トポロジカル絶縁体

トポロジカル絶縁体、自明絶縁体、導体を含む（非公式の）相図。トポロジカル絶縁体から自明絶縁体へ、伝導相を横切らない経路は存在しない。この図は、絶縁体の「島」が2つあるため、位相不変量を示している。Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
3次元時間反転対称トポロジカル絶縁体の理想的なバンド構造。フェルミ準位は、トポロジカルに保護されたスピンテクスチャディラック表面状態が通過するバルクバンドギャップ内に収まっている。[ 1 ] [ 2 ]

トポロジカル絶縁体とは、内部が電気絶縁体として振る舞い、表面が電気伝導体として振る舞う物質であり、[ 3 ]電子は物質の表面に沿ってのみ移動できることを意味します。

トポロジカル絶縁体が絶縁体である理由は、「自明な」（通常の）絶縁体と同じである。すなわち、物質の価電子帯と伝導帯の間にエネルギーギャップが存在するからである。しかし、トポロジカル絶縁体では、これらのバンドは、非公式な意味で、自明な絶縁体と比較して「ねじれている」。 [ 4 ]トポロジカル絶縁体は、バンドのねじれを解くことなく自明な絶縁体へと連続的に変換することはできない。バンドのねじれを解くことでバンドギャップが閉じ、伝導状態が生じる。したがって、基礎となる場の連続性により、トポロジカル絶縁体と自明な絶縁体（トポロジカルに自明な真空を含む）の境界は、伝導エッジ状態を形成する。[ 5 ]

これはトポロジカル絶縁体のバンド構造のグローバルな特性から生じるため、局所的な（対称性を保つ）摂動はこの表面状態を損なうことはできない。[ 6 ]これはトポロジカル絶縁体特有のもので、通常の絶縁体も導電性表面状態をサポートできるが、この堅牢性を持つのはトポロジカル絶縁体の表面状態だけである。

このことから、トポロジカル絶縁体のより正式な定義が導かれる。すなわち、中間伝導状態を経ずに通常の絶縁体へ断熱変換することができない絶縁体である。 [ 5 ]言い換えれば、トポロジカル絶縁体と自明な絶縁体は相図において別々の領域であり、伝導相によってのみ接続されている。このように、トポロジカル絶縁体は、通常の物質状態を定義するランダウ対称性の破れ理論では記述されない物質状態の例を示している。[ 6 ]

トポロジカル絶縁体の特性とその表面状態は、物質の次元とその基礎となる対称性の両方に大きく依存し、いわゆるトポロジカル絶縁体の周期表を用いて分類することができる。次元と対称性の組み合わせによっては、トポロジカル絶縁体が完全に存在しない場合もある。[ 7 ]すべてのトポロジカル絶縁体は、粒子数保存則から少なくともU(1)対称性を持ち、磁場が存在しないため時間反転対称性を持つことが多い。このように、トポロジカル絶縁体は対称性保護されたトポロジカル秩序の一例である。[ 8 ] またはの値をとるいわゆる「トポロジカル不変量」は、絶縁体を自明またはトポロジカルに分類することを可能にし、様々な方法で計算することができる。[ 7 ]Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z{\displaystyle \mathbb {Z} }

トポロジカル絶縁体の表面状態は、特異な特性を示すことがあります。例えば、時間反転対称性の3Dトポロジカル絶縁体では、表面状態のスピンが運動量に対して直角に固定されています（スピン運動量固定）。あるエネルギーにおいて、他に利用可能な電子状態はスピンが異なるもののみであるため、「U」ターン散乱は強く抑制され、表面伝導は高度に金属的になります。

量子力学系に起源を持つにもかかわらず、トポロジカル絶縁体の類似体は古典媒質にも存在します。光子[ 9 ] 、磁気[ 10 ]、音響[ 11 ]などのトポロジカル絶縁体も存在します。

予測

3次元トポロジカル絶縁体の最初のモデルは、1985年にBAボルコフとOAパンクラトフによって提唱され[ 12 ] 、その後1987年にパンクラトフ、SVパホモフ、ボルコフによって提唱された[ 13 ]。PbTe / SnTe [ 12 ]およびHgTe / CdTe [ 13 ]ヘテロ構造において、バンド反転接合部にギャップレス2次元ディラック状態が存在することが示された。HgTe/CdTeにおける界面ディラック状態の存在は、 2007年にローレンス・W・モレンカンプのグループによって2次元トポロジカル絶縁体において実験的に検証された[ 14 ]。

