半連続性

上半連続関数であるが、下半連続ではない。青い実線は${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

において上半連続ではない下半連続関数。青い実点は${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

数学的解析において、半連続性（または半連続性）は、連続性よりも弱い、拡張実数値関数の特性です。拡張実数値関数が点において上半連続（または下半連続）であるとは、おおよそ、 の近くの引数に対する関数値がよりもそれほど高く（またはそれほど低く）ないことを指します。簡単に言うと、定義域上の関数は、そのエピグラフが で閉じている場合に下半連続であり、 が下半連続である場合に上半連続です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle -f}$

関数が連続であるためには、上半連続かつ下半連続である必要があります。連続関数の値をある点においてまで増加させ、あるに対して関数の値を変化させると、結果は上半連続になります。また、関数の値を まで減少させると、結果は下半連続になります。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

上半連続関数と下半連続関数の概念は、 1899年にルネ・ベールの論文で初めて導入され研究されました^{。[ 1 ]}

定義

全体にわたって が位相空間であり、が拡張された実数の値を持つ関数であると仮定します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

上部半連続性

関数が点において上半連続であるとは、任意の実数 に対しての近傍が存在し、任意の に対して となることを言う。^{[ 2 ]} 同様に、関数が において上半連続であるとは 、 lim sup が点 における関数の優れた極限であり、 と定義され、 最小値は点 のすべての近傍上にあることを言う。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)<y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\ni x_{0}}\sup _{x\in U}f(x)}$$ ${\displaystyle x_{0}}$

が距離関数を持つ計量空間である場合、これは連続関数の定義と同様に、-定式化を用いて言い換えることもできる。つまり、各に対して、常に${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数が上半連続であるとは、以下の同値な条件のいずれかを満たす場合を言う: ^{[ 2 ]}${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) 関数はその定義域のどの点でも上半連続である。

(2) 各 に対して、集合はにおいて開集合であり、 である。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) 各 に対して、-超準位集合はで閉じている。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle X}$

(4)ヒポグラフ は閉じている。${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) 関数は、共線領域に左位位相が与えられたとき連続である。これは条件(2)を言い換えたものであり、左位位相はすべての区間によって生成されるからである。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)}$

下半連続性

関数が点において下半連続であるとは、任意の実数に対しての近傍が存在し、任意の に対して となることを言う。同様に、が において下半連続となるのは、が において下半連続となる場合のみで ある。 ここで は点における関数の下側の極限である。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)>y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

が距離関数を持つ計量空間である場合、これは次のように言い換えることもできる。各に対して、常に${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$ ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

関数が以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 その関数は下半連続と呼ばれます。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) 関数はその定義域のどの点でも下半連続である。

(2) 各 に対して、集合はにおいて開集合であり、 である。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) 各 に対して、-サブレベル集合はで閉じている。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$ ${\displaystyle X}$

（４）碑文 はで閉じられている。^{[ 6 ]：207} ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) 関数は、共線領域に正しい順序の位相が与えられたとき連続である。これは条件(2)を言い換えたものであり、正しい順序の位相はすべての区間によって生成される。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (y,\infty ]}$

例

次のように区分的に定義される関数を考えます。 この関数は、 では上側半連続ですが、下側半連続ではありません。 ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}=0,}$

与えられた実数以下の最大の整数を返す床関数は、どこでも 上半連続である。同様に、天井関数は下半連続である。 ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

実変数関数の上半連続性と下半連続性は、左または右からの連続性とは無関係です。半連続性は、関数の領域内ではなく、関数の値域内における順序付けによって定義されます。^{[ 7 ]} 例えば、関数は では上半連続ですが、左または右からの 0 における関数の極限は存在しません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

がユークリッド空間（あるいはより一般的には計量空間）であり、が（上限距離を持つ）内の曲線の空間である場合、各曲線の長さを割り当てる長さ汎関数は下半連続である。^{[ 8 ]}例として、単位正方形の対角線を下から階段で近似することを考えてみよう。階段の長さは常に2であるが、対角線の長さは しかない。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

実解析における基本的な例として、ファトゥの補題が挙げられます。これは、が非負可測関数の列であるとき、 は （点ごとの）下極限 を表すことを主張しています。これは、一般論として、 が測度空間であり、が に関して測度収束の位相を備えた正可測関数の集合を表すとき、 からへの作用素として見た積分は下半連続であることを意味します。 ${\displaystyle f_{n}}$ $${\displaystyle \int \liminf f_{n}\leq \liminf \int f_{n}}$$ ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

