サイン・ゴルドン方程式

サインゴードン方程式は、通常 およびと表記される 2 つの変数に依存する関数の2 次非線形偏微分方程式であり、波動演算子と の正弦が含まれます。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$

この方程式はもともと、エドモン・ブール （1862年）が定負曲率面の研究の過程で、3次元空間における定ガウス曲率−1面に対するガウス・コダッツィ方程式として導入した。^{[ 1 ]}この方程式はヤコフ・フレンケルとタチアナ・コントロヴァ（1939年）が結晶転位の研究で再発見し、フレンケル・コントロヴァ・モデルとして知られるようになった。^{[ 2 ]}

この方程式は、ソリトン解の存在により1970年代に大きな注目を集め^{[ 3 ]} 、積分可能な偏微分方程式の一例です。よく知られている積分可能な偏微分方程式の中で、サイン・ゴードン方程式はローレンツ不変性を有する唯一の相対論的方程式です。

サイン・ゴードン方程式の実現

微分幾何学

これは、Bour (1862) による方程式の最初の導出です。

サイン・ゴードン方程式には2つの同値な形式がある。（実）時空座標において、この方程式は次のように表される。^{[ 4 ]}${\displaystyle (x,t)}$

${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\sin \varphi =0,}$

ここ で偏微分は添え字で表されます。光円錐座標（u、  v）に移ると、漸近座標に似たものとなり、

$${\displaystyle u={\frac {x+t}{2}},\quad v={\frac {xt}{2}},}$$

この式は次の形をとる^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

これは、19 世紀に擬球面とも呼ばれる一定のガウス曲率K  = −1の曲面の研究の過程で考えられた、サイン ゴルドン方程式の元の形です。

任意の擬球面を考えてみましょう。面上のすべての点には、2本の漸近曲線が存在します。これにより、このような面に対して、u  = 定数、v  = 定数が漸近線であり、座標は面上の弧の長さに応じて増分される、明確な座標系を構築できます。面上のすべての点において、漸近線間の角度を とします。 ${\displaystyle \varphi }$

表面の 最初の基本形は

$${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+2\cos \varphi \,du\,dv+dv^{2},}$$

第二基本形式はであり、ガウス・コダッツィ方程式は である。したがって、任意の擬球面は正弦ゴルドン方程式の解を生じるが、いくつかの注意点がある。すなわち、面が完備であれば、ヒルベルト埋め込み定理により、必然的に特異となる。最も単純なケースでは、擬球面（トラクトロイドとも呼ばれる）は静的な1ソリトンに対応するが、トラクトロイドは赤道面に特異なカスプを持つ。 $${\displaystyle L=N=0,M=\sin \varphi }$$ $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .}$$

逆に、サイン・ゴルドン方程式の解から出発して、剛体変換を除いて擬球を一意に得ることができます。曲面の基本定理と呼ばれる定理があり、行列値双線型形式のペアがガウス・コダッツィ方程式を満たす場合、それらは3次元空間における埋め込み曲面の第一および第二基本形式であるというものです。サイン・ゴルドン方程式の解は、上記で得られた形式を用いて、そのような行列を構成するために使用できます。

擬球にリー変換を適用してディニ面を得る

古いものから新しい解決策を

19世紀にビアンキとバックルンドがこの方程式とそれに関連する擬球面変換を研究した結果、バックルンド変換が発見されました。擬球面変換のもう一つの例は、 1879年にソフス・リーによって導入されたリー変換で、これは正弦ゴルドン方程式の解に対するローレンツブーストに相当します。 ^{[ 6 ]}

新しい解を構築するより直接的な方法もいくつかありますが、それらは新しい曲面を与えません。正弦ゴルドン方程式は奇数なので、任意の解の負数は別の解となります。しかし、これは新しい曲面を与えません。なぜなら、符号の変更は曲面の法線の方向の選択に帰着するからです。新しい解は解を平行移動させることで見つけることができます。つまり、 が解であれば、整数 の場合もが解です。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi +2n\pi }$ ${\displaystyle n}$