その後、2D トポロジカル絶縁体 (量子スピン ホール絶縁体としても知られる) の理論モデルの一連のセットは、2005 年にCharles L. KaneとEugene J. Meleによって提案され、 [ 15 ] 、 2006 年にB. Andrei Bernevig とShoucheng Zhangによっても提案されました。 [ 16 ] Kane と Mele の研究では、トポロジカル不変量が構築され、時間反転対称性の重要性が明らかにされました。[ 17 ]その後、Bernevig、Taylor L. Hughes、Zhang は、1 次元 (1D) のらせんエッジ状態を持つ 2D トポロジカル絶縁体が、テルル化カドミウムで挟まれたテルル化水銀の量子井戸 (非常に薄い層) で実現されるという理論的予測を行いました。[ 18 ] 1次元ヘリカルエッジ状態による輸送は、2007年にモレンカンプらのグループによる実験で実際に観測された。[ 14 ]Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}

トポロジカル分類と時間反転対称性の重要性が指摘されたのは 2000 年代ですが、トポロジカル絶縁体に必要なすべての要素と物理は、1980 年代の研究ですでに理解されていました。

2007年には、ビスマスを含む二元化合物に3Dトポロジカル絶縁体が存在する可能性があると予測され、[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] 、特に量子スピンホール状態の複数のコピーに還元できない「強いトポロジカル絶縁体」が存在することが予測されました。[ 23 ]

特性と用途

トポロジカル絶縁体におけるスピン運動量固定[ 24 ]により、3D トポロジカル絶縁体の表面に近接効果によって超伝導が誘起された場合、対称性が保護された表面状態にマヨラナ粒子が存在することが可能になる。 [ 25 ]（マヨラナ ゼロモードはトポロジカル絶縁体がなくても出現する可能性があることに注意。[ 26 ]）トポロジカル絶縁体の非自明性は、らせん状のディラック粒子のガスの存在にエンコードされている。質量のない相対論的フェルミオンのように振舞うディラック粒子は、3D トポロジカル絶縁体で観測されている。トポロジカル絶縁体のギャップレス表面状態は量子ホール効果のものとは異なることに注意する。トポロジカル絶縁体のギャップレス表面状態は対称性が保護されている（すなわち、トポロジカルではない）のに対し、量子ホール効果のギャップレス表面状態はトポロジカルである（すなわち、すべての対称性を破る可能性のある局所的な摂動に対してロバストである）。位相不変量は、スピンホール伝導率などの従来の輸送方法を使用して測定することはできず、輸送は不変量によって量子化されません。位相不変量を測定する実験的方法が実証され、位相秩序の尺度が提供されます。[ 27 ] （位相秩序 という用語は、1991 年に発見された創発ゲージ理論でも位相秩序を説明するために使用されていることに注意してください。 [ 28 ] [ 29 ] ）より一般的には（ 10 倍の方法として知られる方法で）、各空間次元に対して、離散対称性のタイプ（時間反転対称性、粒子正孔対称性、およびカイラル対称性）でラベル付けされたランダム ハミルトニアンの 10 個のアルトランド-ツィルンバウアー対称性クラスのそれぞれには、位相不変量の周期表で説明されているように、対応する位相不変量のグループ（または自明）があります。[ 30 ]Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}

トポロジカル絶縁体の最も有望な応用は、量子ホール効果[ 14 ]と量子異常ホール効果[ 31 ]に基づくスピントロニクスデバイスと量子コンピュータ用の無損失トランジスタである。さらに、トポロジカル絶縁体材料は、高度な磁気電子デバイスや光電子デバイスにも実用的な応用が見出されている。[ 32 ] [ 33 ]

熱電素子

最もよく知られているトポロジカル絶縁体の中には、Bi 2 Te 3やその Bi 2 Se 3との合金（n 型熱電材料）および Sb 2 Te 3（p 型熱電材料）などの熱電変換材料もあります。[ 34 ]熱伝導率が低く、電気伝導率が高く、ゼーベック係数（温度の増分変化による電圧の増分変化）が高い材料では、高い熱電変換効率が実現されます。トポロジカル絶縁体は重い原子で構成されることが多く、熱伝導率を低下させる傾向があるため、熱電材料には有利です。最近の研究では、バンド反転によって引き起こされるバルクバンド構造の歪みにより、トポロジカル絶縁体で優れた電気特性（高い電気伝導率とゼーベック係数）が得られることも示されています。[ 35トポロジカル絶縁体におけるバンド反転によって誘起されるバンドワーピングは、電子／正孔の有効質量を減少させ、バレー縮退（すなわち、電荷輸送に寄与する電子バンドの数）を増加させることで、これら2つの特性を媒介することができます。その結果、トポロジカル絶縁体は一般的に熱電変換用途の興味深い候補物質となります。

