三角関数

三角法の基礎: 2 つの直角三角形の鋭角が等しい場合、それらは相似であり、対応する辺の長さは比例します。

数学において、三角関数（円関数、角度関数、ゴニオメトリック関数とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、直角三角形の角度と2辺の長さの比を関連付ける実関数です。航海、固体力学、天体力学、測地学など、幾何学に関連するあらゆる科学分野で広く用いられています。三角関数は最も単純な周期関数の一つであり、フーリエ解析を通して周期現象を研究するために広く用いられています。

現代数学で最も広く使用されている三角関数は、正弦関数、余弦関数、正接関数です。これらの逆関数はそれぞれコセカント、セカント、コタンジェント関数ですが、あまり一般的には使われません。これら6つの三角関数にはそれぞれ対応する逆関数があり、双曲線関数にも類似関数があります。

三角関数の最も古い定義は、直角三角形に関連しており、鋭角に対してのみ定義されています。正弦関数と余弦関数を、実数直線全体を定義域とする関数に拡張するために、標準単位円(つまり、半径1 単位の円) を使用する幾何学的定義がよく使用されます。この場合、他の関数の定義域は、孤立点がいくつか除去された実数直線になります。現代の定義では、三角関数は無限級数または微分方程式の解として表現されます。これにより、正弦関数と余弦関数の定義域を複素平面全体に拡張でき、他の三角関数の定義域を孤立点がいくつか除去された複素平面に拡張できます。

表記

慣例的に、各三角関数の名前の略語が、数式内の記号として使用されます。今日、これらの略語の最も一般的なバージョンは、正弦の場合は「sin」、余弦の場合は「cos」、正接の場合は「tan」または「tg」、正割の場合は「sec」、余割の場合は「csc」または「cosec」、余接の場合は「cot」または「ctg」です。歴史的に、これらの略語は最初は散文で特定の線分または任意の円弧に関連するその長さを示すために使用され、後に長さの比を示すために使用されましたが、17 世紀から 18 世紀に関数の概念が発展するにつれて、これらは実数値の角度測度の関数と見なされるようになり、関数表記法で記述されます(例: sin( x ) )。煩雑さを減らすために括弧は今でも省略されることがよくありますが、必要な場合もあります。例えば、式は通常次のように解釈されるので、括弧で囲む必要がある。${\displaystyle \sin x+y}$ ${\displaystyle (\sin x)+y,}$ ${\displaystyle \sin(x+y).}$

関数の記号の後に上付き文字として現れる正の整数は、関数合成ではなくべき乗を表します。例えば、と はべき乗ではないことを表します。これは、（歴史的に後発の）一般的な関数表記法とは異なります。${\displaystyle \sin^{2}x}$ ${\displaystyle \sin^{2}(x)}$ ${\displaystyle (\sin x)^{2},}$ ${\displaystyle \sin(\sin x).}$ ${\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}$

対照的に、上付き文字は逆関数 を表すのによく使われ、逆関数 を表すのには使われません。例えば、 とは逆​​三角関数を表します。また、 と書くこともできます。この式は、ではないことを意味します。この場合、上付き文字は合成関数または反復関数 を表すものと考えられますが、 以外の負の上付き文字は一般的には使われません。 ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \sin^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \arcsin x\,.}$ ${\displaystyle \theta =\sin^{-1}x}$ ${\displaystyle \sin \theta =x,}$ ${\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.}$ ${\displaystyle {-1}}$

直角三角形の定義

この直角三角形において、角BACの大きさをAとすると、sin A = ⁠1つの/c⁠ ; cos A = ⁠b/c⁠ ; tan A = ⁠1つの/b⁠。

6つの三角関数、単位円、そして角度θ = 0.7 ラジアンの直線をプロットした図。1 、Sec( θ )、Csc( θ )とラベル付けされた点は、原点からその点までの線分の長さを表します。Sin ( θ )、Tan( θ )、および1は、 x軸から始まる直線までの高さであり、Cos( θ )、1、およびCot( θ )は、原点から始まるx軸に沿った長さです。

鋭角θが与えられている場合、角度θを持つ直角三角形は互いに相似です。これは、任意の2辺の長さの比がθのみに依存することを意味します。したがって、これらの6つの比は、 θの6つの関数、つまり三角関数を定義します。以下の定義において、斜辺は直角の反対側の辺の長さ、対辺は与えられた角度θの反対側の辺、隣接辺は角度θと直角の間の辺を表します。^{[ 2 ] [ 3 ]}

正弦 ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {反対側} }{\mathrm {斜辺} }}}$	コセカント ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {斜辺} }{\mathrm {反対側} }}}$
余弦 ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {隣接} }{\mathrm {斜辺} }}}$	割線 ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {斜辺} }{\mathrm {隣接} }}}$
正接 ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {反対側} }{\mathrm {隣接} }}}$	余接 ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {隣接} }{\mathrm {反対側} }}}$

これらの定義を覚えるために、さまざまな記憶術を使用できます。

直角三角形では、2つの鋭角の和は直角、つまり90°または⁠π/2⁠ラジアン。したがって、とは同じ比を表し、等しい。この恒等式と他の三角関数間の類似関係は、次の表にまとめられている。 ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}$

上：四象限における選択された角度θ、π − θ、π + θ、および2 π − θに対する三角関数sin θ 。下：正弦と角度の関係を示すグラフ。上図の角度が識別されます。

三角関数の関係のまとめ^{[ 4 ]}

関数	説明	関係
		ラジアンを使用する	度数を使用して
正弦	⁠反対/斜辺⁠	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}}$
余弦	⁠隣接/斜辺⁠	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$	${\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,}$
正接	⁠反対/隣接⁠	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta}{\cos \theta}}=\cot \left({\frac {\pi}{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta}}}$	${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}}$
余接	⁠隣接/反対⁠	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta}{\sin \theta}}=\tan \left({\frac {\pi}{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta}}}$	${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}}$
割線	⁠斜辺/隣接⁠	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}}$
コセカント	⁠斜辺/反対⁠	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}$

ラジアンと度

幾何学の応用において、三角関数の偏角は一般に角度の尺度となります。この目的のためには、角度の単位はどれでも便利です。一般的な単位の一つは度で、直角は90°、回転は360°となります（特に初等数学において）。

