シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式は、非相対論的量子力学系の波動関数を支配する偏微分方程式である。 ^{[ 1 ] : 1–2} この発見は量子力学の発展における重要なマイルストーンであった。この方程式は、オーストリアの物理学者エルヴィン・シュレーディンガーにちなんで名付けられた。彼は1925年にこの方程式を提唱し、1926年に発表した。この方程式は、 1933年のノーベル物理学賞につながる研究の基礎となった。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

概念的には、シュレーディンガー方程式は古典力学におけるニュートンの第二法則の量子版である。一連の既知の初期条件が与えられた場合、ニュートンの第二法則は、与えられた物理系が時間の経過とともにどのような経路をたどるかを数学的に予測する。シュレーディンガー方程式は、孤立した物理系の量子力学的特徴である波動関数の時間発展を与える。この方程式は、すべての物質は関連する物質波を持つというルイ・ド・ブロイの仮説に基づいてシュレーディンガーによって提唱された。この方程式は、実験的観測と一致する原子の束縛状態を予測した。 ^{[ 5 ]：II：268}

シュレーディンガー方程式は、量子力学系を研究し、予測を行う唯一の方法ではありません。量子力学の他の定式化としては、ヴェルナー・ハイゼンベルクによって導入された行列力学や、リチャード・ファインマンによって主に発展した経路積分定式化などがあります。これらのアプローチを比較する場合、シュレーディンガー方程式の使用は「波動力学」と呼ばれることがあります。

シュレーディンガーによって与えられた方程式は、時間で 1 次導関数、空間で 2 次導関数を含んでいるため非相対論的であり、そのため空間と時間は同等ではありません。ポール ディラックは特殊相対論と量子力学を1 つの定式化に組み込み、非相対論的極限でシュレーディンガー方程式に簡略化しました。これがディラック方程式であり、空間と時間の両方で 1 つの導関数を含んでいます。別の偏微分方程式であるクライン–ゴルドン方程式は、相対論的波動方程式であったにもかかわらず、確率密度に関する問題を引き起こしました。確率密度は負になる可能性があり、これは物理的に実行不可能です。ディラックは、いわゆるクライン–ゴルドン演算子の平方根を取り、ディラック行列を導入することでこれを修正しました。現代的な文脈では、クライン–ゴルドン方程式はスピン 0.5 の粒子を記述し、ディラック方程式はスピン 1/2 の粒子を記述します。

意味

予選

物理学や化学の入門コースでは、シュレーディンガー方程式が、基本的な微積分、特に空間と時間に関する微分の概念と表記法の知識があれば理解できるような形で紹介されるのが一般的です。そのような用語で記述できるシュレーディンガー方程式の特殊なケースとして、1次元の単一の非相対論的粒子に対する位置空間シュレーディンガー方程式があります。 ここ で、は波動関数、つまり各時点 の各点に複素数を割り当てる関数です。パラメータは粒子の質量、 は粒子が存在する環境を表す位置エネルギー関数です。 ^{[ 6 ]：74} 定数は虚数単位、は換算プランク定数で、作用の単位（エネルギー× 時間）を持ちます。^{[ 6 ]：10} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$$ ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(x,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \hbar}$

V = 0の非相対論的自由シュレーディンガー方程式を満たす波動関数の複素プロット。詳細は波束を参照のこと。

この単純なケースを超えて拡張すると、ポール・ディラック^{[ 7 ]}、デイヴィッド・ヒルベルト^{[ 8 ]}、ジョン・フォン・ノイマン^{[ 9 ]}、ヘルマン・ワイル^{[ 10 ]}によって展開された量子力学の数学的定式化は、量子力学システムの状態を可分な複素ヒルベルト空間に属するベクトルとして定義します。このベクトルはヒルベルト空間の内積で正規化されると仮定されます。つまり、ディラック表記では に従います。このヒルベルト空間の正確な性質はシステムに依存します。たとえば、位置と運動量を記述するためのヒルベルト空間は平方積分可能な関数の空間ですが、単一陽子のスピンのヒルベルト空間は通常の内積を持つ2次元複素ベクトル空間です。^{[ 6 ] : 322} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

位置、運動量、エネルギー、スピンといった関心のある物理量は、ヒルベルト空間に作用する自己随伴演算子である観測量によって表されます。波動関数は観測量の固有ベクトルになることができ、その場合それは固有状態と呼ばれ、関連付けられた固有値はその固有状態における観測量の値に対応します。より一般的には、量子状態は固有状態の線形結合となり、量子重ね合わせとして知られています。観測量が測定されると、結果はボルン則によって与えられる確率を持つその固有値の 1 つになります。最も単純なケースでは、固有値は非退化であり、確率は によって与えられます。ここではそれに関連付けられた固有ベクトルです。より一般的には、固有値は退化しており、確率はによって与えられます。ここではそれに関連付けられた固有空間への射影です。^{[注 1 ]}${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle |\lambda \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{\lambda}}$