理論的背景

ブリルアンゾーンのトポロジー

二次元平面の反対側の辺を接着するとトーラスが得られる。これは、反対側の辺が逆格子ベクトルだけ異なる二次元ブリルアンゾーンを記述するのに適した構成である。

周期系は定義により、いくつかの並進に対して不変であるため、周期ハミルトニアンの固有状態を、系を変えない並進演算子の固有値でラベル付けすることができます。並進演算子の固有値は結晶運動量（または準運動量）と呼ばれ、通常は（d は系の次元数）と書きます。これらの量子数は、自由粒子の波動ベクトルに類似した役割を果たします。結晶の周期性は、k 空間に周期性を誘導します。および（ただし、は逆波動ベクトル）は、同じ状態（または状態の集合）を表します。逆波動ベクトルを除いて等価ではないすべての準運動量の集合は、ブリルアンゾーンと呼ばれます。[ 36 ] ブリルアンゾーンの周期性の結果として、その反対側の辺または面は互いに同一視されるべきであり、したがってブリルアンゾーンはd次元トーラスを記述する。[ 37 ]け＝（け1、け2、。。。、けd）{\displaystyle \mathbf {k} =(k_{1},k_{2},...,k_{d})}け{\displaystyle \mathbf {k} }け+G{\displaystyle \mathbf {k} +\mathbf {G} }G{\displaystyle \mathbf {G} }Td{\displaystyle T^{d}}

2バンドハミルトニアン

最も簡単に記述できるトポロジカル絶縁体は、単位セルあたり2つの自由度（たとえば、2つの軌道）を持つ周期的結晶絶縁体です。以下の取り扱いの多くはこれらの系にのみ当てはまりますが、任意の結晶トポロジカル絶縁体に簡単に一般化できます。2バンド系の注目すべき例としては、グラフェンとSu-Shrieffer-Heegerモデル（ポリアセチレンを記述）があります。自由度をセルの内側と外側から分離することにより、波動関数を次のように書くことができます。ここで、は単位セルをラベル付けし、は格子ベクトル、は単位セルの数（無限の場合もそうでない場合もあります）、は単位セルの内部状態で、この場合は一般的に と書くことができます（ここでAとBは内部自由度です）。[ 38 ]ブロッホの定理により、この基底はハミルトニアンをブロック対角化します。準運動量 に対応するそのようなブロックの 1 つは、2 バンドの場合のエルミート行列で表すことができます(この行列はしばしばブロッホ ハミルトニアンと呼ばれます)。任意のエルミート行列は、パウリ行列、および単位行列の線形結合として表すことができます。したがって、任意の 2 バンド周期ハミルトニアンは[ 38 ]と表すことができます。ここで、繰り返されるインデックスの合計が想定され、は 3 次元の実数値ベクトル、 は単位行列です。この定式化の利点は、ハミルトニアンを のベクトルとして見ることができるようになり、ブリルアン ゾーンの n 次元部分集合がの n 次元面をパラメータ化できるようになったことです。この意味で、 は2 つの空間間のマッピングとして考えることができます。は k 空間に対応し、この場合はエルミート行列の空間に対応します。さらに、このハミルトニアンの基底により、ベクトル のスカラー積と回転を実行できます。後者は特に興味深い。なぜなら は対角行列であり、 軸に平行になるように回転させることによって対角化できるからである。したがって、という形式のユニタリ行列が存在する。ここで は回転軸であり、その大きさが回転角を決定する。エネルギーは という事実から推定できる。最も重要なのは、回転はの方向のみに関係するため、 の固有状態は|ψけ⟩＝1北∑メートルe私け⋅Rメートル|メートル⟩⊗|α⟩≡|け⟩⊗|α⟩{\displaystyle |\psi _{\mathbf {k} }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{m}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{m}}|m\rangle \otimes |\alpha \rangle \equiv |\mathbf {k} \rangle \otimes |\alpha \rangle }メートル{\displaystyle m}Rメートル{\displaystyle \mathbf {R} _{m}}北{\displaystyle N}|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }|α⟩＝1つの|あ⟩+b|B⟩{\displaystyle |\alpha \rangle =a|A\rangle +b|B\rangle }hけ≡⟨け|H|け⟩{\displaystyle h_{\mathbf {k} }\equiv \langle \mathbf {k} |H|\mathbf {k} \rangle }け{\displaystyle \mathbf {k} }2×2{\displaystyle 2\times 2}2×2{\displaystyle 2\times 2}σ1、σ2{\displaystyle \sigma^{1},\sigma^{2}}σ3{\displaystyle \sigma^{3}}hけ＝d私（け）σ私+d0（け）私{\displaystyle h_{\mathbf {k} }=d_{i}(\mathbf {k} )\sigma ^{i}+d_{0}(\mathbf {k} )I}d私{\displaystyle d_{i}}私{\displaystyle I}R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}d＝（d1、d2、d3）{\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},d_{2},d_{3})}d:Td→R3{\displaystyle \mathbf {d} :T^{d}\to \mathbb {R} ^{3}}Td{\displaystyle T^{d}}R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}2×2{\displaystyle 2\times 2}d{\displaystyle \mathbf {d} }σ3{\displaystyle \sigma^{3}}hけ{\displaystyle h_{\mathbf {k} }}d{\displaystyle \mathbf {d} }z{\displaystyle z}Rけ＝経験⁡[私θ（け）⋅σ2]{\displaystyle R_{\mathbf {k} }=\exp[i\mathbf {\theta (\mathbf {k} } )\cdot {\frac {\mathbf {\sigma } }{2}}]}RけhけRけ†＝（|d（け）|+d000−|d（け）|+d0）{\displaystyle R_{\mathbf {k} }h_{\mathbf {k} }R_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\begin{pmatrix}|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}&0\\0&-|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}\end{pmatrix}}}θ（け）{\displaystyle \mathbf {\theta } (\mathbf {k} )}（hけ−d0私）2＝d私d私{\displaystyle (h_{\mathbf {k} }-d_{0}I)^{2}=d_{i}d^{i}}Rけ{\displaystyle R_{\mathbf {k} }}d{\displaystyle \mathbf {d} }hけ{\displaystyle h_{\mathbf {k} }}は大きさには依存せず、固有状態のみを含む量も同様です。

