テッセレーション
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マラケシュのゼリジェテラコッタタイルは、端から端まで、規則的なモザイク模様やその他のモザイク模様を形成しています。
レーワルデンにある、 M.C.エッシャーの芸術的なモザイク模様を称える壁面彫刻
無限の数の同じタイルのうちの1つのタイルの別の向きによる非周期性の例

テッセレーション（モザイク模様）またはタイリングとは、1つまたは複数の幾何学的形状（タイルと呼ばれる）を用いて、重なりや隙間なく、平面などの表面を覆うことです。数学においては、テッセレーションは高次元や様々な幾何 学形状に一般化できます。

周期的タイリングは、繰り返しパターンを持ちます。特殊な種類としては、すべて同じ形状の正多角形タイルで構成される規則的タイリングや、複数の形状の正多角形タイルで構成され、すべての角が同一に配置された半規則的タイリングなどがあります。周期的タイリングによって形成されるパターンは、17の壁紙グループに分類できます。繰り返しパターンのないタイリングは「非周期的」と呼ばれます。非周期的タイリングは、繰り返しパターンを形成できない少数のタイル形状セット（非周期的なプロトタイプセット）を使用します。空間のモザイク化（空間充填またはハニカムとも呼ばれます）は、高次元幾何学において定義できます。

実際の物理的なテッセレーションは、セメントで固めたセラミックの正方形や六角形などの材料でできたタイル張りです。このようなタイル張りは装飾的なパターンであることもあれば、耐久性や耐水性がある舗装、床、壁の覆いなどの機能を持つこともあります。歴史的に、テッセレーションは古代ローマやイスラム美術で使用されており、モロッコ建築やアルハンブラ宮殿の装飾的な幾何学的タイル張りなどに見られます。20 世紀には、 MC エッシャーの作品で、通常のユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方でテッセレーションが芸術的効果のために頻繁に使用されました。テッセレーションはキルティングの装飾効果のために使われることもあります。テッセレーションは自然界でも一種のパターンを形成し、たとえばハニカムに見られる六角形のセルの配列が挙げられます。

歴史

古代シュメールの都市ウルクIV（紀元前3400～3100年）の寺院のモザイク。色とりどりのタイルでモザイク模様が描かれている。

モザイク模様は、シュメール人（紀元前4000年頃）が粘土タイルの模様で作った壁面装飾の建物に使用していました。[ 1 ]

テッセラと呼ばれる小さな四角いブロックで作られた装飾的なモザイクタイルは、古代ギリシャ時代に広く使用されており、[ 2 ]時には幾何学模様が描かれていました。[ 3 ] [ 4 ]

1619年、ヨハネス・ケプラーは、初期の記録に残るモザイク模様の研究を行いました。彼は著書『世界の調和』の中で、正方モザイク模様と半正方モザイク模様について記しています。彼はおそらく、蜂の巣や雪の結晶の六角形構造を研究し、説明した最初の人物でした。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

ローマのロンビルモザイク

約200年後の1891年、ロシアの結晶学者エフグラフ・フョードロフは、平面上の周期的なタイル張りは、17の異なる等長群のいずれかを特徴とすることを証明しました。[ 8 ] [ 9 ]フョードロフの研究は、非公式ながら、タイル張りの数学的研究の始まりを示しました。その他の著名な貢献者としては、アレクセイ・ヴァシリエヴィチ・シュブニコフとニコライ・ベロフによる著書『色対称性』（1964年）[ 10 ]、ハインリヒ・ヘーシュとオットー・キエンツレによる著書『色対称性』（1963年）[ 11 ]が挙げられます。

語源

ラテン語でテッセラとは、モザイクを作るのに使われる粘土、石、またはガラスでできた小さな立方体の塊のことです。 [ 12 ]「テッセラ」という言葉は「小さな正方形」を意味します（正方形を意味するテッセラ（ tessera ）に由来し、これはギリシャ語で4を意味するτέσσεραに由来します）。これは日常用語の「タイル張り」に相当し、これはしばしば釉薬をかけた粘土で作られたモザイク模様の応用を指します。

