時系列

時系列: ランダムデータとトレンド、最適な直線とさまざまなフィルターを適用

数学において、時系列とは、時間順にインデックス付け（またはリスト化、あるいはグラフ化）された一連のデータポイントです。一般的に、時系列とは、等間隔で連続する時点におけるデータの列です。つまり、時系列は離散時間データの列です。時系列の例としては、潮汐の高さ、太陽黒点数、ダウ・ジョーンズ工業株平均の終値などが挙げられます。

時系列は、ランチャート（時間的な折れ線グラフ）を用いてプロットされることが多い。時系列は、統計学、保険数理学、信号処理、パターン認識、計量経済学、数理ファイナンス、天気予報、地震予知、脳波測定、制御工学、天文学、通信工学など、時間測定を伴う応用科学・工学のあらゆる分野で広く利用されている。

時系列分析は、時系列データを分析して、データから意味のある統計値やその他の特性を抽出する手法です。時系列予測とは、過去の観測値に基づいて将来の値を予測するモデルを用いることです。一般的に、時系列データは確率過程としてモデル化されます。回帰分析は、1つまたは複数の異なる時系列間の関係性を検証するために用いられることが多いですが、この種の分析は通常「時系列分析」とは呼ばれません。「時系列分析」とは、単一の時系列内の異なる時点間の関係性を指す用語です。

時系列データには自然な時間的順序があります。この点で、時系列分析は、観測値の自然な順序がない横断研究（例えば、個人のデータが任意の順序で入力される可能性がある、それぞれの教育レベルを参照して人々の賃金を説明するなど）とは異なります。また、時系列分析は、観測値が通常地理的な位置に関連する空間データ分析（例えば、住宅価格を場所だけでなく住宅の固有の特徴によって説明するなど）とも異なります。時系列の確率モデルは、通常、時間的に近い観測値は遠い観測値よりも密接に関連しているという事実を反映します。さらに、時系列モデルでは、時間の自然な一方向の順序付けが使用されることが多く、特定の期間の値は将来の値からではなく、何らかの方法で過去の値から派生したものとして表現されます（時間の可逆性を参照）。

時系列解析は、実数値の連続データ、離散数値データ、離散記号データ（英語の文字や単語などの文字列[ 1 ] ）に適用できます。

分析方法

時系列解析の手法は、周波数領域法と時間領域法の2つに分けられます。前者にはスペクトル解析とウェーブレット解析が含まれ、後者には自己相関解析と相互相関解析が含まれます。時間領域では、スケールド相関を用いてフィルタのような方法で相関と解析を行うことができ、周波数領域での操作の必要性が軽減されます。

さらに、時系列分析手法は、パラメトリック手法とノンパラメトリック手法に分けられます。パラメトリック手法では、基礎となる定常確率過程が、少数のパラメータ（例えば、自己回帰モデルや移動平均モデル）を用いて記述できる特定の構造を持っていると仮定します。これらの手法では、確率過程を記述するモデルのパラメータを推定することが課題となります。一方、ノンパラメトリック手法では、過程が特定の構造を持っていると仮定することなく、過程の 共分散またはスペクトルを明示的に推定します。

時系列分析の手法は、線形と非線形、単変量と多変量に分けることもできます。

パネルデータ

時系列はパネル データの一種です。パネル データは一般的な分類で、多次元データ セットですが、時系列データ セットは 1 次元パネルです (横断的データ セットも同様)。データ セットは、パネル データと時系列データの両方の特性を示すことがあります。これを確認する 1 つの方法は、あるデータ レコードを他のレコードと区別するものは何かを調べることです。その答えが時間データ フィールドである場合、これは時系列データ セットの候補です。一意のレコードを判別するために時間データ フィールドと、時間に関連しない追加の識別子 (学生 ID、株式シンボル、国コードなど) が必要な場合は、パネル データ候補です。時間関連以外の識別子によって区別される場合、データ セットは横断的データ セットの候補です。

分析

時系列には、さまざまな目的に適したいくつかのタイプの動機付けとデータ分析が用意されています。

モチベーション

統計学、計量経済学、定量金融学、地震学、気象学、地球物理学の分野では、時系列分析の主な目的は予測です。信号処理、制御工学、通信工学の分野では、信号検出に用いられます。その他の応用分野としては、データマイニング、パターン認識、機械学習があり、時系列分析はクラスタリング、[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]分類、[ 5 ]コンテンツによるクエリ、[ 6 ]異常検出、そして予測にも用いられます。[ 7 ]

