三目並べ

三目並べ

三目並べの完成ゲーム
その他の名称	〇〇と×印 XとO
ジャンル	紙と鉛筆を使ったゲーム
プレイヤー数	2
セットアップ時間	最小限
プレイ時間	約1分
チャンス	なし
スキル	戦略、戦術、観察

三目並べ（アメリカ英語）、○×（イギリス連邦英語）、または××（カナダまたはアイルランド英語）は、 2人のプレイヤーが交互に3×3のマス目に印をつける紙と鉛筆を使ったゲームです。プレイヤーは、マス目の横、縦、または対角線上の3つのマス目すべてに印を付けると勝ちとなり、その後、3つの印に線を引いて勝利を示します。このゲームは、両プレイヤーが ベストプレイをした場合、強制的に引き分けとなる、解けたゲームです。

名前

アメリカ英語では、このゲームは「tic-tac-toe」として知られています。「tick-tack-toe」、「tick-tat-toe」、「tit-tat-toe」と綴られることもあります。^{[ 1 ] [ 2 ]}

英連邦英語（特にイギリス英語、南アフリカ英語、インド英語、オーストラリア英語、ニュージーランド英語）では、このゲームは「noughts and crosses（ゼロとクロス）」と呼ばれ、または「naughts and crosses」と綴られることもあります。この名称は、ゲーム中のマーク（XとO）の形に由来しています。「nought」は数字のゼロの別名で、「cross」はXの形を指します。

時々、三目並べ（プレイヤーが「ピース」を追加し続けるゲーム）とスリーメンズモリス（一定数のピースを配置した後にピースが動き始めるゲーム）が混同されることがあります。

ゲームプレイ

三目並べは、3×3のマス目上で2人のプレイヤーが交互に9つのマス目のいずれかにXとOのマークを置いてプレイします

次の例では、最初のプレイヤー ( X ) が 7 ステップでゲームに勝利します。

三目並べゲーム、Xが勝ち

誰が最初にプレイするかについては普遍的に合意されたルールはありませんが、この記事では X が最初にプレイするという規則が使用されています。

プレイヤーはすぐに、両者の最善のプレイが引き分けにつながることを発見します。そのため、三目並べは、最適な戦略を発見していない可能性のある幼い子供たちによってプレイされることが多いのです。

三目並べは単純なため、スポーツマンシップの概念や、ゲームツリーの探索を扱う人工知能の分野を教える教育ツールとしてよく用いられます。三目並べを完璧にプレイするコンピュータプログラム、あるいはこの空間上で本質的に異なる765通りの局面（状態空間の複雑さ）や、回転や反射を含めた26,830通りのゲーム（ゲームツリーの複雑さ）を列挙するコンピュータプログラムを書くことは簡単です。^{[ 3 ]}両方のプレイヤーが最適にプレイした場合、ゲームは常に引き分けに終わり、三目並べは無益なゲームとなります。^{[ 4 ]}

三目並べの発生構造

このゲームはm、n、kゲームに一般化することができ、2 人のプレーヤーがmバイnのボードに自分の色の石を交互に置いていき、自分の色のk 個を一列に並べることを目標とする。三目並べは 3、3、3 ゲームである。^{[ 5 ]} Harary の一般化された三目並べは、三目並べをさらに広く一般化したものである。これはn ^dゲーム、具体的にはn = 3 かつd = 2であるゲームとして一般化することもできる。 ^{[ 6 ]}これは、行が線でセルが点である任意の発生構造でプレイすることでさらに一般化することができる。三目並べの発生構造は 3 本の水平線、3 本の垂直線、および 2 本の対角線の計 9 本の点から構成され、各線は少なくとも 3 つの点から構成される。

歴史

3つ並んだボードで遊ぶゲームの起源は古代エジプトにまで遡ります。^{[ 7 ]}紀元前1300年頃の屋根瓦の上に、そのようなゲームボードが発見されています。^{[ 8 ]}

