算の2項関数と自然数の0と1の定数を持つ構造として見ると、元が式 を満たすのは、 が素数である場合に限ります。式 は同様に既約性を定義します。タルスキは、充足関係 に対して「タルスキの真理の定義」と呼ばれる厳密な定義を与えました。これにより、次の式は簡単に証明できます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$ は素数です。

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$ は削減不可能です。

文の集合は（一階）理論と呼ばれ、集合内の文を公理とする。理論は、集合内のすべての文を満たすモデル、すなわち（適切なシグネチャを持つ）構造を持つ場合、充足可能となる。完全理論とは、すべての文またはその否定を含む理論である。ある構造によって充足されるすべての文の完全理論は、その構造の理論とも呼ばれる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$ ${\displaystyle T}$

ゲーデルの完全性定理（彼の不完全性定理と混同しないこと）の帰結として、理論がモデルを持つためには、それが無矛盾であること、つまり理論によって矛盾が証明されないことが必要である。したがって、モデル理論家はしばしば「無矛盾」を「充足可能」の同義語として用いる。

基本的なモデル理論的概念

シグネチャまたは言語とは、各シンボルが定数シンボル、または指定されたアリティを持つ関数シンボルまたは関係シンボルのいずれかである非論理シンボルの集合です。一部の文献では、定数シンボルはアリティが0の関数シンボルとみなされ、省略されていることに注意してください。構造とは、シグネチャの各シンボルを関係および関数として解釈する集合です（ある構造を別の構造に「解釈」するという正式な概念と混同しないでください）。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

例：順序付き環の一般的なシグネチャは です。ここで、とは0項関数記号（定数記号とも呼ばれる）、は2項（=2項）関数記号、は1項（=1項）関数記号、 は2項関係記号です。これらの記号を における通常の意味に対応するように解釈すると（例えば はから への関数であり、は の部分集合である）、構造 が得られます。 ${\displaystyle \sigma _{or}=(0,1,+,\times ,-,<)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{or})}$

構造は、の各文がに対して以前に指定されたシグネチャの解釈に関して で真である場合、指定された言語の 1 階述語文のセットをモデル化すると言われます。(繰り返しますが、ある構造の別の構造での「解釈」という正式な概念と混同しないでください)のモデルは、 をモデル化する構造です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

σ-構造の部分構造 とは、その定義域の部分集合であり、そのシグネチャσのすべての関数に関して閉じている。σ-構造は、σ内のすべての関数と関係をその部分集合に制限することによってσ-構造とみなされる。これは代数学における類似の概念を一般化するものである。例えば、部分群は、乗法と逆関数を含むシグネチャの部分構造である。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

部分構造が基本的であるとは、任意の一階論理式 と任意の要素a ₁ , ..., a _n に対して、 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$ の場合に限ります。${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

特に、 が文であり の基本部分構造である場合、 が 成り立つのは の場合のみである 。したがって、 の基本部分構造は、まさに上部構造がモデルであるときに、理論のモデルとなる。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$

例:代数的数体 は複素数体 の基本的な部分構造ですが、有理数体 はそうではありません。これは、「2 の平方根が存在する」という文を は満たすがは満たさない一階述語文として表現できるためです。 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

σ-構造から別のσ-構造への埋め込みとは、領域間の写像f : A → Bであり、の部分構造を持つの同型写像として表される。もしそれが の基本部分構造を持つ同型写像として表せる場合、それは 基本埋め込みと呼ばれる。すべての埋め込みは単射準同型写像であるが、逆は群や体のようにシグネチャに関係記号が含まれていない場合にのみ成立する。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

体またはベクトル空間は、その構造の一部を無視するだけで（可換）群とみなすことができます。モデル理論における対応する概念は、構造を元のシグネチャの部分集合に縮約する概念です。逆の関係は展開と呼ばれます。例えば、有理数の（加法）群は、シグネチャ{+,0}の構造とみなされ、シグネチャ{×,+,1,0}を持つ体、またはシグネチャ{+,0,<}を持つ順序付き群に展開できます。

同様に、σ'が別のシグネチャσを拡張するシグネチャである場合、完全なσ'-理論は、その文の集合とσ-論理式の集合との交差によってσに限定される。逆に、完全なσ-理論はσ'-理論とみなすことができ、それを（複数の方法で）完全なσ'-理論に拡張することができる。この関係にも、縮約と拡張という用語が適用されることがある。

