二次整数

数論において、二次整数は通常の整数を二次体へ一般化したものである。複素数は、係数が整数である2次の単項多項式（主係数が1である多項式）の根である場合、二次整数と呼ばれる。つまり、二次整数は2次の代数的整数である。したがって、二次整数とは、以下の形式の方程式の解となる複素数である。

x 2 + bx + c = 0

$b$ と $c$ は（通常の）整数です。代数的整数を考慮する場合、通常の整数はしばしば有理数整数と呼ばれます。

二次整数の一般的な例としては、などの有理整数の平方根や、ガウス整数を生成する複素数が挙げられます。また、実数でない1 の三次根も一般的な例であり、アイゼンシュタイン整数を生成します。 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$

二次整数は、ペル方程式などの多くのディオファントス方程式の解や、その他二次積分形式に関連する問題に現れます。二次整数環の研究は、代数的整数論の多くの問題の基礎となります。

歴史

中世インドの数学者は、すでに同じ判別式 $Dの二次整数の乗算を発見しており、これによって$ ペル方程式のいくつかの場合を解くことができました。

§二次整数の明示的表現で示した特徴づけは、 1871年にリヒャルト・デデキントによって初めて与えられた。 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

意味

二次整数は、2次代数整数です。もっと明確に言うと、複素数であり、形式 $x$ $2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $= 0$ の方程式を解きます( $b$ と $c は$ 整数)。整数ではない二次整数は有理数ではありません(つまり、 $b$ $2$ $- 4$ $c$ $> 0$ の場合は実無理数、 $b$ $2$ $- 4$ $c$ $< 0$ の場合は非実数) 。また、一意に決まる二次体、つまり、ある整数 $eに対して$ $b$ $2$ $- 4$ $c$ $=$ $De$ $2$ を満たす一意の平方自由整数 $D$ の平方根によって生成されるの拡張に存在します。 $D$ が正の場合、二次整数は実数です。 $D$ $< 0の場合、$ 虚数です(つまり、複素数で非実数です)。 $x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ $\mathbb {Q}$

二次体に属する二次整数（通常の整数を含む）は、整数環と呼ばれる整域を形成する。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$

与えられた二次体に属する二次整数は環を形成するが、二次整数全体の成す集合は加法や乗法に関して閉じていないため環ではない。例えば、とは二次整数であるが、とは最小多項式が4 次であるため環ではない。 $1+{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ $1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ $(1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}$

明示的な表現

ここで、そして以下で考察する二次整数は、 $D$ が平方自由整数である二次体に属する。これは一般性を制限するものではない。なぜなら、（任意の正の整数 $a$ に対して）等式が示す通りであるからである。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),$ ${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

の元 $xが2乗整数となるのは、2つの整数$ $a$ と $b$ が存在し、そのどちらかが ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

x=a+b{\sqrt {D}},

または、 $D - 1が$ $4$ の倍数の場合

x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},

a

と

b は

両方とも奇数です。

言い換えれば、すべての二次整数は $a + ωb$ と書くことができ、ここで $a$ と $b$ は整数であり、 $ωは$ 次のように定義される。

\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

（ $Dは$ 平方数でないと仮定されているので、 $D$ が4の平方で割り切れることを意味するため、このケースは不可能である。） ^[³^] ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

規範と活用

の2乗整数は次のように書ける。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$

{\textstyle a+b{\sqrt {D}}}

、

ここで、 $a$ と $b$ は両方とも整数、または $D\equiv1 （mod 4）$ の場合にのみ、両方とも奇数の整数の半分である。このような2乗整数の ノルムは

{\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}

二次整数のノルムは常に整数である。D $< 0$ $の$ 場合、二次整数のノルムは複素数としての絶対値の2乗である（の場合は偽）。ノルムは完全な乗法関数であるため、二次整数の積のノルムは常にそれらのノルムの積となる。 ${\textstyle D>0}$