プロパティ

特に指定がない限り、以下のすべての関数は位相空間から拡張された実数へのものです。結果のいくつかは特定の点における半連続性に対しても成り立ちますが、簡潔にするために、それらはドメイン全体にわたる半連続性に対してのみ述べられています。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• 関数は、上限半連続と下限半連続の両方である場合に限り、連続となります。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$
• 集合 の特性関数または指示関数（およびのとき定義）が上半連続となるのは、が閉集合の場合であり、かつその場合に限ります。特性関数または指示関数が下半連続となるのは、 が開集合の場合であり、かつその場合に限ります。${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\notin A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• 凸解析の分野では、集合の特性関数は、の場合と の場合のように、異なる定義で定義されます。この定義によれば、任意の閉集合の特性関数は下半連続であり、任意の開集合の特性関数は上半連続です。${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x\notin A}$

半連続関数の二項演算

させて。 ${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• と が下半連続ならば、その和は下半連続である^{[ 9 ]}（ただし、和が明確に定義されていること、すなわち が不定形 ではないことが条件）。上半連続関数についても同様である。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$
• とが下半連続かつ非負ならば、積関数は下半連続である。上半連続関数についても同様の結果が得られる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$
• 関数が下半連続となるのは、関数が上半連続である場合に限ります。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -f}$
• と が上半連続で が非減少で ある場合、合成は上半連続です。一方、が非減少でない場合、 は上半連続ではない可能性があります。例えば、 が と定義されるとします。この場合、は連続であり 、 は が連続でない限り上半連続ではありません。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=-x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g=-g}$ ${\displaystyle g}$
• とが下半連続ならば、それらの（点ごとの）最大値と最小値（とで定義される）も下半連続である。したがって、から（または から）のすべての下半連続関数の集合は格子を形成する。対応する命題は上半連続関数についても成り立つ。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

半連続関数の最適化

• 任意の下半連続関数族（によって定義される）の（点ごとの）上限は下半連続である。^{[ 10 ]}${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

特に、連続関数の単調増加列の極限は下半連続である。（以下のベールの定理は部分的な逆を与える。）極限関数は一般に下半連続となるが、連続ではない。例として、に対して定義された関数が示される。${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

同様に、任意の上半連続関数族の最小値は上半連続である。また、連続関数の単調減少列の極限も上半連続である。

• がコンパクト空間（例えば閉有界区間）で上半連続ならば、 は最大となり、が下半連続ならば、は最小となる。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C.}$

（上側半連続の場合の証明：定義の条件（5）により、左位位相が与えられたとき、は連続である。したがって、その位相ではその像はコンパクトである。そして、その位相におけるコンパクト集合は、最大値を持つ集合とまったく同じである。別の証明については、極値定理に関する記事を参照のこと。）${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(C)}$

その他の特性

• （ベールの定理）^{[注1 ]}を計量空間とする。任意の下半連続関数は、拡張された実数値連続関数の点毎増加列の極限である。 特に、連続関数の列が存在し、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$ そして

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

が値を取らない場合、連続関数は実数値であるとみなすことができます。^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

さらに、すべての上側半連続関数は、上の拡張実数値連続関数の単調減少列の極限です。が 値を取らない場合、連続関数は実数値であると見なすことができます。${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty ,}$

• 任意の位相空間上の上半連続関数は、その空間の稠密開集合上で局所的に定数である。${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• 位相空間が順次的である場合、 が上半連続となることと、それが順次上半連続となることが同値である。つまり、と に向かって収束する任意の列に対して が成立する。同様に、順次的空間において が上半連続となることと、その上位集合がすべての に対して順次閉じていることが同値である。一般に、上半連続関数は順次上半連続であるが、その逆は真ではない場合がある。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$

集合値関数の半連続性

集合値関数に対しては、上半連続性、下半連続性、外半連続性、内半連続性、および上半連続性および下半連続性といういくつかの半連続性の概念が定義されている。集合から集合への集合値関数は次のように書き表される。各 に対して、関数は集合を定義する。集合の の 逆像は次のように定義される 。 すなわち、 はと素でないのすべての点を含む集合である。^{[ 13 ]}${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F:A\rightrightarrows B.}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(x)\subset B.}$ ${\displaystyle S\subset B}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F^{-1}(S):=\{x\in A:F(x)\cap S\neq \varnothing \}.}$$ ${\displaystyle F^{-1}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle S}$

