ポイントの力

幾何学的な意味

初等平面幾何学において、点のべき乗は、与えられた点と与えられた円との相対距離を表す実数である。これは1826年にヤコブ・シュタイナーによって導入された。 ^{[ 1 ]}

具体的には、中心 と半径を持つ円に対する点の 力は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

が円の​​外側にある場合は、が円の上にある 場合は、が円の内側にある 場合はです。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)>0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$

ピタゴラスの定理により、この数字は図に示すような単純な幾何学的意味を持ちます。円の外側の点の場合、は点から円までの接線距離の 2 乗です。 ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle |PT|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

等しい累乗を持つ点、つまり の等値線は、円 と同心円です。 ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle c}$

シュタイナーは、円に関するいくつかの命題の証明に点の力を使用しました。たとえば、

• 4つの円と等角で交わる円の決定。^{[ 2 ]}
• アポロニウスの問題を解く
• マルファッティ円の作成：^{[ 3 ]}与えられた三角形に対して、互いに接し、三角形の2辺にそれぞれ接する3つの円を決定します。
• マルファッティの問題の球面版: ^{[ 4 ]}三角形は球面である。

円を調べるための必須ツールは、2 つの円の根軸と 3 つの円の根心です。

一連の円のべき乗図は、平面を、べき乗を最小化する円が一定である領域に分割し ます。

より一般的には、フランスの数学者 エドモン・ラゲールは、任意の代数曲線に対する点の累乗を同様の方法で定義しました。

幾何学的特性

リードに記載されているプロパティの他に、さらに次のプロパティがあります。

直交円

直交円（緑）

円の外側の任意の点には、円上に2つの接点があり 、それらは円から等距離にあります。したがって、円の中心が円を通る円は円も通り、円と直交します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle c}$

• 中心と半径を持つ円は円と直交します。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi(P)}}}$ ${\displaystyle c}$

2つの円の間の角度

を中心とする円の半径がと異なる場合、余弦定理を適用して 2 つの円の交差角度を求めます(図を参照)。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi(P)}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \\cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

（そして円の接線に対する 法線です。）${\displaystyle PS_{1}}$ ${\displaystyle OS_{1}}$

が青い円の内側にある場合、および は常に とは異なります。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 90^{\circ}}$

角度が与えられれば、二次方程式を解くことで 半径が得られる。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$ 。

交差する割線の定理、交差する弦の定理

割線定理、弦定理

交差正割定理と弦定理では、点のべき乗は不変量の役割を果たします。

• 交差正割定理：円の外の点と、正割線との交点について、次の命題が成り立ちます。したがって、積は直線に依存しません。 が接線である場合、 となり、命題は接正割定理となります。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• 交差弦定理:円内の点割線との交点については次の命題が成り立ちます:、したがって、積は直線とは無関係です。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$

ラジカル軸

点 と、中心、半径 の非同心円を2つ考えます。点 は円 に対してべき乗を持ちます。を持つすべての点の集合は根軸と呼ばれる直線です。この直線は円の可能な共通点を含み、直線 に垂直です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$ ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

割線定理、弦定理：共通証明

割線定理/弦定理：証明

正接定理を含む両方の定理は、一様に証明できます。

を点、を原点を中心とした円、任意の単位ベクトルとします。直線（ を通る）と円の可能な共通点の パラメータは、 媒介変数方程式を円の方程式に 代入することで決定できます。${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

ヴィエタの定理から次のことがわかります。

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$ . （ とは独立して）${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$ は円 に関する の累乗です。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

ポイントについては次のステートメントが得られます。 ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$ 円の外側にある場合は、${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$ 、円の内側にある場合（異なる符号を持ちます！）。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

直線の場合は接線となり、点から円までの接線距離の2乗となります。 ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

類似点、2つの円の共通力

類似点

相似点はシュタイナーの円の研究に不可欠なツールである。^{[ 5 ]}

2つの円が与えられた場合

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}=0\ .}$

相似性（相似）は、 を に写像し、半径をに伸ばし（揺らぎ）、中心を上にもちます。なぜなら、 だからです。中心がと の間にある場合、スケール係数は です。それ以外の場合はです。いずれの場合も、次のようになります。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$ 。

挿入して解くと次のようになります。 ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$ 。

2つの円の類似点：様々なケース

点は外部類似点と呼ばれ、は内部類似点と呼ばれます。 $${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$ $${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

の場合、が得られます。の 場合、 は直線の無限遠点であり、は の中心です。 の場合、円は内側の点で接します（両方の円は共通接線の同じ側にあります）。 の場合、円は外側の点で接します（両方の円は共通接線の異なる側にあります）。 ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle E=I=M_{i}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$ ${\displaystyle I}$

さらに：

• 円が分離している場合（円に共通点がない場合）、外側の共通接線は で交わり、内側の共通接線は で交わります。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$
• 一方の円がもう一方の円内に含まれる場合、点は両方の円内にあります 。${\displaystyle E,I}$
• これらのペアは射影調和共役です。それらの複比は です。${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

モンジュの定理は、 3 つの互いに交わらない円の外側の相似点は一直線上にあると述べています。

2つの円の共通累乗

2つの円の相似点とその共通力

二つの円、それらの外相似点、そして二つの円を四つの点で結ぶ直線をとします。点 の定義特性から、${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