すべての二次整数には共役な整数が存在する ${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$

{\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.}

二次整数はその共役なノルムと同じであり、このノルムは二次整数とその共役なノルムの積である。二次整数の和または積の共役は、それぞれ共役な和または積である。これは、共役が整数環の自己同型であることを意味する（以下の§ 二次整数環を参照）。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$

二次整数環

0 と 1 以外のすべての平方でない整数 $D は$ 、に含まれる代数的整数からなる整域である二次整数環を定義します。これは、 $D$ $= 4$ $k$ $+ 1$ の場合は、それ以外の場合は $ω$ $=$ $\sqrt$ $D$ となる集合です。これはの整数環であり、におけるの整閉包であるため、しばしばと表記されます。この環は、判別式 $B$ $2$ $- 4$ $C$ が $D$ と整数の平方の積であるすべての方程式 $x$ $2$ $+$ $Bx$ $+$ $C$ $= 0のすべての$ 根で構成されます。特に、√ Dはに属し、判別式として $4$ $D$ を持つ方程式 $x$ $2$ $-$ $D$ $= 0の根です。$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ $\mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}$ $\omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).$ $\mathbb {Z} [\omega ]$ $\mathbb {Z} [\omega ]$

任意の整数の平方根は二次整数です。すべての整数は $n = m 2 D$ と表記できます。ここで、 $D$ は平方でない整数であり、その平方根は $x 2 - m 2 D = 0$ の根です。

算術の基本定理は、多くの二次整数環では成り立ちません。しかし、イデアルには一意の因数分解が存在し、これはすべての代数的整数環がデデキント域であるという事実によって表現されます。二次整数は代数的整数の最も単純な例であるため、代数的整数論の多くの研究の出発点としてよく用いられます。^{[ 4 ]}

$二次整数環は、 D$ の符号によって2つのクラスに分けられます。 $D > 0$ の場合、のすべての元は実数であり、環は実二次整数環です。 $D$ $< 0$ の場合、の実数元は通常の整数のみであり、環は複素二次整数環です。 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

実数の二次整数環の場合、一意に因数分解できないことを示す類数は OEIS A003649に示されています。虚数環の場合はOEIS A000924に示されています。

ユニット

二次整数は、そのノルムが $1$ または $-1$ であるとき、かつその場合に限り、の整数環の単位となる。前者の場合、その乗法逆数はその共役数である。後者の場合、その乗法逆数はその共役数の否定である。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$

$D < 0$ の場合、の整数環は最大で6つの単位を持つ。ガウス整数（ $D$ $= -1$ ）の場合、4つの単位はである。アイゼンシュタイン整数（ $D$ $= -3$ ）の場合、6つの単位はである。その他のすべての負の $Dの場合、単位は$ $1$ と $-1$ の2つだけである。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ ${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$ ${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$

$D > 0$ の場合、の整数環には $\pm$ $u$ $i$ に等しい単位が無限に存在します。ここで $i$ は任意の整数、 $u は$ 基本単位と呼ばれる特定の単位です。基本単位 $u$ が与えられた場合、他に3つの基本単位、その共役単位、そしてが存在します。一般的に、「基本単位」とは、絶対値が1（実数として）より大きい唯一の単位のことです。これは、 $a$ $+$ $b$ $\sqrt$ $D$ と表される唯一の基本単位であり、 $a$ と $b は$ 正（整数または整数の半分）です。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)$ ${\overline {u}},$ $-u$ $-{\overline {u}}.$

正の平方自由度 $D$ の最小10個の基本単位は、（白銀比）、、（黄金比）、、、、、、、、、です。Dが大きくなると、基本単位の係数は非常に大きくなる可能性があります。例えば、 $D$ $= 19、31、43$ $の$ 場合、基本単位はそれぞれ、、、となります。 ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$ ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$ ${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$ ${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$ ${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$ ${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$ ${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$ ${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$ ${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$ ${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$