しかし、微積分学や数学解析学では、三角関数は一般に、角度の関数としてではなく、実数または複素数の関数として、より抽象的にみなされています。 実際、関数sinおよびcosは、あらゆる複素数に対して、指数関数、べき級数^{[ 5 ]}、または特定の初期値を与えられた微分方程式の解として^{[ 6 ]}（下記参照）で定義でき、幾何学的概念は考慮されません。 他の 4 つの三角関数（tan、cot、sec、csc ）は、分母が 0 になる場合を除き、 sinおよびcosの商および逆数として定義できます。 実引数については、引数をラジアン単位の角度と見なすと、これらの定義は基本的な幾何学的定義と一致することが証明できます。^{[ 5 ]}さらに、これらの定義から、三角関数の導関数と不定積分の簡単な式が得られます。^{[ 7 ]}したがって、初等幾何学を超えた設定では、ラジアンは角度の測定を記述するための数学的に自然な単位であると見なされます。

ラジアン（rad）が使用される場合、角度はそれによって囲まれる単位円の弧の長さとして表されます。単位円上の長さ 1 の弧の角度は 1 rad（≈ 57.3°）です^{[ 8 ]} 。また、完全な回転（360°）は 2 π（≈ 6.28）radの角度です^{[ 9 ]} 。ラジアンは無次元、つまり 1 rad = 1 であるため、度記号は 1° = π /180 ≈ 0.0175 のような数学的な定数係数と見なすこともできます。

単位円の定義

角度θ (シータ) のすべての三角関数は、 Oを中心とする単位円に基づいて幾何学的に構築できます。

単位円上の三角関数。

単位円上の正弦関数（上）とそのグラフ（下）

6つの三角関数は、ユークリッド平面上の点の座標値として定義できます。これらの点は単位円（この座標系の原点Oを中心とする半径1の円）を基準としています。直角三角形の定義では、 0からラジアン（90°）までの角度に対する三角関数の定義が可能ですが、単位円の定義では、三角関数の定義域をすべての正負の実数に拡張できます。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

x軸の正の半分を角度θ回転して得られる光線をとします ( の場合は反時計回り、 の場合は時計回り)。この光線は点で単位円と交差します。必要に応じて直線に延長された光線は、点で方程式の直線と交差し、点で方程式の直線と交差します。点Aにおける単位円の接線はy軸とx軸に垂直で、点でこれらと交差します。これらの点の座標は、次のように、 任意の実数値θに対してすべての三角関数の値を与えます。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \theta >0,}$ ${\displaystyle \theta <0}$ ${\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),}$ ${\displaystyle y=1}$ ${\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},}$ ${\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })}$ ${\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}$

三角関数cosとsinは、それぞれ点Aのx座標値とy座標値として定義されます。つまり 、^{[ 10 ]}${\textstyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }}$ ${\textstyle \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}$

範囲 において、この定義は直角三角形の定義と一致します。直角三角形の斜辺を単位半径OAとすると、この定義は直角三角形の定義と一致します。また、この式は単位円上のすべての点に対して成立するため、この余弦と正弦の定義はピタゴラスの定理も満たします。 ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)}$ $${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$$

この図では、任意の角度θの6つの三角関数が、単位円に関連する点の直交座標として表されています。A、B、Dのy軸座標はそれぞれsin θ、tan θ、csc θであり、A、C、Eのx軸横座標はそれぞれcos θ、cot θ、sec θです。

他の三角関数も単位円に沿って存在し、それらすべてを合わせると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &=x_{\mathrm {A} }\\\sin \theta &=y_{\mathrm {A} }\\\tan \theta &=y_{\mathrm {B} },\ x_{\mathrm {B} }=1\\\cot \theta &=x_{\mathrm {C} },\ y_{\mathrm {C} }=1\\\csc \theta &=y_{\mathrm {D} },\ x_{\mathrm {D} }=0\\\quad \sec \theta &=x_{\mathrm {E} },\ y_{\mathrm {E} }=0\\\end{aligned}}}$$

ピタゴラスの恒等式と幾何学的証明法を適用することで、これらの定義は正弦と余弦における正接、余接、割線、余割の定義と一致することが容易に証明できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta &={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\\\cot \theta &={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\\\sec \theta &={\frac {1}{\cos \theta }}\\\csc \theta &={\frac {1}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$$

三角関数:正弦、余弦、正接、余割（点線）、割線（点線）、余接（点線） –アニメーション

各象限における三角関数の符号。「すべての学生は微積分を学ぶ」のような記憶法は、第1象限から第4象限まで正弦、余弦、正接が正であることを示します。^{[ 11 ]}

角度 の回転では図形の位置やサイズは変化しないため、点A、B、C、D、Eは、差が の整数倍である 2 つの角度に対して同じになります。したがって三角関数は周期 の周期関数です。つまり、等式 と は、 任意の角度θおよび任意の整数kに対して成り立ちます。他の 4 つの三角関数についても同様です。4 つの象限における関数 sin、cos、cosecant、secant の符号と単調性を観察することにより、が周期的である最小の値である (つまり、 がこれらの関数の基本周期である) ことがわかります。ただし、角度 の回転後には、点BとC は元の位置に戻るため、正接関数と余接関数の基本周期は になります。つまり、等式 と は、 任意の角度θおよび任意の整数kに対して成り立ちます。 ${\displaystyle \pm 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\textstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)}$ ${\textstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )}$ ${\textstyle \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}$

代数的値

単位円。いくつかの点にコサインとサイン（この順序で）のラベルが付けられ、対応する角度がラジアンと度で示されています。

最も重要な角度の代数式は、ゼロ角度から始まり直角で終わる次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0&=\sin 0^{\circ }&&={\frac {\sqrt {0}}{2}}&&=0\\\sin {\frac {\pi }{6}}&=\sin 30^{\circ }&&={\frac {\sqrt {1}}{2}}&&={\frac {1}{2}}\\\sin {\frac {\pi }{4}}&=\sin 45^{\circ }&&={\frac {\sqrt {2}}{2}}&&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\sin {\frac {\pi }{3}}&=\sin 60^{\circ }&&={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\sin {\frac {\pi }{2}}&=\sin 90^{\circ }&&={\frac {\sqrt {4}}{2}}&&=1\end{aligned}}}$$