三目並べの初期の種類は、紀元前1世紀頃のローマ帝国で行われていました。このゲームは「テルニ・ラピリ（一度に3つの小石）」と呼ばれ、駒の数は無制限でしたが、各プレイヤーは3つしか持たないため、ゲームを続けるには駒を空いているスペースに移動させる必要がありました。^{[ 9 ]}ローマのいたるところで、このゲームのマス目がチョークで記された跡が発見されています。似たような古代ゲームとしては、シンプルなマス目で3つの駒を並べることで終了する「スリー・メンズ・モリス」や、 ^{[ 10 ]}プエブロ族のゲーム「ピカリア」などがあります。

このゲームの様々な名称は比較的新しいものです。イギリスの名称である「noughts and crosses」（noughtは「ゼロ」の別名）が初めて印刷物に登場したのは1858年の『Notes and Queries』誌です。^{[ 11 ]}「tick-tack-toe」というゲームが初めて印刷物に登場したのは1884年ですが、これは「石板の上で遊ぶ子供のゲームで、目を閉じて鉛筆を数字の1つに当て、当たった数字が得点となる」という意味でした。「Tic-tac-toe」は、1558年に初めて記述されたバックギャモンの古いバージョンの名前である「tick-tack」に由来する可能性もあります。アメリカで「noughts and crosses」が「tic-tac-toe」に改名されたのは20世紀になってからです。^{[ 12 ]}

1952年、イギリスのコンピュータ科学者サンディ・ダグラスがケンブリッジ大学のEDSACコンピュータ用に開発したOXO（またはNoughts and Crosses ）は、世界初のビデオゲームの一つとなった。^{[ 13 ] [ 14 ]}コンピュータプレイヤーは、人間の相手を相手に完璧な三目並べをすることができた。^{[ 13 ]}

1975年には、 MITの学生たちがティンカートイの計算能力を実証するために三目並べを使った。ティンカートイ・コンピュータは（ほぼ）ティンカートイだけで作られており、三目並べを完璧にプレイすることができる。^{[ 15 ]}現在、コンピュータ歴史博物館に展示されている。^{[ 16 ]}

組合せ論

盤面の状態のみを考慮し、盤面の対称性（回転や鏡映）を考慮すると、終端盤面の位置はわずか138通りしかありません。このゲームの組み合わせ論的研究によると、「X」が常に先手を取る場合、ゲームの結果は以下のようになります。^{[ 17 ]}

• 91の異なるポジションは（X）によって獲得される
• 44の異なるポジションは（O）によって獲得される
• 3つの異なる位置が描かれる（しばしば「猫のゲーム」と呼ばれる^{[ 18 ]}）

戦略

左上からスタートする場合のプレイヤーXの最適戦略。各グリッドにおいて、赤い網掛けのXは最適な動きを示し、Oの次の動きの位置は次に検討すべきサブグリッドを示します。Oの2つの動き（どちらも中央、右上、左中央からスタート）のみが引き分けにつながり、残りの動きはXの勝利につながります

プレイヤー O の最適戦略。プレイヤー O は、最初に中央でプレイすることによってのみ、勝利または引き分けを強制できます。

プレイヤーは、ニューウェルとサイモンの1972年の三目並べプログラムで使用されているように、自分の番が来るたびに次のリストから最初の動きを選択すれば、三目並べで完璧なゲーム（勝つか少なくとも引き分け）をプレイすることができます。 ^{[ 19 ]}

1. 勝利: プレイヤーが 2 つ連続して並べた場合、3 つ目を置いて 3 つ連続することができます。
2. ブロック: 相手が 2 回連続でブロックした場合、プレイヤーは相手をブロックするために 3 回目を自分でプレイする必要があります。
3. フォーク: プレイヤーが勝つ方法が 2 つあるシナリオ (ブロックされていない 2 つのライン) を発生させます。
4. 相手のフォークをブロックする：相手がフォークを1つしか出せない場合、プレイヤーはそれをブロックすべきです。そうでない場合、プレイヤーは2連続でフォークを成立させるあらゆる方法で、同時に2連続のフォークを成立させるようにブロックすべきです。そうでない場合は、相手がフォークを成立させない限り、2連続で成立させて相手を守備に追い込むべきです。例えば、「X」が2つのコーナーを持ち、「O」がセンターを持っている場合、「O」はコーナーで勝つための動きをしてはいけません。（このシナリオでコーナーで動くと、「X」が勝つためのフォークが発生します。）
5. センター: プレイヤーはセンターをマークします。(ゲームの最初の動きの場合、コーナーの動きをすると、2番目のプレイヤーがミスを犯す機会が増えるため、より良い選択となる可能性があります。ただし、完璧なプレイヤー間では違いはありません。)
6. 反対のコーナー: 相手がコーナーにいる場合、プレーヤーは反対のコーナーをプレイします。
7. 空のコーナー: プレーヤーはコーナーのマス目でプレイします。
8. 空いている側: プレイヤーは 4 つの側のいずれかの中央のマス目でプレイします。

