双子素数
この記事では、対数について専門的な数学表記法を使用しています。log ( x )に添え字の底がない場合、すべて自然対数（一般的にln( x )またはlog e ( x )と表記される）として解釈されます。

双子素数とは、ある素数より2少ないか2多い素数です。例えば、双子素数ペア(17, 19)または(41, 43)のいずれかです。言い換えれば、双子素数とは素数間隔が2である素数です。双子素数という用語は、双子素数のペアを指すこともあります。別名、素数双子、素数ペアとも呼ばれます。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

双子素数は、数自体が大きくなるにつれて隣接する素数間の差が大きくなるという一般的な傾向と一致して、より広い範囲を調べるにつれてますます稀になります。しかし、双子素数が無限に存在するのか（いわゆる双子素数予想）それとも最大の素数が存在するのかは不明です。 2013年のYitang Zhang による画期的な研究[ 4 ]、そしてJames Maynard、Terence Taoらによる研究は、双子素数が無限に存在することを証明する上で大きな進歩を遂げましたが、現在のところ未解決のままです[ 5 ] 。

数学における未解決問題
双子素数は無限に存在するのでしょうか?
数学におけるさらなる未解決問題

プロパティ

通常、ペア（2, 3）は双子素数のペアとはみなされません。[ 6 ] 2は唯一の偶数素数であるため、このペアは1だけ異なる唯一の素数のペアです。したがって、双子素数は他の2つの素数に対して可能な限り接近しています。

最初のいくつかの双子素数ペアは

(3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、(17, 19)、(29, 31)、(41, 43)、(59, 61)、(71, 73)、(101, 103)、(107, 109)、(137, 139)、... OEIS :  A077800。

5は2つのペアに属する唯一の素数であり、 (3, 5)より大きいすべての双子素数ペアは、ある自然数nの形をとる。つまり、2つの素数の間の数は6の倍数である。[ 7 ] その結果、双子素数の任意のペア（3と5以外）の和は12で割り切れる。 （6n−1、6n+1）{\displaystyle (6n-1,6n+1)}

ブルンの定理

1915年、ヴィゴ・ブルンは双子素数の逆数の和が収束することを示した。[ 8 ] この有名な結果はブルンの定理と呼ばれ、ブルンの篩の最初の使用例であり、現代の篩理論の発展のきっかけとなった。ブルンの議論の現代版は、 N未満の双子素数の数がNを超えないこと を示すために使用できる。

C北（ログ⁡北）2{\displaystyle {\frac {CN}{(\log N)^{2}}}}

絶対定数C > 0に対してである。 [ 9 ] 実際には、上側は で囲まれている。 ここで は双子素定数（2/3よりわずかに小さい）であり、以下に示す。[ 10 ]8C2北（ログ⁡北）2[1+お⁡（ログ⁡ログ⁡北ログ⁡北）]、{\displaystyle {\frac {8C_{2}N}{(\log N)^{2}}}\left[1+\operatorname {\mathcal {O}} \left({\frac {\log \log N}{\log N}}\right)\right],}C2{\displaystyle C_{2}}

双子素数予想

双子素数が無限に存在するかどうかという問題は、長年にわたり数論における大きな未解決問題の一つである。これは双子素数予想の内容であり、素数pが無限に存在し、p + 2も素数となるというものである。1849年、ド・ポリニャックはより一般的な予想を立て、任意の自然数kに対して、 p + 2 kも素数となる素数pが無限に存在していると予想した[ 11 ]。ド・ポリニャックの予想のうち、 k = 1の 場合が双子素数予想である。

双子素数予想のより強い形式であるハーディ・リトルウッド予想は、素数定理に類似した双子素数の分布法則を仮定しています。

2013年4月17日、Yitang Zhangは、7000万未満の 整数Nが存在し、 Nだけ異なる素数のペアが無限に存在するという証明を発表しました。[ 12 ] Zhangの論文は2013年5月初旬に受理されました。[ 13 ] その後、Terence TaoはZhangの境界を改善するためのPolymath Projectの共同作業を提案しました。[ 14 ]

