非標準分析

ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、無限小を含む理想化された数を導入すべきだと主張した。

微積分学の歴史は、流数や無限小数の意味と論理的妥当性に関する哲学的な議論に満ちている。これらの議論を解決する標準的な方法は、微積分の演算を無限小数ではなく極限を用いて定義することである。非標準解析^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は、論理的に厳密な無限小数の概念を用いて微積分学を再定式化する。

非標準解析は1960年代初頭に数学者アブラハム・ロビンソンによって考案されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}彼は次のように書いています。

…無限に小さい、あるいは無限に微小な量という考え方は、私たちの直感に自然に訴えかけるように思われます。いずれにせよ、無限小の使用は微分積分学の形成段階では広く行われていました。2つの異なる実数間の距離が無限に小さくなることはできないという反論については、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、無限小理論は、実数と比較して無限に小さい、あるいは無限に大きいかもしれないが、実数と同じ性質を持つ理想数の導入を意味すると主張しました。

ロビンソンは、ライプニッツのこの連続性の法則は転移原理の前身であると主張した。ロビンソンは次のように続けた。

しかし、彼自身も彼の弟子や後継者たちも、この種の体系に至る合理的な展開を示すことができなかった。その結果、無限小理論は徐々に評判を落とし、最終的には古典的な極限理論に取って代わられた。^{[ 6 ]}

ロビンソン氏は続ける。

...ライプニッツの思想は完全に立証され、...古典解析学をはじめとする数学の多くの分野への斬新で実りあるアプローチへと導きます。私たちの方法論の鍵は、現代のモデル理論の根底にある数学言語と数学構造の関係を詳細に分析することにあります。

1973年、直観主義者のアーレント・ハイティングは非標準解析を「重要な数学研究の標準モデル」と称賛した。^{[ 7 ]}

導入

順序体 の非ゼロ元が無限小元である場合、かつその絶対値が、標準的な自然数に対しての形をとる の任意の元よりも小さい場合に限ります。無限小元を持つ順序体は、非アルキメデス的とも呼ばれます。より一般的には、非標準解析とは、非標準モデルと伝達原理に依存する数学のあらゆる形態を指します。実数に対して伝達原理を満たす体は実閉体と呼ばれ、非標準実解析ではこれらの体を実数の 非標準モデルとして用います。${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n}$

ロビンソンの独自のアプローチは、実数体のこれらの非標準モデルに基づいていました。この分野における彼の古典的な基礎書である『非標準解析』は1966年に出版され、現在も出版されています。^{[ 8 ]} 88ページで、ロビンソンは次のように書いています。

非標準的な算術モデルの存在は、トラルフ・スコーレム（1934）によって発見されました。スコーレムの方法は、超べき乗構成法の先駆けとなっています [...]

無限小数の計算法を開発するには、いくつかの技術的な問題に対処する必要があります。例えば、無限小数で順序付けられた体を構築するだけでは不十分です。関連するアイデアのいくつかについては、 「超実数」の記事を参照してください。

基本的な定義

この節では、超実体 を定義する最も単純なアプローチの1つを概説する。を実数体とし、 を自然数の半環とする。 を実数列の集合で表す。 体はの適切な商として以下のように定義される。非主超フィルタを考える。特に、 はフレシェフィルタを含む。 列のペアを考える。 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

と が、ウルトラフィルタのメンバーであるインデックスのセット、または式で一致する場合、それらは同等であると 言えます。${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

結果として得られる同値関係によるの商は超実数体であり、この状況は式 によって要約されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$

モチベーション

非標準的な分析を検討する理由は、歴史的、教育的、技術的という少なくとも 3 つあります。

歴史的

ニュートンとライプニッツによる微小微積分の初期の発展の多くは、微小数や消失量といった表現を用いて定式化されました。これらの定式化は、ジョージ・バークリーらによって広く批判されました。微小数を用いた一貫性があり満足のいく解析理論を構築するという課題に初めて取り組んだのは、エイブラハム・ロビンソンでした。^{[ 6 ]}