コンパクト性とレーヴェンハイム・スコーレム定理

コンパクト性定理は、文集合Sが充足可能であるためには、Sのすべての有限部分集合が充足可能である必要があることを述べています。充足可能ではなく整合的である類似の記述は自明です。なぜなら、すべての証明は証明において有限個の前提しか持つことができないからです。完全性定理は、これを充足可能性に転用することを可能にします。しかし、コンパクト性定理には直接的な（意味論的な）証明もいくつかあります。系（すなわち、その対偶）として、コンパクト性定理は、すべての充足不可能な一階理論は有限個の充足不可能な部分集合を持つと述べています。この定理は、「コンパクト性によって」という表現が一般的に使用されるモデル理論において中心的な重要性を持っています。^{[ 5 ]}

第一階モデル理論のもう一つの基礎は、レーヴェンハイム・スコーレム定理である。この定理によれば、可算シグネチャ内のあらゆる無限構造は、可算な基本部分構造を持つ。逆に、任意の無限基数 κ に対して、κ 未満の基数を持つ可算シグネチャ内のあらゆる無限構造は、別の基数 κ の構造に基本的に埋め込むことができる（非可算シグネチャへの直接的な一般化がある）。特に、レーヴェンハイム・スコーレム定理は、無限モデルを持つ可算シグネチャ内のあらゆる理論は、可算モデルと任意の大きさのモデルを持つことを意味する。^{[ 6 ]}

リンドストロームの定理によって明確にされたある意味では、第一階述語論理は、レーヴェンハイム・スコーレムの定理とコンパクト性定理の両方が成り立つ最も表現力豊かな論理である。^{[ 7 ]}

定義可能性

定義可能な集合

モデル理論では、定義可能集合は重要な研究対象である。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1}$

は素数のサブセットを定義し、式

${\displaystyle \exists y(2\times y=x)}$

は偶数の部分集合を定義します。同様に、n個の自由変数を持つ式は の部分集合を定義します。例えば、体において、式 ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$

${\displaystyle y=x\times x}$

は、 となるすべての曲線を定義します。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

ここで述べた定義はどちらもパラメータフリーである。つまり、定義式は固定されたドメイン要素を一切含まない。しかし、モデル からパラメータを得た定義も考えられる。例えば、 では、式 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y=x\times x+\pi }$

曲線を定義するためにパラメータfromを使用する。 ^{[ 8 ]}${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

数量詞の削除

一般的に、量指定子のない定義可能集合は記述しやすいが、入れ子になった量指定子を含む定義可能集合ははるかに複雑になる可能性がある。^{[ 9 ]}

このため、量指定子除去は定義可能集合を解析するための重要なツールとなる。理論Tが量指定子除去を持つとは、そのシグネチャ上のすべての一階述語論理式φ ( x ₁ , ..., x _n )が、 Tを法として量指定子のない一階述語論理式ψ ( x ₁ , ..., x _n )と等価である、すなわちTのすべてのモデルで成り立つ場合である。^{[ 10 ]} 構造の理論に量指定子除去がある場合、その構造で定義可能なすべての集合は、元の定義と同じパラメータ上で量指定子のない論理式によって定義可能である。たとえば、シグネチャσ_環= (×,+,−,0,1)の代数的閉体の理論には量指定子除去がある。^{[ 11 ]}これは、代数的閉体ではすべての論理式が多項式間の方程式のブール結合と等価であることを意味する。 ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

理論が量化子除去を持たない場合、そのシグネチャに追加の記号を加えることで量化子除去を持つようにすることができます。特定の理論、特に代数学における公理可能性と量化子除去の結果は、モデル理論の初期の画期的な成果の一つでした。^{[ 12 ]}しかし、量化子除去の代わりに、より弱い性質で十分な場合がよくあります。

理論Tがモデル完全であるとは、Tのモデル自体が T のモデルであるTのモデルのすべての部分構造が基本部分構造であるときをいう。部分構造が基本部分構造であるかどうかをテストするための有用な基準として、タルスキ・ヴォートテストがある^{[ 6 ]}。この基準から、理論Tがモデル完全であるためには、そのシグネチャ上のすべての一階述語論理式φ ( x ₁ , ..., x _n )がTを法として存在一階述語論理式、すなわち次の形式の論理式と同値である必要がある。

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$ 、

ここで、ψは量化子フリーである。モデル完備でない理論は、モデル完備を持つことがある。これは、一般に元の理論の拡張ではない、関連するモデル完備理論である。より一般的な概念は、モデルコンパニオンである。^{[ 13 ]}