上部と下部の半連続性

集合値写像がにおいて上半連続であるとは、となる任意の開集合に対して となる近傍が存在することを意味する^{[ 13 ] : 定義 2.1} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(x)\subset U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(V)\subset U.}$

集合値写像がにおいて下半連続であるとは、任意の開集合に対しての近傍が存在し、^{[ 13 ]}を満たすときである^{。定義 2.2} ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$

位相空間間の集合値写像に対して、より一般的には、上記の定義におけるとを任意の位相空間に置き換えることによって、上側と下側の集合値半連続性も定義される。 ^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

単値関数の上半連続性と下半連続性、集合値関数の上半連続性と下半連続性の間には直接的な対応関係がないことに注意されたい。上半連続な単値関数は、集合値写像として考えた場合、必ずしも上半連続とは限らない。^{[ 13 ]：18} 例えば、で定義される 関数 は単値の意味で上半連続であるが、集合値写像は集合値の意味で上半連続ではない。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$

内側と外側の半連続性

集合値関数は、の任意の収束列に対して、の列が存在し、 が十分に大きいすべての に対してとなるとき、で内部半連続と呼ばれる^{[ 14 ] [注2 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in F(x)}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\to y}$ ${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$

集合値関数は、 の任意の収束列に対して が成り立ち、の任意の収束列に対してが成り立ち、各 に対して列がの点に収束する（つまり）とき、 において外部半連続と呼ばれる。 ^{[ 14 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x_{i}\to x}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (y_{i})}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$

船体

下半連続関数族の上限は下半連続なので、 が位相空間 上の任意の拡張実数値関数である場合、 によって主となる下半連続関数の集合の上限は下半連続である。 によって主となるこの最大の下半連続関数は、の下半連続包である。^{[ 15 ]}包は関係式^{[ 16 ]}によって点ごとに定義される。 この包は、そのエピグラフが のエピグラフの閉包であるという性質を持つ。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H_{f}}$ $${\displaystyle H_{f}(x)=\liminf _{y\to x}f(y).}$$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle f}$

下半連続包は凸解析において重要な役割を果たします。凸（拡張実）関数が与えられた場合、エピグラフは閉じていない可能性があります。しかし、凸関数の下半連続包は凸であり、元の凸関数の閉包として知られています。

凸解析におけるいくつかの演算、例えばルジャンドル変換は、自動的に閉じた凸関数を生成します。凸関数にルジャンドル変換を2回適用すると、元の関数ではなく、元の関数の閉包が得られます。したがって、下半連続包は、凸関数をその有効領域の境界点で修正することにより、正則化する方法となります。

圏論的に言えば、関数の下半連続包は、開近傍の半集合（逆包含によって順序付けられている）の位相空間への包含に沿ったの（左）カン拡大である。明示的には、ある点における包の値は余極限によって与えられる。 これは包含関数 による左カン拡大で ある と一致する。この定式化では、半連続包を取る過程は、豊富化圏論におけるカン拡大機構の特殊なケースである。上半連続包は右カン拡大である。^{[ 17 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle (\mathrm {Lan} _{\iota }f)(x)=\inf _{U\ni x}\sup _{y\in U}f(y),}$$ ${\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)}$ ${\displaystyle \iota }$

応用においては、他の種類の包もしばしば考慮される。例えば、位相ベクトル空間の凸部分集合上の与えられた関数を主関数とする連続アフィン関数の集合の最小値は上半連続である。この事実はショケ定理の証明に用いられる。^{[ 18 ]}サブハーモニック関数に適用される同様の考え方は、領域内のラプラス作用素に対するディリクレ問題を解くペロン法にも用いられる。サブハーモニック解のクラスにとって重要な条件は、特に境界条件が適用される境界付近において、上半連続性である。

アプリケーション

変分法

半連続性の重要な応用の一つに変分法がある。この文脈において、半連続性の重要性は次の定理に由来する。^{[ 19 ]}を位相空間とし、 とする。最小化列とは における列であって となるもので ある。定理は、が逐次下半連続であり、が に収束する最小化列であるとき、 となるということ である。つまり 、 は の絶対最小値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle F}$