運動量固有状態は無限大の広がりを持つ完全な単色波であり、これは二乗積分可能ではない。同様に、位置固有状態はディラックのデルタ分布であり、二乗積分不可能であり、厳密には関数ではない。したがって、どちらも粒子のヒルベルト空間に属することはできない。物理学者は、ヒルベルト空間外の要素で構成されるこれらの固有状態を「一般化固有ベクトル」と見なすことがある。これらは計算上の便宜のために用いられ、物理的な状態を表すものではない。^{[ 11 ] [ 12 ] : 100–105} したがって、上記で用いた位置空間波動関数は、時間依存状態ベクトルと非物理的だが便利な「位置固有状態」との内積として表すことができる。 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |x\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$$

時間依存方程式

これら3行はそれぞれ、調和振動子の時間依存シュレーディンガー方程式を満たす波動関数です。左：波動関数の実部（青）と虚部（赤）。右：与えられた位置でこの波動関数を持つ粒子を見つける確率分布。上の2行は定常状態の例であり、定在波に対応します。下の行は定常状態ではない状態の例です。

シュレーディンガー方程式の形は物理的状況に依存する。最も一般的な形は時間依存シュレーディンガー方程式であり、これは時間とともに変化する系を記述する：^{[ 13 ]：143}

時間依存シュレーディンガー方程式 （一般）

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle }$

ここで、 は時間、は量子系の状態ベクトル（ギリシャ文字のpsi）、 は観測可能なハミルトン演算子です。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

「シュレーディンガー方程式」という用語は、一般的な方程式と、特定の非相対論的バージョンの両方を指します。一般的な方程式は実に汎用的で、ディラック方程式から量子場の理論に至るまで、量子力学のあらゆる分野において、ハミルトニアンに様々な表現を代入することで用いられます。特定の非相対論的バージョンは、多くの状況で正確な結果をもたらす近似ですが、その精度には限界があります（相対論的量子力学および相対論的量子場の理論を参照）。

シュレーディンガー方程式を適用するには、系を構成する粒子の運動エネルギーと位置エネルギーを考慮したハミルトニアンを書き出し、それをシュレーディンガー方程式に代入する。得られた偏微分方程式を波動関数について解くと、波動関数は系に関する情報を含む。実際には、各点における波動関数の絶対値の2乗が確率密度関数を定義する。^{[ 6 ]：78} 例えば、上記のような位置空間における波動関数が与えられている場合、 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ $${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$$

時間に依存しない方程式

上で述べた時間依存シュレーディンガー方程式は、波動関数が定常波（定常状態）を形成できることを予測しています。これらの状態は、後に個々の研究を行うことで、任意の状態に対する時間依存シュレーディンガー方程式を解く作業が簡素化されるため、特に重要です。定常状態は、シュレーディンガー方程式のより単純な形である、時間非依存シュレーディンガー方程式によって記述することもできます。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式（一般）

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$

ここで、 は系のエネルギーである。^{[ 6 ] : 134} これは、ハミルトニアン自体が明示的に時間に依存しない場合にのみ使用される。しかし、この場合でも、全体の波動関数は、以下の線形性のセクションで説明するように、時間に依存する。線形代数の言語では、この方程式は固有値方程式である。したがって、波動関数は、対応する固有値を持つハミルトニアン演算子の固有関数である。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

プロパティ

直線性

シュレーディンガー方程式は線型微分方程式であり、2 つの状態ベクトルおよびが解であれば、 2 つの状態ベクトルの任意の線型結合も解となる（ただし、 aおよびbは任意の複素数）。^{[ 14 ] : 25} さらに、任意の数の状態ベクトルに対して和を拡張できる。この特性により、量子状態の重ね合わせがシュレーディンガー方程式の解となることができる。さらに一般的には、シュレーディンガー方程式の一般解は状態の基底にわたって重み付き和をとることで見つけることができるとされている。よく用いられる選択はエネルギー固有状態の基底であり、これは時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解である。この基底では、時間に依存する状態ベクトルは線型結合として表すことができ、 ここでは複素数、ベクトルは時間に依存しない方程式の解である。 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$

ユニタリティー

ハミルトニアン定数を保持すると、シュレーディンガー方程式は解を持つ^{[ 13 ]。} 演算子は時間発展演算子として知られ、ユニタリである。つまり、ヒルベルト空間のベクトル間の内積を保存する。^{[ 14 ]}ユニタリ性は、シュレーディンガー方程式による時間発展の一般的な特徴である。初期状態が の場合、後の時点における状態は、 なんらかのユニタリ演算子 に対してによって与えられる 。逆に、 がによってパラメータ化されたユニタリ演算子の連続族であるとする。一般性を失うことなく、^{[ 15 ]}パラメータ化は、 が恒等演算子であり、任意の に対してとなるように選択することができる。すると、 は 、なんらかの自己随伴演算子 に対してとなるような方法で パラメータ に依存し、 は族 の生成元と呼ばれる。ハミルトニアンは、まさにそのような生成元である（自然単位で 1 に設定されるプランク定数の係数まで）。生成器がエルミートであることを確認するには、 を用いて となり、 がユニタリとなるのは、 その導関数が一階までエルミートである場合のみであることに注意する。 ^{[ 16 ]}${\displaystyle {\hat {H}}}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$ ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)\approx {\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(\delta t)^{\dagger }{\hat {U}}(\delta t)\approx ({\hat {U}}(0)^{\dagger }+i{\hat {G}}^{\dagger }\delta t)({\hat {U}}(0)-i{\hat {G}}\delta t)=I+i\delta t({\hat {G}}^{\dagger }-{\hat {G}})+O(\delta t^{2}),}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$

