モデルカテゴリー

数学、特にホモトピー理論において、モデル圏とは、 「弱同値」、「ファイブレーション」、「コファイブレーション」と呼ばれる、それぞれを関連付ける特定の公理を満たす、明確に区別された射（「矢印」）の類を持つ圏である。これらは位相空間または連鎖複体（導来圏論）の圏から抽象化される。この概念はダニエル・G・クイレン （1967 ）によって導入された。

近年、モデルカテゴリーの言語は代数K理論と代数幾何学の一部で使用されており、ホモトピー理論的アプローチによって深い成果がもたらされています。

モチベーション

モデル圏はホモトピー理論に自然な設定を与えることができる。位相空間の圏はモデル圏であり、ホモトピーは通常の理論に対応する。同様に、空間として考えられる対象は、単体集合の圏のように、モデル圏構造を持つことが多い。

もう一つのモデル圏は、可換環RのR -加群の鎖複体の圏である。この文脈におけるホモトピー理論はホモロジー代数である。ホモロジーはホモトピーの一種と見なすことができ、ホモロジーを群やR -代数などの他の対象に一般化することが可能になる。これはホモトピー理論の最初の主要な応用の一つである。ホモロジーに関する上記の例から、閉モデル圏の研究はホモトピー代数と考えられることがある。

正式な定義

クイレンが最初に提示した定義は「閉じたモデルカテゴリー」というものでした。当時、その前提は強力であるように思われ、他の人々はモデルカテゴリーを定義する際にいくつかの前提を弱めるよう促されました。実際には、この区別は重要ではないことが証明されており、近年の著者（例えば、マーク・ホーヴィーやフィリップ・ハーシュホーン）は「閉じたモデルカテゴリー」を扱っており、単に「閉じた」という形容詞を省略しています。

定義は、あるカテゴリ上のモデル構造の定義と、そのカテゴリ上の更なるカテゴリ条件の定義に分けられています。カテゴリ条件の必要性は一見すると無意味に思えるかもしれませんが、後々重要になります。以下の定義は、Hoveyの定義に従っています。

カテゴリC上のモデル構造は、3つの異なる射のクラス（同値なサブカテゴリ）から構成されます。すなわち、弱同値、ファイブレーション、コファイブレーション、そして2つの関数因数分解とで構成され、 以下の公理に従います。ファイブレーションが弱同値でもある場合は非巡回（または自明）ファイブレーション^{[ 1 ]}と呼ばれ、コファイブレーションが弱同値でもある場合は非巡回（または自明）コファイブレーション（またはアノダイン射と呼ばれることもあります）と呼ばれます。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\ガンマ,\デルタ)}$

公理

1. 撤回: gがいずれかの区別クラスに属する射であり、f がgの撤回（矢印カテゴリ の対象として、2 は2要素の順序集合）である場合、f は同じ区別クラスに属します。明示的に、 fがgの撤回であるという要件は、i、j、r、およびsが存在し、次の図が可換であることを意味します。 ${\displaystyle C^{2}}$

   

2. 2/3 : fとgがCのマップであり、gfが定義されており、これらのうちの任意の 2 つが弱同値である場合、3 番目も弱同値です。
3. 持ち上げ：非巡回コファイブレーションはファイブレーションに対して左持ち上げ特性を持ち、コファイブレーションは非巡回ファイブレーションに対して左持ち上げ特性を持つ。具体的には、次の図の外側の正方形が可換である場合（iはコファイブレーション、pはファイブレーション、iまたはpは非巡回）、図を完成させる hが存在する。

   

4. 因数分解：
   • Cのすべての射f は、ファイバ化pと非巡回コファイバ化iに対してと書くことができます。${\displaystyle p\circ i}$
   • Cのすべての射f は、非巡回ファイバpと共ファイバiに対してと表すことができます。${\displaystyle p\circ i}$

モデルカテゴリとは、モデル構造とすべての（小さな）極限および余極限を持つカテゴリ、つまり、モデル構造を持つ 完全かつ余完全なカテゴリです。

弱因数分解システムによる定義

上記の定義は、次の同値な定義によって簡潔に表現することができる。モデルカテゴリは、カテゴリCと、（いわゆる）弱同値性W、ファイバリングF、およびコファイバリングCの3つのクラスであり、