フレンケル・コントロヴァモデル

機械モデル

中央で「呼吸パターン」が振動する振り子の線。残念ながら、この図では重力が上向きに描かれています。

一定の重力のもとで、直線上に吊るされた振り子を考えてみましょう。振り子の錘を一定の張力で繋ぎます。位置 における振り子の角度を とすると、図式的に、振り子の直線の力学はニュートンの第二法則に従います。これは、時間と距離を適切にスケーリングした後の正弦ゴルドン方程式です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \underbrace {m\varphi _{tt}} _{\text{加速度の質量倍}}=\underbrace {T\varphi _{xx}} _{\text{張力}}-\underbrace {mg\sin \varphi } _{\text{重力}}}$$

これは厳密には正しくないことに注意してください。なぜなら、振り子にかかる張力による正味の力は厳密には ではなく、より正確には だからです。しかし、これはサイン・ゴードン方程式の直感的な図式を与えています。より複雑な手法を用いることで、サイン・ゴードン方程式の正確な力学的実現を導き出すことができます。^{[ 7 ]}${\displaystyle T\varphi_{xx}}$ ${\displaystyle T\varphi_{xx}(1+\varphi_{x}^{2})^{-3/2}}$

ネーミング

「サイン・ゴルドン方程式」という名前は、物理学でよく知られているクライン・ゴルドン方程式をもじったものである。 ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+\varphi =0.}$$

サイン・ゴルドン方程式は、ラグランジュ密度が次式で表される 場のオイラー・ラグランジュ方程式である。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-1+\cos \varphi .}$$

ラグランジアンにおける コサインのテイラー展開を用いると、

$${\displaystyle \cos(\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}},}$$

これはクライン・ゴードン・ラグランジアンに高次の項を加えたもの として書き直すことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}(\varphi )&={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-{\frac {\varphi ^{2}}{2}}+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}\\&={\mathcal {L}}_{\text{KG}}(\varphi )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-\varphi ^{2})^{n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$$

ソリトンソリューション

サイン・ゴードン方程式の興味深い特徴は、ソリトン解とマルチソリトン解 の存在です。

1ソリトン解

サイン・ゴードン方程式には次の 1ソリトン解があります。

$${\displaystyle \varphi _{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan \left(e^{m\gamma (x-vt)+\delta }\right),}$$

どこ

$${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}}},}$$

そして、方程式のもう少し一般的な形式が想定されます。

$${\displaystyle \varphi _{tt}-\varphi _{xx}+m^{2}\sin \varphi =0.}$$

正の根を取った1-ソリトン解はキンクと呼ばれ、変数のねじれを表し、系をある定数解から隣接する定数解へと変化させます。これらの状態は、エネルギーがゼロの定数解であるため、真空状態と呼ばれます。負の根を取った1-ソリトン解は反キンクと呼ばれます。1-ソリトン解の形は、自明な（真空）解にバックルンド変換を適用し、結果として得られる1階微分を積分すること で得られます。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ ${\displaystyle \varphi \cong 2\pi n}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \varphi '_{u}=\varphi _{u}+2\beta \sin {\frac {\varphi '+\varphi }{2}},}$$

$${\displaystyle \varphi '_{v}=-\varphi _{v}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}{\text{ with }}\varphi =\varphi _{0}=0}$$

永遠に。

1-ソリトン解は、1970年にジュリオ・ルビンシュタインによって導入された弾性リボン・サイン・ゴードン模型を用いて視覚化することができる。 ^{[ 8 ]}ここでは、弾性リボンの時計回り（左巻き）のねじれを、トポロジカルチャージを伴うキンクとする。反時計回り（右巻き）のねじれを、トポロジカルチャージを伴う反キンクとする。 ${\displaystyle \theta _{\text{K}}=-1}$ ${\displaystyle \theta _{\text{AK}}=+1}$

移動するキンクソリトンは時計回りに伝播するねじれを表す。[ 9 ]

移動する反キンクソリトンは反時計回りに伝播するねじれを表す。[ 9 ]

