収益率

金融において、リターンとは投資による利益のことです。^[¹^]リターンとは、投資価値の変動、および／または投資家が一定期間内にその投資から受け取るキャッシュフロー（または証券、その他の投資）を指します。例えば、利払い、クーポン、現金配当、株式配当などです。リターンは絶対値（例えばドル）で測定することも、投資額に対する割合で測定することもできます。後者は保有期間リターンとも呼ばれます。

投資額がゼロより大きいと仮定すると、利益ではなく損失はマイナスの収益として表されます。

異なる期間におけるリターンを平等に比較するには、それぞれのリターンを標準的な期間におけるリターンに変換することが有用です。この変換結果を収益率と呼びます。^{[ 2 ]}

通常、期間は 1 年であり、この場合、収益率は年率収益率とも呼ばれ、以下に説明する変換プロセスは年率化と呼ばれます。

投資収益率（ROI）とは、投資額1ドルあたりの収益です。投資規模ではなく、投資パフォーマンスを測る指標です（自己資本利益率、資産利益率、投下資本利益率を参照）。

計算

リターン、または保有期間リターンは、単一期間について計算できます。単一期間は任意の長さにすることができます。

ただし、全体の期間は連続するサブ期間に分割することもできます。これは、複数の期間が存在し、各サブ期間は前のサブ期間の終了時点から始まることを意味します。このような場合、つまり複数の連続するサブ期間がある場合、全体の期間のリターンまたは保有期間のリターンは、各サブ期間内のリターンを合計することで計算できます。

単一期間

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任意の期間にわたる単一期間の リターンまたは保有期間リターン を計算する直接的な方法は次のとおりです。 $R$

R={\frac {V_{f}-V_{i}}{V_{i}}}

どこ：

V_{f}

= 配当金と利息を含む最終価値

V_{i}

=初期値

例えば、開始価格10で100株を購入した場合、開始価格は100 x 10 = 1,000です。株主が1株あたり0.50の現金配当を受け取り、最終株価が9.80の場合、株主は最終的に100 x 0.50 = 50の現金と100 x 9.80 = 980株を保有し、合計で1,030の価値を持つことになります。価値の変化は1,030 - 1,000 = 30なので、リターンはとなります。 ${\frac {30}{1,000}}=3\%$

負の初期値

リターンは、資産または負債、あるいはショートポジションの規模の増加を測定します。

負の初期値は、通常、負債またはショートポジションで発生します。初期値が負で、最終値がさらに負の値になった場合、リターンはプラスになります。このような場合、プラスのリターンは利益ではなく損失を表します。

初期値がゼロの場合、リターンは計算できません。

測定通貨

リターン、つまり収益率は、測定通貨によって異なります。例えば、10,000米ドルの現金預金が1年間で2%の利息を生むとすると、年末の価値は利息込みで10,200米ドルになります。この年間リターンは米ドル建てで2%です。

また、年初には日本円の為替レートが1米ドルあたり120円、年末には1米ドルあたり132円だったと仮定しましょう。この期間に1米ドルの円建ての価値は10%上昇しました。

年初に120万円の預金価値があり、年末には10,200 x 132 = 1,346,400円になります。したがって、年間の円建ての利回りは以下のようになります。

{\frac {1,346,400-1,200,000}{1,200,000}}=12.2\%

これは、円で投資を開始し、ドルに換金し、米ドルの預金に投資し、最終的な収益を再び円に換金した投資家、または比較のために日本円で収益を測定したい投資家が得る収益率です。

年換算

再投資がない場合、一定期間の収益は収益率に相当します。 $R$ $t$ $r$

r={\frac {R}{t}}

例えば、初期投資額10万ドルに対して2万ドルの利回りが得られたとします。これは2万ドルを10万ドルで割った利回りで、利回りは20%です。2万ドルは5年間にわたり、4,000ドルずつ5回に分けて不定期に支払われます。再投資は行われず、分割払いのタイミングに関する情報は提供されません。この場合、利回りは4,000 / 100,000 = 年4%となります。

