シュタイナー点（三角形）

三角形幾何学において、シュタイナー点は三角形に関連付けられた特定の点です。^{[ 1 ]} これは三角形の中心であり^{[ 2 ]} 、クラーク・キンバーリングの『三角形の中心百科事典』では中心X(99)として指定されています。スイスの数学者ヤコブ・シュタイナー（1796–1863）は1826年にこの点を記述しました。この点は1886年にジョセフ・ノイベルクによってシュタイナーの名前が付けられました。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

定義

シュタイナー点は次のように定義される。（これはシュタイナー自身の定義とは異なる。^{[ 2 ]}）

任意の三角形

ABC

とします。三角形

ABC

の外

心

、対称点を

K

とします。直径

OK

の円は三角形

ABCの

ブロカール円です。直線

BCに垂直な

O

を通る直線は、別の点

A'

でブロカール円と交差します。直線

CAに垂直な

O

を通る直線は、別の点

B'

でブロカール円と交差します。直線

ABに垂直な

O

を通る直線は、別の点

C'

でブロカール円と交差します。(三角形

A'B'C'

は三角形

ABCの

ブロカール三角形です。)直線

B'C'に平行な

A

を通る直線を

L

A

、直線

C'A'に平行な

B

を通る直線を

L

B

、直線

A'B'

に平行な

C

を通る直線を

L

C

とします。3 つの直線

L

A

、

L

B

、および

L

C

は共線です。共線点は三角形

ABCの

シュタイナー点です。

三角形の中心の百科事典では、シュタイナー点は次のように定義されています。

任意の三角形

ABC

とします。三角形

ABC

の外

心

、対称点を

K

とします。直線

OKの直線

BC

による反射を

l

A

、直線 OK の直線

CA

による反射を

l

B

、直線

OK

の直線

AB

による反射を

l

C

とします。直線

l

B

と

l

C

がA″

で交差し、直線

l

C

と

l

A

がB″

で交差し、直線

l

A

と

l

B が

C

″

で交差するとします。この場合、直線

AA″

、

BB″

、

CC″は交わります。この

交わる点が三角形

ABC

のシュタイナー点です。

三線座標

シュタイナー点の三線座標は以下の通りです

⁠ ⁠

bc/(b^{2}-c^{2}):ca/(c^{2}-a^{2}):ab/(a^{2}-b^{2})

⁠ ⁠

=b^{2}c^{2}\csc(bC):c^{2}a^{2}\csc(ca):a^{2}b^{2}\csc(ab)

性質

三角形 $ABC$ のシュタイナー外接楕円は、シュタイナー楕円とも呼ばれ、頂点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ を通る面積が最小の楕円です。三角形 $ABC$ のシュタイナー点は、三角形 $ABC$ のシュタイナー外接楕円上にあります
$三角形ABC$ のシュタイナー点のシムソン線は、ブロカール軸、つまり三角形 $ABC$ の外心、 $対称$ 中点 $K$ の線 $OK$ と平行です。
ブロカール三角形のシュタイナー点は $ABC$ の対称点である。ブロカール三角形のタリー点（下記参照）は $ABC$ の外心である。^{[ 4 ]}
$三角形ABC$ のシュタイナー点は、三角形 $ABC$ に関するキーパート放物線のブリアンション点である。^[⁵^]
$三角形ABC$ の中点のシュタイナー点は三角形 $ABC$ のキーパート双曲線の中心である。^[⁶^]

誤解

カナダの数学者ロス・ホンスバーガーはシュタイナー点の性質として次のように述べている。「三角形のシュタイナー点とは、各頂点にその外角の大きさに等しい質量を吊るすことによって得られる系の質量中心である。 ^{」[ 4 ]}このような系の質量中心は実際にはシュタイナー点ではなく、三線座標を持つシュタイナー曲率重心である。^[⁷^]これは、Encyclopedia of Triangle Centersで X(1115) として指定されている三角形の中心である。 $\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)$

タリーポイント

三角形のタリー点は、三角形のシュタイナー点と密接な関係があります。任意の三角形 $ABCとします。三角形$ $ABC$ の外接円上で、三角形 $ABC$ のシュタイナー点の正反対の点は、三角形 $ABC$ のタリー点と呼ばれます。タリー点は三角形の中心であり、『三角形の中心百科事典』では中心 X(98) として示されています。タリー点の三線座標は以下のように与えられます。

⁠ ⁠

\sec(A+\omega):\sec(B+\omega):\sec(C+\omega)=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)

ここで

ω

は三角形

ABCの

ブロカール角です

そして⁠ ⁠

f(a,b,c)={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}

シュタイナー点の定義と同様に、タリー点は次のように定義できます。

任意の三角形

ABC を

、三角形

ABC

のブロカール三角形

A'B'C'

とします。A を通り直線

B'C'に垂直

な

直線を

L

A

、

B

を通り直線

C'A'

に垂直な直線を

L

B

、

C

を通り直線

A'B'

に垂直な直線を

L

C

とします。3つの直線

L

A

、

L

B

、

L

C

は互いに交わります。交わる点は三角形

ABCの

Tarry 点です。

参考文献

^ Paul E. Black. 「シュタイナー点」 .アルゴリズムとデータ構造辞典. 米国国立標準技術研究所. 2012年5月17日閲覧。
^ ^a ^b ^cキンバリング、クラーク. 「シュタイナーポイント」 . 2012年5月17日閲覧。
^ J. ノイバーグ (1886)。「シュタイナー岬」。専門数学雑誌: 29.
^ ^a ^bホンスバーガー、ロス (1965). 『19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード』アメリカ数学会. pp. 119– 124.
^ Eddy, RH; Fritsch, R. (1994). 「ルートヴィヒ・キーペルトの円錐曲線：三角形の幾何学の包括的レッスン」. Math. Mag . 67 (3): 188– 205. doi : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .
^三角形の中心の百科事典、2025年6月18日にアクセス。
^ Eric W., Weisstein. 「シュタイナー曲率重心」 . MathWorld—Wolfram Webリソース. 2012年5月17日閲覧。

[1] Paul E. Black. 「シュタイナー点」 .アルゴリズムとデータ構造辞典. 米国国立標準技術研究所. 2012年5月17日閲覧。

[Kimberling-2] キンバリング、クラーク. 「シュタイナーポイント」 . 2012年5月17日閲覧。

[3] J. ノイバーグ (1886)。「シュタイナー岬」。専門数学雑誌: 29.

[Honsberger-4] ホンスバーガー、ロス (1965). 『19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード』アメリカ数学会. pp. 119– 124.

[Eddy-5] Eddy, RH; Fritsch, R. (1994). 「ルートヴィヒ・キーペルトの円錐曲線：三角形の幾何学の包括的レッスン」. Math. Mag . 67 (3): 188– 205. doi : 10.1080/0025570X.1994.11996212 .

[etc-6] 三角形の中心の百科事典、2025年6月18日にアクセス。

[7] Eric W., Weisstein. 「シュタイナー曲率重心」 . MathWorld—Wolfram Webリソース. 2012年5月17日閲覧。

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