分子を分母が2である連続する非負整数の平方根として書くと、値を覚えやすくなります。 ^{[ 12 ]}

このような単純な表現は、直角の有理倍数である他の角度では一般に存在しません。

• 度で測った角度が3の倍数である場合、正弦と余弦の正確な三角関数の値は平方根で表すことができます。したがって、これらの正弦と余弦の値は定規とコンパスを使って作図することができます。
• 整数度の角度の場合、正弦と余弦は、実数でない複素数の平方根と立方根で表すことができます。ガロア理論によれば、角度が3°の倍数でない場合、実数でない立方根は避けられないことが証明されています。
• 度で表される角度が有理数である場合、正弦と余弦は代数的数であり、 n乗根で表される。これは、円分多項式のガロア群が巡回的であるという事実に由来する。
• 度数で表された角度が有理数でない場合、その角度、または正弦と余弦の両方が超越数となる。これは1966年に証明されたベイカーの定理の系である。
• 角度の正弦が有理数である場合、余弦は必ずしも有理数とは限らず、逆もまた同様です。ただし、角度の正弦が有理数である場合、その2倍角の正弦と余弦はどちらも有理数になります。

単純な代数値

次の表は、0 度から 90 度までの 15 度の倍数の正弦、余弦、正接を示します。

角度θ、in		${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$
ラジアン	度
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	未定義

分析における定義

正弦、余弦、正接のグラフ

正弦関数 (青) は、原点を中心とした完全なサイクルに対して、7 次テイラー多項式(ピンク) によって近似されます。

テイラー多項式によるコサインの近似のアニメーション。

${\displaystyle \cos(x)}$ 最初のテイラー多項式とともに${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

GHハーディは1908年の著書『純粋数学講座』の中で、単位円による三角関数の定義は、実数で測定できる角度の概念に暗黙的に依存しているため不十分であると指摘した。^{[ 13 ]}そのため、現代の解析学では、三角関数は通常、幾何学を参照せずに構築される。

文献には、分析に適した方法で三角関数を定義するさまざまな方法があります。これには次のものが含まれます。

• 単位円の「幾何学」を用いて、円の弧の長さ（または扇形の面積）を解析的に定式化する必要がある。^{[ 13 ]}
• 複素変数に特に適したべき級数によって表される。 ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• 無限積展開を用いる。^{[ 13 ]}
• 逆三角関数を反転することで、代数関数または有理関数の積分として定義することができます。^{[ 13 ]}
• 微分方程式の解として。^{[ 15 ]}

微分方程式による定義

正弦と余弦は初期値問題の唯一の解として定義できる：^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$$

もう一度微分すると、となり、正弦と余弦はどちらも同じ常微分方程式の解となります 。 正弦は、y (0) = 0およびy ′(0) = 1の場合に唯一解となります。余弦は、 y (0) = 1およびy ′(0) = 0の場合に唯一解となります。 ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$ $${\displaystyle y''+y=0\,.}$$

すると、定理として、解は周期的であり、同じ周期を持つことが証明できる。この周期を と書くことで、幾何学に依存しない 実数の定義が得られる。${\displaystyle \cos ,\sin }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

正接に商の法則を適用すると、 正接関数は常微分方程式を満たし、 y (0) = 0 となる唯一の解となります。 ${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$$ $${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$$

べき級数展開

基本的な三角関数は、以下のべき級数展開によって定義できます。^{[ 17 ]}これらの級数は、三角関数のテイラー級数またはマクローリン級数とも呼ばれます。 これらの級数の収束半径は 無限大です。したがって、正弦関数と余弦関数は、 （定義により）複素平面全体で定義され、正則な複素数値関数である整関数（「正弦関数」と「余弦関数」とも呼ばれます）に拡張できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$$

項ごとに微分すると、級数によって定義される正弦と余弦は前述の微分方程式に従うことが示され、逆に、微分方程式から導かれる基本的な再帰関係からこれらの級数を取得できます。

他の三角関数は整関数の分数として定義されるため、有理型関数、すなわち複素平面全体において正則な関数（ただし、極と呼ばれる孤立点を除く）に拡張できる。ここで、極とは、接線と正接、または余接と余割の形の数のことである。ただし、 kは任意の整数である。 ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k\pi }$

他の三角関数のテイラー級数の係数についても、漸化式を計算することができる。これらの級数は有限の収束半径を持つ。その係数は組合せ論的な解釈が可能であり、有限集合の交互順列を列挙する。^{[ 18 ]}

より正確には、定義

U _n、n番目のアップ/ダウン番号、

B _n、n次のベルヌーイ数、および

E _nはn番目のオイラー数であり、

次のような級数展開がある: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

連分数展開

次の連分数は複素平面全体で有効です。

^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$$

最後のものは、πが無理数であることの歴史上最初の証明に使われました。^{[ 21 ]}

に対しては急速に収束する連分数が存在する： ^{[ 22 ]}${\displaystyle \tan(x)}$

$${\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}}$$ 次に、次の連分数表現 では、（漸近的に）サイクルごとに 12.68 個の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。${\displaystyle x=1}$ $${\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}$$

部分分数展開

逆関数を単純に平行移動させて合計した部分分数展開として級数表現があり、コタンジェント関数と逆関数の極が一致する: [ ^{23 ]この}恒等式は、ヘルグロッツのトリック で証明できる: ^{[ 24 ]} (– n )次項とn次項を 組み合わせると、絶対収束級数になる: 同様に、セカント関数、コセカント関数、タンジェント関数の部分分数展開を見つけることができる: これらの級数は、ミッタク・レフラー展開 から演繹できる(ミッタク・レフラーの定理を使用)。 $${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$$ $${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$$ $${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$$ $${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$$ $${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$$

無限の製品拡張

正弦の次の無限積はレオンハルト・オイラーによるもので、複素解析において非常に重要である。^{[ 25 ]} これは、上に示した の部分分数分解、すなわちの対数 微分から得られる。^{[ 26 ]}このことから、次の式も導かれる。 $${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle \cot z}$ ${\displaystyle \sin z}$ $${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$

