有理曲面

数学の一分野である代数幾何学において、有理曲面（ゆうりょうわん）とは、射影平面と双有理的に同値な曲面、すなわち2次元の有理多様体である。有理曲面は、エンリケス・コダイラの複素曲面の分類における10種ほどの曲面クラスの中で最も単純なものであり、最初に研究された曲面である。

構造

あらゆる非特異有理曲面は、極小有理曲面を繰り返し拡大することで得られる。極小有理曲面とは、射影平面と、r = 0 またはr ≥ 2のヒルツェブルッフ面Σ _rである。

不変条件:多属はすべて 0 であり、基本群は自明です。

ホッジダイヤモンド：

		1
	0		0
0		1+ n		0
	0		0
		1

ここで、 nは射影平面の場合は 0、ヒルツェブルッフ面の場合は 1 、その他の有理面の場合は 1 より大きくなります。

ピカール群は奇ユニモジュラー格子I _{1, n}である。ただし、ヒルツェブルッフ面Σ _{2 m}の場合は偶ユニモジュラー格子 II _{1,1 で}ある。

カステルヌオーヴォの定理

グイド・カステルヌオーヴォは、 qとP ₂（不規則性と第二多種性） がともに零となるような任意の複素曲面は有理曲面であることを証明した。これは、エンリケス・コダイラ分類において有理曲面を識別するために用いられている。ザリスキ（1958）は、カステルヌオーヴォの定理が正標数の体上でも成立することを証明した。

カステルヌオーヴォの定理は、任意の単有理複素曲面が有理曲面であることをも示唆する。なぜなら、複素曲面が単有理曲面である場合、その不規則性と多種数は有理曲面のそれらによって制限され、したがってすべて0となるため、曲面は有理曲面となるからである。3次元以上の単有理複素多様体のほとんどは有理曲面ではない。ザリスキ（1958）は、標数p > 0 において、有理曲面ではない単有理曲面（ザリスキ曲面）の例を発見した。

かつては、qとP _{1 が両方とも消える複素曲面が有理曲面であるかどうかは不明であったが、}フェデリゴ・エンリケスによって反例 (エンリケス曲面) が発見された。

有理曲面の例

• ボルディガ面:一般位置の 10 点を通る四次曲線で定義されるP ⁴への射影平面の 6 次埋め込み 。
• シャトレの表面
• コブル面
• 3次曲面特異でない3次曲面は、6点に拡大された射影平面と同型であり、ファノ曲面です。フェルマーの3次曲面、ケーリーの3次曲面、クレプシュの対角曲面などが例として挙げられます。
• デル・ペッツォ面（ファノ面）
• エンネパー面
• ヒルツェブルッフ面Σ _n
• P ¹ × P ¹ 2本の射影直線の積はヒルツェブルッフ面 Σ ₀である。これは2つの異なるルーリングを持つ唯一の面である。
• 射影平面
• セグレ面2 つの二次曲面の交差。5 点で拡大された射影平面と同型。
• シュタイナー面P ⁴内の特異点を持つ面であり、射影平面に対して双有理的である。
• ホワイト サーフェスは、ボルディガ サーフェスの一般化です。
• ヴェロネーゼ面射影平面をP ⁵に埋め込むもの。

参照

• 代数曲面のリスト

参考文献

• バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ボーヴィル、アルノー（1996）、複素代数面、ロンドン数学会学生テキスト第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-49510-3、MR  1406314
• ザリスキ、オスカー（1958）、「代数面のカステルヌオーヴォの有理性基準p _a = P _{2 = 0について」、}イリノイ数学ジャーナル、2：303-315、ISSN  0019-2082、MR  0099990

外部リンク

• Le Superficie Algebriche : （最小の）複雑な代数的滑らかな表面の地理を視覚的に研究するためのツール