これは、関数解析におけるトネリの定理などの結果と組み合わされることが多く、これはL ^p空間上の非線型関数の弱い下側半連続性を、別の関数の凸性によって特徴付けます。この種のより特化した結果は、偏微分方程式の問題の変分定式化で役立ちます。偏微分方程式は、積分によって与えられる関数の半連続性を、しばしば何らかのソボレフ空間上で定義される被積分関数の凸性特性に関連付けます。典型的な例は、ラプラス演算子のディリクレ問題で、境界条件に従うエネルギーの最小化問題、 すなわち、ユークリッド空間の有界領域上の関数の勾配の二乗ノルムの積分として定式化できます。被積分関数は適切なソボレフ空間で凸であるため、最小化シーケンスの極限はディリクレ問題の解です。これは、たとえば、最小化シーケンスを構築する方法を与える有限要素解に影響します。 $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$

鞍点の存在

凸性仮定とともに、上側半連続性と下側半連続性は、局所凸位相ベクトル空間上の関数の鞍点の存在を保証する定理において役割を果たす。そのような結果の一つが、ファンとシオンのミニマックス定理である^{[ 20 ]}。これは、反射バナッハ空間に属する空でない閉凸集合のペアからの関数が ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X,Y}$

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ それぞれ凹状で上部は半連続であり、${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$ は凸状であり、それぞれに対して下半連続である。${\displaystyle y\in Y}$

の鞍点の集合は凸である。凸性と凹性がともに正格であれば、鞍点は最大で1つ存在する。集合とが有界であれば、鞍点の集合は空ではない。鞍点と は、定義により、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

寸法

平面上の六角形上の面寸法関数の図${\displaystyle f}$

重要な整数値関数の多くは半連続です。簡単な例として、次元ベクトル空間に多面体 （または、より一般的には閉凸集合）があるとします。 の面は、定義により、 上の何らかの線形関数の最大値の集合です。関数 を定義します。 すると、は下半連続になります。これは直感的に理解できます。なぜなら、小さな摂動があれば、辺や頂点などの低次元の面から高次元の面に移動できますが、摂動が十分に小さい場合、高次元の面のどの点も低次元の面に移動できないからです。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$ ${\displaystyle f}$

同様の性質を示す別の例として、行列の階数が行列空間上の下半連続関数であるという点が挙げられる。これは、近傍の行列では階数が上昇することはあっても、下降することはできないためである。この結果と暗黙関数定理を併せて考えると、リー群が滑らかな多様体に滑らかに作用する場合、点を通る軌道の次元は下半連続となる（すなわち、関数）。^{[ 21 ]}${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$

代数幾何学

この同じアイデアのより洗練されたバージョンは代数幾何学において基本的な役割を果たしており、整数の余域を持つ多くの次元写像は半連続であることが知られています。（例えば、ニュートン・オクンコフ体に適用される場合など。）

一般に、および をスキーム、平坦かつ適切な有限表示の射とする。 を- 加群平坦かつ 上で有限表示の射とする。すると任意の に対して関数 は上半連続である。^{[ 22 ]}この定理の重要な特殊ケースで、さらにがネーターであり、が射影的かつコヒーレントである場合は、 Hartshorneの標準教科書に掲載されている。^{[ 23 ] : 288} ハイパーコホモロジーの言語における独自の研究はEGA III ^{[ 24 ]}定理 (7.7.5) に掲載されており、特に複素解析的設定に対する Grauertなどの以前の研究も引用されている。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$ ${\displaystyle X,S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

をスキームとし、有限型の射とする。関数 は ファイバー の任意の次元 に関連付けられる。が有限表示スキームの平坦射である場合、 は下半連続である。^{[ 25 ]}がスキームの真射である場合、 は上半連続である。^{[ 26 ]}${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n_{X/Y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n_{X/Y}}$

ヴァキルは代数幾何学における半連続性のさらなる結果のリストを集めた。^{[ 27 ]}

記述的集合論

半連続関数は、次元、ランク、順序高などの複雑さの尺度によって位相空間の層を定義するために記述集合論で使用されます。^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}このような関数は順序数の値を取ることが多く、その半連続性により、集合が閉じていることが保証されます（したがって、ポーランド空間でボレル）。 ${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$