探索的分析

1954年から2021年までの米国における結核による死亡の時系列。

規則的な時系列を分析する簡単な方法は、折れ線グラフを使って手動で作成することです。このデータグラフィックは、アメリカ合衆国における結核による死亡者数[ 8 ]を、年次変化と年ごとの変化率とともに示しています。死亡者数は1980年代半ばまで毎年減少していましたが、その後は時折増加が見られ、その割合はしばしば比例的に（ただし絶対的な増加ではない）、かなり大きくなっています。

企業のデータアナリストを対象とした研究では、探索的時系列分析には2つの課題があることがわかりました。それは、興味深いパターンの形状を発見することと、これらのパターンの説明を見つけることです。[ 9 ]時系列データをヒートマップマトリックスとして表現する視覚ツールは、これらの課題を克服するのに役立ちます。

推定、フィルタリング、平滑化

このアプローチは、フーリエ変換を用いた周波数領域における信号の高調波解析とフィルタリング、そしてスペクトル密度推定に基づいていると考えられます。その発展は、第二次世界大戦中に数学者ノーバート・ウィーナー、電気技師ルドルフ・E・カルマン、デニス・ガボールらによって大きく加速され、ノイズからの信号のフィルタリングや特定の時点における信号値の予測に利用されました。

カルマン フィルタの場合と同様に、時間領域でも同等の効果が得られます。その他のテクニックについては、フィルタリングとスムージングを参照してください。

その他の関連技術としては次のようなものがあります。

曲線フィッティング

カーブフィッティング[ 12 ] [ 13 ]は、一連のデータポイント[ 14 ]に最もよく適合する曲線または数学関数を構築するプロセスであり、制約条件[ 15 ] [ 16 ]が適用される場合もあります。カーブフィッティングには、データへの正確な適合が求められる補間[ 17 ] [ 18 ] 、またはデータに近似的に適合する「滑らかな」関数が構築される平滑化[ 19 ] [ 20 ]のいずれかが含まれます。関連するトピックは回帰分析[ 21 ] [ 22 ]であり、これは、ランダム誤差を含む観測データに適合する曲線にどの程度の不確実性が存在するかなど、統計的推論の問題に重点を置いています。フィッティングされた曲線は、データの視覚化を補助するために使用でき、[ 23 ] [ 24 ] 、データがない場合に関数の値を推測したり、[ 25 ]、2つ以上の変数間の関係を要約したりすることができます。[ 26 ]外挿とは、観測データの範囲を超えて近似曲線を使用することを指します。 [ 27 ]外挿は、観測データだけでなく曲線を作成するために使用された方法も反映する可能性があるため、ある程度 の不確実性を伴います。 [ 28 ]

成長方程式

一般的に規模が大きくなることが予想されるプロセスの場合、パラメータを推定することで、グラフ内の曲線の 1 つ (および他の多くの曲線) を当てはめることができます。

経済時系列の構築には、ある日付におけるいくつかの構成要素を、それ以前の日付とそれ以後の日付の値（「ベンチマーク」）間の補間によって推定することが含まれます。補間とは、2つの既知の量（履歴データ）間の未知の量を推定すること、または利用可能な情報から欠落情報について結論を導き出すこと（「行間を読む」こと）です。[ 29 ]補間は、欠落データの周囲のデータが利用可能であり、その傾向、季節性、および長期サイクルが既知の場合に有効です。これは、関連するすべての日付が既知の関連時系列を用いて行われることがよくあります。[ 30 ]あるいは、区分多項式関数を時間間隔に当てはめ、それらが滑らかにフィットするようにする場合、多項式補間またはスプライン補間が使用されます。補間と密接に関連する別の問題は、複雑な関数を単純な関数で近似することです（回帰とも呼ばれます）。回帰と補間の主な違いは、多項式回帰ではデータセット全体をモデル化する単一の多項式が得られることです。ただし、スプライン補間では、データ セットをモデル化するために、多くの多項式で構成された区分的に連続した関数が生成されます。

外挿とは、ある変数と別の変数との関係に基づいて、元の観測範囲を超えて変数の値を推定するプロセスです。これは、既知の観測値間の推定値を算出する内挿に似ていますが、外挿はより大きな不確実性を伴うため、意味のない結果が生じるリスクが高くなります。

関数近似

一般的に、関数近似問題とは、明確に定義されたクラスの中から、タスク固有の方法で対象関数に近似する（「近似する」）関数を選択することです。関数近似問題には、大きく分けて2つのクラスがあります。まず、既知の対象関数について、近似理論は数値解析 の一分野であり、特定の既知の関数（例えば特殊関数）を、多くの場合望ましい特性（低コストの計算、連続性、積分値や極限値など）を持つ特定のクラスの関数（例えば多項式や有理関数）でどのように近似できるかを研究します。

