ソリテスのパラドックス

ソリテスのパラドックス: 一度に 1 粒ずつ山が減っていく場合、正確にどの時点で山ではなくなるのでしょうか。

ソリテスのパラドックス（/ s oʊ ˈ r aɪ t iː z /）^{[ 1 ]}は、山のパラドックスとも呼ばれ、曖昧な述語から生じるパラドックスである。^{[ 2 ]}典型的な定式化では、砂の山から砂粒を一つずつ取り除く。砂粒を一つ取り除いても、その山​​がもはや山ではなくなることはないという仮定のもと、このプロセスを十分な回数繰り返して砂粒が一つだけ残った場合に何が起こるか、そしてそれがまだ山であるかどうかを考えるというパラドックスである。そうでない場合、いつ山が山でなくなったのかという疑問が生じる。^{[ 3 ]}

オリジナル処方

ソリテス（古代ギリシャ語：σωρείτης ）という言葉は、ギリシャ語で「山」（古代ギリシャ語：σωρός）を意味する。^{[ 4 ]}このパラドックスは、ミレトスのエウブリデスに帰せられるその独自の描写にちなんで名付けられた。^{[ 5 ]}パラドックスは以下の通りである。砂の山から砂粒を一つ一つ取り除いていくことを考えてみよう。この議論は、以下の前提から構築できるだろう。^{[ 3 ]}

1,000,000粒の砂は砂山である（前提1）

砂の山から一粒を取り除いても、それは砂の山のままである。 (前提2)

前提2を繰り返し適用すると（毎回1粒ずつ少ない砂から始める）、最終的には、砂の山はたった1粒の砂で構成されているという結論を受け入れることになる。 ^{[ 6 ]} リード（1995）は、「議論自体が、モーダス・ポネンスのステップの山、あるいはソリテスである」と述べている。^{[ 7 ]}

1,000,000粒は山ほどあります。

もし1,000,000粒は山ほどある999,999粒は山ほどあります。

それで999,999粒は山ほどあります。

もし999,999粒は山ほどある999,998粒は山ほどあります。

それで999,998粒は山ほどあります。

もし ...

... それで1粒が山盛りです。

一粒の砂は砂の山とはみなされません。^{[ 8 ]}そのため、この議論は一見妥当で、もっともらしい前提に基づいているように見えますが、結論は誤っており、一般的な（ただし普遍的に受け入れられているわけではない）学術的な「パラドックス」の定義によれば、パラドックスとなります。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

バリエーション

ソリテスのパラドックスを示す色のグラデーション。隣接する色は人間の目には区別できない。

ソリテスのパラドックスには多くのバリエーションがあり、その中には「存在」と「見かけ」の違い、つまり事実の問題と認識の問題の違いを考慮するものもあります。^{[ 2 ]}これは、議論がそれぞれの変化が「知覚できない」ことにかかっている場合に関連性があると考えられます。

別の定式化は、明らかに山ではない一粒の砂から始め、山ではないものに一粒の砂を加えても山にはならないと仮定するものである。帰納的に言えば、このプロセスは山を形成することなく、好きなだけ繰り返すことができる。^{[ 2 ] [ 3 ]}この変種のより自然な定式化は、隣接する2つの砂の色の違いが人間の視力では区別できないほど小さい、色のついた砂利の集合が存在すると仮定することである。この前提に基づく帰納法によれば、人間はどの色も区別できないことになる。^{[ 2 ]}

海から一滴の水を除去しても、それが「海ではなくなる」わけではありません（それでも海です）が、海の水の量は有限なので、最終的には、十分な量の除去を行った後、残った水が 1 リットルであっても、それは依然として海です。

このパラドックスは、様々な述語、例えば「背が高い」「金持ち」「年老いた」「青い」「禿げた」などにも適用できる。禿げに関するパラドックスは、髪の毛が一本増えたからといって禿げた男が禿げた状態から抜け落ちるわけではないと主張されており、「ファラクロス」として知られている。これはギリシャ語で「禿げた」（φαλακρός）を意味する。^{[ 12 ] [ 13 ]}バートランド・ラッセルは、自然言語全体、論理接続詞でさえ曖昧であり、さらに命題の表現も曖昧であると主張した。^{[ 14 ]}

