確率偏微分方程式

確率偏微分方程式( SPDE )は、通常の確率微分方程式が通常の微分方程式を一般化するのと同じように、ランダムな力の項と係数を介して偏微分方程式を一般化します。

これらは量子場理論、統計力学、空間モデリングと関連がある。^{[ 1 ] [ 2 ]}

例

最も研究されているSPDEの一つは確率熱方程式であり^{[ 3 ]}、正式には次のように書ける。

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

ここではラプラシアンであり、 は時空ホワイトノイズを表す。他の例としては、波動方程式^{[ 4 ]}やシュレーディンガー方程式^{[ 5 ]}といった有名な線形方程式の確率的バージョンも挙げられる。${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \xi}$

議論

一つの難点は、それらの規則性の欠如です。1次元空間では、確率熱方程式の解は空間的にほぼ1/2-ヘルダー連続、時間的にほぼ1/4-ヘルダー連続です。2次元以上では、解は関数値を持ちませんが、ランダム分布として解釈できます。

線形方程式の場合、通常は半群法によって穏やかな解を求めることができます。^{[ 6 ]}

しかし、非線形方程式を考えると問題が生じ始める。例えば

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

ここでは多項式です。この場合、方程式をどのように解釈すべきかさえ明確ではありません。また、このような方程式は1より大きい次元では関数値解を持たず、したがって点ごとの意味も持ちません。超関数の空間には積構造がないこともよく知られています。これがこのような理論の核心的な問題です。そのため、何らかの形の再正規化が必要になります。 ${\displaystyle P}$

特定の方程式におけるこうした問題を回避する初期の試みとして、いわゆるダ・プラート・ドビュシェ・トリックが挙げられます。これは、非線形方程式を線形方程式の摂動として研究するというものです。^{[ 7 ]}しかし、このトリックは非線形因子と駆動ノイズ項の正則性の両方に依存するため、非常に限定された設定でしか利用できません。近年、この分野は飛躍的に発展し、現在では様々な亜臨界SPDEの局所的存在を保証する大規模な仕組みが存在します。^{[ 8 ]}

参照

• ブラウン運動面
• Kardar-Parisi-Zhang 方程式
• クシュナー方程式
• マリアヴァン計算
• 多項式カオス
• ウィック製品
• ザカイ方程式

参考文献

1. プレヴォット、クラウディア、ロックナー、マイケル (2007).確率偏微分方程式の簡潔な講義. 数学講義ノート. ベルリン・ハイデルベルク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-70780-6。
2. クレインスキー、エリアス・T.ゴメス＝ルビオ、ヴィルヒリオ。バッカ、ホーコン。レンツィ、アマンダ。カストロ＝カミロ、ダニエラ。シンプソン、ダニエル。リンドグレーン、フィン。ハバード大学ルー（2018）。R と INLA を使用した確率的偏微分方程式による高度な空間モデリング。フロリダ州ボカラトン：チャップマンとホール/CRC Press。ISBN 978-1-138-36985-6。
3. Edwards, SF; Wilkinson, DR (1982-05-08). 「粒状骨材の表面統計」 . Proc. R. Soc. Lond. A. 381 ( 1780): 17– 31. Bibcode : 1982RSPSA.381...17E . doi : 10.1098/rspa.1982.0056 . JSTOR 2397363 . 
4. Dalang, Robert C.; Frangos, NE (1998). 「2次元空間における確率波動方程式」 . The Annals of Probability . 26 (1): 187– 212. doi : 10.1214/aop/1022855416 . ISSN 0091-1798 . JSTOR 2652898 .  
5. Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. (1997-11-24). 「開放系に対する非マルコフ確率シュレーディンガー方程式」 . Physics Letters A. 235 ( 6): 569– 573. arXiv : quant-ph/9706050 . Bibcode : 1997PhLA..235..569D . doi : 10.1016/S0375-9601(97)00717-2 . ISSN 0375-9601 . 
6. ウォルシュ、ジョン B. (1986)。 「確率偏微分方程式の入門」。カルモナでは、ルネ。ケステン、ハリー。ウォルシュ、ジョン B.ヘネキン、PL (編)。サン小麦粉の確率エコール デコール XIV - 1984 年。数学の講義ノート。 Vol. 1180年。シュプリンガー・ベルリン・ハイデルベルク。ページ 265–439。土井: 10.1007/bfb0074920。ISBN 978-3-540-39781-6。
7. Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud (2003). 「確率量子化方程式の強力な解」Annals of Probability . 31 (4): 1900– 1916. JSTOR 3481533 . 
8. Corwin, Ivan; Shen, Hao (2020). 「特異確率偏微分方程式における最近の進歩」 . Bull. Amer. Math. Soc . 57 (3): 409– 454. doi : 10.1090/bull/1670 .

さらに読む

• Bain, A.; Crisan, D. (2009).確率的フィルタリングの基礎. 確率的モデリングと応用確率論. 第60巻. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-0387768953。
• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010).確率的偏微分方程式：モデリングとホワイトノイズ関数アプローチ. Universitext (第2版). ニューヨーク: Springer. doi : 10.1007/978-0-387-89488-1 . ISBN 978-0-387-89487-4。
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindström, J. (2011). 「ガウス場とガウスマルコフ確率場との明示的な関係：確率的偏微分方程式アプローチ」 . Journal of the Royal Statistical Society Series B: Statistical Methodology . 73 (4): 423– 498. doi : 10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x . hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412 .
• Xiu, D. (2010).確率計算のための数値解析法：スペクトル法によるアプローチ. プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-14212-8。

外部リンク

• 「確率偏微分方程式に関するミニコース」（PDF）。2006年。
• ヘアラー、マーティン(2009). 「確率偏微分方程式入門」. arXiv : 0907.4178 [ math.PR ].