張の発表から1年後、この上限は246にまで縮小され、現在もその値を維持している。[ 15 ]これらの改善された上限は、ジェームズ・メイナードとテレンス・タオ によって独立に発見されたが、彼らは張のものよりも単純な別のアプローチを用いていた。この2番目のアプローチは、f(m)の幅を持つ無限個の区間に少なくともm個の素数が含まれることを保証するために必要な、f ( m )の最小上限も与えた。さらに（次のセクションも参照）、エリオット・ハルバースタム予想とその一般化形を仮定すると、Polymath Project wikiによれば、上限はそれぞれ12と6である。[ 15 ]

ゴールドバッハの予想が強化されれば、無限の数の双子素数が存在することや、シーゲル零点の存在も証明されることになる。

双子素数予想よりも弱い他の定理

1940 年、ポール・エルデシュは、定数c < 1と、 p ′ − p < c ln pを満たす無限個の素数pが存在することを示しました。ここで、p′ はpの次の素数を表します。これは、素数がどんどん大きくなるにつれて、これらの区間のサイズがゆっくり大きくなるようにすれば、2 つの素数( p、p ′)を含む区間が無限に見つかることを意味します。ここで、「ゆっくり大きくなる」とは、これらの区間の長さが対数的に大きくなる可能性があることを意味します。この結果はその後も改良され、1986 年にヘルムート・マイヤーは、定数c < 0.25を使用できることを示しました。2004 年にダニエル・ゴールドストンとジェム・ユルドゥルムは、定数をc = 0.085786...までさらに改良できることを示しました。 2005年にゴールドストン、ピンツ、ユルドゥルムはcを任意に小さく選択できることを明らかにした。 [ 16 ] [ 17 ] すなわち

限界無限大n→∞（pn+1−pnログ⁡pn）＝0 。{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\right)=0~.}

一方、この結果は、区間のサイズが、たとえばc ln ln pのようにのみ大きくなることを許可した場合に、2 つの素数を含む区間が無限に存在しない可能性があることを排除するものではありません。

エリオット＝ハルバースタム予想、あるいはそれよりわずかに弱いバージョンを仮定することで、彼らはnが無限個存在し、 n、n + 2、n + 6、n + 8、n + 12、n + 18、n + 20のうち少なくとも2つが素数となることを証明した。より強い仮説の下では、彼らは無限個のnに対して、 n、n + 2、n + 4、n + 6のうち少なくとも2つが素数となることを示した。

Yitang Zhangの結果、

限界無限大n→∞（pn+1−pn）<北 わ私th 北＝7×107、{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})<N~\mathrm {with} ~N=7\times 10^{7},}

これはゴールドストン・グラハム・ピンツ・ユルドゥルムの結果を大幅に改善したものである。ポリマス・プロジェクトによる張の限界値の改良とメイナードの研究により、この限界値は縮小され、下限値は最大246となった。[ 18 ] [ 19 ]

推測

第一ハーディ・リトルウッド予想

最初のハーディ・リトルウッド予想( GH ハーディとジョン・リトルウッドにちなんで名付けられている) は、双子素数予想の一般化です。素数定理と同様に、双子素数を含む素数群の分布に関するものです。 ⁠ ⁠で、p + 2も素数となるような素数p ≤ xの数を表します。双子素数定数C 2 を[ 20 ]と定義します (ここで、積はすべての素数p ≥ 3に拡張されます)。すると、最初のハーディ・リトルウッド予想の特殊なケースは、 2 つの式の商がx が無限大に近づくにつれて 1に近づく という意味でとなります[ 9 ] (2 番目の ~ は予想の一部ではなく、部分積分によって証明されます。) π2（×）{\displaystyle \pi_{2}(x)}C2＝∏ppr私メートルe、p≥3（1−1（p−1）2）≈0.660161815846869573927812110014…。{\displaystyle C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;\mathrm {prime,} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.660161815846869573927812110014\ldots .}π2（×）〜2C2×（ln⁡×）2〜2C2∫2×dt（ln⁡t）2{\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{\mathrm {d} t \over (\ln t)^{2}}}

この予想は、 ⁠ ⁠ が素数分布の1ln⁡t{\displaystyle {\tfrac {1}{\ln t}}}密度関数を記述すると仮定することで正当化されます（ただし証明はされていません） 。この仮定は素数定理によって示唆されており、上記の⁠ ⁠π2（×）{\displaystyle \pi_{2}(x)}の式に示されているように、双子素数予想が導かれます。