トポロジへの接続

このような量の重要な例としては、ベリー接続がある。ここで、 とはバンドインデックスである。経路 にわたるその積分は幾何学的位相を与え、これはエネルギー変化に起因しない、断熱発展中に状態が得る位相に対応する。2 次元材料では、ブリルアンゾーン にわたるの積分はホール伝導率[ 39 ]を与え、その積分は結晶の分極を計算するのにも使用できる。 [ 40 ]ベリー接続はゲージ不変ではないが、閉じた経路 にわたるその積分はゲージ不変であるため、閉じた領域 にわたる の積分のみが観測可能な量に対応できることに注意されたい。は の方向にのみ依存し、は d-トーラスから2-球面への写像と考えることができる[ 41 ]。を、ブリルアンゾーンにわたるベリー位相 (たとえばホール伝導率) を積分することによって得られる物理的に観測可能な量としよう。これは、あα、β（け）≡私⟨ψα（け）|∇け|ψβ（け）⟩{\displaystyle {\mathcal {A}}_{\alpha ,\beta }(\mathbf {k} )\equiv i\langle \psi _{\alpha }(\mathbf {k} )|\nabla _{\mathbf {k} }|\psi _{\beta }(\mathbf {k} )\rangle }α{\displaystyle \alpha}β{\displaystyle \beta}あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}d（け）{\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}d^（け）{\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )}Td{\displaystyle T^{d}}S2{\displaystyle S^{2}}d^:Td→S2{\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{2}}お∈R{\displaystyle {\mathcal {O}}\in \mathbb {R} }Td{\displaystyle T^{d}}お（d^（Td））{\displaystyle {\mathcal {O}}({\hat {\mathbf {d} }}(T^{d}))}

二つの曲線が互いに滑らかに変形できる場合、それらはホモトピー的に同値であるといいます。二次元球面上のすべてのループは一点に滑らかに変形できるため、二次元球面上のすべてのループはホモトピー的に同値です。
巻き数3のループの例。ループを理解しやすくするために、曲線は重ねて描かれていません。このセクションで説明する例では、曲線は 上にあるため、ここに示されているものが単位円に投影されたものです。S1{\displaystyle S^{1}}

