準カテゴリー

数学、より具体的には圏論において、準圏（準圏、弱カン複体、 内カン複体、無限圏、∞圏、ボードマン複体、四項圏とも呼ばれる）は、圏の概念の一般化である。このような一般化の研究は、高次圏理論として知られている。

概要

準圏はボードマンとヴォクト（1973）によって導入された。 アンドレ・ジョヤルは準圏の研究を大きく前進させ、通常の基本的な圏論のほとんどと、いくつかの高度な概念や定理には準圏の類似物が存在することを示した。準圏理論に関する精緻な論文は、ジェイコブ・ルリー （2009）によって解説されている。

準圏は、ある種の単体集合です。通常の圏と同様に、準圏は対象（単体集合の0単体）と、これらの対象間の射（1単体）を含みます。しかし、圏とは異なり、2つの射の合成は必ずしも一意に定義される必要はありません。与えられた2つの射の合成として機能しうるすべての射は、高階可逆射（「ホモトピー」として考えられる2単体）によって相互に関連付けられています。これらの高階射も合成可能ですが、この場合も合成は、さらに高階の可逆射などによってのみ明確に定義されます。

高次圏理論（少なくとも、高次射が可逆な場合の高次圏理論）の考え方は、標準的な圏の概念とは対照的に、2つの対象の間には（写像集合ではなく）写像空間が存在するべきであるというものである。これは、高次圏とは単に位相的に豊富な圏であるべきであることを示唆している。しかしながら、準圏モデルは位相的に豊富な圏モデルよりも応用に適している。ただし、ルリーによって、両者はキレン同値な自然なモデル構造を持つことが証明されている（§ ホモトピー・コヒーレント・ナーブ を参照）。

意味

定義により、準カテゴリCは、内部 Kan 条件（弱 Kan 条件とも呼ばれる）を満たす単体集合です。つまり、 Cのすべての内角、つまり の単体集合の写像には、フィラー、つまり写像 への拡張が存在します。（単体集合との定義については、 Kan ファイブレーション#定義 を参照してください。） Λけ[n]→C{\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}0<け<n{\displaystyle 0<k<n}Δ[n]→C{\displaystyle \Delta [n]\to C}Δ[n]{\displaystyle \Delta [n]}Λけ[n]{\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}

2-単体は（少なくともホモトピーまでは）可換三角形を表すと想定されているという考え方です。写像は合成可能な対を表します。したがって、準圏においては、写像の合成方法は複数存在するため、射の合成則を定義することはできません。 Δ[2]→C{\displaystyle \Delta [2]\to C}Λ1[2]→C{\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}

定義から得られる一つの帰結は、 が自明なカンファイブレーションであるということです。言い換えれば、合成則は一意に定義されないものの、縮約可能な選択を除いて一意に定義されます。 CΔ[2]→CΛ1[2]{\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}

ホモトピー圏

準圏C が与えられたとき、それにCのホモトピー圏と呼ばれる通常の圏hCを関連付けることができる。ホモトピー圏はCの頂点を対象とする。射は頂点間の辺のホモトピー類によって与えられる。合成はn = 2のホーンフィラー条件を用いて与えられる 。

一般の単体集合の場合、 sSetからCatへの関数 (神経関数の左随伴関数)が存在し、準カテゴリCの場合、 が成り立ちます。 τ{\displaystyle \tau}τ（C）＝hC{\displaystyle \tau (C)=hC}