第二に、ターゲット関数gは未知である可能性があり、明示的な式の代わりに、形式 ( x , g ( x )) の点の集合 (時系列) のみが提供されます。 gの定義域と共定義域の構造に応じて、g を近似するためのいくつかの手法が適用可能です。たとえば、g が実数に対する演算である場合、内挿、外挿、回帰分析、曲線フィッティングなどの手法を使用できます。gの共定義域(範囲またはターゲット集合) が有限集合である場合は、代わりに分類問題を扱っています。オンライン時系列近似[ 31 ]の関連する問題は、データをワンパスで要約し、最悪ケースの誤差を境界としてさまざまな時系列クエリをサポートできる近似表現を構築することです。

ある程度、さまざまな問題 (回帰、分類、適合度近似) は統計学習理論において統一された扱いを受けており、そこでは教師あり学習の問題として見なされています。

予測と予報

統計学において、予測は統計的推論の一部です。このような推論への特定のアプローチの一つは予測推論として知られていますが、予測は統計的推論への複数のアプローチのいずれにおいても行うことができます。実際、統計学の一つの説明として、母集団の標本に関する知識を母集団全体、そして他の関連する母集団に伝達する手段を提供するというものがありますが、これは必ずしも経時的な予測と同じではありません。情報が経時的に、多くの場合特定の時点に伝達される場合、そのプロセスは予測と呼ばれます。

  • 確率的シミュレーションを目的とした完全に形成された統計モデル。将来の特定の期間に何が起こるかを表す時系列の代替バージョンを生成する。
  • 最新の結果に関する知識に基づいて、時系列の近い将来の可能性のある結果を説明する、単純または完全に形成された統計モデル (予測)。
  • 時系列の予測は通常、 Julia、Python、R、SAS、SPSSなどの自動化された統計ソフトウェア パッケージとプログラミング言語を使用して行われます。
  • 大規模データの予測は、 Apache SparkのサードパーティパッケージであるSpark-TSライブラリを使用して行うことができます。 [ 32 ]

分類

時系列パターンを特定のカテゴリに割り当てます。たとえば、手話における一連の手の動きに基づいて単語を識別します。

セグメンテーション

時系列をセグメントのシーケンスに分割する。時系列は、それぞれが独自の特性を持つ個別のセグメントのシーケンスとして表現できる場合が多い。例えば、電話会議の音声信号は、各人が話していた時間に対応する部分に分割できる。時系列セグメンテーションの目的は、時系列内のセグメント境界点を特定し、各セグメントに関連する動的特性を特徴付けることである。この問題には、変化点検出を用いるか、マルコフジャンプ線形システムなどのより洗練されたシステムとして時系列をモデル化することでアプローチできる。

クラスタリング

時系列データはクラスタリングできるが、部分系列クラスタリングを検討する際には特別な注意が必要である。[ 33 ] [ 34 ] 時系列クラスタリングは以下のように分けられる。

  • 時系列全体のクラスタリング（クラスターを見つける複数の時系列）
  • サブシーケンス時系列クラスタリング（単一の時系列をスライディングウィンドウを使用してチャンクに分割）
  • 時間点クラスタリング

部分系列時系列クラスタリング

部分時系列クラスタリングの結果、スライディングウィンドウを用いたチャンキングによる特徴抽出によって不安定（ランダム）なクラスターが生成された。 [ 35 ]クラスター中心（クラスター内の時系列の平均、これも時系列）は、データセットに関わらず、ランダムウォークの実現時でさえ、任意にシフトした正弦波パターンに従うことがわかった。これは、クラスター中心が常に非代表的な正弦波であるため、発見されたクラスター中心がデータセットを記述できないことを意味する。

