シュール多項式

数学において、シューア多項式は、イサイ・シューアにちなんで名付けられた、分割でインデックス付けされたn変数の特定の対称多項式であり、初等対称多項式と完全同次対称多項式を一般化します。表現論では、これらは一般線型群の多項式既約表現 の指標です。シューア多項式は、すべての対称多項式の空間の線型基底を形成します。シューア多項式の積は、非負の整数係数を持つシューア多項式の線型結合として表すことができます。これらの係数の値は、リトルウッド・リチャードソン則によって組み合わせ的に与えられます。より一般的には、歪んだシューア多項式は 分割のペアに関連付けられ、シューア多項式と同様の特性を持ちます。

定義（ヤコビの双交代公式）

シューア多項式は整数分割によってインデックス付けされます。分割λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n )が与えられ、ここでλ ₁ ≥ λ ₂ ≥ ... ≥ λ _nであり、各λ _jは非負の整数であるとすると、次の関数は次のようになります。

$${\displaystyle a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]}$$

は行列式の性質により交代多項式です。変数の 任意の転置によって符号が変化する多項式は、交代多項式と呼ばれます。

これらは交代行列式なので、すべてヴァンデルモンド行列式 で割り切れる。 シュール多項式は、比として定義される。 $${\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}$$

$${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.}$$

これはヤコビの双交代公式として知られています。これはワイル指標公式の特殊なケースです。

これは分子と分母が共に交代であるため対称関数であり、またすべての交代多項式がヴァンデルモンド行列式で割り切れるため多項式である。また、合流型ヴァンデルモンド行列式を用いることで、シューア多項式の多変数を許容する一般化も可能である^{[ 1 ]}。 ${\displaystyle {x_{1}},..,{x_{n}}}$

プロパティ

n変数のd次シュアー多項式は、 n変数の同次d次対称多項式の空間の線型基底である。λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _r )の分割に対して、シュアー多項式は単項式の和である。 ${\displaystyle r\leq n}$

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}$

ここで、和はλの形をしたすべての半標準ヤング表Tについて、1、2、…、nの数を用いて計算されます。指数t ₁、…、t _{n は}Tの重みを与えます。言い換えれば、各t _{i は}Tにおける数iの出現回数を数えます。これは、リンドストローム・ゲッセル・ヴィエノの補題（そのページで概説されている）を用いた最初のジャンベリの公式の定義と等価であることが示せます。

シュアー多項式は、コストカ数_と呼ばれる非負整数係数Kλμを持つ_単項式対称関数mμの線形結合として表現できる。

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\ }$

コストカ数K _λμは、形状λ、重さμの半標準ヤング表の数によって与えられます。

ヤコビ−トゥルディ恒等式

最初のヤコビ−トゥルディ公式は、シュアー多項式を完全同次対称多項式の行列式として表現する。

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}$

ここでh _i  := s _{( i )}。^{[ 2 ]}

2番目のヤコビ・トゥルーディの公式は、シュアー多項式を基本対称多項式の行列式として表現するものである。

${\displaystyle s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],}$

ここでe _i  := s _{(1 ⁱ )} でありλへの共役分割である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \lambda '=(\lambda '_{1},\ldots ,\lambda '_{l})}$

どちらの恒等式でも、負の添え字を持つ関数はゼロと定義されます。

ジャンベッリのアイデンティティ

もう一つの行列式の恒等式はジャンベリの公式であり、これは任意の分割に対するシュアー関数をヤング図式に含まれる フック分割のシュアー関数で表すものである。フロベニウスの記法では、この分割は

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}$

ここで、位置iiの各対角要素について、a _{i は}同じ行の右側にあるボックスの数を示し、b _{i は}同じ列のその下のボックスの数（それぞれ腕と脚の長さ）を示します。

ジャンベリ恒等式は、この分割に対応するシュアー関数を行列式として表す。

${\displaystyle s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})}$

フックパーティション用のもの。

コーシー恒等式

シューア関数（ここでは無限変数）のコーシー恒等式とその双対状態

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},}$

そして

${\displaystyle \sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),}$

ここで、和はλ、および、それぞれ完全対称関数と初等対称関数を表すすべての分割にわたって取られる。変数のシュアー多項式の積にわたって和を取る場合、和は長さ の分割のみを含む。そうでなければシュアー多項式は消滅するからである。 ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle e_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}$

これらの恒等式は、他の対称関数族にも多くの一般化が可能である。例えば、マクドナルド多項式、シューベルト多項式、グロタンディーク多項式は、コーシー型恒等式を許容する。

さらなるアイデンティティ

シュアー多項式は、ホール・リトルウッド多項式の公式を特殊化することで計算することもできる。

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)}$

ここで、 は すべてのiに対してとなるような順列のサブグループであり、w はインデックスを順列化することによって変数に作用します。 ${\displaystyle S_{n}^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{w(i)}=\lambda _{i}}$