• C はすべての極限と余極限を持ち、

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$ は弱い因数分解システムであり、

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$ は弱い因数分解システムである
• ${\displaystyle W}$ 3つの特性のうち2つを満たす。^{[ 2 ]}

定義の最初の結果

公理は、3 つの写像のクラスのうち任意の 2 つが 3 番目の写像を決定することを意味します (たとえば、コファイブレーションと弱い同値性はファイブレーションを決定します)。

また、定義は自己双対です。つまり、 C がモデル カテゴリである場合、その反対カテゴリ もモデル構造を許容し、弱同値はその反対に対応し、ファイブレーションはコファイブレーションの反対であり、コファイブレーションはファイブレーションの反対です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$

例

位相空間

位相空間のカテゴリTopは、通常の(Serre) ファイブレーションと、弱ホモトピー同値としての弱同値を持つ標準モデル カテゴリ構造を許容します。コファイブレーションは、ここで見られる通常の概念ではなく、むしろ非巡回 Serre ファイブレーションに関して左持ち上げ特性を持つマップのより狭いクラスです。同値には、それらは、たとえば Hovey のモデル カテゴリで説明されているように、相対セル複体のリトラクトです。この構造は一意ではなく、一般に、特定のカテゴリには多くのモデル カテゴリ構造が存在する可能性があります。位相空間のカテゴリでは、別のそのような構造がHurewicz ファイブレーションと標準コファイブレーションによって与えられ、弱同値性は (強)ホモトピー同値です。

鎖状複合体

R加群の（非負次数）鎖複体のカテゴリには少なくとも 2 つのモデル構造があり、どちらもホモロジー代数で重要な役割を果たします。

• 弱い同値性はホモロジーにおいて同型性を誘導する写像である。
• コファイブレーションは、射影コカーネルを持つ各次数における単射である写像である。
• ファイブレーションは、各非零次数におけるエピモーフィズムである写像である。

または

• 弱い同値性はホモロジーにおいて同型性を誘導する写像である。
• ファイブレーションは、各次数において入射核を持つエピモーフィズムである写像である。
• コファイブレーションは、各非ゼロ次数において単射となる写像です。

これは、 R加群の Ext 群が、ソースを射影的に、またはターゲットを単射的に解決することによって計算できる理由を説明しています。これらは、それぞれのモデル構造における共繊維置換または繊維置換です。

R加群の任意の連鎖複体のカテゴリは、次のように定義されるモデル構造を持つ。

• 弱い同値性は連鎖複体の連鎖ホモトピー同値性である。
• コファイブレーションは、基礎となるRモジュールの射として分割される単射である。
• ファイブレーションは、基礎となるRモジュールの射として分割されるエピモーフィズムです。

その他の例

モデル構造を許容するカテゴリの他の例としては、すべての小さなカテゴリのカテゴリ、任意の小さなグロタンディーク サイト上の単体セットまたは単体前束のカテゴリ、位相スペクトルのカテゴリ、および小さなグロタンディーク サイト上の単体スペクトルまたは単体スペクトルの前束のカテゴリなどがあります。

圏における単体的対象は、モデル圏の頻繁な源となる。例えば、単体的可換環や単体的R -加群は、自然なモデル構造を持つ。これは、単体集合と単体的可換環の間に（忘却関手と自由関手によって与えられる）随伴関係があり、適切な場合には随伴関係の下でモデル構造を持ち上げることが可能であることから導かれる。