一般的な条件付きソリテス

逆説的なソリテス論の正式な一般化は次の通りである。^{[ 15 ]}

${\displaystyle Fa_{1}}$ 。

もし なら、。${\displaystyle Fa_{1}}$ ${\displaystyle Fa_{2}}$

もし なら、。${\displaystyle Fa_{2}}$ ${\displaystyle Fa_{3}}$

${\displaystyle \vdots}$

もし なら、。${\displaystyle Fa_{n-1}}$ ${\displaystyle Fa_{n}}$

${\displaystyle {\overline {\therefore Fa_{n}}}}$ （任意の大きさにすることができます）${\displaystyle n}$

この形式化は一階述語論理で行われ、は述語であり、 はそれが適用可能な異なる主語である。各主語 に対して、 という表記は述語の への適用、すなわち「である」という命題を意味する。（ジョナサン・バーンズは当初、「ならば」という命題を物質的含意接続詞の記号を使用して表したため、彼の議論は当初 で終わっていた。）^{[ 16 ]}${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle Fa_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Fa_{n}}$ ${\displaystyle Fa_{n+1}}$ ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle Fa_{n-1}\supset Fa_{n}}$

ジョナサン・バーンズは、この一般形式の議論が論理的であるための条件を発見した。^{[ 16 ]}まず、級数は 順序付けられていなければならない。例えば、山は、その中の砂粒の数に従って順序付けられるかもしれないし、ファラクロス版（§ バリエーション を参照）では、頭はその上の髪の毛の数に従って順序付けられるかもしれない。第二に、述語は級数 に対して論理的である必要がある。これは以下のことを意味する。第一に、級数の最初の項目 については、どう見ても真である。第二に、級数の最後の項目 については、どう見ても偽である。第三に、級数におけるすべての隣接する主語のペアとは、どう見ても に関して区別がつかないほど類似している、つまり との両方が を満たすか、どちらも を満たさないように見える必要がある。 ${\displaystyle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle }$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i+1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i+1}}$ ${\displaystyle F}$

述語に関するこの最後の条件は、クリスピン・ライトが述語の小さな変化に対する許容度と呼んだものであり、彼はこれを述語が曖昧であることの条件だと考えた。^{[ 17 ]}ライトが述べたように、が述語に関連する概念であり、「を特徴付ける任意のオブジェクトは、単に に関して十分な変化をするだけで、 を特徴付けないオブジェクトに変わる可能性がある」と仮定すると、「に関して、 が特定のケースに適用される公正さに影響を与えるには不十分な程度の肯定的な変化もある場合、は に関して許容される」ことになる。^{[ 17 ]}${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F}$

提案された決議

ヒープの存在を否定する

最初の前提に対して、次のことを否定する人もいるかもしれない。100万個の砂粒が山を作る。しかし1,000,000は単なる恣意的な大きな数であり、この議論はそのような数であればどれにも当てはまる。したがって、ヒープのようなものが存在することを完全に否定しなければならない。ピーター・アンガーはこの解決策を擁護している。^{[ 18 ]}しかし、AJ・エアーはアンガーからこの解決策を提示された際にこれを否定した。「もし我々が万物が原子で構成されていると考え、アンガーを細胞ではなく細胞を構成する原子で構成されていると考えるならば、デイヴィッド・ウィギンズが私に指摘したように、同様の議論を用いて、アンガーは存在しないどころか、存在するすべてのものと同一であることを証明できる。アンガーの体から原子を一つ減らしても彼の存在に何ら変化がないという前提を、原子を一つ加えても何ら変化がないという前提に置き換えるだけでよいのだ。」^{[ 19 ]}

固定された境界を設定する

このパラドックスに対する一般的な最初の反応は、ある一定数以上の粒子を含む粒子の集合をヒープと呼ぶことである。もし「固定境界」を1万グレインなら、それ以下の10,000、それは山ではありません。10,000以上なら山積みだ。^{[ 20 ]}

コリンズは、このような解決策は、9,999粒と10,000グレイン。境界は、どこに設定されても恣意的なものであり、したがってその正確さは誤解を招く恐れがある。哲学的観点からも言語学的観点からも、それは異論の余地がある。前者はその恣意性のため、後者はそれが自然言語の用法ではないという理由からである。^{[ 21 ]}

