アーベル多様体の年表

これは、楕円曲線を含む代数幾何学におけるアーベル多様体の理論のタイムラインです。

初期の歴史

• 3世紀アレクサンドリアのディオファントスは楕円曲線上の有理点を研究した。

• 1000年頃アル・カラジが合同数について著述^{[ 1 ]}

17世紀

• フェルマーは楕円曲線の降下を研究する
• 1643年 フェルマーは楕円曲線のディオファントス方程式を提唱した^{[ 2 ]}
• 1670年フェルマーの息子が注釈付きの『ディオファントス』を出版

18世紀

• 1718年 ジュリオ・カルロ・ファニャーノ・デイ・トスキはレムニスケートの修正と楕円積分の結果を研究した。^{[ 3 ]}
• 1736年レオンハルト・オイラーは小角近似を用いずに振り子方程式について論文を書いた。 ^{[ 4 ]}
• 1738 オイラーはフェルマーとフレニクルが考えた種数1の曲線について書いた。
• 1750 オイラーが楕円積分について著述
• 1751年12月23日 - 1752年1月27日:楕円関数の理論の誕生。これはヤコビの後の発言によると、オイラーがファグナーノの研究について書いている通りである。^{[ 5 ]}
• 1775 年、ジョン ランデンが同種公式であるランデン変換^{[ 6 ]}を発表。
• 1786年アドリアン・マリー・ルジャンドルが楕円積分について書き始める
• 1797年カール・フリードリヒ・ガウスがレムニスケート関数の二重周期性を発見^{[ 7 ]}
• 1799年ガウスはレムニスケートの長さと算術幾何平均の関係を発見し、完全楕円積分の数値解法を提示した。^{[ 8 ]}

19世紀

• 1826 年ニールス ヘンリック アベル、アベル ヤコビの地図
• 1827楕円積分の逆行列をアーベルとカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビが独立に計算
• 1829 年 Jacobi、Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum、1 変数の4 つのシータ関数を導入
• 1835 年 Jacobi は、 Analysi Diophantea の De usu Theoriae Integralium Ellipticorum et Integralium Abelianorumで、ディオファントス幾何学に対する群法則の使用を指摘しました^{[ 9 ]}
• 1836-7年フリードリヒ・ユリウス・リシュロー、リシュロー同質遺伝子^{[ 10 ]}
• 1847年アドルフ・ゲッペルはクンマー面の方程式を与えた^{[ 11 ]}
• 1851年ヨハン・ゲオルク・ローゼンハインは種数2の逆問題に関する賞受賞論文を執筆した。^{[ 12 ]}
• 1850年頃トーマス・ウェドル-ウェドル面
• 1856ワイエルシュトラスの楕円関数
• 1857年ベルンハルト・リーマン^{[ 13 ]}は、リーマン双線型関係とリーマンシータ関数を導入し、次元>1のアーベル多様体に関するさらなる研究の基礎を築きました。
• 1865 年カール ヨハネス トーマエ、超楕円関数理論とインテグラル エルスター アンド ツヴァイター オードナング^{[ 14 ]}
• 1866年アルフレッド・クレブシュとポール・ゴーダン、「アーベルの関数理論」
• 1869年、カール・ワイエルシュトラスはアーベル関数が代数的加法定理を満たすことを証明した。
• 1879年、シャルル・オーギュスト・ブリオ、異常な機能の理論
• 1880年、レオポルド・クロネッカーはリヒャルト・デデキントへの手紙の中で、複素乗法理論を用いて虚数二次体のアーベル拡大を生成するというユーゲントの夢[ ^{15 ]}について述べている^。
• 1884年ソフィア・コヴァレフスカヤはアーベル関数の楕円関数への縮約について書いた^{[ 16 ]}
• 1888年、フリードリヒ・ショットキーは、種数 の曲線のシータ定数に関する非自明な条件を発見し、ショットキー問題を引き起こした。${\displaystyle g=4}$
• 1891 年、ポール・エミール・アペルとジョルジュ・アンベールによるアペル・アンベールの定理は、アーベル面上の正則直線束をコサイクルデータによって分類します。
• 1894 年Alexander von BrillとMax Neetherによる報告、「Alterer und neuerer Zeit における Die Entwicklung der Theorie der algebräischen Functionen」
• 1895ヴィルヘルム・ヴィルティンガー、ウンタースチュンゲン・ユーバー・シータフクショネン、プリム品種を研究
• 1897 HF Baker ,アーベル関数：アーベルの定理とシータ関数の関連理論