マーナガン・ナカヤマルール

マーナガン・ナカヤマ則は、べき乗和対称関数とシュアー多項式の積をシュアー多項式で表す。

${\displaystyle p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }}$

ここで、合計はすべてのパーティションμにわたっており、μ / λ はサイズrのリムフックであり、ht ( μ / λ ) は図μ / λの行数です。

リトルウッド・リチャードソン則とピエリの公式

リトルウッド・リチャードソン係数は、例えば の3つの分割に依存し、その とは乗算されるシュアー関数を記述し、 は、これが線形結合の係数であるシュアー関数を与える。言い換えれば、それらは次のような 係数である。${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

リトルウッド・リチャードソンの規則によれば、 は、歪んだ形状および重さのリトルウッド・リチャードソン表の数に等しいとされます。 ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

ピエリの公式はリトルウッド・リチャードソン則の特殊な場合であり、積をシュアー多項式で表します。双対版は シュアー多項式で表されます。 ${\displaystyle h_{r}s_{\lambda }}$ ${\displaystyle e_{r}s_{\lambda }}$

専門分野

シュアー多項式s _{λ を}(1, 1, ..., 1)で評価すると、要素が1, 2, ..., nである、形状λの半標準ヤング図の個数が得られます。例えば、 ワイル指標式を用いて、次式が成り立つことが示せます。 この式では、ヤング図の各行の幅を示す組λは、長さnになるまで暗黙的にゼロ拡張されます。要素λ _iの合計はdです。固定λに対して同じ量を計算するフック長の式も参照してください。 $${\displaystyle s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.}$$

例

以下の拡張例はこれらの考えを明確にするのに役立つだろう。n = 3、d = 4の場合を考えてみよう。フェラー図などの方法を用いると、4を最大3つの部分に分割する方法は4つしかないことがわかる。

${\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}$

${\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}}$

などとなり、ヴァンデルモンド行列式は となる。まとめると、 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})}$

1. ${\displaystyle s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}}$
2. ${\displaystyle s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
3. ${\displaystyle s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}$
4. ${\displaystyle s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.}$

3変数の4次同次対称多項式はすべて、これら4つのシューア多項式の一意の線型結合として表すことができ、この結合は適切な消去順序のグレブナー基底を用いて求めることができる。例えば、

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}$

は明らかに4次の同次対称多項式であり、

${\displaystyle \phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!}$

表現理論との関係

シュアー多項式は、対称群、一般線型群、ユニタリ群の表現論に現れる。ワイル指標公式は、シュアー多項式が一般線型群の有限次元既約表現の指標であることを示しており、シュアーの研究を他のコンパクトリー群や半単純リー群に一般化するのに役立っている。

この関係式にはいくつかの表現式があるが、最も重要なのは、シュアー関数sλを対称べき関数で展開したもの_である。χ${\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}}$ ^λρ_​分割λでインデックスされた対称群の表現の指標を分割ρでインデックスされたサイクル型の要素で評価すると、

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},}$

ここで、ρ = (1 ^{r ₁} , 2 ^{r ₂} , 3 ^{r ₃} , ...) は、パーティション ρ に長さkのr _k個の部分があることを意味します。

この証明は、R. Stanley の『列挙的組合せ論』第 2 巻、系 7.17.5 に記載されています。

整数χ^λρ_​マーナガン・ナカヤマ則を使って計算することができます。

シュールのポジティブさ

表現論との関連から、シュアー関数において正に展開する対称関数は特に興味深い。例えば、歪んだシュアー関数は通常のシュアー関数において正に展開し、その係数はリトルウッド・リチャードソン係数である。

この特別な例として、シュアー関数における完全同次対称関数h _λの展開が挙げられます。この分解は、置換加群が既約表現に分解される様子を反映しています。

シュアー陽性性を証明する方法

与えられた対称関数Fのシュアー正値性を証明するには、いくつかのアプローチがあります。Fが組み合わせ論的に記述される場合、直接的なアプローチは、準標準ヤング表を用いて一対一の関係を生成することです。エーデルマン・グリーン対応やロビンソン・シェンステッド・クヌース対応は、そのような一対一の関係の例です。

より構造化された一対一表現は、いわゆるクリスタルを用いた証明です。この方法は、基礎となる組み合わせオブジェクトに関する局所的な規則を用いて記述された特定のグラフ構造を定義するものとして説明できます。

同様の考え方として、双対同値性の概念があります。このアプローチもグラフ構造を用いますが、準対称基底における展開を表すオブジェクトを対象としています。これはRSK対応と密接に関連しています。