静的1ソリトン解${\displaystyle 4\arctan e^{x}}$

2ソリトン解

多重ソリトン解は、変換された結果を関連付けるビアンキ格子によって規定されるように、1ソリトン解にバックルンド変換を継続的に適用することによって得られる。 ^{[ 10 ]}サイン・ゴルドン方程式の2ソリトン解は、ソリトンの特徴的な性質のいくつかを示す。移動するサイン・ゴルドンキンクおよび／または反キンクは、あたかも完全に透過性があるかのように互いに通過し、観測される唯一の効果は位相シフトである。衝突したソリトンは速度と形状を回復するため、このような相互作用は弾性衝突と呼ばれる。

キンクキンク解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi _{K/K}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\sinh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\cosh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

一方、キンク・アンチキンク解は次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi _{K/AK}(x,t)=4\arctan \left({\frac {v\cosh {\frac {x}{\sqrt {1-v^{2}}}}}{\sinh {\frac {vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}}}\right)}$$

反キンク-キンク衝突。[ 9 ]

キンク-キンク衝突。[ 9 ]

もう一つの興味深い2ソリトン解は、キンクと反キンクが結合した挙動、いわゆるブリーザーから生じます。ブリーザーには、定常ブリーザー、移動大振幅ブリーザー、移動小振幅ブリーザーの3種類が知られています。^{[ 11 ]}

スタンディングブリーザーソリューションは次のように与えられる。 $${\displaystyle \varphi (x,t)=4\arctan \left({\frac {{\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;\cos(\omega t)}{\omega \;\cosh({\sqrt {1-\omega ^{2}}}\;x)}}\right).}$$

スタンディングブリーザーは振動する結合キンク-アンチキンクソリトンである。[ 9 ]

大振幅移動ブリーザー[ 9 ]

小振幅移動ブリーザー – 見た目は異国情緒あふれるものですが、本質的にはブリーザーエンベロープを持っています。[ 9 ]

3ソリトン解

移動するキンクと静止したブリーザー、または移動する反キンクと静止したブリーザーとの3ソリトン衝突は、静止したブリーザーの位相シフトをもたらす。移動するキンクと静止したブリーザーの衝突過程において、ブリーザーの位相シフトは次のように表される。 ${\displaystyle \Delta _{\text{B}}}$

$${\displaystyle \Delta _{\text{B}}={\frac {2\operatorname {artanh} {\sqrt {(1-\omega ^{2})(1-v_{\text{K}}^{2})}}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}},}$$

ここではキンクの速度、 はブリーザーの周波数です。^{[ 11 ]}立っているブリーザーの以前の位置が の場合、衝突後の新しい位置は になります。 ${\displaystyle v_{\text{K}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}+\Delta _{\text{B}}}$

動いているキンクと立っているブリーザーの衝突。[ 9 ]

移動するアンチキンクと静止したブリーザーの衝突。[ 9 ]

バックルンド変換

が正弦ゴルドン方程式の解である とする。${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi .\,}$$

すると、任意のパラメータaを 代入する系は 、正弦ゴルドン方程式も満たす関数に対して解ける。これは自己バックルンド変換の例であり、 と はどちらも同じ方程式、すなわち正弦ゴルドン方程式の解である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{u}&=\varphi _{u}+2a\sin {\Bigl (}{\frac {\psi +\varphi }{2}}{\Bigr )}\\\psi _{v}&=-\varphi _{v}+{\frac {2}{a}}\sin {\Bigl (}{\frac {\psi -\varphi }{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

行列システムを使用することで、正弦ゴルドン方程式の解の線形 Bäcklund 変換を求めることもできます。

たとえば、が自明な解 である場合、 は1 ソリトン解 で、 はソリトンに適用されたブーストに関連します。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \equiv 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle a}$

トポロジカルチャージとエネルギー

溶液の位相電荷または巻数とは、ポテンシャルが非負となるように一定のエネルギー密度が加えられた溶液の エネルギーのことで ある 。これにより、ポテンシャルのテイラー展開の最初の2項は、命名セクションで述べたように、質量を持つスカラー場のポテンシャルと一致し、高次の項は相互作用と考えることができる。 ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle N={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\left[\varphi (x=\infty ,t)-\varphi (x=-\infty ,t)\right].}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} }dx\left({\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}+\varphi _{x}^{2})+m^{2}(1-\cos \varphi )\right)}$$