1958年、クルト・シュミーデンとデトレフ・ラウヴィッツは論文「無限小計算の拡張」^{[ 9 ]}を発表し、無限小数を含む環の構成を提案した。この環は実数の列から構成される。2つの列は、有限個の要素のみが異なる場合、同値とみなされた。算術演算は要素ごとに定義される。しかし、このように構成された環は零因子を含むため、体にはならない。

教育的

H. ジェローム・ケイスラー、デイビッド・トール、そして他の教育者たちは、解析概念に対する「イプシロン・デルタ」アプローチよりも、無限小数の使用の方が直感的で学生にとって理解しやすいと主張している。 ^{[ 10 ]}このアプローチは、対応するイプシロン・デルタ定式による証明よりも結果の証明が容易になる場合がある。この簡略化の多くは、以下に示すような、非常に簡単な非標準算術の規則を適用することで実現されている。

無限小 × 有限 = 無限小

無限小 + 無限小 = 無限小

移転原則（後述） と併せて。

非標準解析のもう一つの教育的応用は、エドワード・ネルソンによる確率過程理論の扱いである。^{[ 11 ]}

テクニカル

近年、非標準解析の概念を用いた解析学の研究がいくつか行われており、特に統計学や数理物理学の極限過程の調査が盛んに行われている。Sergio Albeverioら^{[ 12 ]}はこれらの応用のいくつかについて議論している。

アプローチ

非標準解析には、意味論的アプローチまたはモデル理論的アプローチと統語論的アプローチという、主に2つの異なるアプローチがあります。どちらのアプローチも、解析学以外の数学の分野、例えば数論、代数、位相幾何学などにも適用されます。

ロビンソンによる非標準解析のオリジナルの定式化は、意味論的アプローチの範疇に入る。彼が論文で展開しているように、それは理論のモデル（特に飽和モデル）の研究に基づいている。ロビンソンの研究が初めて登場して以来、より単純な意味論的アプローチ（エリアス・ザコンによる）が、上部構造と呼ばれる純粋に集合論的なオブジェクトを用いて開発されてきた。このアプローチでは、理論のモデルは、集合S上の上部構造V ( S )と呼ばれるオブジェクトに置き換えられる。上部構造V ( S )から始めて、超べき構成と、転移原理を満たす写像 V ( S ) → * V ( S ) とを用いて、別のオブジェクト* V ( S )を構築する。写像*は、 V ( S ) と * V ( S ) の形式的特性を関連付ける。さらに、可算飽和と呼ばれるより単純な飽和形式を考えることも可能である。この簡略化されたアプローチは、モデル理論や論理の専門家ではない数学者にも適している。

統語論的アプローチでは、理解と使用に必要とされる論理とモデル理論ははるかに少なくて済みます。このアプローチは、1970年代半ばに数学者エドワード・ネルソンによって開発されました。ネルソンは、非標準解析の完全に公理的な定式化を導入し、これを内部集合論（IST）と呼びました。^{[ 13 ]} ISTは、ツェルメロ・フランケル集合論（ZF）の拡張であり、基本的な二項帰属関係∈に加えて、数学的宇宙の要素に適用できる新しい単項述語standardと、この新しい述語を用いた推論のためのいくつかの公理を導入しています。

非標準構文解析では、数学者が通常当然のこととして受け入れている集合形成の原理（正式には内包公理として知られる）の適用に細心の注意を払う必要がある。ネルソンが指摘するように、ISTにおける推論の誤りは、不正な集合形成の誤りである。例えば、ISTには、要素がまさに標準整数（ここでの標準とは、新しい述語の意味で理解される）であるような集合は存在しない。不正な集合形成を避けるには、部分集合を定義する際にZFCの述語のみを使用する必要がある。^{[ 13 ]}