先攻プレイヤー（Xと表記）は、最初のターンで戦略的に異なる3つの位置をマークすることができます。一見すると、グリッドの9つのマス目に対応する9つの位置があるように見えるかもしれません。しかし、盤面を回転させてみると、最初のターンでは、すべてのコーナーマークは他のすべてのコーナーマークと戦略的に同等であることがわかります。エッジ（サイドの中央）マークについても同様です。したがって、戦略的な観点から見ると、最初のマークはコーナー、エッジ、センターの3つしかありません。プレイヤーXはこれらのどの開始マークからでも勝つか、引き分けを強いることができます。しかし、コーナーを打つと、相手は負けを避けるために打たなければならないマス目の選択肢が最も少なくなります。^{[ 20 ]}これは、コーナーを打つことがXにとって最善のオープニングムーブであることを示唆しているかもしれませんが、別の研究^{[ 21 ]}では、プレイヤーのプレイが完璧でない場合、センターを打つことがXにとって最善であることが示されています。

2番目のプレイヤー（「O」と表記）は、Xのオープニングマークに対し、強制勝利を回避するような対応をしなければなりません。プレイヤーOは、コーナーオープニングには常にセンターマークで、センターオープニングにはコーナーマークで対応しなければなりません。エッジオープニングには、センターマーク、Xの隣にあるコーナーマーク、またはXの反対側にあるエッジマークのいずれかで対応しなければなりません。それ以外の対応は、Xに強制勝利を許してしまいます。オープニングが完了したら、Oの役割は上記の優先順位に従ってドローを強制するか、Xが弱いプレイをした場合に勝利を得ることです。

より詳しく言うと、引き分けを保証するために、O は次の戦略を採用する必要があります。

• Xがコーナーのオープニングムーブを打った場合、Oはセンターを取り、次にエッジを取り、Xは次のムーブでブロックを強いる。こうすることでフォークの発生を防ぐことができる。XとOの両方がパーフェクトプレイヤーで、Xがコーナーをマークして開始する場合、Oはセンターを取り、Xは元のコーナーの反対側のコーナーを取る。この場合、Oは2手目にどのエッジでも自由に選択できる。しかし、Xがパーフェクトプレイヤーではなく、コーナーをマークしてからエッジを打った場合、Oは2手目に反対のエッジを打つべきではない。そうすることで、Xは次のムーブでブロックを強いられることがなくなり、フォークを打つことができるからだ。
• Xがエッジオープニングムーブを打った場合、OはセンターまたはXに隣接するコーナーのいずれかを取り、上記の優先順位リストに従い、主にブロックフォークに注意を払います。完璧なプレイであれば、OはXの反対エッジを取ることでドローを強制することもできます。
• X がセンターオープニングムーブをプレイした場合、O はコーナーを取り、上記の優先順位リストに従い、主にブロックフォークに注意する必要があります。

X が最初にコーナーをプレーし、O が完璧なプレーヤーでない場合は、次のことが起こる可能性があります。

• Oがセンターマーク（Oにとって最善の手）で応戦した場合、完璧なXプレイヤーは元のコーナーとは反対側のコーナーを取ります。その後、Oはエッジを打つべきです。しかし、Oが2手目にコーナーを打った場合、完璧なXプレイヤーは残りのコーナーをマークし、Oの3連打を阻止し、自らフォークを作ります。
• Oがコーナーマークで応戦した場合、Xの勝利は確実です。残りの2つのコーナーのいずれかを取ることで、Oは2つのXの間の位置しか取れなくなります。そして、残りのコーナーを取ってフォークを作ることで、次の手でXが勝利します。
• Oがエッジマークで応戦した場合、Xの勝利は確実です。センターを取ることで、OはXが先に打ったコーナーの反対側のコーナーしか取れなくなります。その後、コーナーを取ってフォークを作ることで、次の手でXが勝利します。