代表的な例として、整基盤木上の階数関数が挙げられます。ベール空間の点によって符号化された木を とします。階数はにおける降順列の長さの上限として定義されます。各木に階数を割り当てる関数は、木符号の自然な位相に関して下半連続です。この階数は、行列の階数がを階層化するのと同様に、木空間を閉集合 に階層化します。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$

より一般的には、順序値を持つ下半連続関数は、ポーランド空間における点や構造の複雑性（可算構造のスコットランク、集合の射影ランク、同値関係のルシン・ノビコフ複雑性など）を測定するために用いられる。これらの関数は詳細な分類を可能にし、射影階層の上位レベルにおける普遍集合や有効な媒介変数化を定義する上で極めて重要である。

下半連続関数による区間の逆像は閉じているため、そのような関数は位相空間を、複雑さが増す閉（つまりボレル）部分へと標準的な層化させる。この性質は、反射原理の証明、分離定理、そしてボレル同値関係の効果的な分類においてしばしば用いられる。 ${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$

動的システム

エルゴード理論と位相力学においては、力学系の不変測度空間上の汎関数を研究する際に、半連続性が自然に生じる。最も重要な例はエントロピー関数であり、これは各不変測度に測度論的エントロピーを割り当てる。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

をコンパクトかつ連続な位相力学系とする。-不変ボレル確率測度の空間は、弱*位相の下での双対のコンパクト凸部分集合である。エントロピー写像は上の上半連続関数である。 ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$ $${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

この性質は変分原理において重要な役割を果たします。変分原理は、位相エントロピーがすべての不変測度の上限であると主張します。上半連続性は、測度の空間がコンパクトな場合にこの上限が達成されることを保証します。 ${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$ ${\displaystyle h_{\mu }(T)}$

より一般的には、多くの興味深い汎関数（例えば、リアプノフ指数、次元スペクトル、あるいは回帰時間統計量など）は、不変測度の空間上で半連続である。場合によっては、これらの半連続性は、与えられた量を最大化または最小化する測度の存在を証明したり、単体 の構造的性質（例えば、エルゴード測度が残差稠密集合を形成することなど）を確立したりするために使用される。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

同様の考え方は、システム間の不変結合を研究する結合理論にも見られる。結合集合は弱*位相においてコンパクトであり、半連続性は不変結合の分離性と一意性を解析するために用いられる。

参照

• 方向連続性 - 突然の変化のない数学的関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• カチェトフ・トン挿入定理 – 半連続な上限と下限の間の連続関数の存在について
• 半連続性 – 集合値関数の半連続性
• Càdlàg  – 左極限を持つ右連続関数

注記

1. この結果は、1904年にルネ・ベールによって 上で定義された実数値関数に対して証明された。これは1917年にハンス・ハーンによって計量空間に拡張され、 1952年に興童は、この定理が成り立つ最も一般的な空間のクラスは完全に正規な空間のクラスであることを示した。（詳細と具体的な参考文献については、エンゲルキングの演習1.7.15(c)、62ページを参照。）${\displaystyle \mathbb {R} }$
2. 特に、任意の自然数 に対して となるような が。 の末尾のみを考慮する必要があるのは、集合の小さな値に対して が空になる可能性があるという事実からである。${\displaystyle i_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F(x_{i})}$