知ることのできない境界（あるいは認識論）

ティモシー・ウィリアムソン^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}とロイ・ソレンセン^{[ 25 ]}は、境界は固定されているが、それは必ずしも知ることができないと主張している。

超評価主義

超評価主義は、非参照単数名詞や曖昧さを扱う方法である。この方法により、定義されていない真理値を扱う場合でも、通常のトートロジーの法則を維持することができる。 ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} 非参照単数名詞に関する命題の例としては、「ペガサスはリコリスが好き」という文が挙げられる。「ペガサス」という名前はを参照していないため、この文に真理値を割り当てることはできない。神話の中には、そのような割り当てを正当化するものは何もないからだ。しかし、「ペガサスはリコリスが好き」、あるいは「ペガサスはリコリスが好きではない」のように、ペガサスに関するいくつかの言明は、それでもなお明確な真理値を持つ。この文はトートロジー「」、すなわち妥当な図式「または」の例である。超評価主義によれば、その構成要素が真理値を持つかどうかに関わらず、この文は真であるはずである。 ${\displaystyle p\vee\negp}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

定義された真理値を持たない文を認めることで、超評価主義は、n粒の砂は砂山であるがn − 1粒はそうではないといった隣接事例を回避します。例えば、「1,000粒の砂は山である」は、真理値が定義されていない境界例と考えられるかもしれない。しかし、超評価主義は次のような文を扱うことができる。「1,000粒の砂は山または「1,000粒の砂は山ではない」をトートロジーとして、つまりtrue の値を割り当てます。

数学的な説明

言語 のすべての原子文に定義された古典的評価をとし、における異なる原子文の個数を とします。すると、すべての文 に対して、最大で個の異なる古典的評価が存在できます。超評価とは、文 から真理値への関数であり、任意の古典的評価 に対して が成り立つ場合と が成り立つ場合に限り、文が超真（すなわち ）であることを意味します。超偽の場合も同様です。それ以外の場合、は未定義です。つまり、およびとなる2つの古典的評価と が存在する場合とがまさにその場合です。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle At(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{At(x)}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V(x)={\text{真}}}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(x)={\text{偽}}}$

例えば、 「ペガサスはリコリスが好き」という表現の形式的な翻訳を とします。このとき、にはとという2つの古典的な値付けが存在します。したがって、 は超真でも超偽でもありません。しかし、このトートロジーはすべての古典的な値付けによってと評価されるため、超真です。同様に、上記のヒープ命題の形式化は超真でも超偽でもありませんが、超真です。 ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v(L\;p)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(L\;p)={\text{False}}}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle L\;p\lor \lnot L\;p}$ ${\displaystyle {\text{True}}}$ ${\displaystyle H\;1000}$ ${\displaystyle H\;1000\lor \lnot H\;1000}$

真実のギャップ、過剰、そして多値論理

もう一つの方法は、多値論理を使うことである。この場合、問題は二価性の原理にある。すなわち、砂は山か山でないかのどちらかであり、グレーの濃淡はない。山と山でないという二つの論理状態の代わりに、山、不確定、山でないという三値システムを使用することができる。この提案された解決策に対する反論としては、山と不確定の間、また不確定と山でないの間にも境界線が存在するため、三値システムではパラドックスを真に解決できないというものがある。第三の真理値は、真理値ギャップとしても真理値過剰としても理解できる。^{[ 30 ]}

一方、ファジー論理は、実数[0,1]の単位区間で表される論理状態の連続スペクトルを提供します。これは無限の真理値を持つ多値論理であり、したがって砂は「確実に山」から「確実に山ではない」へと徐々に遷移し、中間領域には濃淡があります。ファジーヘッジは、連続体を「確実に山」、「ほぼ山」、「部分的に山」、「わずかに山」、「山ではない」などのクラスに対応する領域に分割するために使用されます。^{[ 31 ] [ 32 ]}しかし、これらの境界がどこに発生するかという問題が残ります。たとえば、何粒の砂から確実に山になり始めるのかということです。