ミニマリズム

あらゆる構造に​​おいて、すべての有限部分集合はパラメータで定義できる。次の式を使うだけでよい。 ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee x=a_{n}}$ 。

この式を否定できるため、すべてのコ有限サブセット (ドメインの有限個以外のすべての要素を含む) も常に定義可能です。

このことから極小構造の概念が導かれる。構造は、からのパラメータで定義可能なすべての部分集合が有限か余有限である場合に極小と呼ばれる。理論レベルでの対応する概念は強極小性と呼ばれる。理論Tは、 Tのすべてのモデルが極小である場合に強極小と呼ばれる。構造は、その構造の理論が強極小である場合に強極小と呼ばれる。同様に、すべての基本拡張が極小である場合に、構造は強極小である。代数閉体の理論には量指定子除去があるため、代数閉体のすべての定義可能な部分集合は、1 変数の量指定子のない式によって定義できる。1 変数の量指定子のない式は、1 変数の多項式ブール結合を表現し、1 変数の非自明な多項式は有限個の解しか持たないため、代数閉体の理論は強極小である。^{[ 14 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

一方、実数体は最小ではない。例えば、定義可能集合を考えてみよう。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\exists y(y\times y=x)}$ 。

これは非負実数の有限でも余有限でもない部分集合を定義する。実際、を使って実数直線上の任意の区間を定義することができる。これらは の定義可能なすべての部分集合を表すのに十分であることがわかる。^{[ 15 ]} この極小性の一般化は、順序構造のモデル理論において非常に有用である。の順序関係の記号を含むシグネチャにおける稠密全順序構造は、 からのパラメータで定義可能なすべての部分集合が点と区間の有限和である場合、o-極小と呼ばれる。 ^{[ 16 ]}${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

定義可能かつ解釈可能な構造

特に重要なのは、部分構造でもある、つまりすべての定数を含み、関数適用に関して閉じている、定義可能集合です。例えば、ある群の定義可能部分群を研究することができます。しかし、同じシグネチャの部分構造に限定する必要はありません。n 個の自由変数を持つ式は の部分集合を定義するため、n項関係も定義可能です。関数は、関数グラフが定義可能関係である場合に定義可能であり、定数は、が真となる の唯一の元であるような式がある場合に定義可能です。このようにして、例えば、幾何学的安定性理論で重要であった一般構造における定義可能群や体の研究を行うことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (a)}$

さらに一歩進んで、直接的な部分構造を超えることもできる。数学的構造が与えられた場合、同値関係を介して元の構造の一部を商として構成できる関連構造がしばしば存在する。重要な例として、群の商群が挙げられる。構造全体を理解するには、これらの商を理解しなければならないと言えるだろう。同値関係が定義可能であれば、前の文に正確な意味を与えることができる。このような構造は解釈可能であると言える。重要な事実は、解釈される構造の言語から元の構造の言語に文を翻訳できるということである。したがって、ある構造が、その理論が決定不可能な別の構造を解釈する場合、それ自体も決定不可能であることを示すことができる。 ^{[ 17 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

種類

基本的な概念

構造 の要素の列と の部分集合Aに対して、が満たすAのパラメータを持つすべての一階論理式全体の集合を考えることができます。これは、 がA 上で実現する完全(n)型と呼ばれます。の自己同型が存在し、がA上で定数であり、が にそれぞれ送出する場合、 と はA 上で同じ完全型を実現します。 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

実数直線 は、順序関係 {<} のみを持つ構造として捉えられ、このセクションでは実行例として取り上げます。すべての要素は、空集合上で同じ 1-型を満たします。任意の 2 つの実数aとb は、すべての数をbaだけシフトする順序自己同型によって結び付けられているため、これは明らかです。数のペアによって実現される空集合上の完全な 2-型は、それらの順序、つまり、 、またはに依存します。整数の部分集合上では、非整数の実数aの 1-型は、最も近い整数に切り捨てられた値に依存します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$

より一般的には、が構造でA がのサブセットである場合、 A上の（部分的な） n 型は、の基本拡張で実現される最大n個の自由変数を持つ式pの集合です。p がそのような式またはその否定をすべて含んでいる場合、pは完全です。 A上の完全なn型の集合は、しばしば と表記されます。Aが空集合である場合、型空間はの理論のみに依存します。 という表記法は、と一致する空集合上の型の集合に対して一般的に使用されます。の理論からpのすべての式に対して が成り立つような単一の式がある場合、pは孤立 と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}^{\mathcal {M}}(A)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle S_{n}(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