そして、セカント定理（上記参照）から、２つの方程式は

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

これら3つの式を組み合わせると、次の式が得られます。 したがって、（直線に依存しません ！）。内側の相似点に関する同様の記述も真です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$

不変量は、2 つの円のシュタイナー共通累乗( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte )によって呼び出されます。^{[ 6 ]}${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

点のペアと は反相同点である。点のペアと は相同である。^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

2つの円に接する円の決定

二つの円の共通の力：応用

2つの円に接する円

2番目の割線は次のように通ります 。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

割線定理から次の式が得られます。

4 つの点は円上にあります。${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

同様に:

4 つの点も円上に存在します。${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

3 つの円の根号線は根号で交わるため (根号線の記事を参照)、次の式が得られます。

割線は与えられた 2 つの円の根軸上で交わります。${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

下の割線（図参照）を上の割線に向かって動かすと、赤い円は両方の与円に接する円になります。接円の中心は直線 の切片です。割線は点 で接線になります。接線は根線（図の黄色）で切片になります。 ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle p}$

同様の考慮により、与えられた円と点で交わる 2 番目の接円が生成されます(図を参照)。 ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

与えられた円に接する円はすべて、直線を変化させることで見つけることができます。 ${\displaystyle g}$

センターの位置

2つの円に接する円

が円の​​中心で、半径が で与えられた円に点 で接する場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

したがって、中心は双曲線上にあり、

焦点、${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

頂点間の距離、${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

中心は の中心です 。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

直線偏心と${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$ 。

外側の接線円を考慮すると、次のような類似の結果が得られます。

が円の​​中心で、半径が で与えられた円に点 で接する場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

中心は同じ双曲線上にあります。ただし、右の枝上にあります。

アポロニウスの問題も参照してください。

球に対する点の力

球面に対する力

円に対する点のべき乗という考え方は球面にも拡張できる。^{[ 9 ]}割線定理と弦定理は球面にも当てはまり、円の場合と同じように文字通り証明できる。

ダルブー積

点のべき乗は、2つの円の間のダルブー積の特別な場合であり、^{[ 10 ]で与えられる。}

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

ここで、A ₁とA ₂は2つの円の中心、r ₁とr ₂はそれぞれの半径です。点のべき乗は、半径のどちらかが0という特殊な場合に生じます。

2 つの円が直交する場合、ダルブー積はゼロになります。

2つの円が交差する場合、それらのダルブー積は

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

ここで、φは交差角です（直交円のセクションを参照）。

ラゲールの定理

ラゲールは、 n次の代数曲線に対する点Pのべき乗を、その点から、その点を通る円と曲線との交点までの距離の和を直径dのn乗で割ったものと定義した。ラゲールは、この数値が直径に依存しないことを示した（Laguerre 1905）。代数曲線が円の場合、これは本稿の残りの部分で定義される円に対する点のべき乗と完全に同じではなく、d ²倍の差がある。

参考文献

1. ヤコブ・シュタイナー: Einige geometrische Betrachtungen、1826、S. 164
2. シュタイナー、163ページ
3. シュタイナー、178ページ
4. シュタイナー、182ページ
5. シュタイナー: p. 170,171
6. シュタイナー: p. 175
7. Michel Chasles、CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie、erster Theil、Verlag Leibrock、ブラウンシュヴァイク、1856 年、p. 312
8. ウィリアム・J・マクレランド著『円の幾何学と円錐断面の相互法によるいくつかの拡張に関する論文』 1891年、クリエイティブ・メディア・パートナーズ社、 ISBN 978-0-344-90374-8、121,220ページ
9. KP Grothemeyer: Analytische Geometrie、Sammlung Göschen 65/65A、ベルリン、1962、S. 54
10. ピエール・ラロシェル、J.マイケル・マッカーシー： 2020年USCToMM機械システムおよびロボティクスシンポジウム議事録、2020年、Springer-Verlag、 ISBN 978-3-030-43929-3、97ページ

• コクセター、HSM（1969）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ワイリー。
• Darboux、Gaston (1872)、「Sur les relationship entre les groupes de Points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、1 : 323–392、doi : 10.24033/asens.87。
• ラゲール、エドモンド(1905)、Oeuuvres de Laguerre: Géométrie (フランス語)、Gauthier-Villars et fils、p. 20
• シュタイナー、ヤコブ(1826)。「Einige geometrischen Betrachtungen」 [いくつかの幾何学的考察]。クレレの日記（ドイツ語）。1 : 161–184 .土井: 10.1515/crll.1826.1.161。S2CID  122065577。図8～26。
• バーガー、マルセル（1987）、幾何学I、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-11658-5

さらに読む

• Ogilvy CS (1990)、Excursions in Geometry、Dover Publications、pp.  6– 23、ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM、Greitzer SL（1967年）、Geometry Revisited、ワシントン：MAA、pp.  27– 31、159– 160、ISBN 978-0-88385-619-2
• ジョンソン RA (1960)、『ユークリッド幾何学の高度化：三角形と円の幾何学に関する初等的論文』（1929年版ホートン・ミフリン編の再版）、ニューヨーク：ドーバー出版、  28～ 34頁、ISBN 978-0-486-46237-0

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「サークルパワー」。MathWorld 。
• 結び目を切る際の点のべき乗定理
• ピタゴラスの定理（証明 #22）の結び目カット
• 切断時の交差弦定理
• 交差弦定理インタラクティブアニメーション付き
• 交差正割定理インタラクティブアニメーション付き