ヒステリシス

^{ラフマン[ 33 ]}によって提唱されたもう一つの方法は、ヒステリシス、つまり砂の集積が当初どのような状態であったかという知識を利用するものである。砂の同量の塊は、どのようにしてそこにたどり着いたかによって、山と呼ぶかそうでないかが決まる。大きな山（紛れもなく山と呼ぶべきもの）がゆっくりと減少していく場合、実際の砂の量が粒数減少していくにもかかわらず、その「山の状態」はある程度維持される。例えば、500粒は山積みで1,000グレインは山です。これらの状態は重なり合います。つまり、山から山へと減らす場合、それは山から山へと減っていくのです。750。その時点で、人々はそれを山と呼ぶのをやめ、山と呼ぶようになるでしょう。しかし、一粒の穀物を置き換えたとしても、それはすぐに山に戻るわけではありません。上に上がっていくと、それは山のままであり、900グレイン。ここで選んだ数字は任意である。重要なのは、同じ量でも変化前の状態によって山にも山にもなり得るということである。ヒステリシスの一般的な用途は、エアコンのサーモスタットである。エアコンは華氏77度に設定され、その後、空気を華氏77度をわずかに下回るまで冷やすが、空気が華氏77.001度まで温まってもすぐには作動しない。華氏78度近くまで上がるまで待つことで、瞬時の状態変化が何度も繰り返されるのを防ぐ。^{[ 34 ]}

グループの合意

「ヒープ」という言葉の意味は、コンセンサスに依拠することで確立できる。ウィリアムソンは、このパラドックスに対する認識論的解決において、曖昧な用語の意味は集団の使用法によって決定されると仮定している。^{[ 35 ]}コンセンサス法は典型的には、穀物の集まりが「ヒープ」であるかどうかは、集団内でそれをヒープであると信じる人の割合に等しいと主張する。言い換えれば、ある集まりがヒープとみなされる確率は、集団の意見の分布の 期待値である。

グループは次のように決定する場合があります。

• 一粒の砂だけでは砂山にはなりません。
• 砂粒が大量に集まったものが砂山です。

二つの極端な考え方の間では、集団内の個々のメンバーが、ある特定の集合を「ヒープ」と呼べるかどうかについて意見が一致しない場合があります。その場合、その集合が「ヒープ」である、あるいは「ヒープではない」と明確に主張することはできません。これは、集団が自然言語をどのように使用しているかに基づいて定義の問題を解決するため、規範言語学ではなく記述言語学に訴えるものであると考えられます。実際、「ヒープ」の正確な規範的定義があれば、集団の合意は常に全会一致となり、このパラドックスは発生しません。

効用理論における解決策

「XはYより赤いか同じくらい赤い」という関係を準推移関係としてモデル化すると、≈：区別がつかない、>：明らかに赤い
^はい X	f10	e20	d30	c40	b50	a60
f10	≈	≈	>	>	>	>
e20	≈	≈	≈	>	>	>
d30		≈	≈	≈	>	>
c40			≈	≈	≈	>
b50				≈	≈	≈
a60					≈	≈

経済学の効用理論の分野において、個人の選好パターンを研究する際に、ソリテスのパラドックスが生じる。ロバート・ダンカン・ルースの例として、例えばペギーのような人がコーヒーに砂糖を15グラム（角砂糖5個）よりも3グラム（角砂糖1個）好むことは容易に想像できる。しかし、彼女は通常、3.00グラムと3.03グラムの間ではどちらでも構わないし、3.03グラムと3.06グラムの間でも、そして最終的には14.97グラムと15.00グラムの間でもどちらでもない。^{[ 36 ]}

このような状況でソリテスのパラドックスを回避するために、経済学者は 2 つの対策を講じました。

• 肯定形ではなく比較形の性質が用いられます。上記の例では、「ペギーは砂糖3グラム入りのコーヒーが好きです」や「ペギーは砂糖15グラム入りのコーヒーが好きではありません」といった記述は意図的に避けています。代わりに、「ペギーは砂糖15グラム入りのコーヒーよりも砂糖3グラム入りのコーヒーが好きです」と述べています。^{[ 40 ]}
• 経済学者は、選好（「ペギーは…よりも…が好き」）と無関心（「ペギーは…と同じくらい…が好き」）を区別し、後者の関係を推移的とは考えない。^{[ 42 ]}上記の例では、「砂糖xグラム入りのコーヒー」を「c _x」と略し、「ペギーはc _xとc _yに無関心である」を「c _x ≈ c _y」と略しても、c _3.00 ≈ c _3.03、c _3.03 ≈ c _3.06、...、c _14.97 ≈ c _15.00という事実は、 c _3.00 ≈ c _15.00を意味しない。