概要

菱形六角形のタイル張り：スペインのセビリア考古学博物館のタイル張りの床。正方形、三角形、六角形の原型が使われている。

2次元のテッセレーション（平面タイリングとも呼ばれる）は、幾何学の一分野であり、タイルと呼ばれる図形を、与えられた一連の規則に従って隙間なく平面を埋めるように配置する方法を研究する。これらの規則は変化する可能性がある。一般的な規則としては、タイル間に隙間があってはならない、タイルの角が他のタイルの縁に沿ってはならない、などがある。[ 13 ]接着レンガで作られたテッセレーションはこの規則には従わない。従うテッセレーションの中でも、正則なテッセレーションは、同一の[ a ]規則的なタイルと同一の規則的な角または頂点を持ち、すべてのタイルの隣接する縁の間の角度が同じである。[ 14 ]このような正則なテッセレーションを形成できる図形は、正三角形、正方形、正六角形の3つしかない。これら3つの図形のいずれも、平面を隙間なく埋めるために無限に複製することができる。[ 6 ]

異なる制約の下では、他の多くのタイプのテッセレーションが可能です。たとえば、8 種類の半正多角形が準正多角形で構成されますが、すべての角で多角形の配置は同じです。[ 15 ]不規則なテッセレーションは、五角形、ポリオミノなど、他の形状から作成することもできます。実際、ほぼすべての種類の幾何学的形状から作成できます。芸術家のMC エッシャーは、動物やその他の自然物の形をした不規則に絡み合ったタイルでテッセレーションを作成したことで有名です。[ 16 ]異なる形状のタイルに適切な対照的な色を選択すると、印象的なパターンが形成され、教会の床などの物理的な表面を装飾するために使用できます。[ 17 ]

MCエッシャーの注目を集めたスペインのアルハンブラ宮殿の精巧で色彩豊かな釉薬タイルのゼリージュ模様

より正式には、テッセレーションまたはタイリングは、タイルと呼ばれる可算数の閉集合によるユークリッド平面の被覆であり、タイルはその境界上でのみ交差します。これらのタイルは、多角形またはその他の図形です。[ b ]多くのテッセレーションは有限個のプロトタイプから形成され、テッセレーション内のすべてのタイルは、指定されたプロトタイプと合同です。幾何学的図形をプロトタイプとして使用してテッセレーションを作成できる場合、その図形は平面をテッセレーションまたはタイリングすると言われます。コンウェイ基準は、特定の図形が平面を反射なしで周期的にタイリングするかどうかを判断するための十分な規則ですが、必須ではありません。いくつかのタイルは基準を満たしませんが、それでも平面をタイリングします。[ 19 ]与えられた形状が平面を敷き詰めることができるかどうかを決定する一般的な規則は見つかっていないため、タイル張りに関しては未解決の問題が多く残されている。[ 18 ]

数学的には、タイル張りはユークリッド平面以外の空間にも拡張できる。[ 6 ]スイスの 幾何学者ルートヴィヒ・シュレーフリは、今日の数学者が多面体と呼ぶ多角形を定義することで、この分野の先駆者となった。これらは、より多くの次元を持つ空間における多角形や多面体に相当する。彼はさらに、多面体を記述しやすくするためにシュレーフリ記号記法を定義した。例えば、正三角形のシュレーフリ記号は {3} で、正方形のシュレーフリ記号は {4} である。[ 20 ]シュレーフリ記法は、タイル張りを簡潔に記述することを可能にする。例えば、正六角形のタイル張りは、各頂点に 3 つの 6 辺の多角形を持つため、シュレーフリ記号は {6,3} となる。[ 21 ]

多角形のタイリングを記述する方法は他にもあります。正多角形で構成されるタイルの場合、最も一般的な表記法は頂点配置です。これは、頂点の周りの多角形の辺の数を単純にリストしたものです。正方形のタイリングの頂点配置は4.4.4.4、つまり4 4です。正六角形のタイリングは6.6.6、つまり6 3と表記されます。[ 18 ]