エネルギーが有限であれば、トポロジカルチャージは保存される。トポロジカルチャージは、ローレンツブーストに至るまで、解を決定しない。自明解とソリトン-反ソリトン対解はどちらも となる。 ${\displaystyle N=0}$

ゼロ曲率定式化

サイン・ゴルドン方程式は、特定の-接続の曲率がゼロになることと同等です。^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

明示的には、座標が上にあるとき、接続成分はで与えられ、 はパウリ行列である。すると、ゼロ曲率方程式は ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ $${\displaystyle A_{u}={\begin{pmatrix}i\lambda &{\frac {i}{2}}\varphi _{u}\\{\frac {i}{2}}\varphi _{u}&-i\lambda \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\varphi _{u}i\sigma _{1}+\lambda i\sigma _{3},}$$ $${\displaystyle A_{v}={\begin{pmatrix}-{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi &-{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi \\{\frac {1}{4\lambda }}\sin \varphi &{\frac {i}{4\lambda }}\cos \varphi \end{pmatrix}}=-{\frac {1}{4\lambda }}i\sin \varphi \sigma _{2}-{\frac {1}{4\lambda }}i\cos \varphi \sigma _{3},}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \partial _{v}A_{u}-\partial _{u}A_{v}+[A_{u},A_{v}]=0}$$

は、正弦ゴルドン方程式 と同等です。ゼロ曲率方程式は、 と定義されるときに曲率がゼロになることからそのように呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi _{uv}=\sin \varphi }$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]}$

行列のペアとはまた、ラックス方程式を満たすのではなく、ゼロ曲率方程式が偏微分方程式を回復するという意味において、正弦ゴードン方程式の ラックスペアとしても知られています。${\displaystyle A_{u}}$ ${\displaystyle A_{v}}$

関連方程式

そのシン・ゴルドン方程式は^{[ 13 ]}で与えられる。

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=\sinh \varphi .}$$

これはラグランジアンのオイラー・ラグランジュ方程式である。

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\varphi _{t}^{2}-\varphi _{x}^{2})-\cosh \varphi .}$$

もう一つの密接に関連する方程式は、楕円正弦ゴルドン方程式またはユークリッド正弦ゴルドン方程式であり、次式で表される。

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=\sin \varphi ,}$$

ここでは変数xとyの関数です。これはもはやソリトン方程式ではありませんが、解析接続（またはウィック回転）y  = i tによってサイン・ゴードン方程式と関連しているため、多くの類似した性質を持ちます。 ${\displaystyle \varphi }$

楕円sinh-Gordon 方程式も同様の方法で定義できます。

もう一つの類似した方程式は、リウヴィル場の理論におけるオイラー・ラグランジュ方程式から得られる。

$${\displaystyle \varphi _{xx}-\varphi _{tt}=2e^{2\varphi }.}$$

一般化は戸田場の理論によって与えられる。^{[ 14 ]}より正確には、リウヴィル場の理論は有限カッツ・ムーディ代数 の戸田場の理論であり、sin(h)-ゴードンはアフィンカッツ・ムーディ代数の戸田場の理論である。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$

無限体積と半直線上

正弦ゴルドン模型は円上、^{[ 15 ]}、線分上、または半直線上[16]でも考えることができる。^{モデルの積分可能性を保つ境界条件を見つけることが可能である。[ 16 ]}半^直線上では、スペクトルにはソリトンとブリーザーに加えて境界束縛状態が含まれる。 ^{[ 16 ]}

量子サイン・ゴードンモデル

量子場理論において、サイン・ゴルドン模型はプランク定数と同一視できるパラメータを含む。粒子スペクトルはソリトン、反ソリトン、そして有限個（ゼロの場合もある）のブリーザーから構成される。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ブリーザーの数はパラメータの値に依存する。質量殻では多粒子生成は打ち消される。