お:Td→S2→R{\displaystyle {\mathcal {O}}:T^{d}\to S^{2}\to \mathbb {R} }したがって、このような観測可能量は に依存しなければなりません。と、つまりから への２つの連続写像を考えてみましょう。を に滑らかに変形できる場合、それらはホモトピー的に同値であるといわれます。[ 42 ]たとえば、球面上のループはそのような写像 と考えることができます。ここで は単位円であり、球面上のすべてのループは、すべてを 1 つの点に滑らかに変形できるため、ホモトピー的に同値です。 が平面上にある場合（したがってブロッホ ハミルトニアンは 2 つのパウリ行列のみで構成されます）である代わりに の場合、これは当てはまりません。円上のすべてのループを 1 点に縮約できるわけではありません。 ホモトピー的に同値な写像の集合は同値類と呼ばれます。多様体が与えられたとき、との間の写像の同値類の集合は、写像の合成の操作とともに、のn 番目のホモトピー群と呼ばれ、 と記されます。[ 42 ] 2バンド系に関連するホモトピー群はであり、ブリルアンゾーン（）の閉部分集合から2次元球面または円（ の部分集合）への写像しか考えられないためである。例えば、単位円 をとると、次のようになる。円を円に写像すると、円の周縁部に存在するループが得られ、そのようなループは円の周りを整数回巻き付けることができ、異なる巻き数を持つループは互いに変形できない。別の例として、球面上のすべてのループは1点に滑らかに変形できるため、円から2次元球面へのすべての写像はホモトピー的に同値である。ホモトピー群の元にラベルを付ける数は位相不変量と呼ばれる。円の最初のホモトピー群に対するそのような位相不変量の例は、前述の巻き数である。 [ 42 ]この場合、巻き数を計算する1つの方法はd^(Td){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}d^(Td){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}d^′(Td){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}Td{\displaystyle T^{d}}S2{\displaystyle S^{2}}d^(Td){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}d^′(Td){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}Td=S1{\displaystyle T^{d}=S^{1}}d^:Td→S1{\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{1}}d{\displaystyle \mathbf {d} }M{\displaystyle M}M{\displaystyle M}Sn{\displaystyle S^{n}}M{\displaystyle M}πn(M){\displaystyle \pi _{n}(M)}π2(Td){\displaystyle \pi _{2}(T^{d})}π1(Td){\displaystyle \pi _{1}(T^{d})}Td{\displaystyle T^{d}}S2{\displaystyle S^{2}}S1{\displaystyle S^{1}}S2{\displaystyle S^{2}}S1{\displaystyle S^{1}}π1(S1)=Z{\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }π2(S1)={I}{\displaystyle \pi _{2}(S^{1})=\{I\}}d^(k)=cos⁡(ϕ(k))x^+sin⁡(ϕ(k))y^{\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )=\cos(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {y} }}}ν{\displaystyle \nu }ν=12π∫Σdϕ(k){\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }d\phi (\mathbf {k} )}

ホモトピー群の要素としての絶縁相

単位ベクトルは である限り と定義できるため、原点を通過する曲線や面を 2 次元球面に連続的に写像することはできません。ホモトピー群の 2 つの要素は不連続性によって分離されているため、空間内で原点を通過することによってのみ互いに​​変形できる曲線または面を記述する必要があります。上記の 2 バンド ブロッホ ハミルトニアンの形を見ると、 の場合、ハミルトニアンは退化し、2 つのバンドが接触している必要があることがわかります。したがって、バンド理論によれば、2 バンド ハミルトニアンは、 がブリルアン領域のある点で原点を通過する場合、導体を記述します。このことから、ホモトピー群の 2 つの要素が伝導相によって分離された 2 つの絶縁ハミルトニアンに対応するか、またはそれら 2 つのハミルトニアンは に断熱接続されていないと推測できます。[ 38 ]ホモトピー群の異なる要素を表すハミルトニアンのペアは、異なるトポロジを持つと言われています。 d^(k){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )}d(k)|d(k)|{\displaystyle {\frac {\mathbf {d} (\mathbf {k} )}{|\mathbf {d} (\mathbf {k} )|}}}|d(k)|≠0{\displaystyle |\mathbf {d} (\mathbf {k} )|\neq 0}d(k){\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}(d1,d2,d3){\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}|d(k)|=0{\displaystyle |\mathbf {d} (\mathbf {k} )|=0}d(k){\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}

ブリルアンゾーン上のベリー接続 の積分は、異なる位相のハミルトニアン間では滑らかに変化できない。なぜなら、積分は に依存するからである。これは、2 つのハミルトニアン間では滑らかに変化できないからである。この積分は位相不変量 であることが判明している。たとえば、 が平面上にある場合、ハミルトニアンを対角化するユニタリ行列 を用いて、（ここでは円上の角度）であることが示され、したがって は巻き数である。[ 38 ]前に述べたように、位相不変量はゲージ不変量であるため、物理的に観測可能な量となり得る。このような量の中で最も有名なものは、エッジ状態の数（たとえば、Su-Schrieffer-Heegerモデルを参照）と、整数量子ホール効果におけるホール伝導度である。 A{\displaystyle {\mathcal {A}}}d^(BZ){\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}({\mathcal {BZ}})}d{\displaystyle \mathbf {d} }Rk=exp⁡[iθ(k)⋅σ2]{\displaystyle R_{\mathbf {k} }=\exp[i\mathbf {\theta (\mathbf {k} } )\cdot {\frac {\mathbf {\sigma } }{2}}]}A(k)=∇kϕ(k){\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {k} )=\mathbf {\nabla } _{\mathbf {k} }\phi (\mathbf {k} )}ϕ{\displaystyle \phi }ν=12π∫BZdΣ⋅A(k){\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathcal {BZ}}d\mathbf {\Sigma } \cdot {\mathcal {A}}(\mathbf {k} )}