数学では

テッセレーション入門

数学者はタイリングについて議論する際にいくつかの専門用語を使います。辺とは、隣接する2つのタイルの交点のことで、多くの場合直線です。頂点とは、隣接する3つ以上のタイルの交点のことです。これらの用語を用いると、等角形タイリングまたは頂点推移タイリングとは、すべての頂点が同一であるタイリング、つまり各頂点の周りの多角形の配置が同じであるタイリングのことです。[ 18 ]基本領域とは、長方形などの図形を繰り返してタイル張りを形成することです。[ 22 ]例えば、正方形で平面を規則的にタイル張りすると、すべての頂点に4つの正方形が交わります。[ 18 ]

ポリゴンの辺は、タイルのエッジと必ずしも一致しません。エッジツーエッジタイリングとは、隣接するタイルが1つの辺のみを共有するポリゴンタイルのことです。つまり、タイルが他のタイルと部分的な辺や複数の辺を共有することはありません。エッジツーエッジタイリングでは、ポリゴンの辺とタイルのエッジは同じです。よく知られている「レンガ壁」タイリングは、各長方形のレンガの長辺が隣接する2つのレンガと共有されているため、エッジツーエッジではありません。[ 18 ]

通常のタイリングとは、すべてのタイルが位相的に円板と等価であり、任意の2つのタイルの交差が連結集合または空集合であり、すべてのタイルが一様に境界付けられているようなタイル分割である。これは、タイリング全体のすべてのタイルに対して、単一の外接半径と単一の内接半径を使用できることを意味する。この条件により、病的に長いタイルや細いタイルは許容されない。[ 23 ]

非エッジツーエッジタイリングの例：2015年に発見された15番目の凸型単面五角形タイリング

一面体タイリングは、すべてのタイルが合同なテッセレーションであり、プロトタイプは 1 つだけです。特に興味深い一面体テッセレーションのタイプは、スパイラル一面体タイリングです。最初のスパイラル一面体タイリングは、1936 年に Heinz Voderberg によって発見されました。Voderbergタイリングには、非凸五角形の単位タイルがあります。[ 1 ] 1985 年に Michael D. Hirschhorn と DC Hunt によって発表されたHirschhorn タイリングは、不規則五角形を使用した五角形タイリングです。正五角形は、正五角形の内角のようにユークリッド平面をタイリングすることはできません。3π​/5⁠は2πの約数ではない。[ 24 ] [ 25 ]

等面体タイリングは、単面体タイリングの特殊なバリエーションであり、すべてのタイルが同じ推移性クラスに属し、つまり、すべてのタイルがタイリングの対称群の下で同じプロトタイプの変換である。[ 23 ]プロトタイプがタイリングを許容するが、そのようなタイリングが等面体でない場合、プロトタイプは異面体と呼ばれ、異面体タイリングを形成する。

正多角形タイル張りは、すべて同じ形状の正多角形で構成される、非常に対称性の高い、端から端まで同じ形状のタイル張りです。正多角形タイル張りは、正三角形、正方形、または正六角形で構成されるものの3種類しかありません。これら3つのタイル張りはすべて等角形で、一面体です。[ 26 ]

ピタゴラスのタイリングは、端から端までのタイリングではありません。

半正則（またはアルキメデス）タイル張りでは、等角配置で複数の種類の正多角形を使用します。半正則タイル張りは 8 種類あります（鏡像のタイル張りのペアを 2 つと数える場合は 9 種類）。[ 27 ]これらは頂点構成で説明できます。たとえば、正方形と正八角形を使用した半正則タイル張りの頂点構成は 4.8 2です（各頂点には 1 つの正方形と 2 つの八角形があります）。[ 28 ]ユークリッド平面のエッジからエッジまでではないタイル張りは多数可能です。これには、ピタゴラスタイル張り（2 つの（パラメーター化された）サイズの正方形を使用し、各正方形が他のサイズの 4 つの正方形に接するタイル張り）のファミリーが含まれます。[ 29 ]エッジテッセレーションとは、正三角形や二等辺三角形の配列のように、各タイルをエッジ上で反転させて隣接するタイルの位置を占めることができるタイルのことです。[ 30 ]