モデル

古典的なモデル（AR、ARMA、ARIMA、およびよく知られているバリエーション）

時系列データのモデルには多くの形式があり、異なる確率過程を表すことができます。ある過程のレベルで変動をモデル化する場合、実用上重要な3つの大まかなクラスは、自己回帰（AR）モデル、統合（I）モデル、移動平均（MA）モデルです。これらの3つのクラスは、以前のデータポイントに線形に依存します。 [ 36 ]これらのアイデアを組み合わせると、自己回帰移動平均（ARMA）モデルと自己回帰統合移動平均（ARIMA）モデルが生成されます。自己回帰分数統合移動平均（ARFIMA）モデルは、最初の3つを一般化したものです。もう1つの重要な一般化は、時間変動自己回帰（TVAR）モデルです。このモデルでは、AR係数が時間の経過とともに変化することが許されているため、モデルは進化する、または非定常なダイナミクスを捉えることができます。これらのクラスをベクトル値データに対応させるための拡張は、多変量時系列モデルの見出しの下で利用可能であり、前述の頭字語に「ベクトル」を表す「V」を付加して拡張される場合もあります（例えば、ベクトル自己回帰のVARなど）。観測時系列が何らかの「強制」時系列（観測時系列に因果関係を持たない場合もある）によって駆動される場合、これらのモデルの追加の拡張セットが利用可能です。多変量の場合との違いは、強制系列が決定論的であるか、実験者の制御下にある可能性があることです。これらのモデルでは、頭字語の末尾に「外生的」を表す「X」が付加されます。

時間変動自己回帰（TVAR）モデル

時間変動自己回帰（TVAR）モデルは、トレンドや季節パターンといった古典的な変動形式に限らず、基礎となるダイナミクスが時間の経過とともに複雑に変化する非定常時系列の分析に特に有効です。固定パラメータを持つ従来のARモデルとは異なり、TVARモデルでは自己回帰係数を時間の関数として変化させることができます。これは通常、ユーザーが形式と複雑さを決定できる基底関数展開によって表されます。これにより、時間変動挙動の非常に柔軟なモデリングが可能になり、データが示す特定の非定常パターンを捉えることができます。この柔軟性により、TVARモデルは構造変化、レジームシフト、またはシステム挙動の漸進的な進化のモデリングに適しています。 TVAR時系列モデルは、信号処理、[ 37 ] [ 38 ]経済学、[ 39 ]金融、[ 40 ]信頼性・状態監視、[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]電気通信、[ 44 ] [ 45 ]神経科学、[ 46 ]気候科学、[ 47 ]水文学[ 48 ]などの分野で広く応用されています。これらの分野では、時系列は従来の線形モデルでは適切に表現できないダイナミクスを示すことがよくあります。TVARモデルの推定には、通常、カーネルスムージング、 [ 49 ]再帰最小二乗法、[ 50 ]カルマンフィルタリングなどの手法が使用されます。[ 51 ]

非線形モデル

系列の水準が過去のデータ点に非線形に依存することは、カオス的な時系列を生成する可能性があるため、興味深い問題です。しかし、より重要なのは、非線形モデルから得られる予測値は、線形モデルから得られる予測値よりも優れていることが実証研究によって示されていることです。例えば、非線形自己回帰外生モデルなどが挙げられます。非線形時系列分析に関するその他の参考文献：(Kantz and Schreiber) [ 52 ] 、 (Abarbanel) [ 53 ]

非線形時系列モデルには、時間経過に伴う分散の変化（異分散性）を表すモデルがあります。これらのモデルは自己回帰条件付き異分散性（ARCH）を表し、その表現は多岐にわたります（GARCH、TARCH、EGARCH、FIGARCH、CGARCHなど）。ここでの変動性の変化は、観測系列の最近の過去の値と関連しているか、またはそこから予測されています。これは、局所的に変化する変動性を表す他の表現方法とは対照的です。後者の場合、変動性は二重確率モデルのように、別の時間変動プロセスによって駆動されるものとしてモデル化される可能性があります。

その他のモデリングアプローチ

近年の「モデルフリー」解析（パラメトリックな数式を用いて時間経過に伴うプロセスの進化をモデル化しない解析を指す用語としてよく用いられる）では、ウェーブレット変換に基づく手法（例えば、局所定常ウェーブレットやウェーブレット分解ニューラルネットワークなど）が支持を集めている。[ 54 ]マルチスケール（マルチ解像度とも呼ばれる）手法は、与えられた時系列を分解し、複数のスケールにおける時間依存性を明らかにしようとする。ボラティリティの進化をモデル化するためのマルコフスイッチングマルチフラクタル（MSMF）手法 も参照のこと。

隠れマルコフモデル（HMM）は、モデル化対象となるシステムが観測されない（隠れた）状態を持つマルコフ過程であると仮定する統計的マルコフモデルです。HMMは、最も単純な動的ベイジアンネットワークと考えることができます。HMMモデルは、音声認識において、発話された単語の時系列をテキストに変換することに 広く利用されています。