基準の変更

シュレーディンガー方程式は、位置の関数として変化する量を用いて表現されることが多いが、ベクトル作用素方程式としては、ヒルベルト空間内の任意の完全なケット基底において有効な表現を持つ。上述のように、計算目的では、物理的なヒルベルト空間の外にある「基底」も用いられる。これは、非相対論的でスピンのない粒子に対する位置空間シュレーディンガー方程式と運動量空間シュレーディンガー方程式によって示される。 ^{[ 12 ] : 182} このような粒子のヒルベルト空間は、3 次元ユークリッド空間上の複素平方可積分関数の空間であり、そのハミルトニアンは運動量演算子の 2 次である運動エネルギー項と位置エネルギー項の和です。3 次元の位置ベクトルを 、3次元の運動量ベクトルを と 書くと、位置空間のシュレーディンガー方程式は次のようになります。運動量空間の対応する方程式には、 波動関数のフーリエ変換と位置エネルギー が含まれます。 関数とは次の式から導かれます。ここ で、とはヒルベルト空間自体には属していませんが、その空間のすべての要素と明確に定義された内積を持ちます。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$$ $${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$

3次元から1次元に制限すると、位置空間方程式は、上記で示したシュレーディンガー方程式の最初の形式に過ぎません。量子力学における位置と運動量の関係は、1次元で理解できます。正準量子化では、古典的な変数とが、正準交換関係を満たす自己随伴演算子およびに昇格されます 。これは、^{[ 12 ] : 190 を} 意味するので、位置空間表現における 運動量演算子の作用は です。したがって、は2次導関数となり、3次元では、2次導関数はラプラシアンになります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$ $${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

正準交換関係は、位置演算子と運動量演算子が互いにフーリエ共役であることも意味する。したがって、もともと位置依存性で定義された関数は、フーリエ変換を用いて運動量の関数に変換することができる。^{[ 6 ] : 103–104} 固体物理学では、シュレーディンガー方程式は運動量の関数として書かれることが多い。これは、ブロッホの定理により、周期的な結晶格子ポテンシャルが離散的な逆格子ベクトルに対してのみ と結合することが保証されるためである。これにより、ブリルアンゾーン内の各点における運動量空間シュレーディンガー方程式を、ブリルアンゾーン内の他の点とは独立に解くのが便利になる。 ^{[ 17 ] : 138} ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+\hbar K)}$ ${\displaystyle K}$

確率電流

シュレーディンガー方程式は局所確率保存則と整合している。^{[ 12 ] : 238} また、正規化された波動関数は時間発展後も正規化されたままであることを保証する。行列力学において、これは時間発展演算子がユニタリ演算子であることを意味する。^{[ 18 ]}例えばクライン・ゴードン方程式とは対照的に、波動関数の再定義された内積は時間に依存しない可能性があるが、波動関数の係数二乗の全体積積分は時間に依存しない必要はない。^{[ 19 ]}

非相対論的量子力学における確率の連続方程式は次のように表されます: ここで 、 は確率電流または確率流束 (単位面積あたりの流れ) です。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )}$$

波動関数が⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \psi ({\bf {x}},t)={\sqrt {\rho ({\bf {x}},t)}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S({\bf {x}},t)\right)}$ （波動関数の複素位相を表す実関数）と表される場合、確率フラックスは次のように計算されます。したがって、波動関数の位相の空間的変化は、波動関数の確率フラックスを特徴付けると言えます。この因子は速度の役割を果たしているように見えますが、位置と速度を同時に測定することは不確定性原理に反するため、ある点における速度を表すものではありません。^{[ 18 ]}${\displaystyle S(\mathbf {x} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\rho \nabla S}{m}}.}$$ ${\textstyle {\nabla S}/{m}}$

変数の分離

ハミルトニアンが時間の明示的な関数でない場合、シュレーディンガー方程式は次のように書けます。 左辺の演算子は時間のみに依存し、右辺の演算子は空間のみに依存します。変数分離法で方程式を解くということは、空間部分と時間部分の積の形の解を求めることを意味します^{[ 20 ]。} ここで、はシステムを構成する粒子のすべての空間座標のみの関数であり、は時間のみの関数です。この式を時間依存の左辺に代入すると、は位相因子であることがわかります。 このタイプの解は定常と呼ばれます。なぜなら、時間依存性は位相因子のみであり、ボルン則によって確率密度を計算すると相殺されるからです^{[ 13 ] : 143ff} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \tau (t)}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau (t)}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$$