壁紙グループ

このモザイク状の単面体舗装は、多角形ではなく曲線形状を採用しています。壁紙グループp3に属します。

2つの独立した方向に並進対称性を持つタイル張りは、壁紙グループによって分類でき、17のグループが存在します。[ 31 ]これらのグループ17すべてがスペインのグラナダにあるアルハンブラ宮殿に表示されていると言われています。これには異論がありますが、[ 32 ]アルハンブラ宮殿のタイル張りの多様性と洗練性は、現代の研究者の興味を引いています。[ 33 ] 3つの通常のタイル張りのうち、2つはp6m壁紙グループに属し、1つはp4mに属します。1方向のみに並進対称性を持つ2次元のタイル張りは、可能なフリーズパターンを記述する7つのフリーズグループによって分類できます。[ 34 ]オービフォールド記法を使用して、ユークリッド平面の壁紙グループを記述できます。[ 35 ]

非周期的なタイリング

ペンローズタイリング。複数の対称性を持つが、周期的な繰り返しはない。

ペンローズ・タイリングは、2つの異なる四辺形プロトタイプを使用し、非周期的なパターンを強制的に作成するタイルの最もよく知られた例です。ペンローズ・タイリングは、周期的にモザイク化できないタイルを使用する非周期的タイリングの一般的なクラスに属します。置換タイリングの再帰プロセスは、非周期的タイリングを生成する方法です。この方法で生成できる1つのクラスはレプタイルです。これらのタイリングは予期しない自己複製特性を持っています。[ 36 ]風車タイリングはレプタイル構造を使用した非周期的タイリングです。タイルは無限の方向に表示されます。[ 37 ]非周期的パターンにはまったく対称性がないように思われるかもしれませんが、そうではありません。非周期的タイリングは並進対称性がないものの、タイリングの任意の境界パッチの無限繰り返しと、それらのパッチの回転または反射の特定の有限群によって、他のタイプの対称性を持ちます。[ 38 ]菱形と呼ばれるタイルのアセンブリを使用してペンローズパターンを生成するために使用できる置換規則は、スケーリング対称性を示しています。[ 39 ]フィボナッチワードを使用して、非周期的タイリングを構築し、非周期的秩序を持つ構造である準結晶を研究することができます。[ 40 ]

平面を非周期的に敷き詰める13枚の王牌のセット

ワングタイルは各辺が色分けされた正方形で、隣接するタイルの接合辺が同じ色になるように配置されるため、ワングドミノと呼ばれることもある。適切なワングドミノの集合は平面を敷き詰めることができるが、非周期的である。これは、チューリングマシンが停止しない場合に限り、任意のチューリングマシンが平面を敷き詰めるワングドミノの集合として表すことができることから知られている。停止問題は決定不可能であるため、ワングドミノ集合が平面を敷き詰めることができるかどうかを決定する問題も決定不可能である。[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]

ランダムトゥルシェタイリング

トゥルシェタイルは、回転対称性を持たない模様で装飾された正方形のタイルです。1704年、セバスチャン・トゥルシェは、対照的な色の2つの三角形に分割された正方形のタイルを使用しました。このタイルは、平面を周期的に、またはランダムに敷き詰めることができます。[ 46 ] [ 47 ]

アインシュタインタイルとは、非周期的なタイリングを強制する単一の形状です。「ハット」と呼ばれる最初のタイルは、2023年に数学愛好家のデイビッド・スミスによって発見されました。[ 48 ] [ 49 ]この発見は専門家による審査中であり、確認されれば長年の数学問題を解いたものとして認められるでしょう。[ 50 ]