素数k組に関する完全に一般的な最初のハーディ・リトルウッド予想(ここでは示されていません) は、2 番目のハーディ・リトルウッド予想が誤りであることを意味します。

この予想はディクソンの予想によって拡張されました。

ポリニャックの予想

1849 年のポリニャックの予想は、任意の正の偶数kに対して、 pとp′が連続して素数ペアとなり、 p ′ − p = kとなる（すなわち、サイズkの素数ギャップが無限に存在する）というものである。 k = 2 の場合は双子素数予想である。この予想は特定のkの値に対して証明も反証もされていないが、張の結果は、少なくとも 1 つの（現時点では未知の）kの値に対して正しいことを証明している。実際、そのようなkが存在しなければ、任意の正の偶数の自然数Nに対して、すべてのm < Nに対してとなるnはせいぜい有限個しか存在せず、したがってnが十分に大きい場合、となるが、これは張の結果と矛盾する。[ 11 ]pn+1−pn＝メートル{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=m}pn+1−pn>北、{\displaystyle p_{n+1}-p_{n}>N,}

大きな双子素数

2007年以降、2つの分散コンピューティングプロジェクト、Twin Prime SearchとPrimeGridが、記録的な大きさの双子素数を複数生成してきました。2025年1月現在、最大の双子素数ペアは2996863034895 × 2 1290000 ± 1で、[ 21 ] 388,342桁の10進数です。これは2016年9月に発見されました。[ 22 ]

10未満の双子素数は808,675,888,577,436個ある。18. [ 23 ] [ 24 ]​

4.35 × 10までのすべての素数ペアの実証的分析15は、 x未満のそのような対の数がf ( x )· x /(logx ) 2であるとき、 xが小さい場合f(x)は約1.7であり、 x が無限大に近づくにつれて約1.3へと減少することを示しています。ハーディ・リトルウッド予想によれば、 f ( x )の極限値は双子素数定数( OEIS :  A114907 )（ブルンの定数と混同しないこと）の2倍に等しいと予想されます。

その他の基本的な性質

3つに1つの奇数は3で割り切れるため、連続する3つの奇数は、そのうちの1つが3でない限り、素数になることはありません。したがって、5は2つの双子素数ペアを構成する唯一の素数です。ペアの下側の要素は、定義によりChen素数です。

m  − 4 またはm + 6 も素数の場合 、3 つの素数は素数三つ組と呼ばれます。

ペア（m、  m  + 2）が双子素数となるのは、次の場合のみである ことが証明されている[ 25 ]。

4（（メートル−1）!+1）≡−メートル（モッドメートル（メートル+2））。{\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.}

自然数n > 1に対して (6 n − 1, 6 n + 1)という形式の双子素数ペアの場合、 n は0、2、3、5、7、または 8 で終わる必要があります ( OEIS :  A002822 )。nが1 または 6 で終わる場合、 6 nも 6 で終わり、 6 n −1 は 5 の倍数になります。これは、 n = 1 でない限り素数ではありません。 同様に、n が4 または 9 で終わる場合、 6 nも4 で終わり、 6 n +1 は 5 の倍数になります。同じ規則がp ≥ 5 の任意の素数を法として適用されます。 n ≡ ±6 −1 (mod p ) の場合、ペアの 1 つはpで割り切れ、 6 n = p ±1 でない限り双子素数ペアにはなりません。 p = 5 は、たまたま基数 10 で特に単純なパターンを生成します。

孤立した素数

孤立素数（単独素数または非双子素数とも呼ばれる）とは、 p  − 2 もp + 2 も素数にならない素数pのことです 。言い換えれば、pは双子素数の一部ではありません。例えば、21 と 25 はどちらも合成数なので、23 は孤立素数です。

最初のいくつかの孤立した素数は

2、23、37、47、53、67、79、83、89、97、... OEIS : A007510 。​​​​​​​​​​​​​​​ ​​

ブルンの定理によれば、与えられたしきい値n未満の孤立した素数の数と n 未満のすべての素数の比は、n が無限大に近づくにつれて 1 に近づくという意味で、ほとんどすべての素数は孤立していると言えます。

参照

参考文献

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  25. ^ PA Clement (1949年1月). 「素数集合の合同性」(PDF) . American Mathematical Monthly . 56 (1): 23– 25. doi : 10.2307/2305816 . JSTOR 2305816 . 

さらに読む

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