実数はアルキメデスの定理に従うため、任意の整数よりも大きい実数は存在しない。しかし、コンパクト性の議論から、実数直線の基本拡張が存在し、その中に任意の整数よりも大きい元が存在することが示される。したがって、この式の集合は、実数直線上では実現されない1型上に存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

A上のある型を実現する要素と全く同じように表現できる の部分集合を、A上型定義可能と呼ぶ。代数的な例として、 を代数的に閉体と仮定する。この理論には量化子除去法がある。これにより、型はそれに含まれる多項式方程式によって正確に決定されることを示すことができる。したがって、部分体上の完全 -型の集合は多項式環の素イデアルの集合に対応し、型定義可能集合はまさにアフィン多様体である。^{[ 18 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

構造と種類

すべての型がすべての構造体で実現されるわけではありませんが、すべての構造体は孤立型を実現します。空集合上の型のうち、構造体で実現されるのが孤立型のみである場合、その構造体はアトミックと呼ばれます。

一方、あらゆるパラメータ集合上であらゆる型を実現する構造は存在しません。 の全体をパラメータ集合とすると、 上で実現されるすべての 1 型は、に対してa = xという形式によって分離されます。しかし、 の適切な基本拡張には、に含まれない要素が含まれます。そのため、実現が期待されるすべての型を実現する構造という考え方を捉える、より弱い概念が導入されました。構造は、それ自身 よりも小さい濃度のパラメータ集合上ですべての型を実現する場合、飽和していると呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

A上で定数である自己同型は常にA上の型を保存しますが、 A上で同じ型を満たす任意の2つの列とがそのような自己同型によって互いに写像できるというのは、一般的には当てはまりません。より小さい基数を持つすべてのAに対してこの逆が成り立つ構造は、（強）同質と呼ばれます。 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

実数直線は、 の順序のみを含む言語においては原子的である。なぜなら、において によって実現される空集合上の すべてのn型は、 と の間の順序関係によって分離されている からである。しかし、実数直線は飽和していない。なぜなら、 x が任意の整数よりも大きいことを意味する可算集合上の 1 型を実現していないからである。これとは対照的に、 有理数直線 は飽和している。はそれ自体が可算であり、したがって飽和するには有限部分集合上の型を実現すればよいからである。^{[ 19 ]}${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

石の空間

いくつかのパラメータ上の の定義可能な部分集合の集合はブール代数である。ブール代数に対するストーンの表現定理により、上の完全な -型のみからなる自然な双対位相空間が存在する。単一の式 に対して 形式の集合によって生成される位相。これはA 上の n-型のストーン空間と呼ばれる。^{[ 20 ]} この位相はモデル理論で使用される用語の一部を説明する。コンパクト性定理によれば、ストーン空間はコンパクトな位相空間であり、型pが孤立している場合と、 pがストーン位相で孤立点である 場合とでは、その限りである。${\displaystyle {\mathcal {M}}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$ ${\displaystyle \varphi }$

代数的に閉体上の型は多項式環のスペクトルに対応するが、型空間上の位相は構成可能位相である。すなわち、型の集合が基本開集合であるためには、それが の形式か の形式をとる必要がある。これはザリスキー位相よりも細かい。^{[ 21 ]}${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$ ${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

モデルの構築

型の実現と省略

特定の型を実現し、他の型を実現しないモデルを構築することは、モデル理論における重要な課題です。型を実現しないことは「省略」と呼ばれ、一般に「（可算）省略型定理」によって可能です。

を可算なシグネチャの理論とし、を空集合上の非孤立型の可算な集合とします。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

次に、のすべての型を省略したのモデルがあります。^{[ 22 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

これは、可算シグネチャの理論が空集合に対して可算な数だけの型を持つ場合、この理論には原子モデルがあることを意味します。

一方、固定されたパラメータセット上の任意の型のセットが実現される基本的な拡張が常に存在します。

を構造体とし、を与えられたパラメータ集合上の完全な型の集合とする。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}.}$

すると、のあらゆる型を実現するの基本拡張が存在する。^{[ 23 ]}${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

しかし、パラメータ集合は固定されており、 の濃度についてはここでは言及されていないため、これはすべての理論が飽和モデルを持つことを意味するものではない。実際、すべての理論が飽和モデルを持つかどうかは、ツェルメロ-フランケル集合論の公理とは独立であり、一般化連続体仮説が成り立つ場合に真となる。^{[ 24 ]}${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