統語論的アプローチのもう一つの例は、ヴォペンカの代替集合論である[ 14 ^]。これは、ZFの公理よりも非標準解析と互換性のある集合論の公理を見つけようとするものである。

ロビンソンの本

アブラハム・ロビンソンの著書『非標準解析』は1966年に出版された。この本で展開されているトピックのいくつかは、彼が1961年に発表した同名の論文（ロビンソン 1961）に既に含まれていた。^{[ 15 ]}非標準解析を初めて本格的に扱ったことに加え、この本には詳細な歴史的章があり、ロビンソンは、非標準解析以前の微小数を矛盾した実体とみなす数学史における既成概念の一部に異議を唱えている。例えば、ロビンソンは、オーギュスタン＝ルイ・コーシーの『解析学講座』における連続関数の級数の収束に関する「和定理」が誤りであるという考えに異議を唱え、微小数に基づいた仮説の解釈を提案し、正しい定理を導いている。

不変部分空間問題

アブラハム・ロビンソンとアレン・バーンスタインは非標準解析を用いて、ヒルベルト空間上のすべての多項式コンパクト線型作用素には不変部分空間があることを証明した。^{[ 16 ]}

ヒルベルト空間H上の作用素Tが与えられ、 Tの反復の下でのH内の点vの軌道を考えます。グラム・シュミットの法則を適用すると、 Hの直交基底( e _i )が得られます。( H _i )を、対応するHの「座標」部分空間の入れ子になった列とします。 ( e _i )に関してTを表現する行列a _{i,j は}、係数a _{i +1, i}が唯一の非ゼロの部分対角係数であるという意味で、ほぼ上三角行列です。Bernstein と Robinson は、 Tが多項式コンパクトであれば、行列係数a _{w +1, w}が無限小になるような超有限インデックスwが存在することを示しています。次に、 * Hの部分空間H _wを考えます。H w内のy が_有限ノルムを持つ場合、T ( y )はH _wに限りなく近くなります。

ここで、T _{w を}H _wに作用する演算子とし、P _wはH _wへの直交射影とします。q ( T )がコンパクトとなるような多項式をqで表します。部分空間H _wは超有限次元の内部です。有限次元複素ベクトル空間の演算子の上三角化を転写すると、k が1からwまでの範囲のH _wに対する内部直交ヒルベルト空間基底( e _k )が存在し、対応するk次元部分空間E _kのそれぞれはT不変です。部分空間E _kへの射影をΠ _kで表します。 Hにおける有限ノルムの非ゼロベクトルxについて、 q ( T )( x )が非ゼロであるか、または| q ( T )( x )| > 1と仮定して考えを固定することができます。q ( T )はコンパクト演算子なので、 ( q ( T _w ))( x )はq ( T )( x )に無限に近いため、 | q ( T _w )( x )| > 1も成り立ちます。ここで、となる最大のインデックスをjとします。すると、 E _jに無限に近いすべての標準元の空間が、目的の不変部分空間となります。 ${\displaystyle P_{w}\circ T}$ ${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$

バーンスタインとロビンソンの論文のプレプリントを読んだポール・ハルモスは、標準的な手法を用いて彼らの証明を再解釈した。^{[ 17 ]}両論文はパシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクスの同じ号に連続して掲載された。ハルモスの証明で用いられたアイデアのいくつかは、何年も後にハルモス自身の準三角作用素に関する研究で再び現れた。

その他のアプリケーション

他にも、既知の結果を再解釈したり反証したりするような成果がいくつかありました。特に興味深いのは、テトゥロ・カマエによる個体エルゴード定理の証明^{[ 18 ]}や、L. ファン・デン・ドリースとアレックス・ウィルキーによる多項式増加群に関するグロモフの定理の扱い[ ^{19 ]です}。ラリー・マネヴィッツとシュムエル・ワインバーガーは、代数位相幾何学における結果を証明するために非標準解析を用いました^{[ 20 ] 。}