これらのモデルの多くは、Python パッケージsktimeに収集されています。

表記

時系列分析には様々な表記法が用いられている。自然数でインデックスされた時系列Xを指定する一般的な表記法は、

X = ( X 1、X 2、 ...)。

もう一つの一般的な表記は

Y = ( Y t : t ∈ T )、

ここで、Tはインデックス セットです。

条件

理論の多くは、次の 2 つの条件に基づいて構築されています。

エルゴード性は定常性を意味するが、その逆は必ずしも成り立たない。定常性は通常、厳密な定常性と広義の定常性、あるいは二次定常性に分類される。どちらの条件においても、モデルとその応用は開発可能であるが、後者のモデルは部分的にしか規定されていないと考えられる。

さらに、時系列分析は、時系列が季節的に定常であるか非定常であるかを問わず適用できます。周波数成分の振幅が時間とともに変化する状況は、時系列または信号の時間周波数表現を利用する時間周波数分析で扱うことができます。[ 55 ]

ツール

時系列データを調査するためのツールには次のようなものがあります。

対策

時系列分類や回帰分析に使用できる時系列メトリクスまたは特徴：[ 59 ]

視覚化

時系列は、重ね合わせチャートと分離チャートの2種類のチャートで視覚化できます。重ね合わせチャートでは、すべての時系列を同じレイアウトで表示しますが、分離チャートでは、異なるレイアウト（ただし比較のために位置合わせされています）で表示します。[ 63 ]

重なり合うチャート

分離されたチャート

  • 地平線グラフ
  • 縮小折れ線グラフ（小さな倍数）
  • シルエットグラフ
  • 円形シルエットグラフ

歴史

ジェブロンズは時系列を研究した最初の人物である。[ 64 ]彼は著書の中で、1825年から1860年までの週次金融時系列を数多く分析した。これには、破産、通貨流通量、割引率の時系列が含まれていた。