実験的実現

2D トポロジカル絶縁体は、 2007 年にテルル化カドミウムの間に挟まれたHgTe量子井戸を含むシステムで初めて実現されました。

実験的に実現された最初の3次元トポロジカル絶縁体はBi 1 − x Sb xである。[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]純粋なビスマスは、小さな電子バンドギャップを持つ半金属である。角度分解光電子分光法やその他の多くの測定を用いて、Bi 1 − x Sb x合金は、任意の2つのクラマース点の間で奇表面状態（SS）交差を示し、バルクでは質量を持つディラックフェルミオンを特徴とすることが観測された。[ 44 ] さらに、バルクのBi 1 − x Sb x は3次元ディラック粒子を持つと予測されている。[ 46 ]この予測は、2次元グラフェン[ 47 ]と純粋なビスマス[ 48 ]における電荷量子ホール分数化 の観測により、特に興味深いものとなっている。

その後まもなく、純粋なアンチモン、セレン化ビスマス、テルル化ビスマス、テルル化アンチモンでも、角度分解光電子分光法（ARPES）を用いて対称性が保護された表面状態が観測されました。[ 49 ] [ 24 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]およびセレン化ビスマス。[ 52 ] [ 53 ]現在では、ホイスラー材料の大きなファミリーに含まれる多くの半導体がトポロジカル表面状態を示すと考えられています。[ 54 ] [ 55 ]これらの材料の一部では、フェルミ準位は実際には自然発生する欠陥のために伝導帯または価電子帯のいずれかに位置しており、ドーピングまたはゲーティングによってバルクギャップに押し込む必要があります。[ 56 ] [ 57 ] 3次元トポロジカル絶縁体の表面状態は、電子のスピンが線形運動量に固定された新しいタイプの2次元電子ガス（2DEG）である。 [ 24 ]

表面輸送測定で実証されているように、Biベースの材料には完全なバルク絶縁体または固有の3Dトポロジカル絶縁体状態が存在する。[ 58 ]わずかにSnをドーピングした新しいBiベースのカルコゲニド（Bi 1.1 Sb 0.9 Te 2 S）は、フェルミエネルギーとディラック点がバルクギャップにある固有の半導体挙動を示し、表面状態は電荷輸送実験によって調べられた。[ 59 ]

2008年と2009年には、トポロジカル絶縁体は表面導体そのものではなく、量子化された磁気電気効果を持つバルク3次元磁気電気体として理解するのが最も適切であると提唱された。[ 60 ] [ 61 ] これは、トポロジカル絶縁体を磁場中に置くことで明らかにすることができる。この効果は、素粒子物理学における仮説上のアクシオン粒子に似た言葉で記述することができる。[ 62 ]この効果は、ジョンズ・ホプキンス大学とラトガース大学の研究者によってTHz分光法を用いて 報告され、ファラデー回転が微細構造定数によって量子化されることが示された。[ 63 ]

2012年には、低温ではバルク絶縁体である六ホウ化サマリウムでトポロジカル近藤絶縁体が同定されました。 [ 64 ] [ 65 ]

2014年には、スピントルクコンピュータメモリのような磁性部品がトポロジカル絶縁体によって操作できることが示されました。 [ 66 ] [ 67 ]この効果は金属-絶縁体転移（ボーズ-ハバードモデル）に関連しています。

フロケトポロジカル絶縁体

トポロジカル絶縁体は合成が難しく、固体材料で実現可能なトポロジカル相も限られている。[ 68 ]このため、トポロジカル絶縁体と同じ原理をシミュレートするシステム上でトポロジカル相の探索が進められている。離散時間量子ウォーク (DTQW) は、フロケ トポロジカル絶縁体 (FTI) を作成するために提案されている。この周期駆動システムは、トポロジカルに自明でない有効 (フロケ) ハミルトニアンをシミュレートする。[ 69 ]このシステムは、1 次元から 3 次元のトポロジカル絶縁体のすべてのユニバーサルクラスの有効ハミルトニアンを複製する。[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]興味深いことに、フロケ トポロジカル絶縁体のトポロジカル特性は、外部磁場ではなく外部周期駆動によって制御できる。距離選択的リュードベリ相互作用によって強化された原子格子は、1次元、2次元、または3次元で数百のサイトとステップにわたるさまざまな種類のFTIをシミュレートできます。[ 73 ]長距離相互作用により、位相的に秩序立った周期境界条件の設計が可能になり、実現可能な位相相がさらに豊かになります。[ 73 ]