完全な波動関数の空間部分は方程式^{[ 21 ]} を解き 、エネルギーは位相因子に現れる。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$$ ${\displaystyle E}$

これは、任意の数の粒子、任意の数の次元（時間に依存しないポテンシャル内）に一般化されます。時間に依存しない方程式の定在波解は、異なるエネルギーの確率分布ではなく、特定のエネルギーを持つ状態です。物理学では、これらの定在波は「定常状態」または「エネルギー固有状態」と呼ばれ、化学では「原子軌道」または「分子軌道」と呼ばれます。エネルギー固有状態の重ね合わせは、エネルギー準位間の相対的な位相に応じて特性が変化します。エネルギー固有状態は基底を形成します。つまり、任意の波動関数は、離散エネルギー状態の総和、連続エネルギー状態全体の積分、あるいはより一般的には測度全体の積分として表すことができます。これはスペクトル定理の一例であり、有限次元状態空間においては、エルミート行列の固有ベクトルの完全性を単に表明しているに過ぎません。

変数分離法は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式にも有用な手法です。例えば、問題の対称性に応じて、 直交座標軸を分離したり、 ラジアル座標と角度座標を分離したりすることができます。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$$

例

箱の中の粒子

1次元ポテンシャルエネルギーボックス（または無限ポテンシャル井戸）

1次元のポテンシャルエネルギーボックス内の粒子は、拘束条件がエネルギー準位の量子化につながる数学的に最も単純な例である。このボックスは、ある領域内ではポテンシャルエネルギーがゼロで、その外側ではポテンシャルエネルギーが無限大であると定義される。^{[ 12 ] : 77–78} 方向の1次元の場合、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}{\vphantom {\psi }}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

前の式で定義された微分演算子は、 古典的な運動エネルギーの類似物を想起させます。 この場合の 状態は、粒子の運動エネルギーと一致するエネルギーを持ちます。 $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle E}$

箱の中の粒子に対するシュレーディンガー方程式の一般解は、 またはオイラーの公式から、 $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).}$$

箱の無限のポテンシャル壁は、 およびにおけるおよびの値を決定します。ただし、 はゼロでなければなりません。したがって、 では、 です。 ではは ゼロにすることはできません。これは、 のノルムが1である公理と矛盾するからです。したがって、 は の整数倍でなければならないため、はの整数倍でなければなりません。 ${\displaystyle C,D,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle x=L}$ $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sin(kL)=0}$ ${\displaystyle kL}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

この制約はエネルギーレベルに対する制約を意味し、 ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

有限ポテンシャル井戸は、無限ポテンシャル井戸問題を有限の深さを持つポテンシャル井戸に一般化したものである。有限ポテンシャル井戸問題は、波動関数が井戸の壁でゼロに固定されないため、無限粒子箱問題よりも数学的に複雑である。その代わりに、波動関数は井戸の外側の領域では非ゼロとなるため、より複雑な数学的境界条件を満たす必要がある。もう一つの関連する問題は長方形ポテンシャル障壁の問題であり、これはフラッシュメモリや走査トンネル顕微鏡などの現代技術の性能において重要な役割を果たす量子トンネル効果のモデルを提供する。

調和振動子

古典力学（A–B）と量子力学（C–H）における調和振動子。（A–B）では、バネ に接続された球が前後に振動している。（C–H）は、この状況におけるシュレーディンガー方程式の6つの解である。横軸は位置、縦軸は波動関数の実部（青）または虚部（赤）である。時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解である定常状態、またはエネルギー固有状態は、C、D、E、Fに示されているが、GとHは示されていない。

この状況におけるシュレーディンガー方程式は、 変位と角周波数である。さらに、この方程式は、振動する原子、分子[22]、格子内の原子またはイオン[23]など、様々な系を近似的に記述するのに用いることができ、 平衡点^付近の他のポテンシャル^{を近似する}こともできる。また、量子力学における 摂動法の基礎でもある。$${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m{\vphantom {x^{2}}}}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2{\vphantom {x^{2}}}}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$

位置空間における解は であり 、関数は次数のエルミート多項式である。解の集合は次のように生成される。 $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.}$$

固有値は $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

この場合は基底状態と呼ばれ、そのエネルギーは零点エネルギーと呼ばれ、波動関数はガウス分布である。^{[ 24 ]}${\displaystyle n=0}$

調和振動子は、箱の中の粒子のように、束縛された固有状態のエネルギーが離散化されるというシュレーディンガー方程式の一般的な特徴を示しています。^{[ 12 ]：352}