例

  • ある圏の神経は、任意の内角の充填が一意であるという追加の特性を持つ準圏である。逆に、任意の内角の充填が一意であるような準圏は、ある圏の神経と同型である。C の神経のホモトピー圏はCと同型である。
  • 位相空間Xが与えられたとき、その特異集合S ( X )を定義することができる。これは X の基本∞-群とも呼ばれる。S ( X ) は、すべての射が可逆となる準圏である。S ( X )のホモトピー圏は、Xの基本群である。
  • 前の例よりも一般的な例として、すべてのカン複体は準圏の例です。カン複体では、すべての角（内側の角だけでなく）からの写像をすべて埋めることができ、これもまた、カン複体内のすべての射が可逆であるという帰結をもたらします。したがって、カン複体は群体と類似しています。つまり、ある圏の神経はカン複体であるためには、その圏は群体である必要があります。
  • Kan複合体自体は、 KanまたはSと表記される∞-圏を形成します。正確には、これはKan複合体の圏におけるホモトピーコヒーレント神経です（ § ホモトピーコヒーレント神経も参照）。
  • 同様に、（小さな）∞-圏の∞-圏は、∞-圏の圏のホモトピー・コヒーレント・ナーヴとして定義される。正確には、Kを単体的に豊富な圏とし、対象が小さな∞-圏であり、 CからDへのホモ単体集合が∞-圏の核であるとする。[ 1 ]このとき、 Kのホモトピー・コヒーレント・ナーヴは、小さな∞-圏の∞-圏である。ホム_（C、D）{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(C,D)}

ホモトピーコヒーレント神経

圏の通常の神経は、高次の射（例えば、関数間の自然変換、つまり2-射やパス間のホモトピー）を捉えることができません。単体的に豊富な圏のホモトピーコヒーレント神経は、 そのような高次の射を捉えることを可能にします。 北hc（C）{\displaystyle N^{hc}(C)}C{\displaystyle C}

まず、圏 の「厚みのある」バージョンとしてを定義します（は半順序集合なので、圏と見なすことができます）。定義[ 2 ]により、 は と同じオブジェクト集合を持ちますが、 からへの同単体集合はの神経です。ここで、 はを含むのすべての部分集合の集合であり、 は包含によって半順序付けられています。つまり、 において、射は のように見えますが、 の場合、 は のように見えます。（正式には、は の共繊維置換です。[ 3 ]） C[n]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}[n]＝{0、1、⋯、n}{\displaystyle [n]=\{0,1,\cdots ,n\}}[n]{\displaystyle [n]}[n]{\displaystyle [n]}私{\displaystyle i}j{\displaystyle j}P私、j{\displaystyle P_{i,j}}P私、j{\displaystyle P_{i,j}}[私、j]＝{け∣私≤け≤j}{\displaystyle [i,j]=\{k\mid i\leq k\leq j\}}私、j{\displaystyle i,j}C[n]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}私→け1→⋯→j{\displaystyle i\to k_{1}\to \cdots \to j}私>j{\displaystyle i>j}C[n]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}[n]{\displaystyle [n]}

すると、は単体集合として定義され、各n単体はからへの単体的に豊富な関数となる。[ 4 ]さらに、がオブジェクトの各ペアに対してKan複体であるという性質を持つ場合、は∞-カテゴリとなる。[ 5 ]北hc（C）{\displaystyle N^{hc}(C)}C[n]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}C{\displaystyle C}C{\displaystyle C}地図⁡（×、y）{\displaystyle \operatorname {マップ} (x,y)}×、y{\displaystyle x,y}北hc（C）{\displaystyle N^{hc}(C)}

sSetからsSet-Catへの関数は、 の左随伴関数として定義されます。重要な応用として以下が挙げられます。 C[−]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}北hc{\displaystyle N^{hc}}

定理— [ 6 ]をTop豊富圏とする（ここでTopはコンパクト生成弱ハウスドルフ空間の圏である）。このとき、コユニット写像 C{\displaystyle C}

|地図C[北hcS（C）]⁡（×、y）|→地図C⁡（×、y）{\displaystyle |\operatorname {Map} _{{\mathfrak {C}}[N^{hc}S(C)]}(x,y)|\to \operatorname {Map} _{C}(x,y)}

は 内のオブジェクトの各ペアに対する弱いホモトピー同値であり、 はの特異複素数です。 ×、y{\displaystyle x,y}C{\displaystyle C}S（C）{\displaystyle S(C)}C{\displaystyle C}