詳細

次のように番号が付けられた9つのポジションを持つボードを考えてみましょう。

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Xが最初の動きとして1を打った場合、Oは5を取るべきです。その後、Xは9を取るべきです（この状況では、Oは3または7を取るべきではなく、2、4、6、または8を取るべきです）。

• X1 → O5 → X9 → O2 → X8 → O7 → X3 → O6 → X4、このゲームは引き分けになります。

または 6 (この状況では、O は 4 や 7 を取るべきではなく、2、3、8、または 9 を取る必要があります。実際には、完璧でないプレーヤー X が 4 を取る可能性があり、O が 7 を取って勝つことができるため、9 を取るのが最善の動きです)。

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 の場合、O は 3 を取ってはならず、X は 7 を取って勝つことができ、O は 4 を取ってはならず、X は 9 を取って勝つことができ、O は 7 または 9 を取る必要があります。
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O7 → X3 → O9 → X4、このゲームは引き分けになります。
  • X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O9 → X4 (7) → O7 (4) → X3、このゲームは引き分けになります。
• X1 → O5 → X6 → O3 → X7 → O4 → X8 (9) → O9 (8) → X2、このゲームは引き分けになります。
• X1 → O5 → X6 → O8 → X2 → O3 → X7 → O4 → X9、このゲームは引き分けになります。
• X1 → O5 → X6 → O9 の場合、X は 4 を取ってはならず、O は 7 を取っても勝つことができ、X は 2、3、7、または 8 を取る必要があります。
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X2 → O3 → X7 → O4 → X8、このゲームは引き分けになります。
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X3 → O2 → X8 → O4 (7) → X7 (4)、このゲームは引き分けになります。
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X7 → O4 → X2 (3) → O3 (2) → X8、このゲームは引き分けになります。
  • X1 → O5 → X6 → O9 → X8 → O2 (3, 4, 7) → X4/7 (4/7, 2/3, 2/3) → O7/4 (7/4, 3/2, 3/2) → X3 (2, 7, 4)、このゲームは引き分けになります。

どちらの状況でも（Xは2手目に9か6を取る）、Xは⁠1/3⁠勝つための特性。

Xが完璧なプレイヤーでない場合、Xは2手目または3手目を取ることができます。その場合、このゲームは引き分けとなり、Xは勝つことができません

• X1 → O5 → X2 → O3 → X7 → O4 → X6 → O8 (9) → X9 (8)、このゲームは引き分けになります。
• X1 → O5 → X3 → O2 → X8 → O4 (6) → X6 (4) → O9 (7) → X7 (9)、このゲームは引き分けになります。

X が 1 回目のオープニング ムーブをプレイし、O が完璧なプレイヤーでない場合は、次のことが起こる可能性があります。

Oは最初の動きとして唯一の良い位置（5）を取りますが、Oは2番目の動きとして悪い位置を取ります。

• X1 → O5 → X9 → O3 → X7 とすると、X は 4 または 8 を取って勝つことができます。
• X1 → O5 → X6 → O4 → X3 と進むと、X は 7 または 9 を取って勝利できます。
• X1 → O5 → X6 → O7 → X3 の順で進めば、X は 2 または 9 を取って勝利できます。

O は最初の 2 手で良いポジションを取っていますが、3 手で悪いポジションを取っています。

• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O3 → X7 と進むと、X は 4 または 9 を取って勝利できます。
• X1 → O5 → X6 → O2 → X8 → O4 → X9 とすると、X は 3 または 7 で勝利できます。

O は最初の動きとして悪い位置を取ります (5 を除いて、他のすべての位置は悪いです):

• X1 → O3 → X7 → O4 → X9 とすると、X は 5 または 8 で勝利できます。
• X1 → O9 → X3 → O2 → X7 とすると、X は 4 または 5 で勝利できます。
• X1 → O2 → X5 → O9 → X7 とすると、X は 3 または 4 で勝利できます。
• X1 → O6 → X5 → O9 → X3 とすると、X は 2 または 7 を取って勝利できます。