オイラーの公式と指数関数

${\displaystyle \cos(\theta )}$ および はそれぞれの実数部と虚数部です。${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

オイラーの公式は、正弦と余弦を指数関数に関連付けます。 この公式は、通常、xの実数値について考えられますが、すべての複素数値に対しても当てはまります。 $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$$

証明：とj = 1, 2のとき、 が成り立つ。商の法則から が成り立つ。したがって、は定数関数であり、 と等しい。${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$ ${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$ ${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$ ${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$ 1、これは式を証明します。 ${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$

一つは $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$$

この線形システムを正弦と余弦で解くと、指数関数で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$$

xが実数の場合、これは次のように書き直される。 $${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$$

ほとんどの三角関数の恒等式は、上記の公式を使用して三角関数を複素指数関数で表し、次に恒等式を使用して結果を簡略化することで証明できます。 ${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$

オイラーの公式は、位相群という言語を用いて、以下のように基本的な三角関数を直接定義するのにも用いることができる。^{[ 27 ]}単位元複素数の集合は、コンパクトで連結な位相群であり、実数直線に同相な単位元近傍を持つ。したがって、位相群として、同型写像 を介して 1次元トーラス群 と同型である。 簡単に言えば、であり、この同型写像は複素共役を取らない限り一意である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ ${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$

非零の実数（基数）に対して、関数 は群 の同型性を定義します。 の実部と虚部はそれぞれコサインとサインであり、 は角度を測るための基数として用いられます。例えば、 のとき、ラジアン単位の角度と通常の三角関数が得られます。 のとき、度単位で測られた角度のサインとコサインが得られます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$ ${\displaystyle e(t/a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=2\pi }$ ${\displaystyle a=360}$

は、 において導関数が 正の虚数部を持つ単位ベクトルと なる唯一の値であることに注意してください。この事実は、定数 を定義する際にも利用できます。 ${\displaystyle a=2\pi }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

統合による定義

解析学における三角関数を定義する別の方法は、積分を用いることです。^{[ 13 ] [ 28 ]}実数 に対して、 この逆正接関数を定義する を置きます。また、はカール・ワイエルシュトラス に遡る定義によって定義されます 。^{[ 29 ]}${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$

区間 において、三角関数は の関係を反転させることで定義されます。したがって、三角関数は のグラフ上の 点にあり、正の平方根が取られる で定義されます 。${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$ $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ ${\displaystyle (t,\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\arctan t}$

これは 上の三角関数を定義します。 、 、なので となり、 となることをまず観察することで、定義をすべての実数に拡張できます。したがって、 と は連続的に拡張され、 となります。ここで、条件とは、すべての実数に対して、周期 を持つ周期関数として正弦関数と余弦関数を定義します。 ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle \theta \to \pi /2}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$ ${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi }$

正弦と余弦の基本的な性質、特に正弦と余弦が解析的であるという事実を証明するには、まず加法公式を確立する必要がある。まず、 を代入した後となるため、 を仮定すると が成立する。特に、 の極限ケースでは となる。したがって 、 となり 、 と なる。 したがって、正弦関数と余弦関数は、4分の1周期 にわたる平行移動によって関連付けられる。 $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ ${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$ $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ ${\displaystyle \pi /2}$

関数方程式を用いた定義

さまざまな関数方程式を使用して三角関数を定義することもできます。

例えば、^{[ 30 ]}正弦と余弦は、差分式 と追加条件を満たす 唯一の連続関数のペアを形成します。$${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$$ $${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$$

複素平面では

複素数 の正弦と余弦は、次のように実正弦、実余弦、双曲線関数で表すことができます。 ${\displaystyle z=x+iy}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$$

定義域彩色を利用することで、三角関数を複素数値関数としてグラフ化することができます。グラフからは、複素関数特有の様々な特徴を見ることができます。例えば、正弦関数と余弦関数は、虚数部が大きくなるにつれて無限大になることがわかります（白色は無限大を表すため）。また、関数が単純な零点または極を含むことは、色相が各零点または極の周りをちょうど1回循環していることから明らかです。これらのグラフを対応する双曲関数のグラフと比較すると、両者の関係が明確になります。 ${\displaystyle z}$

複素平面上の三角関数

${\displaystyle \sin z\,}$ ${\displaystyle \cos z\,}$

${\displaystyle \tan z\,}$ ${\displaystyle \cot z\,}$

${\displaystyle \sec z\,}$ ${\displaystyle \csc z\,}$

周期性と漸近線

正弦関数と余弦関数は周期で、周期は最小の正の周期です。 したがって、余弦関数と正弦関数の周期も になります。 ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \sin(z+2\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+2\pi )=\cos(z).}$$ ${\displaystyle 2\pi }$

関数の正弦と余弦にも半周期があり、 したがって と なります (補角を参照)。 ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \sin(z+\pi )=-\sin(z),\quad \cos(z+\pi )=-\cos(z)}$$ $${\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z).}$$ $${\displaystyle \sin(x+\pi /2)=\cos(x),\quad \cos(x+\pi /2)=-\sin(x)}$$

関数はストリップ に唯一の零点（ ）を持ちます。関数は同じストリップに 2つの零点を持ちます。周期性のため、正弦関数の零点は です。 余弦関数の零点は です。 すべての零点は単純零点であり、どちらの関数もそれぞれの零点で微分を持ちます。 ${\displaystyle \sin(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi }$ ${\displaystyle \cos(z)}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ $${\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle \pm 1}$

正接関数はで単純な零点を持ち、 で垂直漸近線を持ち、そこでは留数 の単純な極を持つ。ここでも周期性により、零点はすべて の整数倍、極は の奇数倍となり、すべて同じ留数を持つ。極は の垂直漸近線に対応する。 ${\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=\pm \pi /2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}$$

余接関数は、の整数倍で留数1の単純な極を持ち、の奇数倍で単純な零点を持つ。これらの極は、垂直漸近線に対応する。 ${\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}$$