モザイク模様と色彩

このタイリングの色が、この長方形を基本領域として繰り返してパターンを形成する場合、少なくとも 7 色が必要です。より一般的には、少なくとも4 色が必要です。

タイルの色はタイリングの一部として理解される場合もあれば、後から任意の色を適用する場合もあります。色付きで表示されるタイリングについて議論する場合、曖昧さを避けるために、色がタイリングの一部なのか、それとも単にその図解の一部なのかを明確にする必要があります。これは、形状は同じだが色が異なるタイルが同一とみなされるかどうかに影響し、ひいては対称性の問題にも影響します。四色定理とは、通常のユークリッド平面のあらゆるモザイク分割において、4色の利用可能な色の組み合わせで、各タイルを1色で塗りつぶし、同じ色のタイルが正の長さの曲線で交わらないようにすることができるというものです。四色定理によって保証される色分けは、一般にモザイク分割の対称性を尊重しません。対称性を尊重した色分けを行うには、色をモザイク分割の一部として扱う必要があります。左の図に示すように、最大​​7色が必要になる場合があります。[ 51 ]

ポリゴンによるテッセレーション

正多角形による各種タイリングに加え、他の多角形によるタイリングも研究されてきました。

任意の三角形や四辺形（非凸形も含む）は、多くの場合複数の方法で、一面体タイル張りを形成するためのプロトタイプとして使用できます。任意の四辺形のコピーは、すべての辺の中点を中心とする並進対称性と2回回転対称性を持つタイル張りを形成できます。非対称四辺形の場合、このタイル張りは壁紙群 p2に属します。基本領域として四辺形があります。同様に、回転中心から始めて、並進ベクトルの最小セットによって囲まれる平行四辺形を作成できます。これを1つの対角線で分割し、半分（三角形）を基本領域として取ります。このような三角形は四辺形と同じ面積を持ち、切り取りと貼り付けによって四辺形から作成できます。[ 52 ]

テキサス型の非凸12角形を使用したテッセレーション

タイルの形状が 1 つだけ許可される場合、Nが 3、4、5、および 6 の場合に凸N角形のタイルが存在します。 N = 5の場合は五角形のタイル、 N = 6 の場合は六角形のタイル、 N = 7の場合は七角形のタイル、N = 8の場合は八角形のタイルを参照してください。

非凸多角形の場合、1 つの形状しか許可されない場合でも、辺の数の制限ははるかに少なくなります。

ポリオミノは、凸型または非凸型のタイルの例であり、様々な組み合わせ、回転、反射を用いて平面をタイル張りすることができます。ポリオミノを用いた平面のタイル張りの結果については、「ポリオミノ § ポリオミノの用途」を参照してください。

ボロノイタイル

ボロノイタイル張りでは、セルは常に凸多角形になります。

ボロノイ分割またはディリクレ分割は、各タイルが定義点の離散集合内のいずれかの点に最も近い点の集合として定義されるタイル分割です。（各地域が特定の都市や郵便局に最も近いすべての点として定義される地理的領域を思い浮かべてください。）[ 53 ] [ 54 ]各定義点のボロノイセルは凸多角形です。ドロネー三角形分割は、ボロノイ分割の双対グラフであるタイル分割です。ドロネー三角形分割は、定義点のあらゆる可能な三角形分割の中で、ドロネー三角形分割が辺によって形成される角度の最小値を最大化することから、数値シミュレーションに役立ちます。[ 55 ]ランダムに配置された点を含むボロノイ分割は、平面のランダムなタイル分割を構築するために使用できます。[ 56 ]

高次元におけるテッセレーション

3 次元 (3-D) 空間のモザイク化:菱形十二面体は、積み重ねて空間を正確に埋めることができる立体の 1 つです。

モザイク模様は三次元にも拡張できる。立方体（プラトン多面体の中で唯一このパターンを持つ）、菱形十二面体、切頂八面体、三角形、四角形、六角柱など、特定の多面体は規則的な結晶パターンに積み重ねて三次元空間を埋める（タイル状に並べる）ことができる。[ 57 ]この条件を満たす多面体はプレシオヘドロンと呼ばれ、4面から38面までの表面を持つ。[ 58 ]自然界に産する菱形十二面体は、アンドラダイト（ガーネットの一種）や蛍石の結晶として発見される。[ 59 ] [ 60 ]

