コルテウェグ・ド・フリース方程式

ヤコビ楕円関数cnの2 乗による Korteweg–De Vries 方程式のクノイド波解(パラメータmの値は0.9 )。

KdV方程式u _t + u u _x + δ ² u _{x x x} = 0 ( δ = 0.022 ) の数値解。初期条件はu ( x , 0) = cos(π x )である。時間発展はザブスキー・クラスカル法によって行われた。^{[ 1 ]}初期の余弦波は孤立波の列へと発展する。

KdV方程式の2つのソリトン解が相互作用し（紫色）、それらが互いを通過する際に生じる位相シフトを強調している。赤と青の解は、一方のソリトンが存在しない状態での個々のソリトンの運動を示している^{[ 2 ]}。

数学において、コルテヴェク・ド・フリース（KdV）方程式は、浅い水面の波の数学的モデルとして機能する偏微分方程式（PDE）である。この方程式は積分可能なPDEの典型的な例として特に注目されており、PDEを一般的に扱いにくくする非線形性にもかかわらず、多数の明示的解（特にソリトン解）や無限数の保存量などの典型的な挙動を示す。KdVは逆散乱法（ISM）によって解くことができる。 ^{[ 3 ]}実際、クリフォード・ガードナー、ジョン・M・グリーン、マーティン・クラスカル、ロバート・ミウラはKdV方程式を解くために古典的な逆散乱法を開発した。

KdV方程式は、 ジョセフ・ヴァレンティン・ブシネスク （1877年、360ページの脚注）によって初めて導入され、 1895年にディーデリック・コルテウェグとグスタフ・デ・フリースによって再発見され、最も単純な解である1ソリトン解が発見されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}方程式と解の挙動の理解は、1965年のノーマン・ザブスキーおよびクラスカルのコンピュータシミュレーションと、1967年の逆散乱変換の開発によって大きく進歩しました。

1972年にT.Kawaharaは、KdV方程式の係数が非常に小さくなるかゼロになる場合の分散波を記述するKawahara方程式として知られる5次のKdV型方程式を提案した。^{[ 6 ]}

意味

KdV方程式は、（空間的に）1次元の非線形分散非散逸波をモデル化する偏微分方程式であり、次式に従う関数によって記述される： ^{[ 7 ]}${\displaystyle \phi (x,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}$

ここで は分散を表し、非線形要素は移流項です。 ${\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }$ ${\displaystyle \phi \partial _{x}\phi }$

浅瀬の波をモデル化する場合、水面の高さの平衡高さからの変位です。 ${\displaystyle \phi }$

最後の項の前の定数は慣例的なものですが、大きな意味はありません。 、、およびを定数で乗算すると、3 つの項のいずれかの係数を任意のゼロ以外の定数に等しくすることができます。 ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$

ソリトンソリューション

1ソリトン解

で与えられる固定波形が、位相速度で右方向に移動する際にその形状を維持する解を考える。このような解は で与えられる。これをKdV方程式に代入すると、常微分方程式が得られる。${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

または、 について積分すると、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

ここで、積分定数である。上記の独立変数を仮想時間変数として解釈すると、これは ニュートンの立方体ポテンシャルにおける単位質量の粒子の 運動方程式を満たすことを意味する。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$ 。

もし

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

とすると、ポテンシャル関数はで極大値をとります。 には、 の解が存在し、 は「仮想時間」 にこの点から始まり 、最終的に極小値まで滑り落ち、その後反対側へ上昇して同じ高さに達し、その後方向を反転して の時点で再び極大値に達します。つまり、は に近づくにつれて に近づきます。これが孤立波解の特徴的な形状です。 ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\to -\infty }$

より正確に言えば、解決策は

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

ここで は双曲正割を表し、は任意の定数である。^{[ 8 ]}これは速度 で右方向に動くソリトンを表す。 ${\displaystyle \operatorname {sech} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

Nソリトン解

解を表す式が知られている。これは-ソリトン解であり、後期には別々の単一ソリトンに分解される。^{[ 9 ]}この解は、減少する正のパラメータの集合と非ゼロのパラメータの集合に依存する。この解は、 行列の成分が ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \chi _{1}>\cdots >\chi _{N}>0}$ ${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$ $${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$ ${\displaystyle A(x,t)}$ ${\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}$

これは逆散乱法を使用して導出されます。

運動の積分

KdV方程式には、時間とともに変化しない解の関数である運動の積分が無限に存在する。 ^{[ 10 ]}これらは次のように明示的に表すことができる。 ${\displaystyle \phi (t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

ここで多項式は再帰的に次のように定義される。 ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

運動の最初の積分は次のとおりです。

• 質量${\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}$
• 勢い${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• エネルギー。${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