一般化

歪んだシュアー関数

スキューシュール関数s _λ/μは2 つの分割 λ と μ に依存し、次のプロパティによって定義できます。

${\displaystyle \langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .}$

ここで、内積はホール内積であり、シュアー多項式はこれに対して正規直交基底を形成します。

通常のシュール多項式と同様に、これらを計算する方法は数多くある。対応するヤコビ・トゥルーディ恒等式は以下の通りである。

${\displaystyle s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

${\displaystyle s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}}$

歪んだシュアー多項式の組み合わせ的解釈も存在し、つまり、歪んだ形状のすべての半標準ヤングの表（または列厳密な表）の合計となります。 ${\displaystyle \lambda /\mu }$

歪んだシュアー多項式はシュアー多項式において正に展開される。係数に関する規則はリトルウッド・リチャードソン則によって与えられる。

二重シュア多項式

二重シュアー多項式^{[ 4 ]}は、シフトシュアー多項式の一般化と見ることができます。これらの多項式は、階乗シュアー多項式とも密接に関連しています。分割λと数列a ₁ , a ₂ ,...が与えられたとき、二重シュアー多項式s _λ ( x || a )を次のように 定義できます。ここで、和は形状λのすべての逆半標準ヤング表T について取られ、 1,..., nには整数要素が含まれます。ここで、 T (α)はTのボックスαの値を表し、c(α)はボックスの内容です。 $${\displaystyle s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})}$$

リトルウッド・リチャードソン係数の組み合わせ規則（シーケンスaに依存）はAI Molevによって与えられました。^{[ 4 ]}特に、これはシフトされたシュアー多項式が非負のリトルウッド・リチャードソン係数を持つことを意味します。

シフトされたシュアー多項式s ^* _λ ( y )は、 a _i = − iとy _i = x _i + iを特殊化することで二重シュアー多項式から得ることができます。

二重シューア多項式は二重シューベルト多項式の特殊なケースです。

階乗シュアー多項式

階乗シュアー多項式は以下のように定義できる。分割λと二重無限列..., a ₋₁ , a ₀ , a ₁ , ...が与えられたとき、階乗シュアー多項式s _λ ( x | a )を次のように 定義できる。ここで、和はλの形をしたすべての半標準ヤング表T について取られ、1, ..., nには整数要素が含まれる。ここで、 T (α)はTのαの値を表し、c(α)はαの中身を表す。 $${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})}$$

行列式公式も存在し、 ここで ( y | a ) ^k = ( y − a ₁ ) ... ( y − a _k ) となる。すべてのiについてa _i = 0とすれば、通常のシュアー多項式s _λが得られることは明らかである。 $${\displaystyle s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}}$$

二重シュアー多項式とn変数の階乗シュアー多項式は、s _λ ( x || a ) = s _λ ( x | u )という恒等式で関連しています 。 ここで、a _{n − i +1} = u _iです。

その他の一般化

シュアー多項式には数多くの一般化がある。

• ホール・リトルウッド多項式
• シフトされたシュアー多項式
• フラグ付きシュアー多項式
• シューベルト多項式
• スタンレー対称関数（安定シューベルト多項式とも呼ばれる）
• キー多項式（デマズール指標とも呼ばれる）
• 準対称シュアー多項式
• 行厳密なシュアー多項式
• ジャック多項式
• モジュラーシュアー多項式
• ループシュア関数
• マクドナルド多項式
• シンプレクティック群と直交群のシュアー多項式。
• k-シューア関数
• グロタンディーク多項式（シュアー多項式のK理論的類似）
• LLT多項式

参照

• シュール関手
• リトルウッド・リチャードソン則では、シュアー多項式を含むいくつかの恒等式が見つかります。

参考文献

• マクドナルド, IG (1995).対称関数とホール多項式. オックスフォード数学モノグラフ（第2版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-853489-1. MR  1354144 .
• セーガン、ブルース・E. (2001) [1994]、「代数的組合せ論におけるシューア関数」、数学百科事典、EMSプレス
• シュトゥルムフェルス、ベルント(1993)。インバリアント理論のアルゴリズム。スプリンガー。ISBN 978-0-387-82445-1。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991).表現論 入門.大学院数学テキスト, 数学読本. 第129巻. ニューヨーク: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 . OCLC  246650103 .

1. González-Serrano, LA; Maximenko, EA (2025). 「繰り返し変数を持つシュアー多項式の双交代数式」.線形代数と多重線形代数. 73 (11): 2613– 2647. doi : 10.1080/03081087.2025.2464639 .
2. フルトン＆ハリス 1991、式A.5
3. フルトン＆ハリス 1991、式A.6
4. Molev, AI (2009年6月). 「リトルウッド–リチャードソン多項式」. Journal of Algebra . 321 (11): 3450–68 . arXiv : 0704.0065 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.034 .