複素二次整数環の例

$D$ < 0の場合、 $ω$ は複素数（虚数あるいは実数でない数）である。したがって、二次整数環を代数的複素数の集合として扱うのが自然である。

典型的な例はガウス整数で、これは1800年頃にカール・ガウスが双二次相互法則を述べるために導入した。^[⁵^] $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]$
の要素はアイゼンシュタイン整数と呼ばれます。 ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\!{\bigr )}\right]$
の要素はクライン整数と呼ばれる。 ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\!{\bigr )}\right]$

上で述べた最初の2つの環は、それぞれ円分体Q(ζ4)とQ(ζ3)の整数環_である。対照的に、はデデキント_域ですらない。 $\mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\!{\bigr ]}$

上記の例はすべて主イデアル環であり、ノルムのユークリッド整域でもある。ただし、

{\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],

これは一意な因数分解領域でもありません。これは次のように示せます。

私たちには ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},$

9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

因数 3、およびは、いずれもノルムが 9 であるため、既約であり、既約でない場合はノルムが 3 の因数を持つことになりますが、これは不可能であり、 $\pm1$ の異なる元のノルムは少なくとも 4 です。したがって、9 を既約因数に因数分解することは一意ではありません。 $2+{\sqrt {-5}}$ $2-{\sqrt {-5}}$

とイデアルは主ではありません。簡単な計算により、それらの積は 3 によって生成されるイデアルであることが示され、それらが主であれば、 3 は既約ではないということになります。 $\langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle$ $\langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle$

実二次整数環の例

実平面において、 $π = a + bω は$ 黄金素数です $。x, y = (π, π)$ の写像を使用し、n ≠ 0の倍数 $\pmω n π$ を除外します $。$

$D > 0$ の場合、 $ω$ は正無理実数であり、対応する二次整数環は代数的実数の集合である。広く研究されているディオファントス方程式であるペル方程式 $X 2 - DY 2 = 1$ の解は、 $D$ $\equiv 2, 3 (mod 4)$ の場合、これらの環の単位である。

$D = 5$ の場合、 $ω = ⁠ 1 / 2 ⁠ (1+ \sqrt 5)は$ 黄金比である。この黄金整数環はピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレによって研究された $。その単位は\pm ω n$ の形を持ち、 $n$ は任意の整数である。この環は、例えばペンローズ・タイリングなど、5回回転対称性の研究からも導かれる。 ^[⁶^]
インドの数学者ブラフマグプタは、環 $Z$ $[$ $\sqrt$ $61$ $]$ に対応するペル方程式 $X 2 - 61 Y 2 = 1を扱いました。その結果の一部は、1657年に$ ピエール・フェルマーによってヨーロッパ社会に発表されました。

二次整数の主環

二次整数環の一意な因数分解性は、 $Z [\sqrt -5]$ の場合のように、必ずしも証明されるわけではない。しかし、すべてのデデキント整域と同様に、二次整数環が一意な因数分解整域となるのは、それが主イデアル整域である場合に限る。これは、対応する二次体の類数が1である場合に限る。

主イデアル環となる二次整数の虚環は完全に決定されている。これらは ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

D = -1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163

。

この結果はガウスによって最初に予想され、クルト・ヒーグナーによって証明されたが、ヒーグナーの証明はハロルド・スタークが1967年に証明するまで信じられなかった（スターク＝ヒーグナーの定理を参照）。これは有名な類数問題の特別な場合である。

$D > 0 の$ 正整数のうち、二次整数環が主イデアル環となるものは数多く知られている。しかし、その完全なリストは知られておらず、これらの主イデアル環の数が有限であるかどうかさえも分かっていない。

二次整数のユークリッド環

二次整数環が主イデアル領域であるとき、それがユークリッド領域であるかどうかを知ることは興味深い。この問題は以下のように完全に解決されている。

ユークリッド関数としてノルムを備えたは、負の $D$ のユークリッド領域である。 $N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|$ ${\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