基本的なアイデンティティ

三角関数には、相互に関係する多くの恒等式があります。このセクションでは、最も基本的な恒等式を取り上げます。その他の恒等式については、「三角関数の恒等式の一覧」を参照してください。これらの恒等式は、単位円の定義または直角三角形の定義から幾何学的に証明できます (ただし、後者の定義では、区間[0, π /2]内にない角度に注意する必要があります。 「三角関数の恒等式の証明」を参照してください)。微積分のツールだけを使用する非幾何学的な証明では、上記のオイラーの恒等式の証明と同様の方法で、微分方程式を直接使用できます。また、オイラーの恒等式を使用して、すべての三角関数を複素指数で表し、指数関数の特性を使用することもできます。

パリティ

余弦と正弦は偶関数です。その他の三角関数は奇関数です。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$$

生理

すべての三角関数は周期2πの周期関数です。これは、 πが最小周期である正接関数と余接関数を除けば、最小周期です。これは、任意の整数kに対して、次の式が成り立つことを 意味します（周期性と漸近線を 参照） 。 $${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$$

ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理は、ピタゴラスの定理を三角関数で表現したものです。 を または で割ると、と なり ます。$${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.}$$ ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ $${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$$ $${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$$ $${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x\,.}$$

和と差の公式

和と差の公式は、2つの角度の和または差の正弦、余弦、正接を、それぞれの角度の正弦、余弦、正接を用いて展開することを可能にします。これらは、プトレマイオスに遡る議論を用いて幾何学的に導くことができます（角度の和と差の恒等式を参照）。また、オイラーの公式を用いて代数的に導くこともできます。

和

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

違い

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

2 つの角度が等しい場合、和の公式は、倍角の公式と呼ばれるより単純な方程式になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$$

これらの恒等式は積和恒等式を導くために使用できます。

を設定することにより（半角の公式を参照）、 のすべての三角関数はの有理分数として表すことができます。 これ とともに、 接線半角置換があり、これにより三角関数の積分と不定微分の計算が有理分数の計算にまで削減されます。 ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$$

導関数と反導関数

三角関数の微分は、正弦関数と余弦関数の微分に商の法則を適用することで得られます。次の表に示されている不定積分の値は、微分することで確認できます。C は 積分定数です。

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$	${\textstyle \int f(x)\,dx}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\cos x+C}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \sin x+C}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle -\csc x\cot x}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle \sec x\tan x}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle -\ln \left|\csc x\right|+C}$

注:の積分はと書くこともできます。また、 の積分はと書きます。ここでは逆双曲線正弦です。 ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle \csc x}$ ${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$ ${\displaystyle \sec x}$ ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$ ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$

あるいは、三角関数の恒等式と連鎖律を使用して、「共関数」の導関数を取得することもできます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$$

逆関数

三角関数は周期的であるため単射ではないため、厳密に言えば逆関数は存在しません。ただし、三角関数が単調である各区間では逆関数を定義することができ、これにより逆三角関数は多値関数として定義されます。真の逆関数を定義するには、関数が単調である区間に定義域を制限し、この区間から関数によるその像に全単射となるようにする必要があります。この区間の一般的な選択は主値の集合と呼ばれ、次の表に示されています。通常どおり、逆三角関数は、関数の名前またはその略語の前に接頭辞「arc」を付けて表されます。

関数	意味	ドメイン	主要な価値観のセット
${\displaystyle y=\arcsin x}$	${\displaystyle \sin y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\arccos x}$	${\displaystyle \cos y=x}$	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi }$
${\displaystyle y=\arctan x}$	${\displaystyle \tan y=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$	${\displaystyle \cot y=x}$	${\displaystyle -\infty <x<\infty }$	${\textstyle 0<y<\pi }$
${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}$	${\displaystyle \sec y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1}$	${\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}$	${\displaystyle \csc y=x}$	${\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1}$	${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}$

sin ⁻¹、cos ⁻¹などの表記は、 arcsinやarccosなどの関数を表すのによく用いられます。この表記法を用いると、逆関数が乗法逆関数と混同される可能性があります。「arc」を接頭辞として用いることでこのような混乱を避けることができますが、arcsecant を表す「arcsec」は「arcsecond」と混同される可能性があります。

正弦関数や余弦関数と同様に、逆三角関数も無限級数で表すことができます。また、複素対数で表すこともできます。

アプリケーション

三角形の角度と辺

この節では、 A、B、Cは三角形の3つの（内角）を表し、a、b、cはそれぞれの対辺の長さを表します。これらは様々な公式によって関連しており、それらの公式は三角関数の名前で呼ばれます。

正弦の法則

正弦定理によれば、任意の三角形の辺がa、b、cで、それらの辺A、B 、 Cと向かい合う角度が次の式で表されます。 ここで、 Δは三角形の面積、または同様に、 Rは三角形の円周半径です。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$$

これは、三角形を2つの直角三角形に分割し、上記の正弦の定義を用いることで証明できます。正弦定理は、2つの角度と1つの辺が分かっている場合、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。これは、2つの角度と到達可能な閉距離を測定することで未知の距離を決定する技術である 三角測量においてよく見られる状況です。

余弦定理

余弦定理（余弦公式または余弦定理とも呼ばれる）は、ピタゴラスの定理の拡張で ある 。 $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$$ $${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$$

この式において、 Cにおける角は辺 cと反対である。この定理は、三角形を2つの直角三角形に分割し、ピタゴラスの定理を用いることで証明できる。

余弦定理は、2辺とそれらの間の角度が分かっている場合、三角形の一辺を決定するために使用できます。また、すべての辺の長さが分かっている場合、角度の余弦（ひいては角度自体）を求めるためにも使用できます。

接線の法則

接線の法則によれば、次のようになります 。 $${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}$$

余接の法則

三角形の半周をs （( a + b + c )/2）、三角形の内接円の半径をrとすると、rsは三角形の面積です。したがって、ヘロンの公式は次式を導きます。

$${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$$

余接法則は次のように述べている：^{[ 31 ]} 従って、 $${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}$$

周期関数

リサージュ曲線は、三角法に基づく関数で形成される図形です。

倍音数が増加する矩形波の加法合成のアニメーション

正弦波基底関数（下）は、加算すると鋸歯状波（上）を形成する。すべての基底関数は鋸歯状波の節に節を持ち、基本波（k = 1 ）を除くすべての基底関数には追加の節がある。kが大きい場合に鋸歯状波の周囲に見られる振動は、ギブス現象と呼ばれる。