奇数項のみが非自明な（つまりゼロでない）運動積分をもたらす。^{[ 11 ]}${\displaystyle P_{2n+1}}$

ラックスペア

KdV方程式

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

はラックス方程式として再定式化できる。

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

シュトゥルム・リウヴィル演算子を用いると： ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3[\partial _{x},\phi ]\end{aligned}}}$

ここで はとなる交換子である。^{[ 12 ]} Lax 対はKdV 方程式の最初の積分の無限数を説明する。 ^{[ 13 ]}${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]}$ ${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]f=f\partial _{x}\phi }$

実際、は（定数を無視すれば）時間に依存しないシュレーディンガー作用素であり、そのポテンシャルはである。このラックス定式化により、固有値は実際には に依存しないことがわかる。^{[ 14 ]}${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$ ${\displaystyle t}$

ゼロ曲率表現

Lax接続の成分をKdV方程式に 設定することは 、Lax接続のゼロ曲率方程式と同等である。 $${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

最小作用原理

Korteweg-De Vries 方程式

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

はラグランジュ密度から導かれるオイラー・ラグランジュの運動方程式であり、${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:={\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \,\partial _{t}\psi +\left(\partial _{x}\psi \right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left(\partial _{x}^{2}\psi \right)^{2}}$

1

定義​ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

オイラー・ラグランジュ方程式の導出

ラグランジアン（式（1））は2次導関数を含むので、この場のオイラー・ラグランジュの運動方程式は

${\displaystyle \partial _{\mu \mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu \mu }\psi )}}\right)-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

2

ここで、は成分に関する微分です。 ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \mu }$

上の和が暗黙的に表されるので、式(2)は実際には次のように表される。 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)+\partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)-\partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)-\partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

3

式(1)に式(3)の5つの項を代入して評価する。

${\displaystyle \partial _{tt}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{tt}\psi )}}\right)=0}$

${\displaystyle \partial _{xx}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{xx}\psi )}}\right)=\partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\psi )}}\right)=\partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)}$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x}\psi )}}\right)=\partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0}$

定義を覚えておき、それを使って上記の用語を簡略化すると、 ${\displaystyle \phi =\partial _{x}\psi }$

${\displaystyle \partial _{xx}\left(-\partial _{xx}\psi \right)=-\partial _{xxx}\phi }$

${\displaystyle \partial _{t}\left({\frac {1}{2}}\partial _{x}\psi \right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi }$

${\displaystyle \partial _{x}\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\psi +3(\partial _{x}\psi )^{2}\right)={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +3\partial _{x}(\phi )^{2}={\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi }$

最後に、これら3つの非ゼロ項を式(3)に代入して、

${\displaystyle \left(-\partial _{xxx}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi \right)-\left({\frac {1}{2}}\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi \right)=0,}$

これはまさにKdV方程式である

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0.}$

長期漸近解析

十分に速く減衰する滑らかな解は、最終的には右方向に移動するソリトンの有限の重ね合わせと、左方向に減衰する分散成分に分裂することが示される。これはZabuskyとKruskal (1965)によって初めて観察され、振動型リーマン・ヒルベルト問題に対する非線形最急降下法解析を用いて厳密に証明できる。^{[ 15 ]}

歴史

KdV 方程式の歴史は、1834 年のジョン・スコット・ラッセルの実験から始まり、その後 1870 年頃にレイリー卿とジョセフ・ブシネスクによる理論的研究が行われ、最終的に 1895 年にコルテウェグとド・フリースによって研究されました。

KdV方程式はその後、ZabuskyとKruskal (1965) が数値的にその解が長時間にわたって「ソリトン」、すなわち十分に離れた孤立波の集合に分解するように見えることを発見するまで、あまり研究されていませんでした。さらに、ソリトンは互いに通過しても形状にほとんど影響を及ぼさないようです（ただし、これにより位置が変化する可能性はあります）。彼らはまた、 KdV方程式がFPUT系の連続極限であることを示し、フェルミ、パスタ、ウラム、ツィンゴウによる以前の数値実験との関連を示しました。逆散乱変換を用いた解析解の開発は、1967年にガードナー、グリーン、Kruskal、三浦によって行われました。^{[ 3 ] [ 16 ]}

KdV方程式は現在ではホイヘンスの原理と密接に関係していると考えられています。^{[ 17 ] [ 18 ]}

アプリケーションと接続

KdV方程式は物理問題といくつかの関連があります。連続体極限におけるフェルミ-パスタ-ウラム-ツィンゴウ問題における弦の支配方程式であることに加えて、KdV方程式は、以下のような多くの物理的設定における長い1次元波の発展を近似的に記述します。