Several kinds of relations were introduced to describe preference and indifference without running into the sorites paradox. Luce defined semi-orders and investigated their mathematical properties;^[36]Amartya Sen performed a similar task for quasitransitive relations.^[43] Abbreviating "Peggy likes c_x more than c_y" as "c_x > c_y", and abbreviating "c_x > c_y or c_x ≈ c_y" by "c_x ≥ c_y", it is reasonable that the relation ">" is a semi-order while ≥ is quasitransitive. Conversely, from a given semi-order > the indifference relation ≈ can be reconstructed by defining c_x ≈ c_y if neither c_x > c_y nor c_y > c_x. Similarly, from a given quasitransitive relation ≥ the indifference relation ≈ can be reconstructed by defining c_x ≈ c_y if both c_x ≥ c_y and c_y ≥ c_x. These reconstructed ≈ relations are usually not transitive.

右の表は、上記の色の例を準推移関係 ≥ としてモデル化する方法を示しています。色の違いは見やすさのために誇張して表現しています。表のセルX行Y列が空でない場合、色Xは色Yよりも赤みが強い、または等しいとされます。この場合、「≈」であればXとY は区別がつかないほど等しく見え、「>」であればX はYよりも明らかに赤く見えます。関係 ≥ は、対称関係 ≈ と推移関係 > の非結合和です。> の推移性を利用すると、f10 > d30とd30 > b50の両方が成立していることが分かれば、 f10 > b50であると推論できます。しかし、 ≥ は推移的ではないため、「d30 ≥ e20かつe20 ≥ f10、したがって d30 ≥ f10」のような「逆説的な」推論はもはや不可能です。同様の理由で、例えば「d30 ≈ e20かつe20 ≈ f10なので、 d30 ≈ f10」という推論はもはや有効な推論ではありません。同様に、このアプローチを用いて元のヒープ変種パラドックスを解決するには、「XグレインはYグレインよりもヒープである」という関係を推移的ではなく準推移的と見なすことができます。

連続体の誤謬

連続体誤謬（ひげの誤謬[ ^{44 ] [ 45 ]}線引きの誤謬、決定点の誤謬^{[ 46 ]}とも呼ばれる）は、ソリテスのパラドックスに関連する非形式的な誤謬である^。どちらの誤謬も、漠然とした主張が自分が望むほど正確ではないという理由だけで、誤ってそれを否定してしまう原因となる。曖昧さだけでは、必ずしも無効性を意味するわけではない。この誤謬は、2つの状態または条件の間に状態の連続体が存在するため、それらの状態または条件は別個とは考えられない（あるいは 全く存在しない）という主張である。

厳密に言えば、ソリテスのパラドックスは、多くの離散的な状態（典型的には砂粒の数は 1 から 1,000,000 個、したがって 1,000,000 個の状態が考えられます）が存在する状況を指しますが、連続体の誤謬は、温度などの状態が連続している（または連続しているように見える）状況を指します。

連続体誤謬を論じるにあたっては、実際には連続体が存在すると仮定しますが、これは一般的には些細な違いです。一般的に、ソリテスのパラドックスに反論する議論は、連続体誤謬にも反論できます。この誤謬に反論する議論の一つは、単純な反例に基づいています。禿げている人もいれば禿げていない人もいます。もう一つの議論は、状態の変化の度合いごとに状態の度合いがわずかに変化し、これらのわずかな変化が積み重なって状態をあるカテゴリーから別のカテゴリーへと移行させるというものです。例えば、米粒を一粒加えると、米の塊全体が「わずかに」山になり、十分な数のわずかな変化が積み重なって、その塊が山であるという状態が証明されるかもしれません。これはファジー論理を参照。

参照

• 曖昧さ
• 茹でガエル
• クローズドコンセプト
• 曖昧な概念
• 見れば分かります
• 不正確な言葉遣い
• 誤謬のリスト
• ロキの賭け
• リング種
• テセウスの船
• 滑りやすい坂道
• 我慢の限界

参考文献

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外部リンク

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• サンドラ・ラフェイブ：オープンコンセプトとクローズドコンセプト、そして連続体の誤謬