D = -1, -2, -3, -7, -11

,^{[ 7 ]}

そして、 $D$ が正の場合、

D = 2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57、73 （

OEISの配列A048981）。

ユークリッド関数としてノルムを持つ二次整数環は他に存在しない。^{[ 8 ]} $負のD$ に対して、二次整数環がユークリッド環であるための必要十分条件は、ノルムがそれに対するユークリッド関数である場合である。したがって、

D = -19, -43, -67, -163

,

対応する 4 つの二次整数環は、ユークリッド領域ではない主イデアル領域の稀な既知の例の 1 つです。

一方、一般化リーマン予想は、主イデアル領域である実二次整数環が、あるユークリッド関数に対するユークリッド領域でもあることを示唆しており、これは通常のノルムとは異なる可能性がある。 ^{[ 9 ]} 値D = 14, 69は、二次整数環がユークリッドであることは証明されたが、ノルムユークリッドではないことが証明された最初の値であった。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

注記

^デデキント 1871、サプリメント X、p. 447
^ブルバキ 1994、99ページ
^ 「なぜ二次整数環はそのように定義されるのか？」math.stackexchange.com。2016年12月31日閲覧。
^アルティン、第13章
^ダミット＆フット 2004、229ページ
^デ・ブリュイン 1981
^ダミット＆フット 2004、272ページ
^ LeVeque 2002、pp. II:57, 81
^ P. Weinberger,代数的整数のユークリッド環について. 解析的数論（セントルイス、1972年）, Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.
^ハーパー 2004
^クラーク 1994

参考文献

アルティン、M、代数学（第2版）
ニコラス・ブルバキ（1994年）『数学史の要素』メルドラム（ジョン）訳、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-64767-6. MR 1290116 .
Clark, David A. (1994)、「ユークリッド的だがノルムユークリッド的ではない二次体」(PDF)、Manuscripta Mathematica、83 : 327–330、doi : 10.1007/BF02567617、2015年1月29日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ
de Bruijn、NG (1981)、「平面のペンローズの非周期タイリングの代数理論、I、II」(PDF)、Indagationes Mathematicae、43 ( 1): 39–66
リチャード・デデキント(1871)、Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (第 2 版)、Vieweg 、 2009 年 8 月 5 日取得
Dummit, DS; Foote, RM (2004) 『抽象代数』（第3版）
ハーパー、M. (2004)、「ユークリッド的である」、Can. J. Math. 56 , 56 : 55–70、doi : 10.4153/CJM-2004-003-9 $\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$
ルヴェック、ウィリアム・J. (2002) [1956]. 『数論の話題』第1巻と第2巻. ニューヨーク: ドーバー出版. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

さらに読む

JSミルン著『代数的数論』第3版、2008年9月28日オンライン講義ノート

[FOOTNOTEDedekind1871Supplement_X,_p._447-1] デデキント 1871、サプリメント X、p. 447

[FOOTNOTEBourbaki199499-2] ブルバキ 1994、99ページ

[3] 「なぜ二次整数環はそのように定義されるのか？」math.stackexchange.com。2016年12月31日閲覧。

[FOOTNOTEArtinCh_13-4] アルティン、第13章

[FOOTNOTEDummitFoote2004229-5] ダミット＆フット 2004、229ページ

[FOOTNOTEde_Bruijn1981-6] デ・ブリュイン 1981

[FOOTNOTEDummitFoote2004272-7] ダミット＆フット 2004、272ページ

[FOOTNOTELeVeque2002II:57,_81-8] LeVeque 2002、pp. II:57, 81

[9] P. Weinberger,代数的整数のユークリッド環について. 解析的数論（セントルイス、1972年）, Proc. Sympos. Pure Math. 24(1973), 321–332.

[FOOTNOTEHarper2004-10] ハーパー 2004

[FOOTNOTEClark1994-11] クラーク 1994

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]