単体モデル圏とは、単体構造と互換性のあるモデル構造を持つ単体圏である。 ^{[ 3 ]}

任意のカテゴリCとモデルカテゴリMが与えられた場合、ある追加の仮定の下で、関数手のカテゴリFun ( C、M ) ( MではC -図とも呼ばれる) もモデルカテゴリです。実際には、異なるモデル構造には常に2 つの候補があります。1 つは、いわゆる射影モデル構造で、ファイブレーションと弱同値性は、 Cの各オブジェクトで評価されたときにファイブレーションと弱同値である関数のマップです。双対的に、入射モデル構造は、代わりにコファイブレーションと弱同値性を持つものと似ています。どちらの場合も、3 番目の射影のクラスは、持ち上げ条件によって与えられます (以下を参照)。場合によっては、カテゴリCがReedy カテゴリである場合に、射影と入射の中間に位置する 3 番目のモデル構造が存在します。

特定の写像を、同じ基礎カテゴリ上の新しいモデルカテゴリ構造において弱同値に強制する過程は、バウスフィールド局所化として知られています。例えば、単体層のカテゴリは、単体前層のモデルカテゴリのバウスフィールド局所化として得られます。

デニス・シャルル・シシンスキーは^{[ 4 ]}前層カテゴリ上のモデル構造の一般理論（単体カテゴリの前層である単体集合の一般化）を展開した。

Cがモデル圏であるならば、 Cのプロオブジェクトの圏 Pro( C ) もモデル圏である。しかし、 Pro( C )上のモデル構造は、Cに弱い公理の集合を課すことによっても構築できる。^{[ 5 ]}

いくつかの構造

全ての閉モデル圏は、完全性によって終対象を、余完全性によって始対象を持つ。なぜなら、これらの対象はそれぞれ空図式の極限と余極限だからである。モデル圏における対象Xが与えられたとき、始対象からXへの唯一の写像がコファイブレーションであるならば、Xはコファイブラントであると言われる。同様に、 Xから終対象への唯一の写像がファイブレーションであるならば、 Xはファイブラントであると言われる。

ZとX がモデル圏の対象であり、Zが共フィブラントであり、 ZからXへの弱同値性が存在する場合、Z はXの共フィブラント置換であるといわれます。同様に、Zがフィブラントであり、 XからZへの弱同値性が存在する場合、ZはXのフィブラント置換であるといわれます。一般に、すべての対象がフィブラントまたは共フィブラントであるとは限りませんが、そうである場合もあります。例えば、単体集合の標準モデル圏ではすべての対象が共フィブラントであり、位相空間に対して上記で示した標準モデル圏構造ではすべての対象がフィブラントです。

左ホモトピーは円筒オブジェクトに関して定義され、右ホモトピーは経路空間オブジェクトに関して定義されます。これらの概念は、定義域がコフィブラントであり、余定義域がフィブラントである場合に一致します。この場合、ホモトピーはモデル圏のホム集合上の同値関係を定義し、ホモトピー類を生み出します。

持ち上げ特性によるファイブレーションとコファイブレーションの特徴づけ

コファイブレーションは、非巡回ファイブレーションに対して左持ち上げ特性を持つ写像として特徴付けられ、非巡回コファイブレーションはファイブレーションに対して左持ち上げ特性を持つ写像として特徴付けられます。同様に、ファイブレーションは、非巡回コファイブレーションに対して右持ち上げ特性を持つ写像として特徴付けられ、非巡回ファイブレーションは、コファイブレーションに対して右持ち上げ特性を持つ写像として特徴付けられます。

ホモトピーとホモトピー圏

モデル圏Cのホモトピー圏は、弱同値性のクラスに関するCの局所化である。このホモトピー圏の定義は、ファイブレーションとコファイブレーションの選択に依存しない。しかし、ファイブレーションとコファイブレーションのクラスは、ホモトピー圏を別の方法で記述するのに有用であり、特に圏の一般的な局所化で生じる集合論的な問題を回避するのに役立つ。より正確には、「モデル圏の基本定理」は、Cのホモトピー圏は、 Cのファイブラントかつコファイブラントなオブジェクトを対象とし、その射が上記で定義した写像の左ホモトピー類（同値、写像の右ホモトピー類）である圏と同値であると述べている。（例えば、Hovey著『モデル圏』、Thm 1.2.10を参照）

これを上記のモデル構造を持つ位相空間のカテゴリに適用すると、結果として得られるホモトピー カテゴリは、CW 複体のカテゴリと連続マップのホモトピー類に等しくなり、名前の由来となります。