しかしながら、非標準解析の真の貢献は、非標準集合論という新しい拡張言語を用いた概念と定理にある。数学における新たな応用としては、確率論への新たなアプローチ、^{[ 11 ]} 流体力学、^{[ 21 ]}測度論、^{[ 22 ]}非平滑解析および調和解析、^{[ 23 ]}などが 挙げられる。

非標準解析は確率過程理論にも応用されており、特にブラウン運動をランダムウォークとして構成する手法が注目されている。アルベベリオら^{[ 12 ]}はこの研究分野への入門書を執筆している。

公理学の観点から見ると、ボッファの超普遍性公理は公理的非標準解析の基礎として応用されている。^{[ 24 ]}

微積分への応用

数学教育への応用として、H・ジェローム・キースラーは「初等微積分学：無限小アプローチ」を著した。^{[ 10 ]}この本では非標準微積分学を扱い、無限小元を含む超実数を用いた微分積分学を展開している。これらの非標準解析の応用は、有限超実数rの標準部の存在に依存している。 rの標準部はst( r )と表記され、 rに無限に近い標準実数である。キースラーが用いる視覚化手段の1つは、無限に近い点を区別するための仮想的な無限倍率顕微鏡である。

批評

非標準解析のいくつかの側面は優雅で魅力的であるにもかかわらず、 Errett Bishop、Alain Connes、Paul Halmosなどによる批判も表明されてきました。

論理フレームワーク

任意の集合Sが与えられたとき、集合S上の上部構造は、条件によって定義される 集合V ( S )である。

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

したがって、 S上の上部構造は、 Sを出発点として、 Sの冪集合を付加し、その結果得られる列の和をとるという操作を繰り返すことによって得られる。実数上の上部構造には、豊富な数学的構造が含まれる。例えば、すべての可分距離空間と計量化可能な位相ベクトル空間の同型コピーが含まれる。分析者が関心を持つ数学のほとんどすべては、 V ( R )の範囲内で展開される。

非標準解析の実用的な見方は、集合* Rと、いくつかの追加の性質を満たす写像* : V ( R ) → V (* R )である。これらの原理を定式化するために、まずいくつかの定義を述べる。

式に境界付き量化が含まれるのは、式に出現する量指定子の範囲が集合上で制限されている場合、つまり、すべて次の形式である場合のみです。

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

例えば、式

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

は有界量化を持ち、普遍量化変数xはA上を値域とし、存在量化変数yはBのべき集合上を値域とする。一方、

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

yの量化は無制限であるため、量化は限定されていません。

内部セット

集合xが内部集合となるのは、x が* Aの要素としてV ( R )の何らかの要素Aに属する場合である。 * A自身が内部集合となるのは、A がV ( R )に属する場合である。

ここで、非標準分析の基本的な論理的枠組みを定式化します。

• 拡張原理: マッピング * はR上の恒等写像である。
• 伝達原理:有界量化と自由変数x ₁ 、 ...、x _nを持つ任意の式P ( x ₁ 、... 、x _n )とV ( R )の任意の要素A ₁、...、A _nに対して、次の同値性が成り立ちます。

${\displaystyle P(A_{1},\ldots,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots,*A_{n})}$

• 可算飽和: { A _k } _{k ∈ N}が空でない内部集合の減少列であり、k が自然数の範囲にあるとき、

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

そのような写像 *が存在することは、超積を用いて証明できる。V ( R ) の元は標準写像と呼ばれ、 * Rの元は超実数と呼ばれる。

最初の結果

記号* Nは非標準自然数を表す。拡張原理により、これはNのスーパーセットである。集合* N − Nは空ではない。これを確認するには、内部集合の列に 可算飽和を適用すればよい。

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

シーケンス{ A _n } _{n ∈ N}には空でない交差があり、結果が証明されます。

まずいくつかの定義から始める: 超実数r , sが無限に近い のは、

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |rs|\leq \theta }$

超実数rが無限小となるのは、それが 0 に限りなく近い場合です。例えば、nが超整数、つまり* N − Nの元である場合、1/ nは無限小です。超実数rが有限（または限定）となるのは、その絶対値が標準整数（より小さい）によって支配される場合です。限定された超実数は、実数を含む* Rの部分環を形成します。この環において、無限小超実数はイデアルです。