参照

参考文献

  1. ^ Lin, Jessica; Keogh, Eamonn; Lonardi, Stefano; Chiu, Bill (2003). 「時系列の記号表現とストリーミングアルゴリズムへの影響」.第8回ACM SIGMODワークショップ「データマイニングと知識発見における研究課題」の議事録. ニューヨーク: ACM Press. pp.  2– 11. CiteSeerX  10.1.1.14.5597 . doi : 10.1145/882082.882086 . ISBN 978-1-4503-7422-4. S2CID  6084733 .
  2. ^ Warren Liao, T. (2005年11月). 「時系列データのクラスタリング—概観」.パターン認識. 38 (11): 1857– 1874. Bibcode : 2005PatRe..38.1857W . doi : 10.1016/j.patcog.2005.01.025 . S2CID 8973749 . 
  3. ^ Aghabozorgi, Saeed; Seyed Shirkhorshidi, Ali; Ying Wah, Teh (2015年10月). 「時系列クラスタリング – 10年間のレビュー」.情報システム. 53 : 16–38 . doi : 10.1016/j.is.2015.04.007 . S2CID 158707 . 
  4. ^ Li, Aimin; Siqi, Xiong; Junhuai, Li (2023年4月). 「AngClust: 短時間系列遺伝子発現プロファイルのための角度特徴ベースクラスタリング」. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics . 20 (2): 1574– 1580. Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  5. ^ Keogh, Eamonn; Kasetty, Shruti (2002). 「時系列データマイニングベンチマークの必要性について：概説と実証的実証」第8回ACM SIGKDD国際会議知識発見とデータマイニングの議事録. pp.  102– 111. doi : 10.1145/775047.775062 . ISBN 1-58113-567-X。
  6. ^ Agrawal, Rakesh; Faloutsos, Christos; Swami, Arun (1993). 「配列データベースにおける効率的な類似性検索」.データ編成とアルゴリズムの基礎. コンピュータサイエンス講義ノート. 第730巻. pp.  69– 84. doi : 10.1007/3-540-57301-1_5 . ISBN 978-3-540-57301-2. S2CID  16748451 .
  7. ^ Chen, Cathy WS; Chiu, LM (2021年9月4日). 「大気質指数の順序時系列予測」 .エントロピー. 23 ( 9): 1167. Bibcode : 2021Entrp..23.1167C . doi : 10.3390/e23091167 . PMC 8469594. PMID 34573792 .  
  8. ^ 「表1 | 米国における結核報告数 2022年 | データと統計 | 結核 | CDC」 2024年8月27日。
  9. ^ Sarkar, Advait; Spott, Martin; Blackwell, Alan F.; Jamnik, Mateja (2016). 「時系列パターンの視覚的発見とモデル駆動型説明」 2016 IEEE 視覚言語とヒューマンセントリックコンピューティングシンポジウム (VL/HCC) . pp.  78– 86. doi : 10.1109/vlhcc.2016.7739668 . ISBN 978-1-5090-0252-8. S2CID  9787931 .
  10. ^ブルームフィールド、ピーター (1976).時系列のフーリエ解析入門. ワイリー. ISBN 978-0-471-08256-9。
  11. ^シャムウェイ、ロバート・H. (1988).応用統計時系列分析. プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-041500-4。
  12. ^ Arlinghaus, Sandra (1994). 『カーブフィッティング実践ハンドブック』CRC Press. ISBN 978-0-8493-0143-8。
  13. ^コルブ、ウィリアム・M. (1984).プログラマブル電卓のための曲線フィッティング. SYNTEC. ISBN 978-0-943494-02-9。
  14. ^ Halli, SS; Rao, KV (1992).人口分析の高度な技術. Springer Science & Business Media. p. 165. ISBN 978-0-306-43997-1観測データに良好から中程度の適合があれば、関数は満たされます。
  15. ^シルバー、ネイト（2012年）『シグナルとノイズ：なぜ多くの予測は失敗するのか、そして一部は失敗するのか』ペンギン・プレス、ISBN 978-1-59420-411-1。
  16. ^ Pyle, Dorian (1999).データマイニングのためのデータ準備. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-529-9。
  17. ^ MATLAB®による工学における数値解析法。Jaan Kiusalaas著。24ページ。
  18. ^ Kiusalaas, Jaan (2013). Python 3 による工学数値解析法. Cambridge University Press. p. 21. ISBN 978-1-139-62058-1。
  19. ^ゲスト、フィリップ・ジョージ（2012年）『曲線フィッティングの数値的手法』ケンブリッジ大学出版局、349ページ。ISBN 978-1-107-64695-7。
  20. ^参照:軟化剤
  21. ^モトゥルスキー、ハーヴェイ、クリストポロス、アーサー（2004年）。線形および非線形回帰を用いた生物学的データへのモデルフィッティング：曲線フィッティングの実践ガイド。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-803834-4。
  22. ^回帰分析 Rudolf J. Freund、William J. Wilson、Ping Sa著。269ページ。
  23. ^ Daud, Hanita; Sagayan, Vijanth; Yahya, Noorhana; Najwati, Wan (2009). 「統計的・数値的手法を用いた電磁波のモデリング」. Visual Informatics: Bridging Research and Practice . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 5857. pp.  686– 695. doi : 10.1007/978-3-642-05036-7_65 . ISBN 978-3-642-05035-0。
  24. ^ハウザー、ジョン・R. (2009).非線形工学モデルのための数値解析法. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 227. ISBN 978-1-4020-9920-5。