ただし、複利効果により収益が再投資されると仮定すると、収益率と一定期間にわたる収益の関係は次のようになります。 $r$ $R$ $t$

1+R=(1+r)^{t}

これを使って、収益を複利収益率に変換することができます。 $R$ $r$

r=(1+R)^{\frac {1}{t}}-1={\sqrt[{t}]{1+R}}-1

たとえば、3 か月間で 33.1% の利回りは次の利率に相当します。

{\sqrt[{3}]{1.331}}-1=10\%

再投資により毎月。

年率換算は、上記で説明したように、収益を年間収益率に変換するプロセスです。期間の長さは年単位で測定され、収益率は1 年あたりです。 $R$ $r$ $t$ $r$

CFA協会のグローバル投資パフォーマンス基準（GIPS）によると、^{[ 3 ]}

「1 年未満の期間の収益は年間換算してはいけません。」

これは、1年未満の期間の年率収益率は、リスクが伴う長期的な年率収益率を示すものではないという統計的な理由によるものです。^{[ 4 ]}

1 年未満の期間の収益を年率換算すると、その年の残りの期間も同じ収益率になる可能性が最も高いことを示唆していると解釈され、実質的には年間全体の収益率を予測することになります。

ただし、これは重大なリスクが伴わない金利や利回りには適用されません。翌日物インターバンク金利など、1年未満の期間の借入または貸出については、年率換算の利回りを提示するのが一般的です。

対数または連続複利の収益

対数収益または連続複利収益（利子の力とも呼ばれる）は次のようになります。

R_{\mathrm {log} }=\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)

対数収益率は次のようになります。

r_{\mathrm {log} }={\frac {\ln \left({\frac {V_{f}}{V_{i}}}\right)}{t}}

あるいは、次の方程式の解と同等です。 $r$

V_{f}=V_{i}e^{r_{\mathrm {log} }t}

どこ：

r_{\mathrm {log} }

= 対数収益率

t

= 期間の長さ

たとえば、ある日の終値で株価が 1 株あたり 3.570 米ドルで、次の日の終値で 1 株あたり 3.575 米ドルだった場合、対数収益は ln(3.575/3.570) = 0.0014、つまり 0.14% となります。

対数収益の年率化

再投資を前提とすると、対数収益と一定期間にわたる対数収益率の関係は次のようになります。 $R_{\mathrm {log} }$ $r_{\mathrm {log} }$ $t$

R_{\mathrm {log} }=r_{\mathrm {log} }t

が年単位で測定されている場合、収益の年換算対数収益率も同様です。 $r_{\mathrm {log} }={\frac {R_{\mathrm {log} }}{t}}$ $R_{\mathrm {log} }$ $t$

例えば、ある証券の1取引日あたりの対数収益率が0.14%で、年間の取引日数が250日と仮定すると、年間対数収益率は0.14%/(1/250) = 0.14% x 250 = 35%となります。

複数期間にわたるリターン

収益が一連のサブ期間にわたって計算される場合、各サブ期間の収益はサブ期間の開始時の投資価値に基づきます。

投資開始時の投資価値が、第1期末の投資価値がであると仮定します。期間中に資金の流入も流出もなかった場合、第1期の保有期間収益は次のようになります。 $A$ $B$ $R_{1}$

R_{1}={\frac {BA}{A}}

1+R_{1}=1+{\frac {BA}{A}}={\frac {B}{A}}

最初の期間の成長要因です。

利益と損失が再投資される場合、つまり、引き出したり支払ったりされない場合、第 2 期間の開始時の投資の価値は、つまり、第 1 期間の終了時の価値と同じになります。 $BA$ $B$

第 2 期間末の投資価値がの場合、第 2 期間の保有期間収益は次のようになります。 $C$

R_{2}={\frac {CB}{B}}

各期間の成長係数を掛け合わせると、次のようになります。 $1+R_{1}$ $1+R_{2}$

(1+R_{1})(1+R_{2})=\left({\frac {B}{A}}\right)\left({\frac {C}{B}}\right)={\frac {C}{A}}