サインゴードン模型の半古典的量子化はルートヴィヒ・ファデーエフとウラジミール・コレーピンによって行われた。^{[ 20 ]}正確な量子散乱行列はアレクサンダー・ザモロドチコフによって発見された。^{[ 21 ]} このモデルは、コールマンによって発見されたサーリング模型のS双対である。^{[ 22 ]}これはコールマン対応とも呼ばれ、相互作用する場合のボソン-フェルミオン対応の例となる。この記事では、モデルに現れる定数がくりこみによって適切に振舞うことも示された。3つのパラメータとがある。コールマンは、 は乗法補正のみを受け取り、加法補正のみを受け取り、はくりこみされないことを示した。さらに、臨界の非ゼロ値 に対して、理論は実際には自由質量ディラック場の理論の双対である。 ${\displaystyle \alpha _{0},\beta }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {4\pi }}}$

量子正弦ゴルドン方程式は指数関数が頂点演算子になるように修正する必要がある

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QsG}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi +{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}-\alpha (V_{\beta }+V_{-\beta })}$$

であり、セミコロンは通常の順序付けを表します。質量項が含まれる場合もあります。 ${\displaystyle V_{\beta }=:e^{i\beta \varphi }:}$

繰り込み可能性の領域

パラメータの値が異なると、サイン・ゴルドン理論の再正規化特性は変化する。 ^{[ 23 ]}これらの領域の同定はJürg Fröhlichによるものである。 ${\displaystyle \beta ^{2}}$

有限領域は であり、理論を適切に設定するために反対項は必要ない。超繰り込み可能領域はであり、理論を適切に設定するために有限個の反対項が必要である。各しきい値を通過するたびに、より多くの反対項が必要になる。^{[ 24 ]}の場合、理論は定義不能になる (Coleman  1975 )。境界値はと であり、それぞれ自由フェルミオン点 (理論はコールマン対応により自由フェルミオンと双対である) と自己双対点 (頂点演算子がアフィン sl ₂部分代数を形成する) であり、理論は厳密に繰り込み可能 (繰り込み可能だが超繰り込み可能ではない) になる。 ${\displaystyle \beta ^{2}<4\pi }$ ${\displaystyle 4\pi \leq \beta ^{2}<8\pi }$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}>8\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}=8\pi }$

確率的サイン・ゴードンモデル

確率的あるいは動的サインゴードンモデルはマーティン・ヘアラーとハオ・シェン ^{[ 25 ]}によって研究されており、 量子サインゴードン理論から得られる発見的な結果を統計的な設定で証明することが可能となっている。

方程式は 、実数値定数、時空ホワイトノイズ です。空間次元は2に固定されています。解の存在証明において、閾値は特定の項の収束を決定する上で重要な役割を果たします。 $${\displaystyle \partial _{t}u={\frac {1}{2}}\Delta u+c\sin(\beta u+\theta )+\xi ,}$$ ${\displaystyle c,\beta ,\theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {n}{n+1}}8\pi }$

超対称サイン・ゴードンモデル

サイン・ゴードン模型の超対称拡張も存在する。^{[ 26 ]}この拡張に対しても可積分性保存境界条件が見出される。^{[ 26 ]}

物理的な応用

サイン・ゴードン・モデルは、結晶転位をモデル化するフレンケル・コントロバ・モデルの連続体極限として生じます。

長いジョセフソン接合のダイナミクスはサイン・ゴルドン方程式によってよく記述され、逆にサイン・ゴルドンモデルを研究するための有用な実験システムを提供する。^{[ 27 ]}

サイン・ゴルドン模型は、磁性の模型である連続古典XY模型における渦糸と反渦糸のクーロン気体に対する有効作用と同じ普遍性類に属する。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}渦糸のコステルリッツ・サウレス転移は、したがってサイン・ゴルドン場の理論の繰り込み群解析から導くことができる。 ^{[ 30 ] [ 31 ]}

サインゴルドン方程式は、異なる磁性モデルである量子ハイゼンベルクモデル、特にXXZモデルの形式的な連続体極限としても現れる。^{[ 32 ]}

参照

• ジョセフソン効果
• フラクソン
• 波を形作る

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外部リンク

• EqWorld: 数学方程式の世界におけるサイン・ゴードン方程式。
• EqWorld のSinh-Gordon 方程式: 数式の世界。
• 正弦ゴルドン方程式は、 非線形方程式百科事典 NEQwiki のWayback Machineに 2012-03-16 にアーカイブされています。