シュミット・コンウェイ・バイプリズム（シュミット・コンウェイ・ダンツァータイルとも呼ばれる）の図

3次元以上の多次元におけるタイル張りはハニカムと呼ばれます。3次元では、正多面体の各頂点に8つの立方体を持つ正ハニカムは1つだけです。同様に、3次元では、多面体の各頂点に8つの四面体と6つの八面体を持つ準正ハニカム[ c ]は1つだけです。しかし、 3次元には半正ハニカムが多数存在します。 [ 61 ]均一なハニカムは、ウィトフ構成を用いて構築できます。[ 62 ]

シュミット・コンウェイ複プリズムは、空間を非周期的にのみ敷き詰める性質を持つ凸多面体である。[ 63 ]

シュワルツ三角形は球面を敷き詰めるのに使える球面三角形である。[ 64 ]

非ユークリッド幾何学におけるテッセレーション

ポアンカレ円板モデル投影で見られる双曲面上の菱形三角錐タイル
正{3,5,3}イコサヘドロンハニカム。双曲3次元空間における4つの正コンパクトハニカムのうちの1つ。

双曲幾何学のような非ユークリッド幾何学においても、モザイク模様を作ることは可能である。双曲平面（正多角形、準正多角形、半正多角形）における均一なタイル張りは、双曲平面を正多角形を面として辺から辺まで埋め尽くすものである。これらは頂点推移的（頂点上で推移的）かつ等角的（任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長写像が存在する）である。 [ 65 ] [ 66 ]

双曲空間における一様ハニカムは、一様多面体セルの一様モザイクである。3次元（3-D）双曲空間には、コンパクト凸一様ハニカムのコクセター群族が9つ存在し、これらはウィトフ構成として生成され、各族のコクセター図の環の順列で表される。 [ 67 ]

芸術においては

ローマ時代のシリア、アンティオキア近郊の別荘から出土した、石、タイル、ガラスでできたローマ時代のモザイク床板。西暦2世紀。

建築において、モザイク模様は古代から装飾モチーフの創造に用いられてきました。モザイクタイルには幾何学模様がよく見られました。[ 4 ]後の文明では、より大型のタイルも使用され、無地のものもあれば、個別に装飾が施されたものもありました。最も装飾的なタイルの一つは、イスラム建築のムーア様式の壁タイルで、アルハンブラ宮殿[ 68 ]やラ・メスキータ[ 69 ]などの建物では、ギリフタイルとゼリジェタイルが用いられていました。

MCエッシャーのグラフィックアートには、モザイク模様が頻繁に登場します。彼は1936年にスペインを訪れた際に、アルハンブラ宮殿などのムーア人が用いた対称性に触発されたのです。 [ 70 ]エッシャーは双曲幾何学を用いたタイル張りの「円の限界」の絵を4点制作しました。[ 71 ] [ 72 ]木版画「円の限界IV」（1960年）のために、エッシャーは必要な幾何学を示す鉛筆とインクの習作を準備しました。[ 73 ]エッシャーは「無限に遠くからロケットのように限界から垂直に上昇し、最終的に限界の中で消滅する一連の作品のどの要素も境界線に到達することはない」と説明しています。[ 74 ]

規則的なモザイク模様を示すキルト

モザイク模様は、織物、縫い込み、プリントなど、様々な形態で織物によく見られます。モザイク模様は、キルトにおいて、パッチワークのようなモチーフを絡み合わせるために用いられてきました。[ 75 ] [ 76 ]

タイル模様は折り紙の主要なジャンルでもあり、ひだを使ってねじり折りなどの分子を繰り返し繋ぎ合わせる。[ 77 ]

製造業

テッセレーションは、製造業において、車のドアや飲料缶などの形状を切り出す際に、板金などの材料の無駄（歩留まり損失）を減らすために使用されます。[ 78 ]

薄膜の泥割れのような亀裂にはモザイク模様が見られる[ 79 ] [ 80 ] 。マイクロテクノロジーやナノテクノロジーを用いることで、ある程度の自己組織化が観察されている[ 81 ]。