この定理は、∞-カテゴリー理論への単体的アプローチが（上記の弱い意味で）位相的アプローチと同等であることを意味しています。

建設

もしX , Yが∞-カテゴリならば、sSetの内部 Hom である単体集合も∞-カテゴリである（より一般的には、Xが単体集合のみでYが∞-カテゴリであれば、それは∞-カテゴリである）。[ 7 ]ホム_（X、はい）{\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,Y)}

が∞圏Cの対象である場合、はKan複体であるが、先験的には関手ではない。これを制限した関手は以下のように構成できる。 ×、y{\displaystyle x,y}地図C⁡（×、y）{\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(x,y)}（×、y）↦地図C⁡（×、y）{\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {マップ} _{C}(x,y)}

Sを単体集合とし、それによって生成されるsSet-enriched圏とする。Sは関手なので、関手を与える 。S′＝C[S]{\displaystyle S'={\mathfrak {C}}[S]}ホムS′{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S'}}（×、y）↦歌う⁡|ホムC⁡（×、y）|{\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Sing} |\operatorname {Hom} _{C}(x,y)|}

S′op×S′→K1つのn、{\displaystyle S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} \,,}

ここで、右辺はカン複体の1-カテゴリである。すると、はの左随伴なので、は C[−]{\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}北hc{\displaystyle N^{hc}}C[Sop×S]→S′op×S′→K1つのn{\displaystyle {\mathfrak {C}}[S^{op}\times S]\to S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} }

Sop×S→K1つのn＝北hc（カン）。{\displaystyle S^{op}\times S\to \mathbf {Kan} =N^{hc}({\textrm {Kan}})。}

を∞-圏Cとすると、上記はhom関手である。S{\displaystyle S}

ホム:Cop×C→K1つのn、{\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to \mathbf {Kan} ,}

制限される（×、y）↦地図C⁡（×、y）。{\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y).}

参照: ∞-カテゴリの極限と余極限、∞-カテゴリのコア。

∞-カテゴリ間の同値性

∞-カテゴリ間の関数が与えられたとき、 Fが（Joyalの意味で）同値であるとは、∞-カテゴリ（（小さな）∞-カテゴリの∞-カテゴリ）において逆であることを意味する。 [ 8 ]F:C→D{\displaystyle F:C\to D}

通常の圏論と同様に（選択公理が存在する場合）、Fは、次の場合のみ同値である。

  • 完全に忠実であり、意味は各オブジェクトのペアの等価性であり、F:地図⁡（×、y）→地図⁡（F（×）、F（y））{\displaystyle F:\operatorname {Map} (x,y)\to \operatorname {Map} (F(x),F(y))}×、y{\displaystyle x,y}
  • 本質的には射影的であり、つまりDの各オブジェクトyに対してCのあるオブジェクトxが成り立つことを意味する。[ 9 ]y≃F（×）{\displaystyle y\simeq F(x)}

プレシーブス

通常の圏論と同様に、∞-圏C上の前層を考えることができます。高次圏論の観点からは、そのような前層は集合値ではなく空間値を持つ必要があります（例えば、米田の補題を正しく定式化するため）。ホモトピー仮説によれば、 ∞-群、具体的にはカン複体を空間として取ることができます。これを踏まえて、 C上の「∞-前層」の圏を とします。ここで、 はカン複体の∞-圏です。圏値を持つ前層は一般に前スタックと呼ばれます。したがって、 は∞-前スタックで構成されていると考えることができます。 C^＝ホム_（Cop、カン）{\displaystyle {\widehat {C}}={\underline {\operatorname {Hom} }}(C^{op},{\textbf {Kan}})}カン{\displaystyle {\textbf {カン}}}C^{\displaystyle {\widehat {C}}}