ウルトラプロダクツ

超積は、特定の型を実現するモデルを構築するための一般的な手法として用いられる。超積は、インデックス集合I上の構造の直積から、ほぼすべての要素が一致する組を特定することによって得られる。ここで、ほぼすべての要素はI上の超フィルタUによって明確にされる。同じ構造のコピーの超積は、超べき乗と呼ばれる。モデル理論において超積を用いる鍵となるのは、ウォシュの定理である。

を添え字集合Iで添え字付けされたσ構造の集合とし、U をI上の超フィルタとする。このとき、任意のσ式は、 の超積において、 に対してがUに含まれるすべての集合であるとき真となる。^{[ 25 ]}${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle \varphi ([(a_{i})_{i\in :I}])}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i})}$

特に、ある理論のモデルの任意の超積は、それ自体がその理論のモデルであり、したがって、2つのモデルが同型の超積を持つ場合、それらは素的に同値である。Keisler -Shelahの定理は逆定理を提供する。

MとNが本質的に同値ならば、集合IとI上の超フィルターUが存在し、 UによるMとNの超冪は同型である。^{[ 26 ]}

したがって、超積は、一階理論に全く言及することなく、基本同値性について議論する方法を提供する。コンパクト性定理などのモデル理論の基本定理は、超積を用いた代替証明を有し^{[ 27 ]}、また、超積は飽和基本拡張が存在する場合には、それを構成するために用いることができる^{[ 24 ] 。}

カテゴリー

理論は元々、同型性を除いて構造を決定する場合、圏論的と呼ばれていました。しかし、第一階述語論理の表現力に重大な制約があるため、この定義は有用ではないことが判明しました。レーヴェンハイム・スコーレムの定理は、理論T が任意の無限基数に対して無限モデルを持つ場合、十分に大きな任意の基数κに対してサイズκのモデルを持つことを意味します。異なるサイズの2つのモデルが同型になることはあり得ないため、圏論的理論によって記述できるのは有限構造のみです。

しかし、基数κに対するκ -圏性というより弱い概念は、モデル理論における重要な概念となっている。理論Tがκ -圏的であるとは、 Tの任意の2つのモデルが基数κで同型であることを意味する。κ -圏性の問題は、κ が言語の基数（すなわち、| σ |はシグネチャの基数）よりも大きいかどうかに決定的に依存することが分かっている。有限シグネチャまたは可算シグネチャの場合、これはω -基数と非可算κに対するκ -基数の間に根本的な違いがあることを意味する。 ${\displaystyle \aleph _{0}+|\sigma |}$

ω -カテゴリ

ω-カテゴリ理論は、その型空間の特性によって特徴付けることができる。

有限または可算なシグネチャの 完全な第一階理論Tの場合、次の条件は同等です。

1. Tはωカテゴリカルです。
2. S _n ( T )内のすべての型は分離されています。
3. すべての自然数nに対して、S _n ( T ) は有限です。
4. あらゆる自然数nに対して、 n 個の自由変数における式φ ( x ₁ , ..., x _n )の数は、 Tを法とする同値性まで有限である。

の理論はの理論でもあり、空集合上のすべてのn型は間の対順序関係によって分離されるため、 ω -圏論的である。これは、すべての可算稠密線型順序が有理数直線と順序同型であることを意味する。一方、体としての ℚ、 ℝ、 ℂ の理論は-圏論的ではない。これは、これらすべての体において、無限個の自然数のいずれも という形式の式で定義できるという事実から導かれる。 ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$ ${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x=1+\dots +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$ -カテゴリカル理論とその可算モデルも寡相群と強い結びつきを持っています。

有限または可算なシグネチャ内の完全な一階理論Tは、その自己同型群が寡相である場合に限り、ω -カテゴリカルです。

このサブセクションの同等の特徴付けは、Engeler、Ryll-Nardzewski、およびSvenoniusによって独立に説明されており、Ryll-Nardzewskiの定理と呼ばれることもあります。

組み合わせシグネチャでは、 ωカテゴリ理論の一般的なソースは、有限関係構造のクラスのすべての可能な構成を統合する限界として得られる Fraïssé 限界です。

不可算な範疇

マイケル・モーリーは1963年に、可算言語の理論には不可算圏という概念が1つしか存在しないことを示した。^{[ 28 ]}

モーリーの圏定理

有限または可算なシグネチャ内の第一階理論T が、ある非可算基数κに対してκ -カテゴリカルである場合、Tはすべての非可算基数κに対して κ -カテゴリカルです。

モーリーの証明は、無数圏論とモデルの内部構造との深い関連性を明らかにし、それが分類理論と安定性理論の出発点となった。無数圏論的理論は、多くの観点から最も振る舞いの良い理論である。特に、完備な強極小理論は無数圏論的である。これは、与えられた標数の代数閉体の理論が無数圏論的であり、その体の超越次数がその同型型を決定することを示している。