(1+R_{1})(1+R_{2})-1={\frac {C}{A}}-1={\frac {CA}{A}}

連続する 2 つの期間にわたる保有期間の収益です。

この方法は、時間加重法、幾何結合法、または連続する 2 つのサブ期間の保有期間のリターンを複合的に計算する方法と呼ばれます。

この方法を期間に拡張し、収益が再投資されると仮定すると、連続する期間サブ期間の収益がである場合、時間加重法を使用した全期間の累積収益または全収益は、すべての成長要因を複利で計算した結果になります。 $n$ $n$ $R_{1},R_{2},R_{3},\cdots ,R_{n}$ $R$

1+R=(1+R_{1})(1+R_{2})\cdots (1+R_{n})

ただし、リターンが対数リターンである場合、全体の期間にわたる対数リターンは次のようになります。 $R_{\mathrm {log} }$

R_{\mathrm {log} }=\sum _{i=1}^{n}R_{\mathrm {log} ,i}=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}+R_{\mathrm {log} ,3}+\cdots +R_{\mathrm {log} ,n}

この式は収益の再投資を前提としており、連続する対数収益を合計できること、すなわち対数収益は加算可能であることを意味します。^{[ 5 ]}

流入と流出がある場合、定義によりこの式は時間加重収益に適用されますが、金額加重収益には一般的に適用されません (連続する期間にわたる金額加重収益に基づく成長係数の対数を組み合わせることは、一般的にこの式に準拠しません)。

算術平均収益率

同じ長さの期間にわたる算術平均収益率は次のように定義されます。 $n$

{\bar {r}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{i}}={\frac {1}{n}}(r_{1}+\cdots +r_{n})

この式は、等しい連続期間にわたる一連の対数収益率に使用できます。

この式は、収益の再投資がなく、損失が資本投資の補充によって補填され、すべての期間の長さが同じである場合にも使用できます。

幾何平均収益率

複利が実行されている場合（つまり、利益が再投資され、損失が累積される場合）、すべての期間の長さが同じである場合、時間加重法を使用すると、適切な平均収益率はn期間にわたる収益の幾何平均となり、次のようになります。

{\bar {r}}_{\mathrm {geometric} }=\left(\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i})\right)^{\frac {1}{n}}-1={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}(1+r_{i})}}-1

幾何平均収益率は、 n期間全体の累積収益率を期間ごとの収益率に変換したものに相当します。個々のサブ期間がそれぞれ等しく（例えば1年）、収益の再投資がある場合、年換算累積収益率は幾何平均収益率となります。

たとえば、再投資を想定すると、年間収益が 50%、-20%、30%、-40% の 4 つの場合の累積収益は次のようになります。

(1+0.50)(1-0.20)(1+0.30)(1-0.40)-1=-0.0640=-6.40\%

幾何平均リターンは次のようになります。

{\sqrt[{4}]{(1+0.50)(1-0.20)(1+0.30)(1-0.40)}}-1=-0.0164=-1.64\%

年率累積収益と幾何収益は次のように関係しています。

{\sqrt[{4}]{1-0.0640}}-1=-0.0164

さまざまな収益率の比較

外部フロー

ポートフォリオへの現金や有価証券の流入・流出といった外部フローが存在する場合、リターンはこれらの変動を補正して計算する必要があります。これは、時間加重リターンなどの手法を用いて行われます。時間加重リターンは、キャッシュフローの影響を補正します。これは、通常、顧客がキャッシュフローをコントロールしている場合、顧客に代わって運用する資産運用マネージャーのパフォーマンスを評価するのに役立ちます。^{[ 6 ]}

手数料

手数料控除後のリターンを測定するには、ポートフォリオの価値から手数料額を差し引きます。手数料控除後のリターンを計算するには、手数料を外部フローとして扱い、評価額から発生手数料を除外します。