20世紀

• 1910年頃ポアンカレ正規関数の理論により、ピカール多様体とアルバネーゼ多様体は同種であることが示唆された。^{[ 17 ]}
• 1913年のトレッリの定理^{[ 18 ]}
• 1916年ガエターノ・スコルツァ^{[ 19 ]}は複素トーラスに「アーベル多様体」という用語を適用した。
• 1921年、ソロモン・レフシェッツは、リーマン行列が条件を満たす任意の複素トーラスが、シータ関数を用いてある複素射影空間に埋め込むことができることを示した。
• 1922年ルイス・モーデルはモーデルの定理を証明した。有理数上の楕円曲線上の有理点は有限生成アーベル群を形成する。
• 1929アーサー・B・コーブル『代数幾何学とシータ関数』
• 1939年のシーゲルモジュラーフォーム^{[ 20 ]}
• 1940年頃アンドレ・ヴェイユが「アーベル多様体」を定義する
• 1952 ヴェイユは中間ヤコビアンを定義した
• 立方体の定理
• セルマーグループ
• マイケル・アティヤは楕円曲線上の正則ベクトル束を分類する
• 1961志村五郎・谷山豊「アーベル多様体の複素乗法とその数論への応用」
• ネロンモデル
• バーチ・スウィナートン・ダイアー予想
• アーベル多様体のモジュライ空間
• アーベル多様体の双対性
• 1967年頃デイヴィッド・マンフォードがアーベル多様体を定義する方程式の新しい理論を考案
• 1968年の良好な簡約に関するセール・テイト定理は、楕円曲線に関するマックス・デューリングの結果をアーベル多様体の場合に拡張した。^{[ 21 ]}
• 1980年頃向井–フーリエ変換：向井–フーリエ核としてのポアンカレ線束は、アーベル多様体とその双対に対する連接層の導来カテゴリーの同値性を誘導する。 ^{[ 22 ]}
• 1983年塩田隆宏がショットキー問題に関するノビコフ予想を証明
• 1985年、ジャン＝マルク・フォンテーヌは有理数体上の任意の正次元アーベル多様体はどこかに悪い還元を持つことを証明した。^{[ 23 ]}

21世紀

• 2001年 楕円曲線のモジュラ性定理の証明が完了。

注記

1. PDF
2. MathPagesのその他のディオファントス方程式
3. ファグナーノ・ジュリオの伝記
4. ET Whittaker、「粒子と剛体の解析ダイナミクスに関する論文」（第4版、1937年）、72ページ。
5. アンドレ・ヴェイユ『数論：歴史を通じたアプローチ』（1984年）、1ページ。
6. ランデンの伝記
7. カール・F・ガウスの生涯年表
8. セメン・グリゴレヴィチ・ギンディキン『物理学者と数学者の物語』（1988年翻訳）、143ページ。
9. Dale Husemoller、「楕円曲線」。
10. Richelot、 Essai sur une méthode générale pour déterminer les valeurs des intégrales Ultra-elliptiques, Fondée sur des Transformation remarquables de ces transventantes、 CR Acad.科学。パリ。 2 (1836)、622-627;デ・トランスフォーメーション・インテグラリウム・アベリアノルム・プリミ・オルディニス・コメント、 J. Reine Angew。数学。 16 (1837)、221-341。
11. ゴペルの伝記
12. 「ローゼンハインの伝記」 www.gap-system.org 。 2008年9月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。
13. Theorie der Abel'schen Funktionen、J. Reine Angew。数学。 54 (1857)、115-180
14. 「トーマエの伝記」 www.gap-system.org . 2006年9月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。
15. ユーゲントの夢の起源に関する現代的諸問題、ロバート・ラングランズ
16. Über die Reduction einer bestimmten Klasse Abel'scher Integrale Ranges auf elliptische Integrale、Acta Mathematica 4、392–414 (1884)。
17. PDF、168ページ。
18. Ruggiero Torelli、 Sulle varietà di Jacobi、Rend.デラ R.ナツィオナーレ・デイ・リンセイ (5)、22、1913、98–103。
19. Gaetano Scorza、Intorno alla teoria Generale delle matrici di Riemann e ad alcune sue applicazioni、Rend.デル チルコロ マット。ディ パレルモ 41 (1916)
20. Carl Ludwig Siegel、 Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n -ten Grades、 Mathematische Annalen 116 (1939)、617–657
21. Jean-Pierre SerreとJohn Tate、「 Abelian Varieties の優れた縮約」、 Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、第 88 巻、第 3 号 (1968 年 11 月)、492–517 頁。
22. Daniel Huybrechts、「代数幾何学におけるフーリエ–向井変換」（2006年）、第9章。
23. Jean-Marc Fontaine、 Il n'y a pas de variété abélienne sur Z、 Inventiones Mathematicae (1985) no. 3、515–538。