三角関数は物理学においても重要です。例えば、正弦関数と余弦関数は単振動を記述するために用いられます。単振動は、バネに取り付けられた質量の運動や、小さな角度における紐で吊るされた質量の振り子運動など、多くの自然現象をモデル化します。正弦関数と余弦関数は、等速円運動の一次元投影です。

三角関数は、一般的な周期関数の研究にも有用であることが証明されています。周期関数の特徴的な波形は、音波や光波などの繰り返し現象をモデル化するのに役立ちます。^{[ 32 ]}

一般的な条件下では、周期関数f ( x )はフーリエ級数の正弦波または余弦波の和として表すことができます。^{[ 33 ]}正弦または余弦の基底関数をφ _kで表すと、周期関数f ( t )の展開は次のようになります。 $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

例えば、矩形波はフーリエ級数として表される。$${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

右上の矩形波のアニメーションでは、わずか数項で既にかなり良好な近似値が得られていることがわかります。鋸歯状波の展開における複数の項の重ね合わせは下図に示されています。

歴史

三角法の研究は古代に遡りますが、今日使用されている三角関数は中世に発展しました。弦関数は、ニカイアのヒッパルコス（紀元前180年～125年）とローマ帝国エジプトのプトレマイオス（紀元90年～165年）によって定義されました。正弦関数と正弦関数（1 - 余弦）は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、グプタ朝時代のインド天文学（アーリヤバーティーヤ、スーリヤ・シッダーンタ）で使用されていたjyā関数とkoti-jyā関数と密接に関連しています。^{[ 34 ]}（アーリヤバーターの正弦表を参照）。

現在使われている6つの三角関数はすべて、9世紀までにはイスラム数学で知られており、三角形を解くのに使われる正弦定理も同様だった。^{[ 35 ]}アル・フワーリズミー（780年頃-850年）は正弦と余弦の表を作成した。860年頃、ハバシュ・アル・ハスブ・アル・マルワズィーは正接と余接を定義し、それらの表を作成した。^{[ 36 ] [ 37 ]}ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハッラーニー・アル・バッターニー（853年-929年）は、正割と余割の逆関数を定義し、1°から90°までの各度に対する余割の最初の表を作成した。^{[ 37 ]}三角関数は後にオマル・ハイヤーム、バースカラ二世、ナシール・アル＝ディン・アル＝トゥシ、ジャムシード・アル・カーシー（14世紀）、ウルグ・ベク（14世紀）、レジオモンタヌス（1464年）、レティカス、レティカスの学生ヴァレンティヌスなどの数学者によって研究された。オト。

サンガマグラマのマダヴァ（1400年頃）は、無限級数を用いた三角関数の解析において初期の進歩を遂げました。^{[ 38 ]}（マダヴァ級数とマダヴァの正弦表を参照）。

正接関数は1467年にジョヴァンニ・ビアンキーニによって、恒星の座標計算をサポートするために作成された三角法の表によってヨーロッパにもたらされました。^{[ 39 ]}

タンジェントとセカントという用語は、デンマークの数学者トーマス・フィンケが著書『幾何学論』（1583年）で初めて導入しました。^{[ 40 ]}

17世紀フランスの数学者アルベール・ジラールは著書『三角法』の中で、 sin、cos、tanという略語を初めて出版した。^{[ 41 ]}

1682年に発表された論文で、ゴットフリート・ライプニッツはsin x がxの代数関数ではないことを証明した。^{[ 42 ]}直角三角形の辺の比として定義され、したがって有理関数のように見えるが、ライプニッツの結果は、それらが実際にはその引数の超越関数であることを確立した。円関数を代数式に同化する作業は、オイラーが『無限の解析入門』（1748年）で成し遂げた。彼の方法は、正弦関数と余弦関数が、それぞれ指数級数の偶数項と奇数項から形成される交代級数であることを示すことだった。彼は「オイラーの公式」と、ほぼ現代的な略語（sin.、cos.、tang.、cot.、sec.、cosec.）を提示した。^{[ 34 ]}

歴史的には一般的であったが、現在ではほとんど使われていない関数がいくつかある。例えば、弦、正弦（初期の表^{[ 34 ]}に登場）、半正弦、被覆正弦、^{[ 43 ]} 、半正接（半角の正接）、そして割線などである。三角関数の恒等式一覧には、これらの関数間の関係がさらに示されている。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}$$

歴史的に、三角関数は、対数正弦、対数余弦、対数正弦、対数余弦、対数正接、対数正接、対数余弦などの複合関数で対数と組み合わせられることが多かった。 ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}

語源

正弦（sine）という語は、ラテン語のsinus （「曲げる、湾」という意味）に由来し^{[ 48 ]} 、より具体的には「トーガの上部の垂れ下がった襞」（「衣服の胸元」）を意味する。これは、12世紀のアル・バッターニとアル・フワーリズミーの著作を中世ラテン語に翻訳した際に、アラビア語のjaib （「ポケット」または「襞」の意味）の翻訳として選ばれた。^{[ 49 ]}この語の選択は、アラビア語のjyb（جيب ） という表記の誤読に基づいている。jybはサンスクリット語のjīvāの音訳に由来し、jīvāは同義語のjyā （サンスクリット語で正弦を表す標準的な用語）と共に「弓弦」と訳され、これは古代ギリシャ語のχορδή 「弦」から採用されたものである。^{[ 50 ]}

タンジェントという言葉は、ラテン語のtangens（「接する」という意味）に由来しており、直線が単位半径の円に接することから来ています。一方、セカントはラテン語のsecans（「切る」という意味）に由来しており、直線が円を切ることから来ています。 ^{[ 51 ]}

接頭辞「co-」（「コサイン」「コタンジェント」「コセカント」で使われる）は、エドマンド・グンターの『三角形の基準』（1620年）に見られる。この基準では、コサインを正弦補角（補角の正弦）の略語として定義し、コタンジェンも同様に定義している。^{[ 52 ] [ 53 ]}