貨幣加重収益率

時間加重収益率と同様に、金額加重収益率（MWRR）またはドル加重収益率もキャッシュフローを考慮に入れます。これらは、プライベートエクイティなど、運用会社がキャッシュフローをコントロールするケースを評価・比較する際に役立ちます。（外部フローをコントロールできない運用会社のパフォーマンスを測定するのに最も適した真の時間加重収益率とは対照的です。）

内部収益率

内部収益率（IRR）（貨幣加重収益率の一種）は、キャッシュフローの正味現在価値がゼロとなる収益率です。これは以下の式を満たす解です。 $r$

{\mbox{NPV}}=\sum _{t=0}^{n}{\frac {C_{t}}{(1+r)^{t}}}=0

どこ：

NPV = 正味現在価値

そして

{C_{t}}

=時点の純キャッシュフロー。初期値と最終値を含み、それぞれ開始時と終了時のその他のフローを差し引いたもの。(初期値は流入として扱われ、最終値は流出として扱われます。)

{t}

{C_{0}}

{C_{n}}

内部収益率が資本コスト（要求収益率とも呼ばれる）よりも高い場合、投資は付加価値を生み出します。つまり、資本コストで割り引いたキャッシュフローの正味現在価値はゼロより大きくなります。そうでない場合、投資は付加価値を生み出しません。

特定のキャッシュフローに対して、必ずしも内部収益率が存在するわけではないことに注意してください（つまり、方程式の実数解の存在はキャッシュフローのパターンに依存します）。また、方程式に複数の実数解が存在する場合もあり、その場合は最も適切な解を決定するために何らかの解釈が必要になります。 ${\mbox{NPV}}=0$

複数のサブ期間にわたる金額加重収益率

複数のサブ期間にわたる金額加重リターンは、時間加重リターンとは異なり、上記の方法を使用してサブ期間内の金額加重リターンを組み合わせた結果とは通常等しくないことに注意してください。

通常収益と対数収益の比較

投資価値は、リターン= +100%、つまりln($200 / $100) = ln(2) = 69.3% のとき2倍になります。= -100% のとき、価値はゼロになります。通常のリターンは、初期投資額がゼロでない場合、また最終投資額が正負を問わず、どのような場合でも計算できますが、対数リターンはの場合にのみ計算できます。 $r$ $r_{\mathrm {log} }$ $r$ $V_{f}/V_{i}>0$

通常リターンと対数リターンは、ゼロの場合にのみ等しくなりますが、小さい場合はほぼ等しくなります。両者の差は、変化率が大きい場合にのみ大きくなります。例えば、算術リターンが+50%の場合、対数リターンは40.55%に相当し、算術リターンが-50%の場合、対数リターンは-69.31%に相当します。

初期投資100ドルに対する通常の収益と対数収益の比較
初期投資、 $V_{i}$	100ドル	100ドル	100ドル	100ドル	100ドル	100ドル	100ドル
最終投資、 $V_{f}$	0ドル	50ドル	99ドル	100ドル	101ドル	150ドル	200ドル
損益、 $V_{f}-V_{i}$	−100ドル	−50ドル	−1ドル	0ドル	1ドル	50ドル	100ドル
通常の収益、 $r$	−100%	−50%	−1%	0%	1%	50%	100%
対数収益、 $r_{\mathrm {log} }$	−∞	−69.31%	−1.005%	0%	0.995%	40.55%	69.31%

対数リターンの利点:

対数収益は対称的ですが、通常の収益はそうではありません。同じ大きさの通常の収益がプラスとマイナスの比率で存在する場合、互いに打ち消し合って純増減額にはなりませんが、同じ大きさで反対の符号を持つ対数収益は互いに打ち消し合います。つまり、100ドルを投資して50%の算術収益が得られ、その後-50%の算術収益が得られる場合、最終的な収益は75ドルになりますが、100ドルを投資して50%の対数収益が得られ、その後-50%の対数収益が得られる場合、最終的な収益は100ドルになります。
対数リターンは、連続複利リターンとも呼ばれます。これは、複利の頻度が重要ではないことを意味し、異なる資産のリターンを比較しやすくなります。
対数収益は時間加法的であり、^{[ 7 ]} 、連続する期間における対数収益であれば、全体の対数収益は個々の対数収益の合計、すなわちとなることを意味します。 $R_{\mathrm {log} ,1}$ $R_{\mathrm {log} ,2}$ $R_{\mathrm {log} }$ $R_{\mathrm {log} }=R_{\mathrm {log} ,1}+R_{\mathrm {log} ,2}$
対数収益を使用すると、モデル内の投資価格がマイナスになることを防ぎます。

幾何平均収益率と算術平均収益率の比較

幾何平均収益率は、一般的に算術平均収益率よりも低くなります。2つの平均収益率は、すべての期間の収益率が等しい場合にのみ等しくなります。これはAM-GM不等式の結果です。年率収益率と平均年間収益率の差は、収益率の分散とともに拡大します。つまり、パフォーマンスの変動が大きいほど、差は大きくなります。^{[注1 ]}

例えば、+10%のリターンの後に-10%が続く場合、算術平均リターンは0%になりますが、2つのサブ期間の全体的な結果は110% x 90% = 99%となり、全体的なリターンは-1%になります。損失と利益の発生順序は結果に影響を与えません。

リターンが +20% で、その後に -20% が続く場合、平均リターンは 0% になりますが、全体的なリターンは -4% になります。

+100% のリターンの後に -100% が続く場合、平均リターンは 0% になりますが、最終値が 0 であるため、全体的なリターンは -100% になります。

レバレッジ投資の場合、さらに極端な結果になる可能性もあります。+200% のリターンの後に -200% が続く場合、平均リターンは 0% になりますが、全体的なリターンは -300% になります。

対数リターンの場合、前述の通り対称性のため、このパターンは当てはまりません。対数リターンが+10%の後に-10%が続く場合、全体のリターンは10% - 10% = 0%となり、平均リターンもゼロになります。

平均収益と総収益

投資収益は「平均収益」として公表されることが多いです。平均収益を総収益に換算するには、平均収益を複数の期間にわたって複利計算します。

例1 水平収益率
	1年目	2年目	3年目	4年生
収益率	5%	5%	5%	5%
年末の幾何平均	5%	5%	5%	5%
年末の資本金	105.00ドル	110.25ドル	115.76ドル	121.55ドル
ドル利益/（損失）				21.55ドル

幾何平均収益率は5%でした。4年間で、総収益は次のようになります。

1.05^{4}-1=21.55\%

例2 損失を含む変動の激しい収益率
	1年目	2年目	3年目	4年生
収益率	50%	−20%	30%	−40%
年末の幾何平均	50%	9.5%	16%	−1.6%
年末の資本金	150ドル	120ドル	156.00ドル	93.60ドル
ドル利益/（損失）				（6.40ドル）

4年間の幾何平均リターンは-1.64%でした。4年間で見ると、総リターンは次のようになります。

(1-0.0164)^{4}-1=-6.4\%

例3 損失を含む収益率の変動が大きい
	1年目	2年目	3年目	4年生
収益率	−95%	0%	0%	115%
年末の幾何平均	−95%	−77.6%	−63.2%	−42.7%
年末の資本金	5.00ドル	5.00ドル	5.00ドル	10.75ドル
ドル利益/（損失）				（89.25ドル）

4年間の幾何平均リターンは-42.74%でした。4年間で換算すると、総リターンは次のようになります。

(1-0.4274)^{4}-1=-89.25\%

年間収益と年率収益

年間収益率と年率換算収益率を混同しないように注意が必要です。年間収益率とは、1月1日から12月31日、または2006年6月3日から2007年6月2日など、1年間の期間における収益率です。一方、年率換算収益率とは、1ヶ月や2年など、1年より長い期間または短い期間における年間収益率を、1年間の収益率と比較するために年率換算したものです。