（Hom上の関数構造を選択すると）、通常のカテゴリの場合と同じように ∞-米田埋め込みが得られます。

C↪C^。{\displaystyle C\hookrightarrow {\widehat {C}}.}

補助語

随伴作用には少なくとも2つの同等なアプローチがある。Cisinskiの著書では、随伴作用は通常の圏論と同様に定義されている。すなわち、2つの関手が随伴対であるとは、 Cのx、Dのy 、…の各オブジェクト対に対する制約が2射形が存在する場合を言う。 F:C→D、G:D→C{\displaystyle F:C\to D,\,G:D\to C}c:ホム⁡（F、私d）→ホム⁡（id、G）{\displaystyle c:\operatorname {Hom} (F,\operatorname {id)} \to \operatorname {Hom} (\operatorname {id} ,G)}

c|×、y:地図D⁡（F（×）、y）→地図C⁡（×、G（y））{\displaystyle c|_{x,y}:\operatorname {Map} _{D}(F(x),y)\to \operatorname {Map} _{C}(x,G(y))}

は逆写像空間において可逆である（写像空間はカン複体であることを思い出す）。[ 10 ]カン{\displaystyle {\textbf {カン}}}

ルリーは著書『高等トポス理論』の中で、付帯写像を、直交座標系とコ直交座標系の両方のファイブレーションである写像と定義している。[ 11 ]は直交座標系ファイブレーションなので、ソートのグロタンディーク構成（正確には直線化）によって、関手が得られる。 q:M→Δ1{\displaystyle q:M\to \Delta ^{1}}q{\displaystyle q}

G:D＝q−1（1）→D＝q−1（0）。{\displaystyle G:D=q^{-1}(1)\to D=q^{-1}(0).}

同様に、コカルテジアンファイバリングも存在するので、 も存在します。この場合、それらは随伴ペアであり、逆に、随伴ペアは随伴を決定します。 q{\displaystyle q}F:C→D。{\displaystyle F:C\to D.}

最終オブジェクトと最終マップ

を∞-圏Cの対象とする。このとき、以下は同値である: [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]ω{\displaystyle \omega }

  • 値を持つ定数関数は、各単体集合Xのカテゴリ内の最終オブジェクトです。ω{\displaystyle \omega }τ（ホム_（X、C））{\displaystyle \tau ({\underline {\operatorname {Hom} }}(X,C))}
  • マッピング空間は、 C内の各オブジェクトxに対して収縮可能です。地図⁡（×、ω）{\displaystyle \operatorname {Map} (x,\omega )}
  • この射影は自明なJoyal ファイバです。C↓ω→C{\displaystyle C\downarrow \omega \to C}
  • ω{\displaystyle \omega }マップとしては、右の鎮痛剤の拡張です。Δ0→C{\displaystyle \Delta ^{0}\to C}
  • ω{\displaystyle \omega }空集合からの一意の関数の極限です。∅→C{\displaystyle \emptyset \to C}

上記の同値条件のいずれかが成立する場合、は最終的であると言われる。最終対象は完全なサブカテゴリ、すなわち∞-群を形成し、これは空であるか縮約可能である。[ 15 ]ω{\displaystyle \omega }

例えば、前層が表現可能であるのは、 の元の∞-カテゴリが最終対象を持つ場合のみである（表現可能であるということは、 の元の∞-カテゴリがC上のカンマカテゴリと同値であると言うことに相当する）。[ 16 ]F:Cop→カン{\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Kan}}}F{\displaystyle F}

より一般的には、単体集合間の写像は、以下を満たす写像の 最小のクラスに属する場合、最終的と呼ばれます。c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}

  • 右アノダイン拡張はクラスに属します。c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
  • クラスは構成上安定しています。c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
  • と がに属する場合、 はに属する。[ 17 ]f{\displaystyle f}グラム∘f{\displaystyle g\circ f}c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}グラム{\displaystyle g}c{\displaystyle {\mathfrak {c}}}

オブジェクトがfinalであるのは、マップがfinalマップである場合に限ります。[ 18 ]また、マップがcofinalと呼ばれるのは、がfinalである場合です。[ 19 ]ω{\displaystyle \omega }ω:Δ0→C{\displaystyle \omega :\Delta ^{0}\to C}f:X→はい{\displaystyle f:X\to Y}f:Xop→はいop{\displaystyle f:X^{op}\to Y^{op}}