水素原子

水素原子中の電子の異なるエネルギー準位における波動関数。シュレーディンガー方程式の解に従ってプロットされている。

水素原子（または水素のような原子） 内の電子のシュレーディンガー方程式は、電子の電荷、電子の原子核に対する位置、相対位置の大きさ、ポテンシャル項 はクーロン相互作用によるもので 、自由空間の誘電率、 は質量 の水素原子核（単なる陽子）と質量 の電子の 2 体縮約質量です。陽子と電子は反対に帯電しているので、ポテンシャル項に負の符号が生じます。電子と陽子は共通の質量中心の周りを互いに周回し、解くべき 2 体問題を構成しているため、電子質量の代わりに縮約質量が使用されます。ここで主に関心があるのは電子の運動であるため、同等の 1 体問題は縮約質量を使用した電子の運動です。 $${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi }$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}}$$ ${\displaystyle m_{p}}$ ${\displaystyle m_{q}}$

水素原子のシュレーディンガー方程式は変数分離法で解くことができる。^{[ 25 ]}この場合、球面極座標が最も便利である。したがって、 Rはラジアル関数、 Rは次数と位数の球面調和関数である。これはシュレーディンガー方程式が厳密に解かれた唯一の原子である。多電子原子には近似解法が必要である。解の族は以下の通りである。^{[ 26 ]} ここで $${\displaystyle \psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\ Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\ \Theta (\theta )\ \Phi (\varphi ),}$$ ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}}$ はボーア半径であり、
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$ は次数 の一般化ラゲール多項式であり、${\displaystyle n-\ell -1}$
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$ はそれぞれ主量子数、方位量子数、磁気量子数であり、以下の値をとる。${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

近似解

物理的に興味のある状況において、シュレーディンガー方程式を正確に解くことは通常不可能です。そのため、変分法やWKB近似などの手法を用いて近似解を得ます。また、興味のある問題を、正確に解ける問題への小さな修正として扱うことも一般的であり、この手法は摂動論として知られています。

半古典的限界

古典力学と量子力学を比較する簡単な方法の 1 つは、期待される位置と期待される運動量の時間発展を考えることです。これは、古典力学における通常の位置と運動量の時間発展と比較できます。^{[ 27 ] : 302} 量子期待値はエーレンフェストの定理を満たします。ポテンシャル 内を運動する 1 次元の量子粒子の場合、エーレンフェストの 定理によれば、これらの式の最初のものは古典的な振る舞いと一致しますが、2 番目はそうではありません。このペアがニュートンの第 2 法則を満たす場合、2 番目の式の右辺は になる必要があり、 これは通常 と同じではありません。したがって、一般的な の場合、量子力学では、期待値が古典的な振る舞いを模倣しない予測を行うことができます。ただし、量子調和振動子の場合はが線形であり、この違いは消えるため、この非常に特殊なケースでは、期待される位置と期待される運動量が古典的な軌道に正確に従います。 ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$$ ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ $${\displaystyle -V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$$ ${\displaystyle -\left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'}$

一般的なシステムでは、期待される位置と運動量がおおよそ古典的な軌道に従うことが期待できるに過ぎません。波動関数が点 の周りに高度に集中している場合、と はほぼ等しくなります。なぜなら、どちらも にほぼ等しいからです。その場合、期待される位置と運動量は、少なくとも波動関数の位置が非常に局所的である限り、古典的な軌道に非常に近いままです。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

シュレーディンガー方程式の一般形は ハミルトン・ヤコビ方程式（HJE） と密接な関係があり、 ここでは古典作用であり、はハミルトン関数（演算子ではない）である。^{[ 27 ]：308} ここで、 （HJEの文脈で使用される）の一般化座標は、 として直交座標の位置にセットすることができる。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}$$ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

確率密度で ある をシュレーディンガー方程式に代入し 、結果として得られる方程式の極限を取ると、ハミルトン・ヤコビ方程式が得られます。 $${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

密度行列

波動関数は、量子系とその挙動を記述するのに必ずしも最も便利な方法ではない。系の準備が不完全にしか分かっていない場合、あるいは調査対象の系がより大きな全体の一部である場合、代わりに密度行列が用いられることがある。^{[ 27 ] : 74} 密度行列は、そのトレースが1に等しい半正定値演算子である。（「密度演算子」という用語も、特に基礎となるヒルベルト空間が無限次元である場合に用いられる。）すべての密度行列の集合は凸であり、端点はヒルベルト空間のベクトルに射影される演算子である。これらは波動関数の密度行列表現であり、ディラック記法では次のように書かれる。$${\displaystyle {\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.}$$

波動関数のシュレーディンガー方程式の密度行列類似体は^{[ 28 ] [ 29 ]} である 。ここで括弧は交換子を表す。これはフォン・ノイマン方程式、リウヴィル・フォン・ノイマン方程式、あるいは単に密度行列のシュレーディンガー方程式とも呼ばれる。^{[ 27 ]：312} ハミルトニアンが時間に依存しない場合、この方程式は簡単に解けて次式が得られる。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\ {\hat {\rho }}(0)\ e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.}$$