自然の中で

ハニカムは自然のモザイク構造です。

ハニカムは六角形の細胞を持つ自然界のモザイク構造のよく知られた例である。[ 82 ]

植物学において、「モザイク模様」という用語は、例えば花びら、樹皮、果実などに見られる市松模様を指します。ヒョウモンヒョウモン[ 83 ]やコルチカム属の一部の種を含む花は、モザイク模様が特徴です。[ 84 ]

自然界の多くの模様は、物質のシートの亀裂によって形成される。これらの模様はギルバート格子[ 85 ]、ランダム亀裂ネットワークとしても知られる[ 86 ]によって記述することができる。ギルバート格子は、泥亀裂、針状結晶、および類似の構造の形成のための数学モデルである。エドガー・ギルバートにちなんで名付けられたこのモデルは、亀裂が平面上にランダムに散らばることから始まり、形成されることを可能にする。各亀裂は、開始点を通る線に沿って反対方向に 2 方向に伝播し、その傾斜はランダムに選ばれ、不規則な凸多角形の格子模様を形成する。[ 87 ]玄武岩質の溶岩流は、溶岩が冷えるにつれて収縮力によって亀裂が生じる結果として、柱状節理を示すことが多い。広範囲に及ぶ亀裂ネットワークが発達し、しばしば六角形の溶岩柱を形成する。このような柱の配列の一例は、北アイルランドのジャイアンツ・コーズウェイである。 [ 88 ]タスマニア島のタスマン半島にあるイーグルホークネックに見られる特徴的なモザイク舗装は、岩石が長方形のブロックに割れてできた珍しい堆積岩の形成である。[ 89 ]

コルチカムの花のモザイク模様

泡には他の自然なパターンも見られます。これらはプラトーの法則に従って充填され、最小限の表面積を必要とします。このような泡では、セルを可能な限り密に充填する方法が問題となります。1887年、ケルビン卿は、わずかに曲面を持つ二面切頂立方ハニカムという、1つの固体のみを用いた充填法を提案しました。1993年、デニス・ウィアーとロバート・フェランはウィアー・フェラン構造を提案しました。これは、ケルビンの泡よりも少ない表面積で等体積のセルを分離するものです。[ 90 ]

パズルやレクリエーション数学

伝統的なタングラム分解パズル

モザイク細工は、伝統的なジグソーパズル（不規則な木片や厚紙を使用）[ 91 ]やタングラム[ 92 ]から、数学的根拠を持つことが多いより現代的なパズルまで、多くの種類のモザイク細工を生み出してきました。たとえば、ポリアモンドやポリオミノは正三角形と正正方形の図形で、モザイク細工でよく使用されます。[ 93 ] [ 94 ]ヘンリー・デュードニーやマーティン・ガードナーなどの著者は、娯楽数学でモザイク細工を多用してきました。たとえば、デュードニーはヒンジ切断を発明し[ 95 ]、ガードナーは同じ形の小さなコピーに切断できる形状である「レップタイル」について書いています。 [ 96 ] [ 97 ]ガードナーのScientific Americanの記事に触発されて、アマチュア数学者のマージョリー・ライスは五角形を使った4つの新しいモザイク細工を発見しました。[ 98 ] [ 99 ]正方形の二乗問題は、整数平方（辺の長さが整数である平方）を他の整数平方のみを使って敷き詰める問題である。[ 100 ] [ 101 ]拡張として、平面を二乗し、重複のない自然数の大きさの正方形で敷き詰める問題がある。ジェームズとフレデリック・ヘンレはこれが可能であることを証明した。[ 102 ]

例

参照

説明脚注

  1. ^同一の形状を表す数学用語は「合同」です。数学において、「同一」とは、同じタイルであることを意味します。
  2. ^タイルは通常、閉じた円板と同相（位相的に同値）で。つまり、穴、ぶら下がった線分、無限領域を持つ奇妙な形状は除外される。 [ 18 ]
  3. ^この文脈では、準規則的とは、セルが規則的（立体）であり、頂点図形が半規則的であることを意味します。

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出典

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