適切な年次化の方法は、収益が再投資されるかどうかによって異なります。

例えば、1ヶ月間の収益が1%の場合、年率換算では12.7%（(1+0.01) ¹² − 1）となります。つまり、毎月1%の収益を得て再投資した場合、12ヶ月間の収益は複利で12.7%となります。

別の例として、2年間のリターンが10%の場合、1年目の終わりに再投資すると仮定すると、年率換算で4.88% = ((1+0.1) ^(12/24) − 1) となります。つまり、年間の幾何平均リターンは4.88%となります。

以下のキャッシュフローの例では、4年間のドルベースの収益は合計265ドルです。再投資がないと仮定すると、4年間の年率収益率は265ドル÷（1,000ドル×4年）＝6.625%（年）となります。

1,000ドルの投資におけるキャッシュフローの例
	1年目	2年目	3年目	4年生
ドルリターン	100ドル	55ドル	60ドル	50ドル
投資収益率	10%	5.5%	6%	5%

用途

収益率は投資判断に役立ちます。普通預金や譲渡性預金などの名目リスク投資の場合、投資家は再投資や複利による貯蓄残高の増加効果を考慮し、将来の期待利益を予測します。株式、投資信託、住宅購入など、元本リスクを伴う投資の場合、投資家は価格変動や損失リスクの影響も考慮します。
財務アナリストが企業の業績を長期にわたって比較したり、企業間の業績を比較したりするために一般的に使用する比率には、投資収益率（ROI）、自己資本利益率、資産利益率などがあります。^{[ 8 ]}
企業は伝統的に、資本予算策定プロセスにおいて、様々なプロジェクトの内部収益率を比較し、株主へのリターンを最大化するためにどのプロジェクトを追求すべきかを決定してきました。企業が資本予算策定において用いるその他のツールとしては、回収期間、正味現在価値、収益性指数などがあります。^{[ 9 ]}
申告書は、税調整により税引後収益率を算出することができます。これは、税金が利益または所得の大部分を占めていた、あるいは消費していた地理的地域または歴史的背景において行われます。税引後収益率は、収益率に税率を乗じ、そのパーセンテージを収益率から差し引くことで算出されます。
5%の収益に15%の税金がかかると、税引き後の収益は4.25%になります。

0.05 × 0.15 = 0.0075

0.05 − 0.0075 = 0.0425 = 4.25%

10%の収益に25%の税率をかけると、税引き後の収益は7.5%になる。

0.10 × 0.25 = 0.025

0.10 − 0.025 = 0.075 = 7.5%

投資家は通常、非課税投資収益よりも課税投資収益に対して高い収益率を求めており、最終投資家の観点から、異なる税率で課税された収益を比較する適切な方法は、税引き後の収益です。

リターンはインフレ調整される場合があります。インフレ調整後の実質リターンは、期間の初めと終わりの間の購買力の変化を測る指標となります。名目年間リターン（すなわち、調整前の年間リターン）が年間インフレ率を下回る投資は、名目年間リターンが0%を超え、期間末の購買力が期首の購買力を下回っている場合でも、実質価値の損失となります。
多くのオンラインポーカーツールには、プレーヤーの追跡統計に ROI が含まれており、ユーザーが対戦相手のパフォーマンスを評価するのに役立ちます。

お金の時間価値

投資は投資家に収益をもたらし、金銭の時間価値を補償する。^{[ 10 ]}

投資家が投資する収益率を決定する際に考慮する要素には、次のようなものがあります。

無リスク金利
将来のインフレ率の推定
投資のリスク、すなわちリターンの不確実性の評価（投資家が期待する利子/配当金と、追加のキャピタルゲインの有無にかかわらず全額の資本の回収を受け取る可能性を含む）
通貨リスク
投資家がその資金（「流動性」）を他の用途に利用したいかどうか。