バリエーション

多くのボードゲームには、 nを連続して並べるという要素があります。スリーメンズモリス、ナインメンズモリス、ペンテ、五目並べ、キュービック、コネクトフォー、クアルト、ゴブレット、オーダーアンドカオス、トスアクロス、モジョなどです。三目並べはm,n,kゲームの一例で、2人のプレイヤーがm × nのボードで交互に手番をこなし、どちらかがkを連続して並べるまで続けます。ハラリーの一般化された三目並べは、さらに広く一般化されています。 このゲームは、行をハイパーエッジ、セルを頂点とする任意のハイパーグラフ上でプレイすることで、さらに一般化できます

三目並べの他のバリエーションには次のようなものがあります。

• 3×3×3のボード上で展開する立体的な三目並べ。2人でプレイする場合、先攻プレイヤーが中央でプレイすれば簡単に勝利できます。

4x4のマス目を持つボードでプレイでき、勝ち方はいくつかあります。4つを直線に並べる、4つを斜めに並べる、4つをひし形に並べる、4つを正方形に並べるなどです。

もう一つのバリエーションであるQubicは4×4×4の盤上でプレイされ、 1980年にOren Patashnikによって解かれました（先手が勝利を強制できる）。^{[ 22 ]}より高次元のバリエーションも可能です。^{[ 6 ]}

• ミゼール・ティック・タック・トーでは、相手がn連続で出せば勝ちとなる。^{[ 23 ]} 3×3のゲームは引き分けとなる。より一般的には、奇数辺を持つ盤面（どの次元の盤面でも）において、先攻プレイヤーは中央のマスに手を打ち、その後相手の動きを真似ることで、引き分けまたは勝利となる。^{[ 6 ]}

• 「ワイルド」三目並べでは、プレイヤーは各移動ごとにXかOのどちらかを置くことを選択できます。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• ナンバースクラブルまたはピック15 ^{[ 27 ]}は三目並べと同型ですが、表面的には全く異なります。 ^{[ 28 ]} 2人のプレイヤーが順番に1から9までの数字を言います。同じ数字が重複してはいけません。3つの数字の合計が15になる数字を言ったプレイヤーが勝ちます。^{[ 27 ] [ 29 ]}すべての数字が使われ、誰も3つの数字を合計して15にならない場合は引き分けになります。^{[ 27 ]}これらの数字を3×3の魔方陣にプロットすると、3つの数字の合計が15になる場合にのみ、そのゲームは三目並べと全く同じであることがわかります。^{[ 30 ]}

	恐怖	または	試す	→ r
	である	ボート	〜によって	→ b
	10	〜の上に	どれでも	→ n
↙ t	↓ e	↓ o	↓ y	↘    あ

• 別の同型ゲームでは、慎重に選ばれた9つの単語のリストを使用します。例えば、「try」、「be」、「on」、「any」、「boat」、「by」、「ten」、「or」、「fear」などです。各プレイヤーは順番に1つの単語を選び、勝つためには同じ文字の単語を3つ選ばなければなりません。単語は、3つ並んだ線が勝つように、三目並べのグリッド上に配置することができます。^{[ 31 ]}
• 数字三目並べは、数学者ロナルド・グラハムによって考案されたゲームの一種です。このゲームでは1から9までの数字を使用します。最初のプレイヤーは奇数、次のプレイヤーは偶数でプレイします。すべての数字は一度しか使用できません。15ポイント（3つの数字の合計）を一列に並べたプレイヤーが勝ちます。
• 1970年代、トライアング・トイズ＆ゲームズ社が「チェックラインズ」という2人用ゲームを製造した。このゲームでは、盤面には11個の穴があり、 12の直線それぞれに3つの穴がある幾何学的なパターンで配置されていた。各プレイヤーはちょうど5個のトークンを持ち、順番にいずれかの穴にトークンを1個置いていく。トークンが3個ずつ2列に並んだプレイヤー（定義上、交差する線）が先に出たプレイヤーが勝者となる。10ターン目までにどちらのプレイヤーも勝利しなかった場合、次のターンは自分のトークンを残りの空いている穴に1つ移動させるという手順で進められる。ただし、この移動は隣接する穴からのみ行うことができるという制約があった。^{[ 32 ]}
• 古典的な3×3フィールドを使ったゲームのバリエーションもあり、勝つためには2列作る必要があるが、反対のアルゴリズムでは1列だけでよい。^{[ 33 ]}
• 量子三目並べでは、プレイヤーは盤上に量子的な数の重ね合わせを置くことができます。つまり、プレイヤーの動きは元の古典的なゲームにおける動きの「重ね合わせ」となります。このバリエーションは、ノバティア・ラボのアラン・ゴフによって発明されました。^{[ 34 ]}