限定された超実数の集合または無限小の超実数の集合は、V (* R )の外部部分集合です。これは実際には、境界が内部集合である有界量化がこれらの集合に及ぶことはないことを意味します。

例： xとyが* Rを超える平面( x , y )は内部平面であり、平面ユークリッド幾何学のモデルです。xとyが限られた値に制限された平面（デーン平面に類似）は外部平面であり、この限られた平面では平行線公理は破れます。例えば、 y軸上の点(0, 1)を通り、傾きが無限小である直線は、x軸に平行です。

定理。任意の限定超実数rに対して、 rに無限に近い唯一の標準実数st( r )が存在する。写像stは、限定超実数環からRへの環準同型写像である。

マッピング st も外部です。

超実数 の標準部分を考える一つの方法は、デデキント切断である。任意の限定超実数s は、集合のペア( L , U )を考えることによって切断を定義する。ここで、Lはsより小さい標準有理数 a の集合であり、Uはsより大きい標準有理数bの集合である。 ( L , U )に対応する実数は、 sの標準部分であるという条件を満たすと見なせる。

連続性の直感的な特徴の 1 つは次のとおりです。

定理。区間[ a , b ]上の実数値関数fが連続であるためには、区間*[ a , b ]内の任意の超実数xに対して、 * f ( x ) ≅ * f (st( x ))が成り立つ必要がある。

同様に、

定理。実数値関数fが実数値xで微分可能であることと、任意の微小超実数hに対して、

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

は存在し、 hとは独立である。この場合、f ′( x )は実数であり、fのxにおける微分である。

κ飽和度

より高い濃度の集合を交差させることで、飽和度を「改善」することが可能です。κ飽和モデルとは、有限交差性を持つ内部集合の集合であり、かつ、 ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle |I|\leq \kappa }$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

これは、例えば位相空間Xにおいて、標準近傍基数の交差が空でないことを保証するために|2 ^X |飽和が必要となる場合に有用である。^{[ 25 ]}

任意の基数κに対して、κ飽和拡大を構成することができる。^{[ 26 ]}

参照

• 微積分を簡単に
• 構成的非標準解析
• 微分（数学）
• 初等微積分学：微小アプローチ
• 超有限集合
• 超整数
• 超実数
• 非標準分析の影響
• 無限小
• 内部集合論
• 非標準モデル
• 非古典的分析
• 非標準微積分
• 溢れ出る
• 滑らかな微小解析
• 超実数
• 伝達原理