ω -カテゴリカルかつ非可算カテゴリカルな理論は、全カテゴリカルと呼ばれます。

安定性理論

第一階理論のモデルクラスの構造における重要な要素は、安定性階層におけるその位置です。

完全な理論Tが基数に対して-安定であるとは、 Tの任意のモデルと、を超えない基数の任意のパラメータ セットに対して、 A上に最大で完全なT -型が存在する場合である。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

ある理論が安定であるとは、ある無限基数に対して -安定であることを意味する。伝統的に、 -安定である理論は-安定と呼ばれる。^{[ 29 ]}${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

安定性の階層

安定性理論における基本的な結果は安定性スペクトル定理であり、^{[ 30 ]}これは可算な署名内の すべての完全な理論Tが次のいずれかのクラスに分類されることを意味します。

1. Tが-安定であるような基数は存在しません。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$
2. Tが-安定である場合に限ります (の説明については、基数指数を参照してください)。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}=\lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{\aleph _{0}}}$
3. Tは任意の（連続体の濃度）に対して -安定です。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \geq 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

最初のタイプの理論は不安定、2番目のタイプの理論は厳密に安定、3番目のタイプの理論は超安定と呼ばれます。さらに、理論が-安定である場合、それはあらゆる無限基数において安定であるため、^{[ 31 ]} -安定性は超安定性よりも強いです。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

モデル理論における多くの構成は、安定理論に限定すると容易になります。例えば、安定理論のすべてのモデルは、一般化連続体仮説が正しいかどうかに関わらず、飽和した基本拡張を持ちます。^{[ 32 ]}

シェラが安定理論を研究するようになった当初の動機は、可算理論が任意の非可算基数に対していくつのモデルを持つかを決定することであった。^{[ 33 ]} 理論が非可算圏的であれば、それは-安定である。より一般的には、メインギャップ定理は、理論Tが基数 のモデルよりも少ない数を持つような非可算基数が存在する場合、Tは超安定であることを意味する。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

幾何安定性理論

安定性階層は、理論モデル内の定義可能集合の幾何学を解析する上でも重要である。-安定理論において、モーリー階数はモデル内の定義可能集合Sの重要な次元概念である。これは超限帰納法によって定義される。 ${\displaystyle \omega }$

• Sが空でない場合、Morley ランクは少なくとも 0 になります。
• αが後続順序数である場合、 Mのある基本拡張Nにおいて、集合Sに無限個の互いに素な定義可能な部分集合があり、それぞれの順位が少なくともα − 1 である場合、モーリー順位は少なくともα です。
• αが非ゼロの極限順序数である場合、 α未満のすべてのβに対してモーリーランクが少なくともβであれば、モーリーランクは少なくともαです。

すべての定義可能集合が明確に定義されたモーリー階数を持つ理論Tは、完全超越的と呼ばれます。T が可算であれば、 Tが完全超越的であるための必要十分条件は、 Tが -安定である場合です。モーリー階数は、型のモーリー階数をその型の式のモーリー階数の最小値に設定することによって、型に拡張できます。したがって、パラメータセットA上の元aのモーリー階数は、 A上のaの型のモーリー階数として定義される、とも言えます。理論が超安定 ( U 階数) または単に安定 ( シェラーの-階数 )である場合に限り、明確に定義されるモーリー階数類似物もあります。これらの次元の概念は、独立性の概念とジェネリック拡張の概念を定義するために使用できます。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \infty }$

近年、安定性は単純性と「独立性ではない性質」（NIP）に分解されるようになりました。 単純理論とは、独立性の概念を適切に定義できる理論であり、NIP理論はo-極小構造を一般化したものです。理論が安定であるためには、NIPかつ単純であることが必須であるため、これらは安定性と関連しています。^{[ 34 ]}安定性理論の様々な側面が、これらのいずれかのクラスの理論に一般化されています。