より一般的には、ユニタリー演算子が波動関数のある時間間隔での発展を記述する場合、同じ時間間隔での密度行列の時間発展は次のように表される。 ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t)\ {\hat {\rho }}(0)\ {\hat {U}}(t)^{\dagger }.}$$

密度行列のユニタリー発展はフォン・ノイマン・エントロピーを保存する。^{[ 27 ]：267}

相対論的量子物理学と量子場理論

上で述べた一粒子シュレーディンガー方程式は、本質的に非相対論的領域で成立する。その理由の一つとして、この方程式はガリレイ変換の下で本質的に不変であり、ガリレイ変換はニュートン力学の対称群を形成する。^{[注 2 ]}さらに、粒子数を変化させる過程は相対論において自然であるため、一粒子（あるいは任意の固定数）に対する方程式は限定的にしか利用できない。^{[ 31 ]}相対論的状況にも適用されるシュレーディンガー方程式のより一般的な形は、量子力学と特殊相対論を組み合わせる枠組みである量子場理論（QFT）の中で定式化できる。両者が同時に適用される領域は、相対論的量子力学によって記述できる。このような記述には、シュレーディンガー関数法のように、ハミルトン演算子によって生成される時間発展を用いることができる。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式

量子物理学と特殊相対論を融合させる試みは、 非相対論的エネルギー方程式ではなく、相対論的エネルギー・運動量関係から相対論的波動方程式を構築することから始まった。クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は、そのような方程式の2つである。クライン・ゴルドン方程式は、 非相対論的一粒子シュレーディンガー方程式よりも前に得られた最初の方程式であり、質量を持つスピンのない粒子に適用できる。歴史的に、ディラックは、相対論的理論にとって望ましい特性である、時間と空間の両方で一階となる微分方程式を求めることでディラック方程式を得た。このようにクライン・ゴルドン方程式の左辺の「平方根」を取るには、それを2つの演算子の積に因数分解する必要があり、ディラックはこれを4×4行列を用いて記述した。その結果、波動関数も4成分関数となり、自由空間では次のように表されるディラック方程式に従う。 $${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},}$$ $${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,}$$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta }$ $${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

これもシュレーディンガー方程式の形をとり、波動関数の時間微分は波動関数に作用するハミルトニアン演算子によって与えられます。粒子への影響を含めるには、ハミルトニアン演算子を修正する必要があります。たとえば、電磁場 (電磁ポテンシャルφとAで記述) における質量mと電荷qの粒子に対するディラック ハミルトニアンは、次のようになります。 ここで、 γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ )およびγ ⁰は、粒子のスピンに関連するディラックのガンマ行列です。ディラック方程式はすべてのスピン1 ⁄ 2粒子に対して成り立ち、方程式の解は4 成分スピノル場であり、そのうち 2 つの成分は粒子に対応し、他の 2 つは反粒子に対応します。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],}$$

クライン・ゴルドン方程式の場合、シュレーディンガー方程式の一般形は扱いにくく、実際上、ハミルトニアンはディラック・ハミルトニアンと類似した方法で表現されない。クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式がその例である相対論的量子場の方程式は、ラグランジアン密度から出発して場のオイラー・ラグランジュ方程式を用いる、あるいは、特定の表現を用いて与えられたスピン（および質量）を持つ自由粒子の方程式を固定できるローレンツ群の表現論を用いるなど、他の方法でも得られる。

一般に、一般シュレーディンガー方程式に代入されるハミルトニアンは、位置・運動量演算子（および場合によっては時間）の関数であるだけでなく、スピン行列の関数でもある。また、スピンsの質量を持つ粒子に対する相対論的波動方程式の解は、複素数値2( 2s +1)成分のスピノル場である。

フォック空間

元々定式化されたディラック方程式は、波動関数 を持つ単一粒子シュレーディンガー方程式と同様に、単一量子粒子に対する方程式である。これは、粒子数が固定されていない相対論的量子力学では限られた用途しかない。経験的に、この複雑さは、質量とエネルギーの等価性からエネルギーから物質粒子が生成できるという点に着目することで説明できる。QFT でこの問題に対処する一般的な方法は、基底状態が粒子数でラベル付けされるヒルベルト空間、いわゆるフォック空間を導入することである。すると、このヒルベルト空間上の量子状態に対してシュレーディンガー方程式を定式化できる。^{[ 31 ]}しかし、シュレーディンガー方程式は好ましい時間軸を選択するため、理論のローレンツ不変性はもはや明示されず、したがって、理論は他の方法で定式化されることが多い。^{[ 36 ]}${\displaystyle \Psi (x,t)}$