参照

• バースカラ1世の正弦近似式
• 小角近似
• 三角関数の微分
• 一般化三角法
• 三角関数表の生成
• 三角関数の積分一覧
• 周期関数のリスト
• 極正弦– 頂点角への一般化
• シンク関数

注記

1. クライン、フェリックス(1924) [1902]. 「ゴニオメトリッシェン・ファンクショネン」。Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: 算術、代数、分析(ドイツ語)。 Vol. 1 (第 3 版)。ベルリン：J.シュプリンガー。Ch. 3.2、p. 175以降「ゴニオメトリック関数」として翻訳。高度な観点から見た初等数学：算術、代数、解析。ヘドリック、ER、ノーブル、CA訳、マクミラン。1932年。第3章2節、162ページ以降。
2. プロッターとモーリー (1970、pp. APP-2、APP-3)
3. 「正弦、余弦、正接」 www.mathsisfun.com . 2020年8月29日閲覧。
4. プロッターとモーリー (1970、p. APP-7)
5. ルディン, ウォルター, 1921–2010.数学的解析の原理（第3版）. ニューヨーク. ISBN 0-07-054235-X. OCLC  1502474 .
6. ダイアモンド、ハーヴェイ (2014). 「微分方程式を用いた指数関数と三角関数の定義」 .数学マガジン. 87 (1): 37– 42. doi : 10.4169/math.mag.87.1.37 . ISSN 0025-570X . S2CID 126217060 .  
7. スピヴァック、マイケル (1967). "15".微積分学. アディソン・ウェスレー. pp.  256– 257. LCCN 67-20770 . 
8. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A072097 (180/πの10進展開)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.
9. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A019692 (2*Pi の小数展開)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
10. Bityutskov, VI (2011-02-07). 「三角関数」 .数学百科事典. 2017年12月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年12月29日閲覧。
11. ステューベン、マイケル、サンドフォード、ダイアン (1998). 『黒板の20年前：ある数学教師の授業とユーモア』 スペクトラムシリーズ. ワシントンD.C.: アメリカ数学協会. p. 119. ISBN 978-0-88385-525-6。
12. ラーソン、ロン (2013).三角法（第9版）. Cengage Learning. p. 153. ISBN 978-1-285-60718-4. 2018年2月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。153ページの抜粋 2018年2月15日アーカイブWayback Machine
13. ハーディ、GH（1950）、純粋数学講座（第8版）、pp.  432– 438
14. Whittaker, ET, Watson, GN (1920). 現代解析学講座：無限過程と解析関数の一般理論入門；主要な超越関数の説明付き．大学出版局．
15. Bartle, RG, Sherbert, DR (2000). 実解析入門（第3版）. Wiley.
16. バートル＆シャーバート 1999、247ページ。
17. ウィテカーとワトソン、584ページ
18. スタンレー『列挙的組合せ論』第1巻、149ページ
19. アブラモウィッツ; ワイスタイン。
20. CD Olds, Continued fractions, 1963, Random House, Inc., p. 138, pp 11, (著者不明)
21. Lambert、Johann Heinrich (2004) [1768]、「Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transsanantes circulaires et logarithmiques」、Berggren、Lennart;ジョナサン・M・ボーウェイン; Borwein、Peter B. (編)、Pi、ソースブック(第 3 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag 、 129 ～ 140ページ 、ISBN 0-387-20571-3
22. Khovanski, AN (1963).連分数の応用と近似理論における問題への一般化. フローニンゲン、オランダ: Noordhoff.
23. Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2000). 『THE BOOK』 （第2版）からの抜粋. Springer-Verlag . p. 149. ISBN 978-3-642-00855-92014年3月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。
24. レンメルト、ラインホルト (1991).複素関数の理論. シュプリンガー. p. 327. ISBN 978-0-387-97195-7. 2015年3月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。327ページの抜粋 2015年3月20日アーカイブWayback Machine
25. ウィテカーとワトソン、137ページ
26. アルフォース、197ページ
27. ブルバキ、ニコラス(1981).トポロジー全般。スプリンガー。 §VIII.2。
28. バートル（1964）『実解析の要素』 315～ 316頁 
29. カール、ヴァイエルシュトラス(1841)。「Darstellung einer Analytischen Function einer complexen Veränderlichen, derenAbsoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt」[絶対値が 2 つの指定された限界の間にある複素変数の分析関数の表現]。Mathematische Werke (ドイツ語)。 Vol. 1. ベルリン：メイヤー＆ミュラー（1894年出版）。51～ 66ページ 。
30. Kannappan, Palaniappan (2009).関数方程式と不等式とその応用. Springer. ISBN 978-0387894911。
31. 『数学万能百科事典』 Pan Reference Books, 1976年, 529–530頁。英語版 George Allen and Unwin, 1964年。ドイツ語版 Meyers Rechenduden, 1960年より翻訳。
32. Farlow, Stanley J. (1993).偏微分方程式：科学者とエンジニアのための入門（Wiley 1982版の再版）. Courier Dover Publications. p. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. 2015年3月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。
33. 例えば、 Folland, Gerald B. (2009). 「収束と完全性」 .フーリエ解析とその応用(Wadsworth & Brooks/Cole 1992 ed. の再版). アメリカ数学会. pp. 77ff. ISBN 978-0-8218-4790-9. 2015年3月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。
34. Boyer, Carl B. (1991). 『数学史』（第2版）. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7、210ページ。
35. Gingerich, Owen (1986). 「イスラム天文学」 . Scientific American . 第254巻. p. 74. 2013年10月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年7月13日閲覧。
36. ジャック・セシアノ、「イスラム数学」、157ページ、セリン、エレイン、ダンブロシオ、ウビラタン編（2000年）。『文化を超えた数学：非西洋数学の歴史』、シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア、ISBN 978-1-4020-0260-1。
37. 「三角法」ブリタニカ百科事典. 2023年11月17日.
38. O'Connor, JJ; Robertson, EF 「Madhava of Sangamagrama」 . スコットランド、セントアンドリュース大学数学・統計学部。2006年5月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2007年9月8日閲覧。
39. Van Brummelen, Glen (2018). 「誤りの終焉：ビアンキーニ、レギオモンタヌス、そして恒星座標の表作成」 .正確科学史アーカイブ. 72 (5): 547– 563. doi : 10.1007/s00407-018-0214-2 . JSTOR 45211959. S2CID 240294796 .  
40. “Fincke biography” . 2017年1月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年3月15日閲覧。
41. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Trigonometric functions" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
42. ブルバキ, ニコラス (1994). 『数学史の要素』 シュプリンガー. ISBN 9783540647676。
43. ニールセン (1966、pp. xxiii–xxiv)
44. フォン・ハマー、エルンスト・ヘルマン・ハインリヒ[ドイツ語]編。 （1897年）。Lehrbuch der ebenen und spharischen Trigonometrie。 Zum Gebrauch bei Selbstunterricht und in Schulen, besonders als Vorbereitung auf Geodäsie und sphärische Astronomie (ドイツ語) (2 版)。シュトゥットガルト、ドイツ: JB Metzlerscher Verlag 。2024 年 2 月 6 日に取得。
45. ヘス、アドルフ (1926) [1916]. Maschinenbauer und Elektrotechniker - Ein Lehr- und Aufgabenbuch für den Unterricht und zum Selbststudium (ドイツ語) (6 版)。スイス、ヴィンタートゥール: Springer。土井：10.1007/978-3-662-36585-4。ISBN 978-3-662-35755-2。
46. フィリップ・レッツバイヤー (1950). 「§ 14. Erläuterungen u. Beispiele zu T. 13: lg sin X; lg cos X und T. 14: lg tg x; lg ctg X」。Erläuterungen und Beispiele für den Gebrauch der vierstelligen Tafeln zum praktischen Rechnen (ドイツ語) (1 版)。ベルリン、ドイツ: Walter de Gruyter & Co. doi : 10.1515/9783111507545。ISBN 978-3-11114038-4. アーカイブID 541650 . 2024年2月6日閲覧.
47. Roegel, Denis 編 (2016年8月30日). A reconstruction of Peters's table of 7-place logarithms (volume 2, 1940) . Vandoeuvre-lès-Nancy, France: Université de Lorraine . hal-01357842. 2024年2月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年2月6日閲覧。
48. 英語化された形は、1593年にトーマス・フェイルの『時計の技法』に初めて記録されました。
49. さまざまな情報源による と、サイナスの最初の使用は
    • プラトン・ティブルティヌスによる1116年のアル・バッターニの天文学の翻訳
    • クレモナのジェラルドによる『アル・フワーリズミー代数学』の翻訳
    • ロバート・オブ・チェスターによる1145年のアル・フワーリズミーの表の翻訳
    マーレ著『三角関数の歴史に関する覚書』（チェッカレッリ編『機械と機構の歴史に関する国際シンポジウム』（シュプリンガー、2004年）所収）を参照。ジェラールを語源とする以前の語源については、マオール（1998年）第3章を参照。カトックス著『数学の歴史』（第3版）ボストン：ピアソン出版、210ページ（サイドバー）。ISBN 978-0321387004。
50. Plofker著『インドの数学』（Princeton University Press、2009年、257ページ）を参照。 「Clark University」も参照。2008年6月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。語源についてはMaor（1998）の第3章を参照。
51. オックスフォード英語辞典
52. エドマンド・ガンター(1620)。キヤノンさんかく雲。
53. Roegel, Denis 編 (2010-12-06). 「Gunter's Canon triangulorum (1620) の再構成」（研究報告）HAL. inria-00543938. 2017年7月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年7月28日閲覧。