提示可能な∞カテゴリ

前層圏（上記で議論した）にはいくつかの優れた性質があり、その局所化もある程度それらの性質を継承しています。∞-圏は、前層圏をバウスフィールドの意味で∞-圏に局所化したものである場合、提示可能と呼ばれます（この概念は宇宙の選択に大きく依存しますが、ここでは省略します。しかし、この問題に対処する一つの方法は、基数を手動で管理することです。もう一つの方法は、ルリーが行ったように、アクセス可能な∞-圏の概念を用いることです）。

シシンスキーは、「任意の[合理的な]代数構造は、神経を取った後に、提示可能な∞-圏を定義する」と指摘している。[ 20 ]したがって、例えば、「群の圏、アーベル群の圏、環の圏」はすべて（それらの神経は）提示可能な∞-圏である。また、小さな集合の圏の神経も提示可能である。[ 21 ]

この概念はモデル圏の理論に含意を持つ。上記の発言にほぼ基づいて、実際に用いられる典型的なモデル圏はすべて提示可能な神経を持つ。そのようなモデル圏は組合せ論的と呼ばれる。[ 22 ]正確には、次式が成り立つ。(ダガー) Cが組合せ論的モデル圏ならば、弱同値性に関する局所化は提示可能な∞-圏である[ 23 ]。そして逆に、提示可能な∞-圏はそれぞれ、同値性を除き、そのような形式である[ 24 ] 。L(C){\displaystyle L(C)}

安定した∞-カテゴリ

変種

  • ( ∞, 1)-圏は、 n > 1 に対するすべてのn -射が同値となるような、必ずしも準圏ではない∞-圏である。(∞, 1)-圏には、シーガル圏、単体的に濃縮された圏、位相圏、完備シーガル空間など、 いくつかのモデルが存在する。準圏もまた(∞, 1)-圏である。
  • モデル構造sSet-categories には、(∞,1)-カテゴリ (∞,1)Cat を表すモデル構造があります。
  • ホモトピー・カン拡張ホモトピー・カン拡張の概念、特にホモトピー極限とホモトピー余極限の概念は、カン複素数豊富圏を用いて直接的に定式化されます。詳しくはホモトピー・カン拡張を参照してください。
  • (∞,1)-トポス理論の提示全ての(∞,1)-トポス理論は、sSet-圏を用いてモデル化できる。(ToënVezzosi) sSet-サイトCの概念は、(∞,1)-サイトの概念をモデル化する。また、sSet-サイト上のsSet-enriched presheaves上のモデル構造は、C上の∞-スタック(∞,1)-トポスの提示となる。

参照

注記

  1. ^ Lurie 2009、定義3.0.0.1。
  2. ^ Lurie 2009、定義1.1.5.1。
  3. ^ Lurie 2009、注釈1.1.5.2。
  4. ^ Lurie 2009、定義1.1.5.5。
  5. ^ Lurie 2009、命題1.1.5.10。
  6. ^ Lurie 2009、定理1.1.5.13。
  7. ^ Cisinski 2023、系3.2.10。
  8. ^ Land 2021、定義2.1.14。
  9. ^ Land 2021、命題2.3.5およびLand 2021、定理2.3.20。
  10. ^ Cisinski 2023、定義6.1.3。
  11. ^ Lurie 2009、定義5.2.2.1。
  12. ^ Cisinski 2023、定理4.3.11。
  13. ^ Cisinski 2023、定理4.3.16。
  14. ^ Cisinski 2023、例6.2.8。
  15. ^ Cisinski 2023、系4.3.13。
  16. ^ Cisinski 2023、命題6.1.2。
  17. ^ Cisinski 2023、系4.1.9。
  18. ^ Cisinski 2023、定義4.3.1。
  19. ^ Cisinski 2023、定義4.4.13。
  20. ^ Cisinski 2023、注釈7.11.15。
  21. ^ Cisinski 2023、命題7.11.11。
  22. ^ Cisinski 2023、定義7.11.14。
  23. ^ Cisinski 2023、定理7.11.16。
  24. ^ Cisinski 2023、注釈7.11.17。

参考文献

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