• 弱非線形復元力を持つ浅水波、
• 密度成層海洋における長い内部波、
• プラズマ中のイオン音波、
• 結晶格子上の音波。

KdV 方程式は、非線形シュレーディンガー方程式に適用されるような逆散乱変換を使用して解くこともできます。

KdV方程式とグロス・ピタエフスキー方程式

フォームの簡略化されたソリューションを考慮すると

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

KdV方程式は次のようになる。

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

または

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

積分し、積分定数がゼロとなる特殊なケースをとると、次のようになります。

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

これは一般化定常グロス・ピタエフスキー方程式（GPE） の特別な場合である。${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

したがって、一般化GPEの特定の解のクラス（真の1次元凝縮体の場合と、 1次元で3次元方程式を用いた場合）では、2つの方程式が1つになる。さらに、負の符号と実数の場合を例にとると、明るいソリトンを生み出す引力的な自己相互作用が得られる。 ${\displaystyle \lambda =4}$ ${\displaystyle \lambda =2}$ ${\displaystyle \lambda =3}$ ${\displaystyle \phi }$

バリエーション

KdV方程式には様々なバリエーションが研究されてきました。いくつかを次の表に示します。

名前	方程式
コルテヴェク・デ・フリース（KdV）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+6u\partial _{x}u=0}$
KdV（円筒形）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{2t}}u=0}$
KdV（変形）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left({\frac {\partial _{x}^{2}u-2\eta u^{3}-3u(\partial _{x}u)^{2}}{2(\eta +u^{2})}}\right)=0}$
KdV（一般化）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}$
KdV（一般化）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}$
KdV（修正版）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6u^{2}\partial _{x}u=0}$
ガードナー方程式	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(6\varepsilon ^{2}u^{2}+6u)\partial _{x}u=0}$
KdV（修正版）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-{\tfrac {1}{8}}(\partial _{x}u)^{3}+(\partial _{x}u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au})=0}$
KdV（球状）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6u\partial _{x}u+{\tfrac {1}{t}}u=0}$
広田・薩摩方程式	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}u_{t}-{\frac {1}{2}}u_{xxx}+3uu_{x}-3(vw)_{x}=0\\v_{t}+v_{xxx}-3uv_{x}=0\\w_{t}+w_{xxx}-3uw_{x}=0\end{cases}}}$
KdV（スーパー）	${\displaystyle \displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u=6u\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3w\partial _{x}^{2}w\\\partial _{t}w=3(\partial _{x}u)w+6u\partial _{x}w-4\partial _{x}^{3}w\end{cases}}}$
KdV（移行型）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6f(t)u\partial _{x}u=0}$
KdV（変数係数）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta t^{n}\partial _{x}^{3}u+\alpha t^{n}u\partial _{x}u=0}$
KdV-バーガース方程式	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=0}$
KdV-バーガース-フィッシャー方程式（コチャック方程式）	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \partial _{x}^{3}u+\epsilon u\partial _{x}u-\nu \partial _{x}^{2}u=ru(1-u)}$
川原方程式	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u\partial _{x}u+\beta \partial _{x}^{3}u-\gamma \,\partial _{x}^{5}u=0,}$
非均質KdV	${\displaystyle \partial _{t}u+\alpha u+\beta \partial _{x}u+\gamma \partial _{x}^{2}u=Ai(x),\quad u(x,0)=f(x)}$

参照

• 移流拡散方程式
• ベンジャミン・ボナ・マホニー方程式
• ブシネスク近似 (水の波)
• クノイド波
• 分散（水波）
• 分散のない方程式
• 5 次の Korteweg-De Vries 方程式
• カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式
• KdV階層
• 修正KdV-バーガース方程式
• ノビコフ・ヴェセロフ方程式
• シャメル方程式
• ウルセル数
• ベクトルソリトン
• オイラー・アーノルド方程式

注記

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13. ラックス 1968。
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参考文献

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外部リンク

• EqWorld: 数式の世界におけるKorteweg–De Vries 方程式。
• 非線形方程式百科事典 NEQwiki のKorteweg-De Vries 方程式。
• EqWorld: 数学方程式の世界における円筒形 Korteweg–De Vries 方程式。
• EqWorld: 数学方程式の世界における修正 Korteweg–De Vries 方程式。
• 非線形方程式百科事典である NEQwiki のKorteweg-De Vries 方程式を修正しました。
• ワイスタイン、エリック W. 「コルテヴェッグ・ドブリーズ方程式」。マスワールド。
• 狭い運河に対する Korteweg-De Vries 方程式の導出。
• 3つのソリトン KdV方程式の解 – [1]
• 3つのソリトン（不安定）KdV方程式の解 – [2]
• Korteweg–De Vries 型の方程式の数学的側面については、 Dispersive PDE Wikiで説明されています。
• Wolfram デモンストレーション プロジェクトSM Blinder によるKorteweg-De Vries 方程式のソリトン。
• ソリトンと非線形波動方程式