参考文献

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]. 『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 . 応用数学シリーズ. 第55巻 (1972年12月初版第10刷に訂正を加えた第9刷)。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Lars Ahlfors、「複素解析：1 複素変数の解析関数の理論入門」、第 2 版、McGraw-Hill Book Company、ニューヨーク、1966 年。
• バートル, ロバート・G. ; シャーバート, ドナルド・R. (1999).実解析入門（第3版）. Wiley. ISBN 9780471321484。
• Boyer, Carl B. , A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., 第2版. (1991). ISBN 0-471-54397-7。
• カジョリ、フロリアン(1929). 「§2.2.1. 三角関数表記法」 .数学表記法の歴史. 第2巻. オープンコート. pp. 142–179 (¶511–537).
• Gal, Shmuel、Bachelis, Boris. IEEE浮動小数点標準のための高精度な初等数学ライブラリ、ACM Transactions on Mathematical Software (1991)。
• ジョセフ・ジョージ・G.『孔雀の紋章：数学の非ヨーロッパ起源』第2版、ペンギンブックス、ロンドン（2000年）。ISBN 0-691-00659-8。
• Kantabutra, Vitit、「指数関数と三角関数を計算するためのハードウェアについて」、IEEE Trans. Computers 45 (3)、328–339 (1996)。
• マオール、イーライ『Trigonometric Delights』、プリンストン大学出版局（1998年）。復刻版（2002年）：ISBN 0-691-09541-8。
• ニーダム、トリスタン、 「 Visual Complex Analysisへの序文」、オックスフォード大学出版局、(1999年) 。ISBN 0-19-853446-9。
• ニールセン、カイ・L.（1966年）、対数表と三角関数表（5​​桁まで）（第2版）、ニューヨーク：バーンズ・アンド・ノーブル、LCCN  61-9103
• O'Connor, JJ、および EF Robertson、「三角関数」、MacTutor 数学史アーカイブ(1996)。
• O'Connor, JJ、および EF Robertson、「Madhava of Sangamagramma」、MacTutor History of Mathematics アーカイブ(2000)。
• Pearce, Ian G.、「Madhava of Sangamagramma」Wayback Machineに 2006-05-05アーカイブ、MacTutor History of Mathematics アーカイブ(2002)。
• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、『大学微積分学と解析幾何学』（第 2 版）、アディソン・ウェスレー社、LCCN  76087042
• Weisstein, Eric W.、「Tangent」、MathWorldより、2006 年 1 月 21 日にアクセス。

外部リンク

• 「三角関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 波動数学に関するVisionlearningモジュール
• GonioLab単位円、三角関数、双曲線関数の可視化
• MathWorldにおける sin のq 類似体に関するq-Sine の記事
• MathWorldの cos のq 類似体に関するq-コサインの記事