大衆文化において

• 1876年、ジョージ・クーパーが作詞し、ジョン・ロジャース・トーマスが作曲した「Tit, Tac, Toe」という歌があります。^{[ 35 ]}
• 『This American Life』第452話^{[ 36 ]}は、フロリダ州が精神障害のある殺人犯を死刑に処した決定を覆そうとした弁護団の実話を描いています。弁護団は、三目並べをするニワトリを証拠として提示しました。三目並べをするニワトリを使ったアーケードゲームは1970年代半ばに人気がありました。ニワトリはオペラント条件付けを用いて訓練され、^{[ 37 ]}動きはコンピュータによって選択され、人間のプレイヤーには見えない光でニワトリに指示されました。^{[ 38 ]}
• 1983 年の SF 映画「ウォー・ゲーム」では、世界的熱核戦争は三目並べに似ていると描写されており、すべての側が可能な限り最も効果的な戦略で兵器を全面的に使用した場合、実際にはどちらの側も勝利することはない、とされている。

三目並べとそのバリエーションをベースにしたさまざまなゲーム番組が作られてきました。

• ハリウッド・スクエアでは、9人の有名人が三目並べのマス目を埋め、プレイヤーは有名人の質問への回答に正しく同意または反対することで、ボード上にシンボルを配置します。この番組には、ストーリーブック・スクエアやヒップホップ・スクエアなどのバリエーションがあります。イギリス版はセレブリティ・スクエアでした。オーストラリア版では、セレブリティ・スクエア、パーソナリティ・スクエア、オールスター・スクエアなど、様々なバージョンがありました。
• Tic-Tac-Doughでは、プレイヤーはさまざまなカテゴリの質問に答えることでボード上にシンボルを配置し、両方のプレイヤーが両方のターンを終えるとシンボルがシャッフルされます。
• Beat the Teacherでは、出場者は質問に答えて、三目並べのグリッドに影響を与える順番を勝ち取ります。
• 『ザ・プライス・イズ・ライト』には、いくつかの国別バージョンで「シークレットX」と呼ばれる価格ゲームが登場します。このゲームでは、プレイヤーは2つの小さな賞品の価格を推測し、X（さらに1つの無料のX）を獲得して、空白のボードに配置します。プレイヤーは、ボードの中央の列に隠された「シークレットX」の位置を推測してXを配置し、水平（横）または斜め（縦線は不可）に三目並べの線を描きます。このバージョンにはOは存在しません。
• Minute to Win It の「ピンタックトー」では、1人の出場者が9つの水を入れたグラスと白とオレンジのピンポンボールを使って、どちらかの色を3つ一列に並べることを競います。ピンポンボールが着地するたびに色を変え、ボールが邪魔にならないように注意しなければなりません。

参照

• ヘイルズ・ジューエットの定理
• m,n,kゲーム
• ナンバースクラブル

参考文献

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37. トリリン、カルビン（1999年2月1日）「チキンの消失」ニューヨーカー誌。ISSN 0028-792X 。 2019年8月29日閲覧。 
38. 「なぜニワトリは試合に勝ったのか？ 条件付け」 Star Tribune、2018年8月28日。 2019年9月15日閲覧。

外部リンク

• ウィクショナリーにおける「tic-tac-toe」の辞書定義
• ウィキメディア・コモンズの「三目並べ」関連メディア
• 「三目並べ」 Wolfram MathWorld 2002年3月11日
• 「語源 – 三目並べで引き分けになった場合、なぜ「猫のゲーム」と呼ばれるのでしょうか？」「 . English Language & Usage Stack Exchange . 2014年3月5日.– 描かれた三目並べのゲームを「猫のゲーム」と呼ぶことについての議論