合成

トポロジカル絶縁体は、有機金属化学気相成長法（MOCVD）などのさまざまな方法を使用して成長させることができる。[ 74 ]

物理蒸着法（PVD）[ 75 ]溶媒熱合成法[ 76 ] 超音波化学法[ 77 ]分子線エピタキシー 法

MBEシステムのコンポーネントの概略図

(MBE) [ 52 ] MBEはこれまで最も一般的な実験技術であった。薄膜トポロジカル絶縁体の成長は弱いファンデルワールス相互作用によって支配されている。[ 78 ]この弱い相互作用により、バルク結晶から薄膜を剥離して、きれいで完全な表面を得ることができる。エピタキシーにおけるファンデルワールス相互作用は、ファンデルワールスエピタキシー (VDWE) とも呼ばれ、異なるまたは同じ元素の層状材料間の弱いファンデルワールス相互作用によって支配される現象である[ 79 ] 。この現象では、材料が互いに積み重ねられる。この方法により、ヘテロ構造や集積回路用の他の基板上に層状トポロジカル絶縁体を成長させることができる。[ 79 ]

トポロジカル絶縁体のMBE成長

分子線エピタキシー（MBE）は、結晶基板上に結晶材料を成長させ、秩序だった層を形成するエピタキシー法です。MBEは高真空または超高真空下で行われ、元素は異なる電子ビーム蒸発器で昇華するまで加熱されます。その後、ガス状の元素はウェハ上で凝縮し、そこで互いに反応して単結晶を形成します。

MBE法は高品質単結晶膜の成長に適した技術です。大きな格子不整合や界面欠陥を回避するため、基板と薄膜の格子定数は互いに近いことが求められます。MBE法は、高真空中で合成が行われるため汚染が少ないという点で他の方法よりも優れています。さらに、成長速度や基板界面に存在する原料物質の種比を制御できるため、格子欠陥も低減します。[ 80 ]さらに、MBE法では試料を層状に成長させることができるため、平坦な表面と滑らかな界面が得られ、ヘテロ構造を設計することができます。さらに、MBE法は、トポロジカル絶縁体試料を成長チャンバーから角度分解光電子分光法（ARPES）や走査トンネル顕微鏡（STM）などの特性評価チャンバーへ容易に移動できるという利点もあります。[ 81 ]

格子整合条件を緩和する弱いファンデルワールス結合のため、TIはSi(111)、[83] [84]などのさまざまな基板上に成長することができます。2お3、GaAs（111）、[ 85 ] InP（111）、CdS（0001）、およびY3鉄5お12。

トポロジカル絶縁体のPVD成長

物理蒸着法（PVD）は、剥離法の欠点を克服し、同時に分子線エピタキシーによる完全制御成長よりもはるかにシンプルで安価です。PVD法は、トポロジカル絶縁体（Biなど）を含む様々な層状擬似2次元材料の単結晶を再現性よく合成することを可能にします。2セ3、バイ2テ3）。[ 86 ]得られた単結晶は結晶方位が明確に定義されており、組成、厚さ、サイズ、および所望の基板上の表面密度を制御できます。厚さの制御は、通常、単純な（バルクの）電子チャネルが輸送特性を支配し、トポロジカル（表面）モードの応答をマスクする3D TIにとって特に重要です。厚さを薄くすることで、単純なバルクチャネルが全体の伝導に及ぼす寄与を低下させ、トポロジカルモードが電流を運ぶようにすることができます。[ 87 ]

ビスマス系トポロジカル絶縁体

これまで、トポロジカル絶縁体の分野では、Biなどのビスマスおよびアンチモンカルコゲニドベースの材料が注目されてきた。2セ3、バイ2テ3、Sb2テ3またはBi 1 − x Sb x、Bi 1.1 Sb 0.9 Te 2 Sである。 [ 59 ] カルコゲニドの選択は、格子整合強度のファンデルワールス緩和と関連しており、これが材料と基板の数を制限する。[ 80 ] ビスマスカルコゲニドは、熱電材料への熱電変換材料およびその応用について広く研究されてきた。熱電変換材料におけるファンデルワールス相互作用は、表面エネルギーが低いため重要な特徴を示す。例えば、Biの表面は、2テ3表面エネルギーが低いため、通常はTeで終端されます。[ 52 ]