キレン付加物

随伴関数のペア

${\displaystyle F:C\leftrightarrows D:G}$

二つのモデルカテゴリCとDの間のQuillen随伴とは、Fがコファイブレーションと非巡回コファイブレーションを保存するか、あるいは閉モデル公理によって同値となり、Gがファイブレーションと非巡回ファイブレーションを保存する場合を指す。この場合、FとGは随伴を誘導する 。

${\displaystyle LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG}$

ホモトピー圏間の同値性。後者が同値であるための明示的な基準も存在する（この場合、 FとGはQuillen同値性と呼ばれる）。

典型的な例は、単体集合と位相空間 の間の標準的な随伴関係である。

${\displaystyle |-|:\mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing}$

単体集合の幾何学的実現と、ある位相空間における特異鎖を含む。sSet圏とTop圏は同値ではないが、それらのホモトピー圏は同値である。したがって、ホモトピー圏の同値性から、単体集合は位相空間のモデルとしてしばしば用いられる。

参照

• (∞,1)-カテゴリ
• コサイクルカテゴリー
• 安定モデルカテゴリー

注記

1. 一部の読者は「自明な」という用語が曖昧だと感じ、「非巡回的な」という用語の使用を好みます。
2. リール（2014、§11.3）
3. [1]の定義2.1。
4. シシンスキー、デニス＝チャールズ。 Les préfaisceaux comme modèles des Types d'homotopie。 (フランス語) [ホモトピー型のモデルとしてのプレシーブ] Astérisque No. 308 (2006)、xxiv+390 pp. ISBN 978-2-85629-225-9MR  2294028
5. Barnea, Ilan; Schlank, Tomer M. (2016), 「プロ単体層上の射影モデル構造と相対エタールホモトピー型」, Advances in Mathematics , 291 : 784– 858, arXiv : 1109.5477 , Bibcode : 2011arXiv1109.5477B , doi : 10.1016/j.aim.2015.11.014 , MR 3459031 

参考文献

• Denis-Charles Cisinski : Les préfaisceaux commes modèles des Types d'homotopie、Astérisque、(308) 2006、xxiv+392 pp。
• Dwyer, William G. ; Spaliński, Jan (1995)、「ホモトピー理論とモデルカテゴリー」（PDF）、代数的位相幾何学ハンドブック、アムステルダム：北ホラント、pp.  73– 126、doi：10.1016/B978-044481779-2/50003-1、ISBN 9780444817792、MR  1361887
• フィリップ・S・ヒルシュホーン：モデルカテゴリーとその局所化、2003年、ISBN 0-8218-3279-4。
• マーク・ホーヴィー：モデルカテゴリー、1999年、ISBN 0-8218-1359-5。
• クラウス・ハイナー・カンプスとティモシー・ポーター：抽象ホモトピーと単純ホモトピー理論、1997年、ワールドサイエンティフィック、ISBN 981-02-1602-5。
• Georges Maltsiniotis:グロタンディークの理論理論。アステリスク、(301) 2005、vi+140 pp。

• リール、エミリー（2014）、カテゴリカルホモトピー理論、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9781107261457、ISBN 978-1-107-04845-4、MR  3221774

• Quillen, Daniel G. (1967), Homotopical algebra , Lecture Notes in Mathematics, No. 43, vol. 43, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0097438 , ISBN 978-3-540-03914-3、MR  0223432

• バルチン、スコット（2021）、モデルカテゴリーハンドブック、代数と応用、第27巻、シュプリンガー、doi：10.1007 / 978-3-030-75035-0、ISBN 978-3-030-75034-3、MR  4385504、S2CID  240268465

さらに読む

• 「モデルカテゴリはまだ必要ですか？」
• 「モデルカテゴリから直接得られる(無限大,1)カテゴリ」
• Paul Goerss と Kristen Schemmerhorn、モデル カテゴリと単純な手法

外部リンク

• nラボのモデルカテゴリー
• Joyalのキャットラボのモデルカテゴリ