  25. ^ウィリアム・ダドリー編 (1976). 「核および原子分光法」.分光法. 実験物理学の方法. 第13巻. pp. 115–346 [150]. doi : 10.1016/S0076-695X(08)60643-2 . ISBN 978-0-12-475913-8。
  26. ^ Salkind, Neil J. (2010).研究デザイン百科事典. SAGE. p. 266. ISBN 978-1-4129-6127-1。
  27. ^クロスターマン、リチャード・E. (1990).コミュニティ分析と計画手法. ロウマン＆リトルフィールド出版社. p. 1. ISBN 978-0-7425-7440-3。
  28. ^ Yoe, Charles E. (1996年3月). 環境投資評価におけるリスクと不確実性入門（報告書）. 米国陸軍工兵隊. p. 69. DTIC ADA316839 .
  29. ^ハミング、リチャード (2012).科学者とエンジニアのための数値解析法. クーリエコーポレーション. ISBN 978-0-486-13482-6。
  30. ^フリードマン、ミルトン（1962年12月）「関連系列による時系列の補間」アメリカ統計学会誌. 57 (300): 729– 757. doi : 10.1080/01621459.1962.10500812 .
  31. ^ Gandhi, Sorabh; Foschini, Luca; Suri, Subhash (2010). 「時系列データの空間効率の高いオンライン近似：ストリーム、アムネシア、そしてアウトオブオーダー」2010 IEEE 第26回国際データエンジニアリング会議 (ICDE 2010) . pp.  924– 935. doi : 10.1109/ICDE.2010.5447930 . ISBN 978-1-4244-5445-7. S2CID  16072352 .
  32. ^ Sandy Ryza (2020年3月18日). 「Sparkによる時系列分析」（Spark Summit East 2016での講演スライド） . Databricks . 2021年1月12日閲覧。
  33. ^ Zolhavarieh, Seyedjamal; Aghabozorgi, Saeed; Teh, Ying Wah (2014). 「サブシーケンス時系列クラスタリングのレビュー」 . The Scientific World Journal . 2014 312521. doi : 10.1155/2014/312521 . PMC 4130317. PMID 25140332 .  
  34. ^ Li, Aimin; Siqi, Xiong; Junhuai, Li (2023年4月). 「AngClust: 短時間系列遺伝子発現プロファイルのための角度特徴ベースクラスタリング」. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics . 20 (2): 1574– 1580. Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  35. ^ Keogh, Eamonn; Lin, Jessica (2005年8月). 「時系列サブシーケンスのクラスタリングは無意味である：これまでの研究と将来の研究への示唆」.知識と情報システム. 8 (2): 154– 177. doi : 10.1007/s10115-004-0172-7 .
  36. ^ Gershenfeld, N. (1999). 『数学モデリングの本質』 ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. pp.  205–208 . ISBN 978-0-521-57095-4。
  37. ^ Baptista de Souza, Douglas; Kuhn, Eduardo Vinicius; Seara, Rui (2019年1月). 「非定常プロセスの特性評価のための時間変動自己回帰モデル」. IEEE Signal Processing Letters . 26 (1): 134– 138. Bibcode : 2019ISPL...26..134B . doi : 10.1109/LSP.2018.2880086 .
  38. ^ Kay, Steven (2008年4月). 「新しい非定常性検出器」 . IEEE Transactions on Signal Processing . 56 (4): 1440– 1451. Bibcode : 2008ITSP...56.1440K . doi : 10.1109/TSP.2007.909346 .
  39. ^イナヤティ、シャリファ;イリアワン、ヌール（2024年12月31日）。「経済予測のための時間変化自己回帰モデル」。マテマティカ: 131–142 . doi : 10.11113/matematika.v40.n3.1654。
  40. ^ Jia, Zhixuan; Li, Wang; Jiang, Yunlong; Liu, Xingshen (2025年7月9日). 「時間変動自己回帰モデルの最適化における最小化ソルバーの利用と金融への応用」 .数学. 13 (14): 2230. doi : 10.3390/math13142230 .
  41. ^ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (2024年11月5日). 「自己回帰モデルを用いた多変量センサー時系列データのデータ拡張と故障予測への応用」. PHM協会年次大会. 16 (1). arXiv : 2410.16419 . doi : 10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145 .
  42. ^ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (2023年10月26日). 「時間変動自己回帰プロセスを用いたセンサー時系列のデータ拡張」 . PHM協会年次会議. 15 (1). doi : 10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565 .
  43. ^ Lei, Huang; Yiming, Wang; Jianfeng, Qu; Hao, Ren (2020). 「非定常監視信号に基づく故障診断手法：未知の確率分布を持つ特徴の抽出による」 . IEEE Access . 8 : 59821–59836 . Bibcode : 2020IEEEA...859821L . doi : 10.1109/ACCESS.2020.2978112 .
  44. ^ Wang, Shihan; Chen, Tao; Wang, Hongjian (2023年3月17日). 「非定常環境におけるフェーズドアレイレーダーの性能向上のためのIDBDベースビームフォーミングアルゴリズム」 . Sensors . 23 (6): 3211. Bibcode : 2023Senso..23.3211W . doi : 10.3390/s23063211 . PMC 10052024. PMID 36991922 .  
  45. ^ Wu, Xiaorui; Wu, Chunling; Deng, Pei (2023年2月23日). 「時間変動自己回帰シーケンスに基づく非定常ネットワークにおけるパケット損失率の予測」 . Electronics . 12 (5): 1103. doi : 10.3390/electronics12051103 .