参考文献

1. ヴェリー、マチュー。「数学の歴史 - ルネ・ベレ」。
2. ストロンバーグ、132ページ、演習4
3. ブルバキ 1998a、IV.5.6。
4. Rockafellar & Wets 1997、8ページ。
5. オービン 1998、12ページ。
6. Kurdila, AJ, Zabarankin, M. (2005). 「Lower Semicontinuous Functionals」 .凸関数解析. システムと制御：基礎と応用（第1版）. Birkhäuser-Verlag. pp.  205– 219. doi : 10.1007/3-7643-7357-1_7 . ISBN 978-3-7643-2198-7。
7. ウィラード、49ページ、問題7K
8. Giaquinta, Mariano (2007).数学解析：線型構造と計量構造、そして連続性. Giuseppe Modica (第1版). ボストン: Birkhäuser. 定理11.3, p.396. ISBN 978-0-8176-4514-4. OCLC  213079540 .
9. Puterman, Martin L. (2005).マルコフ決定過程 離散確率動的計画法. Wiley-Interscience. pp.  602. ISBN 978-0-471-72782-8。
10. 「任意の下半連続関数の集合の上限が下半連続であることを示す」。
11. ストロンバーグ、132ページ、演習4(g)
12. 「下側の半連続関数が連続関数の増加列の上限であることを示してください」。
13. Freeman, RA, Kokotović, P. (1996).ロバスト非線形制御設計. Birkhäuser Boston. doi : 10.1007/978-0-8176-4759-9 . ISBN 978-0-8176-4758-2。。
14. Goebel, RK (2024年1月). 「第2章 集合収束と集合値写像」 .ダイナミクスと制御における集合値、凸関数、非平滑解析入門.応用数学のその他のタイトル. 産業応用数学協会. pp.  21– 36. doi : 10.1137/1.9781611977981.ch2 . ISBN 978-1-61197-797-4。
15. ロッカフェラー 1970 .
16. ブルバキ 1998a、IV.6.2。
17. G. Cicogna (1978). 「初等解析における関手付加の例」アメリカ数学月刊誌. 85 (4): 260–262 .
18. フェルプス 1966、第3章。
19. ジュスティ 2003 .
20. Ekeland & Témam 1999、第 4 章。
21. Alexandrino, MMとBettiol, RG(2015). 固有群行動と等尺群行動. Unione Matematica Italiana講義ノート (第23巻, pp. 51-84). Springer.
22. 「Stacksプロジェクト — 補題36.32.1」 . Stacks.math.columbia.edu . 2025年4月27日閲覧。
23. ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、Zbl  0367.14001、第3章 定理12.8
24. アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1963)。「幾何学工学の要素: III. 技術のコホモロジー、faisceaux cohérents、第二次党」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。17 : 67.土井: 10.1007/bf02684890。MR 0163911。 
25. 「Stacks Project — Lemma 37.30.4」 . Stacks.math.columbia.edu . 2025年4月27日閲覧。
26. 「Stacks Project — Lemma 37.30.5」 . Stacks.math.columbia.edu . 2025年4月27日閲覧。
27. Ravi D., Vakil (2011-06-08). 「お気に入りの半連続関数？」 . math216.wordpress.com . スタンフォード大学: Wordpress . 2025年4月27日閲覧。
28. Kechris, AS (1995).古典的記述集合論. Springer.
29. Moschovakis, YN (1980).記述的集合論. North-Holland.
30. Friedman, H., & Stanley, L. (1989). 可算構造のクラスに対するボレル還元理論. J. Symbolic Logic , 54(3), 894–914.
31. Walters, P. (1982).エルゴード理論入門. Springer.
32. Glasner, E. (2003).結合によるエルゴード理論. アメリカ数学会.
33. Downarowicz, T. (2011).『動的システムにおけるエントロピー』ケンブリッジ大学出版局.

参考文献

• Aubin, Jean-Pierre (1998). Optima and equilibria (第2版). Springer.
• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). 「積分関数の弱下半連続性とその応用」. SIAM Review . 59 (4): 703– 766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947 . S2CID  119668631 .
• ブルバキ、ニコラス（1998a）『数学の要素：一般位相幾何学』1-4ページ、シュプリンガー、ISBN 0-201-00636-7。
• ブルバキ、ニコラス（1998b）『数学の要素：一般位相幾何学』5-10ページ、シュプリンガー、ISBN 3-540-64563-2。
• Ekeland; Témam (1999) 「凸解析と変分問題」、応用数学の古典、第28巻、SIAM
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• ゲルバウム、バーナード・R.; オルムステッド、ジョン・MH (2003).分析における反例. ドーバー出版. ISBN 0-486-42875-3。
• ジュスティ（2003）変分法における直接法、ワールドサイエンティフィック
• ハイアーズ, ドナルド H.; アイザック, ジョージ; ラシアス, テミストクレス M. (1997).非線形解析とその応用に関するトピックス. ワールドサイエンティフィック. ISBN 981-02-2534-2。
• ロッカフェラー（1970）、凸解析
• ロッカフェラー、ウェッツ（1997）、変分解析
• フェルプス（1966）「ショケ定理に関する講義」
• ストロンバーグ、カール (1981). 『古典実解析入門』 ワズワース. ISBN 978-0-534-98012-2。
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970].一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由.