参考文献

1. 非標準分析の実践。フランシーヌ・ディーナー、マーク・ディーナー編。シュプリンガー、1995年。
2. Kanovei, V. Vladimir Grigorevich ; Reeken, Michael (2004).非標準解析、公理的. Springer.
3. 働く数学者のための非標準解析. Peter A. Loeb、 Manfred PH Wolff編. Springer、2000年.
4. 非標準解析.エイブラハム・ロビンソン著. プリンストン大学出版局, 1974年.
5. エイブラハム・ロビンソンと非標準解析Archived 15 April 2014 at the Wayback Machine : History, Philosophy, and Foundations of Mathematics. By Joseph W. Dauben . www.mcps.umn.edu.
6. ロビンソン、A.：非標準解析、ノースホランド出版社、アムステルダム、1966年。
7. Heijting, A. (1973)「A.ロビンソン教授への演説。1973年4月26日にA.ロビンソン教授が行ったブラウワー記念講演会にて。」Nieuw Arch. Wisk. (3) 21, pp. 134—137.
8. ロビンソン、アブラハム (1996).非標準解析（改訂版）. プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-04490-2。
9. Curt Schmieden and Detlef Laugwitz: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung、Mathematische Zeitschrift 69 (1958)、1-39
10. H. Jerome Keisler著『初等微積分学：無限小アプローチ』初版1976年、第2版1986年：第2版の全文
11. エドワード・ネルソン著『根本的に初等的な確率論』プリンストン大学出版局、1987年、全文
12. Sergio Albeverio、Jans Erik Fenstad、Raphael Høegh-Krohn、Tom Lindstrøm:確率解析と数理物理学における非標準手法、Academic Press 1986。
13. Edward Nelson : Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandard Analysis , Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 83, Number 6, November 1977. 内部集合論に関する章はhttp://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdfで閲覧可能
14. Vopěnka, P. 『代替集合論における数学』Teubner, ライプツィヒ, 1979年。
15. ロビンソン、エイブラハム: 「非標準分析」、Kon.ネデル。アカド。ウェテンシュ。アムステルダム州AM (=Indag. Math. 23)、1961、432-440。
16. アレン・バーンスタインとアブラハム・ロビンソン、「KTスミスとP.R.ハルモスの不変部分空間問題の解」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス16:3 (1966) 421-431
17. P. Halmos,多項式コンパクト演算子の不変部分空間、Pacific Journal of Mathematics、16:3 (1966) 433-437。
18. T. Kamae:非標準解析を用いたエルゴード定理の簡単な証明、イスラエル数学ジャーナル第42巻第4号、1982年。
19. L. van den Dries と AJ Wilkie：「多項式成長群に関するグロモフの定理と初等論理」、Journal of Algebra、Vol 89、1984 年。
20. Manevitz, Larry M.; Weinberger, Shmuel:離散円作用：非標準解析を用いたノート. Israel Journal of Mathematics 94 (1996), 147--155.
21. Capinski M., Cutland  N. J.非標準的確率流体力学法シンガポール 他、World Scientific Publishers (1995)
22. Cutland N. Loeb著『実践における測定：最近の進歩』ベルリン他：Springer（2001年）
23. ゴードン、EI;クスラエフ、AG; Kutateladze、SS (2002)、無限微解析、シュプリンガー ドルドレヒト
24. カノベイ & リーケン (2004)、p. 303.
25. Salbany, S.; Todorov, T.点集合位相における非標準解析Archived 22 January 2021 at the Wayback Machine . Erwing Schrodinger Institute for Mathematical Physics.
26. Chang, CC; Keisler, HJ モデル理論. 第3版. 論理学と数学の基礎研究, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 pp. ISBN 0-444-88054-2

参考文献

• クロウェル『微積分学』。無限小数点を使ったテキスト。
• ロバート・ゴールドブラット（1998）『超実数に関する講義．非標準解析入門．数学大学院テキスト，188．シュプリンガー・フェアラークMR 1643950 
• エルモソ著『非標準解析と超実数』。やさしい入門書。
• ハード、AEおよびローブ、PA：非標準実解析入門、ロンドン、アカデミックプレス、1985年。ISBN 0-12-362440-1
• Keisler, H. Jerome:確率解析への無限小アプローチ、アメリカ数学会誌第 297 巻、1984 年。
• Naranong S., 「モデル理論的観点からの非標準解析」ロビンソンの精神を引き継いだ簡潔な入門書。
• ロバート、A.非標準分析、ワイリー、ニューヨーク、1988年。ISBN 0-471-91703-6
• スコーレム、Th. (1934) 「Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen」、Fundamenta Mathematicae 23: 150–161。
• ストロヤン、K.微分積分学入門
• タオ, T.部屋のイプシロン II. 数学ブログ3年目のページ. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド, 2010年 (pp. 209–229).

さらに読む

• EE Rosinger, [math/0407178].非標準解析の簡単な入門. arxiv.org.

外部リンク

• ウィキクォートにおける非標準解析に関する引用
• リンゼイ・キーガン著『亡霊たちの亡霊』。 2018年4月25日アーカイブ、Wayback Machineにて