非初等モデル理論

モデル理論的結果は、基本クラス、つまり第一階理論によって公理化可能なクラスを超えて一般化されています。

高階論理や無限論理におけるモデル理論は、これらの論理では一般に完全性とコンパクト性が成立しないという事実によって妨げられている。これはリンドストロームの定理によって具体化されており、リンドストロームの定理は、一階論理が本質的にレーヴェンハイム＝スコーレムの定理とコンパクト性が共に成立する最も強い論理であると概説している。しかしながら、これらの論理についてもモデル理論的手法が広く開発されてきた。^{[ 35 ]}しかし、より表現力豊かな論理言語のモデル理論の多くは、ツェルメロ＝フランケル集合論とは独立していることが判明している。^{[ 36 ]}

最近では、完全に安定した圏論的理論への焦点の移行と並行して、論理理論によって公理化されるのではなく、意味論的に定義されるモデルのクラスに関する研究が行われてきました。 1 つの例は、任意に大きな同質モデルの部分構造のクラスを研究する同質モデル理論です。 安定性理論と幾何安定性理論の基本的結果は、この設定に一般化されます。 ^{[ 37 ]} 強極小理論の一般化として、準極小的に優れたクラスとは、定義可能なすべての集合が可算または共可算であるクラスです。これらは、複素指数関数のモデル理論の鍵となります。^{[ 38 ]} 安定性が研究される最も一般的な意味論的枠組みは抽象基本クラスであり、これは基本部分構造の関係を一般化する強い部分構造関係によって定義されます。その定義は純粋に意味論的ですが、すべての抽象基本クラスは、特定の型を省略した第 1 階理論のモデルとして提示できます。 安定性理論の概念を抽象基本クラスに一般化する研究プログラムが進行中です。^{[ 39 ]}

選択されたアプリケーション

モデル理論の初期の成功例には、実閉体、ブール代数、与えられた標数の代数閉体など、代数的に興味深い様々なクラスに対するタルスキの量指定子除去の証明がある。量指定子除去によって、タルスキは、実閉体と代数閉体の一階理論とブール代数の一階理論が決定可能であることを示し、ブール代数を基本同値性まで分類し、与えられた標数の実閉体と代数閉体の理論が一意であることを示すことができた。さらに、量指定子除去は、代数多様体として代数閉体上の定義可能な関係と、半代数集合として実閉体​​上の定義可能な関係の正確な記述を可能にした^{[ 40 ] [ 41 ]。}

1960年代には、超積構成の導入が代数学における新たな応用をもたらした。これには、有限体論が決定可能であることを証明したアックスの擬有限体に関する研究^{[ 42 ]}や、アックスとコッヘンによるアルティンのディオファントス方程式予想の特別なケースとしてのアックス・コッヘン定理の証明^{[ 43 ]}などが含まれる。超積構成はまた、無限小数の厳密な計算を提供することを目的としたアブラハム・ロビンソンによる非標準解析の開発にもつながった^{[ 44 ]}。

近年では、安定性と定義可能集合の幾何学との関連は、代数幾何学やディオファントス幾何学からのいくつかの応用につながりました。例えば、エフード・フルショフスキーによる1996年の幾何学的モーデル＝ラング予想の全特性における証明^{[ 45 ]など}が挙げられます。2001年には、同様の手法を用いてマニン＝マンフォード予想の一般化が証明されました。2011年には、ジョナサン・ピラがo-最小性に関する手法を応用し、モジュラー曲線の積に対するアンドレ＝オールト予想を証明しました ^{[ 46 ] 。}

安定理論をめぐる別の研究の流れの中で、ラスコウスキーは1992年に NIP理論が機械学習理論においてPAC学習可能な定義可能なクラスを正確に記述することを示した。これは、これらの別々の分野間の相互作用につながった。2018年には、ハンターとチェイスが安定理論がオンライン学習可能なクラスに対応することを示したことで、この対応関係は拡張された。^{[ 47 ]}

歴史

モデル理論という学問分野は、20世紀中ごろから存在しており、「モデル理論」という用語は、1954年にルヴ＝ワルシャワ学派の一員であるアルフレッド・タルスキによって造られた。 ^{[ 48 ]}しかし、初期の研究、特に数理論理学においては、振り返ってみるとモデル理論的性質のものであったとみなされることがよくある。^{[ 49 ]}現在モデル理論と呼ばれているものの最初の重要な結果は、1915年にレオポルド・レーヴェンハイムによって発表された下向きのレーヴェンハイム＝スコーレム定理の特殊なケースであった。コンパクト性定理はトラルフ・スコーレムの研究に暗黙的に含まれていたが^{[ 50 ]}、 1930年にクルト・ゲーデルの完全性定理の証明の補題として初めて発表された。レーヴェンハイム＝スコーレム定理とコンパクト性定理は、それぞれ1936年と1941年にアナトリー・マルツェフによって一般形を与えられた。モデル理論が独立した学問分野として発展したのは、戦間期にアルフレッド・タルスキによってもたらされた。タルスキの研究には、論理的帰結、演繹体系、論理代数、定義可能性の理論、真理の意味的定義など、様々なテーマが含まれていた。彼の意味論的手法は、1950年代から60年代にかけて、彼とバークレーの多くの学生によって発展したモデル理論へと結実した。