歴史

エルヴィン・シュレーディンガー

マックス・プランクの光の量子化（黒体輻射を参照）に従って、アルバート・アインシュタインはプランクの量子を光の粒子である光子と解釈し、光子のエネルギーは周波数に比例すると提唱しました。これは波動と粒子の二重性の最初の兆候の1つです。エネルギーと運動量は特殊相対性理論における周波数と波数と同じように関連しているので、光子の運動量は波長に反比例する、つまり波数に比例するということになります。 ここで、 はプランク定数、は換算プランク定数です。ルイ・ド・ブロイは、これは電子のように質量を持つ粒子も含め、すべての粒子に当てはまると仮説を立てました。彼は、物質の波がその粒子とともに伝播すると仮定すると、電子は定在波を形成し、原子核の周りでは特定の離散的な回転周波数のみが許可されることを示しました。^{[ 37 ]}これらの量子化された軌道は離散的なエネルギー準位 に対応し、ド・ブロイはエネルギー準位に対するボーア模型の式を再現した。ボーア模型は、角運動量の量子化を仮定したものであり、 ド ・ブロイによれば、電子は波として記述され、電子軌道の円周に沿って波長の整数倍が収まる必要がある。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \hbar ={h}/{2\pi }}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .}$$ $${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$$

このアプローチは本質的に、電子波を半径 の円軌道に沿って 1 次元内に閉じ込めます。 ${\displaystyle r}$

1921年、ド・ブロイに先立ち、シカゴ大学のアーサー・C・ランは、相対論的エネルギー・運動量4次元ベクトルの完成に基づく同じ議論を用いて、現在ド・ブロイの関係式と呼ばれるものを導出しました。^{[ 38 ] [ 39 ]}

ド・ブロイの考えを受け継いだ物理学者ピーター・デバイは、粒子が波として振舞うならば、何らかの波動方程式を満たすはずだと、何気なく発言した。^{[ 40 ]}デバイの発言に触発され、シュレーディンガーは電子の適切な3次元波動方程式を見つけようと決意した。彼は、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによる力学と光学のアナロジーに導かれた。これは、光学のゼロ波長極限が機械系に似ているという観察に象徴されている。光線の軌跡は、最小作用の原理の類似体であるフェルマーの原理に従う鋭い軌跡となる。^{[ 41 ]}

アンネマリーとエルヴィン・シュレーディンガーの墓石に刻まれたシュレーディンガー方程式。（時間微分にはニュートンの点記法が使用されている。）

彼が見つけた方程式は^{[ 42 ]である。}$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$$

当時、アルノルド・ゾンマーフェルトは相対論的補正を加えてボーア模型を改良していた。^{[ 43 ] [ 44 ]}シュレーディンガーは相対論的なエネルギーと運動量の関係を用いて、現在ではクーロンポテンシャル（自然単位）におけるクラインとゴルドンの方程式として知られるものを導出した。 $${\displaystyle \left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).}$$

彼はこの相対論的方程式の定在波を発見したが、相対論的補正はゾンマーフェルトの公式と一致しなかった。落胆した彼は計算を中断し、1925年12月に愛人とともに山小屋に閉じこもった。^{[ 45 ]}

小屋にいる間、シュレーディンガーは、以前の非相対論的計算が発表するのに十分な斬新さを持っていると判断し、相対論的補正の問題は将来のために残すことを決めた。水素の微分方程式を解くのは困難であったが（彼は友人の数学者ヘルマン・ワイルに助けを求めていた^{[ 46 ] : 3} ）、シュレーディンガーは、1926年に発表された論文で、波動方程式の非相対論的バージョンが水素の正しいスペクトルエネルギーを生成することを示した。^{[ 46 ] : 1 [ 47 ]}シュレーディンガーは、水素原子の電子を、陽子によって作られたポテンシャル井戸内を動く波として扱うことで、水素のスペクトル系列を計算した。この計算は、ボーアモデルのエネルギーレベルを正確に再現した。 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle V}$

シュレーディンガー方程式は の振る舞いを詳細に述べていますが、その性質については何も述べていません。シュレーディンガーは の実部を電荷密度として解釈しようとし、その後この提案を修正し、次の論文ではの係数の二乗が電荷密度であると述べました。しかし、このアプローチは成功しませんでした。^{[注 3 ]} 1926年、この論文が発表されてわずか数日後、マックス・ボルンはを確率振幅として解釈することに成功しました。この係数の二乗は確率密度に等しくなります。^{[ 48 ] : 220} 後に、シュレーディンガー自身がこの解釈を次のように説明しました。^{[ 51 ]}${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

すでに述べたサイ関数は、測定結果の確率を予測する手段です。そこには、理論に基づいた将来の期待値の瞬間的な合計が具体化されており、いわばカタログに記されているようなものです。

— エルヴィン・シュレーディンガー

解釈

シュレーディンガー方程式は、系の波動関数とそれが時間とともにどのように動的に変化するかを計算する方法を提供します。しかし、シュレーディンガー方程式は波動関数が正確に何であるかを直接的に示していません。シュレーディンガー方程式の意味、そしてそこに含まれる数学的実体が物理的現実とどのように関係するかは、採用する量子力学の解釈に依存します。