  46. ^ Gutierrez, D.; Salazar-Varas, R. (2011年8月). 「時間変動自己回帰モデルと共通空間パターンを用いたEEG信号分類」. 2011年IEEE医学生物学工学年次国際会議. pp.  6585– 6588. doi : 10.1109/IEMBS.2011.6091624 . ISBN 978-1-4577-1589-1. PMID  22255848 .
  47. ^ディオダート, ナザレノ; ディ・サルボ, クリスティーナ; ベロッキ, ジャンニ (2025年3月18日). 「地中海における10年規模の暴風雨電力予測の精度向上に向けた気候駆動型生成時間変動モデル」. Communications Earth & Environment . 6 (1): 212. Bibcode : 2025ComEE...6..212D . doi : 10.1038/s43247-025-02196-2 .
  48. ^ Guo, Tianli; Song, Songbai; Yan, Yating (2022年10月1日). 「地下水深予測のための時間変動自己回帰モデル」. J​​ournal of Hydrology . 613 128394. Bibcode : 2022JHyd..61328394G . doi : 10.1016/j.jhydrol.2022.128394 .
  49. ^ Zhang, Ting; Wu, Wei Biao (2012年6月1日). 「時間変動回帰モデルの推論」. The Annals of Statistics . 40 (3). arXiv : 1208.3552 . doi : 10.1214/12-AOS1010 .
  50. ^ Chu, YJ; Chan, SC; Zhang, ZG; Tsui, KM (2012年5月). 「時間変動自己回帰（TVAR）モデル推定のための新しい再帰アルゴリズムと音声分析への応用」. 2012 IEEE International Symposium on Circuits and Systems . pp.  1026– 1029. doi : 10.1109/ISCAS.2012.6271402 . ISBN 978-1-4673-0219-7。
  51. ^ Zhang, ZG; Chan, SC; Chen, X. (2013年12月). 「非定常信号の時間変動スペクトルの測定と追跡のための新しいカルマンフィルタベースの再帰法」. 2013年第9回国際情報通信信号処理会議. pp.  1– 4. doi : 10.1109/ICICS.2013.6782838 . ISBN 978-1-4799-0434-1。
  52. ^カンツ、ホルガー、トーマス、シュライバー (2004).非線形時系列解析. ロンドン: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-52902-0。
  53. ^アバーバネル、ヘンリー（1997年11月25日）. 『観測されたカオスデータの分析』ニューヨーク：シュプリンガー. ISBN 978-0-387-98372-1。
  54. ^ Tomás, R.; Li, Z.; Lopez-Sanchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (2016年6月). 「InSAR時系列データの季節変動を解析するためのウェーブレットツールの使用：黄土坡地すべりの事例研究」 . Landslides . 13 (3): 437– 450. Bibcode : 2016Lands..13..437T . doi : 10.1007/s10346-015-0589-y . hdl : 10045/62160 . ISSN 1612-510X . 
  55. ^ Boashash, B. (編)、(2003)時間周波数信号解析と処理：包括的なリファレンス、エルゼビアサイエンス、オックスフォード、2003 ISBN 0-08-044335-4
  56. ^ Nikolić, Danko; Mureşan, Raul C.; Feng, Weijia; Singer, Wolf (2012年3月). 「スケールド相関分析：クロスコレログラムを計算するためのより良い方法」. European Journal of Neuroscience . 35 (5): 742– 762. doi : 10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x . PMID 22324876. S2CID 4694570 .  
  57. ^ Li, Aimin; Siqi, Xiong; Junhuai, Li (2023年4月). 「AngClust: 短時間系列遺伝子発現プロファイルのための角度特徴ベースクラスタリング」. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics . 20 (2): 1574– 1580. Bibcode : 2023ITCBB..20.1574L . doi : 10.1109/TCBB.2022.3192306 . PMID 35853049 . 
  58. ^ a b酒江 秀次; 千葉 誠 (1978年2月). 「音声単語認識のための動的計画法アルゴリズムの最適化」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 26 (1): 43– 49. doi : 10.1109/TASSP.1978.1163055 . S2CID 17900407 . 
  59. ^ Mormann, Florian; Andrzejak, Ralph G.; Elger, Christian E.; Lehnertz, Klaus (2007). 「発作予測：長く曲がりくねった道」 . Brain . 130 (2): 314– 333. doi : 10.1093/brain/awl241 . PMID 17008335 . 
  60. ^ Land, Bruce; Elias, Damian. 「時系列の『複雑性』の測定」 。2015年1月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  61. ^ Chevyrev, Ilya; Kormilitzin, Andrey (2016). 「機械学習における署名法の入門」. arXiv : 1603.03788 [ stat.ML ].
  62. ^ Ropella, GEP; Nag, DA; Hunt, CA (2003). 「in silico および in vitro 実験結果の自動比較のための類似度尺度」. IEEE 医学生物学工学会第25回年次国際会議議事録 (IEEE Cat. No.03CH37439) . pp.  2933– 2936. doi : 10.1109/IEMBS.2003.1280532 . ISBN 978-0-7803-7789-9. S2CID  17798157 .
  63. ^ Tominski, Christian; Aigner, Wolfgang. 「TimeVizブラウザ：時間指向データのための視覚化技術のビジュアルサーベイ」 2015年2月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年6月1日閲覧。
  64. ^ WSジェヴォンズ『通貨と金融の研究』マクミラン社、ロンドン、1884年

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