この分野のさらなる歴史の中で、異なる流れが現れ始め、主題の焦点は変化した。 1960 年代には、超積に関する手法がモデル理論で人気のツールとなった。^{[ 51 ]}同時に、ジェームズ・アックスなどの研究者はさまざまな代数クラスの第 1 階モデル理論を調査し、H・ジェローム・キースラーなどの研究者は第 1 階モデル理論の概念と結果を他の論理システムに拡張していた。 その後、モーリーの問題に触発されて、シェラは安定性理論を開発した。 安定性に関する彼の研究はモデル理論の様相を変え、まったく新しいクラスの概念を生み出した。 これはパラダイム シフトとして知られている。^{[ 52 ]} その後の数十年間で、結果として得られる安定性の階層は、それらのモデルで定義可能な集合の幾何学と密接に関連していることが明らかになり、現在では幾何安定性理論として知られるサブ分野が生まれた。幾何学的モデル理論からの影響力のある証明の例としては、関数体に対するモルデル・ラング予想のフルショフスキーによる証明がある。 ^{[ 53 ]}

数理論理学の関連分野とのつながり

有限モデル理論

有限構造に重点を置く有限モデル理論は、研究対象となる問題と使用される手法の両方において、無限構造の研究とは大きく異なります。^{[ 54 ]}特に、古典的なモデル理論の多くの中心的な結果は、有限構造に限定すると成立しなくなります。これには、コンパクト性定理、ゲーデルの完全性定理、一階述語論理の超積法が含まれます。有限モデル理論と無限モデル理論の接点には、アルゴリズム的または計算可能モデル理論と、 0-1法則の研究があり、そこでは、構造のクラスの一般理論の無限モデルが、有限モデルの分布に関する情報を提供します。^{[ 55 ]} FMTの主な応用分野は、記述的複雑性理論、データベース理論、形式言語理論です。^{[ 56 ]}

集合論

可算言語で表現される集合論は、整合的であれば可算モデルを持つ。これはスコーレムのパラドックスとして知られている。なぜなら、集合論には非可算集合の存在を仮定する文が存在するにもかかわらず、これらの文は可算モデルにおいても真であるからである。特に、連続体仮説の独立性の証明には、モデル内部からは非可算に見えるものの、モデル外部からは可算であるモデル内の集合を考慮する必要がある。^{[ 57 ]}

モデル理論的な視点は集合論において有用である。例えば、クルト・ゲーデルの構成可能宇宙に関する研究では、ポール・コーエンによって開発された強制法と相まって、選択公理と連続体仮説が集合論の他の公理から独立している（これも哲学的に興味深い）ことを証明することができる。 ^{[ 58 ]}

逆の方向では、モデル理論自体はツェルメロ＝フランケル集合論の中で形式化される。例えば、モデル理論の基礎理論（コンパクト性定理など）の発展は選択公理に依存しており、実際には選択のないツェルメロ＝フランケル集合論においてブール素イデアル定理と同値である。^{[ 59 ]}モデル理論におけるその他の結果は、標準的なZFCの枠組みを超えた集合論的公理に依存する。例えば、連続体仮説が成り立つ場合、すべての可算モデルは（自身の基数において）飽和した超冪を持つ。同様に、一般化連続体仮説が成り立つ場合、すべてのモデルは飽和した基本拡張を持つ。これらの結果はどちらもZFCだけでは証明できない。最後に、モデル理論から生じるいくつかの問題（無限論理のコンパクト性など）は、大きな基数の公理と同値であることが示されている。^{[ 60 ]}

参照

• 抽象モデル理論
• 代数理論
• コンパクト性定理
• 記述の複雑さ
• 小学生クラス
• 基本的同値性
• 第一階理論
• 超実数
• 制度モデル理論
• クリプキ意味論
• レーヴェンハイム・スコーレムの定理
• モデル理論的文法
• 証明理論
• 飽和モデル
• スコーレム正規形

注記

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