コペンハーゲン解釈としてまとめられることが多い見解では、系の波動関数はその系に関する統計情報の集まりである。シュレーディンガー方程式は、ある時点における系に関する情報を別の時点における系に関する情報と関連付ける。シュレーディンガー方程式によって表される時間発展プロセスは連続的かつ決定論的であり、ある瞬間の波動関数がわかれば原理的には将来のすべての時点の波動関数を計算するのに十分であるが、波動関数は測定中に不連続的かつ確率的に変化することもある。この学派によると、波動関数は新しい情報が利用できるために変化する。測定後の波動関数は一般に測定前に知ることはできないが、ボルンの規則を使用してさまざまな可能性の確率を計算することができる。^{[ 27 ] [ 52 ] [注 4 ]}関係量子力学やQBismなどの量子力学のより最近の解釈も、シュレーディンガー方程式にこの種の地位を与えている。^{[ 55 ] [ 56 ]}

シュレーディンガー自身は1952年に、シュレーディンガー方程式の下で発展する重ね合わせの様々な項は「選択肢ではなく、実際にはすべて同時に起こる」と示唆した。これはエヴェレットの多世界解釈の初期バージョンとして解釈されてきた。^{[ 57 ] [ 58 ] [注 5 ]} 1956年に独立して定式化されたこの解釈は、量子論によって記述されるすべての可能性が、ほとんど独立した並行宇宙からなる多元宇宙において同時に発生するとしている。 ^{[ 60 ]}この解釈は波動関数の崩壊公理を排除し、シュレーディンガー方程式の下での連続的な発展のみを残すため、測定対象システムと測定装置、そして観測者のすべての可能な状態が、現実の物理的な量子重ね合わせに存在する。多元宇宙は決定論的であるが、私たちは確率に支配された非決定論的な振る舞いを知覚する。なぜなら、私たちは多元宇宙全体を観測するのではなく、一度に一つの並行宇宙だけを観測するからである。これがどのように機能するのかについては、これまで多くの議論が交わされてきました。なぜ、ある世界で確実に起こる結果に確率を割り当てる必要があるのでしょうか。そして、なぜその確率はボルンの法則によって与えられるべきなのでしょうか。^{[ 61 ]}多世界枠組みにおいてこれらの疑問に答える方法はいくつか提案されていますが、それらが成功しているかどうかについてはコンセンサスが得られていません。^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]}

ボーム力学は量子力学を決定論的に再定式化するが、その代償として「量子ポテンシャル」による力を加える。ボーム力学は、各物理系に波動関数だけでなく、非局所的な誘導方程式の下で決定論的に発展する実位置も付与する。物理系の発展は、常にシュレーディンガー方程式と誘導方程式によって与えられる。^{[ 65 ]}

参照

• エックハウス方程式
• フォッカー・プランク方程式
• 量子力学の解釈
• エルヴィン・シュレーディンガーにちなんで名付けられたもののリスト
• 対数シュレーディンガー方程式
• 非線形シュレーディンガー方程式
• パウリ方程式
• 量子チャネル
• シュレーディンガー方程式と量子力学の経路積分定式化の関係
• シュレーディンガー描像
• ウィグナー準確率分布

注記

1. 状態ベクトルから確率を得るためのこの規則は、全体の位相のみが異なるベクトルは物理的に等価であり、同じ量子状態を表すことを意味する。言い換えれば、可能な状態はヒルベルト空間の射影空間（通常は射影ヒルベルト空間と呼ばれる）内の点である。${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle e^{i\alpha }|\psi \rangle }$
2. より正確には、シュレーディンガー方程式に対するガリレイ変換の影響は、波動関数の位相変換によって打ち消され、ボルン則で計算された確率は変化しない。 ^{[ 30 ]}
3. 詳細については、Moore ^{[ 48 ] :219} 、Jammer ^{[ 49 ] :24–25} 、Karam ^{[ 50 ]を参照。}
4. 「コペンハーゲン解釈」の哲学的立場を議論する上での難しさの一つは、その解釈が何であるかを規定する単一の権威ある文献が存在しないことである。もう一つの複雑な点は、アインシュタイン、ボーア、ハイゼンベルク、そして同時代の人々がよく知っていた哲学的背景が、物理学者、さらには近年の物理哲学者にとってはあまり馴染みがないことである。 ^{[ 53 ] [ 54 ]}
5. シュレーディンガーの後期の著作には、バス・ファン・フラーセンが提唱した様相解釈に似た要素も含まれています。シュレーディンガーは、マキ以降の中立一元論、つまり「物質」と「心」は同じ共通要素の異なる側面、あるいは配列に過ぎないという考え方を支持していたため、波動関数を物理的なものと情報的なものとして扱うことは互換性を持つようになりました。 ^{[ 59 ]}

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外部リンク

• 「シュレーディンガー方程式」 .数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• Quantum Cook Book (PDF) およびPHYS 201: Fundamentals of Physics II 、 Ramamurti Shankar著、Yale OpenCourseware
• 物理学における現代革命- オンライン教科書。
• MIT OpenCourseWareの量子物理学 I
• インタラクティブな2Dシュレーディンガーシミュレータ