ビスマスカルコゲニドは様々な基板上で成長に成功している。特にSiは Biの成長に優れた基板である。2テ3しかし、サファイアを基板として使用することは、約15%という大きな格子整合の不整合のために、あまり好ましいとは言えません。[ 88 ]適切な基板を選択することで、TIの全体的な特性を向上させることができます。バッファ層を使用することで格子整合を低下させ、TIの電気特性を向上させることができます。[ 88 ] Bi2セ3様々なBi 2 − x In x Se 3緩衝液の上に成長させることができる。表1はBi2セ3、バイ2テ3、Sb2テ3 異なる基板上における結晶構造の違いと、その結果生じる格子不整合。一般的に、基板の種類に関わらず、得られる薄膜は、5層ステップのピラミッド型単結晶ドメインを特徴とするテクスチャ表面を有する。これらのピラミッド型ドメインの大きさと相対的割合は、膜厚、基板との格子不整合、界面化学に依存する薄膜核生成などの要因によって変化する。薄膜の合成には、元素の蒸気圧が高いため、化学量論的問題が生じる。そのため、二元テトラジマイトはn型（Bi2セ3、バイ2テ3）またはp型（Sb2テ3）。[ 80 ]グラフェンは、ファンデルワールス結合が弱いため、格子不整合が大きいにもかかわらず、TI成長に適した基板の1つです。

異なる基質の格子不整合
基質[ 82 ]バイ2セ3 % バイ2テ3 % SB2テ3 %
グラフェン −40.6 −43.8 −42.3
シ −7.3 −12.3 −9.7
フッ化カルシウム2−6.8 −11.9 −9.2
ガリウムヒ素 −3.4 −8.7 −5.9
CdS −0.2 −5.7 −2.8
インジウムリン 0.2 −5.3 −2.3
BaF25.9 0.1 2.8
カドミウムテルル 10.7 4.6 7.8
アル2お314.9 8.7 12.0
SiO218.6 12.1 15.5

識別

トポロジカル絶縁体の同定の第一段階は合成直後、つまり真空を破って試料を大気中に放出することなく行われます。これは、角度分解光電子分光法（ARPES）または走査トンネル顕微鏡（STM）を用いて行うことができます。[ 81 ]さらなる測定には、X線回折やエネルギー分散分光法といった構造的・化学的プローブ測定が含まれますが、試料の品質によっては感度不足が残る可能性があります。輸送測定では、状態の定義に基づいてトポロジーを一意に特定することはできません。 Z2{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}

分類

ブロッホの定理により、ブリルアンゾーン内の各波動ベクトルに行列を割り当てることで、物質の波動伝播特性を完全に特徴付けることができます。

数学的には、この割り当てはベクトル束を生成する。異なる物質は異なる波動伝播特性を持ち、したがって異なるベクトル束も持つ。すべての絶縁体（バンドギャップを持つ物質）を考慮すると、ベクトル束の空間が生成される。この空間の位相（自明なバンドを法として）から、トポロジカル絶縁体における「位相」が生じる。[ 7 ]

具体的には、空間の連結成分の数は、金属状態の間にいくつの異なる絶縁体の「島」が存在するかを示します。真空状態を含む連結成分内の絶縁体は「自明」と識別され、それ以外の絶縁体は「位相的」と識別されます。絶縁体が存在する連結成分は、「位相不変量」と呼ばれる番号で識別されます。[ 7 ]

この空間は対称性の存在によって制限され、結果として生じるトポロジーが変化する。ユニタリー対称性は量子力学では通常重要であるが、ここではトポロジーには影響を及ぼさない。[ 89 ]代わりに、通常考慮される3つの対​​称性は、時間反転対称性、粒子正孔対称性、およびカイラル対称性（サブラティス対称性とも呼ばれる）である。数学的には、これらはそれぞれ、ハミルトニアンと交換する反ユニタリー演算子、ハミルトニアンと反交換する反ユニタリー演算子、およびハミルトニアンと反交換するユニタリー演算子として表される。これら3つの演算子と各空間次元のあらゆる組み合わせは、いわゆるトポロジカル絶縁体の周期表となる。[ 7 ]

今後の展開

トポロジカル絶縁体の分野はまだ発展の余地がある。最も優れたビスマスカルコゲニドトポロジカル絶縁体では、電荷によるバンドギャップの変化が約 10 meV である。さらなる発展では、高対称性の電子バンドの存在と単純に合成された材料の両方の調査に焦点を当てるべきである。候補の 1 つはハーフホイスラー化合物である。[ 81 ]これらの結晶構造は、多数の元素で構成できる。バンド構造とエネルギーギャップは価電子構成に非常に敏感である。サイト間交換と無秩序の可能性が高くなるため、特定の結晶構成にも非常に敏感である。第一原理計算を使用して、さまざまな 18 電子ハーフホイスラー化合物で、既知の 2D および 3D TI 材料に類似したバンド秩序を示す非自明なバンド構造が予測された。[ 90 ]これらの材料は、実際の実験ではまだ固有のトポロジカル絶縁体挙動の兆候を示していない。

参照

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