貨幣の時間価値は、銀行が預金口座に提供する金利だけでなく、住宅ローンなどのローンに請求する金利にも反映されています。米ドル投資における「リスクフリー」金利は米国財務省証券の金利です。これは、資本をリスクにさらすことなく利用できる最高の金利だからです。

投資家が特定の投資から要求する収益率は割引率と呼ばれ、資本（機会）コストとも呼ばれます。リスクが高いほど、投資家が投資に要求する割引率（収益率）は高くなります。

複利または再投資

投資の年率収益は、ある期間の収益（利息と配当を含む）が次の期間に再投資されるかどうかによって決まります。収益が再投資された場合、それは次の期間の投資元本の初期価値に加算されます（収益がマイナスの場合は、それを減らします）。複利は、ある期間の収益が次の期間の収益に与える影響を反映しており、これは後期開始時の資本ベースの変化によって生じます。

例えば、投資家が1,000ドルを1年間の譲渡性預金（CD）に預け入れ、年利4%で四半期ごとに利息が支払われるとすると、CDは口座残高に対して四半期ごとに1%の利息を獲得します。この口座は複利を採用しており、口座残高は、以前に再投資され口座に入金された利息を含めて累積されます。四半期末に利息を引き出さない限り、次の四半期にさらに利息が付きます。

複利の例
	第1四半期	第2四半期	第3四半期	第4四半期
期首の資本	1,000ドル	1,010ドル	1,020.10ドル	1,030.30ドル
当該期間のドルリターン	10ドル	10.10ドル	10.20ドル	10.30ドル
期末の口座残高	1,010.00ドル	1,020.10ドル	1,030.30ドル	1,040.60ドル
四半期ごとの収益	1%	1%	1%	1%

第2四半期の初めの口座残高は1,010.00ドルで、第2四半期中に合計10.10ドルの利息が付きます。この追加分は、口座に蓄積された以前の利息から追加投資した10ドルに対する利息です。利息が元本として再投資され、その後利息が付くため、年率収益（年利回り、複利）は単利よりも高くなります。上記の投資の利回り、つまり年率収益はです。 $4.06\%=(1.01)^{4}-1$

外貨収益

前述の通り、リターン（利回り）は測定通貨によって異なります。上記の例では、米ドル建てで年間2%の利回りとなる米ドル現金預金は、同じ期間に米ドルが日本円に対して10%上昇した場合、日本円建てで年間12.2%の利回りとなります。日本円建ての利回りは、現金預金の2%の米ドル利回りと、米ドルの日本円に対する10%の利回りを複利計算した結果です。

1.02 × 1.1 − 1 = 12.2%

より一般的に言えば、第 2 通貨でのリターンは、2 つのリターンを複利で計算した結果です。

(1+r_{i})(1+r_{c})-1

どこ

r_{i}

最初の通貨（この例では米ドル）での投資収益であり、

r_{c}

は、第 1 通貨に対する第 2 通貨の利回りです (この例では、米ドルに対する日本円の利回りです)。

これは、時間加重方式が使用されている場合、または対象期間中に資金流入または資金流出がない場合に当てはまります。金額加重方式のいずれかを使用し、資金流入がある場合は、資金流入を補正するいずれかの方法を用いて、第2通貨でのリターンを再計算する必要があります。

複数期間にわたる外貨収益

異なる通貨で測定された連続期間のリターンを複利計算することは意味がありません。連続期間のリターンを複利計算する前に、単一の測定通貨を使用してリターンを再計算または調整してください。

例

ポートフォリオの価値は、2015暦年中にシンガポールドル建てで10%増加しました（年間を通してポートフォリオへの流入・流出はありません）。2016年1月には、米ドル建てでさらに7%増加しました（この場合も、2016年1月には流入・流出はありません）。

2015 年の初めから 2016 年 1 月末までのポートフォリオの収益はいくらですか?

答えは、同じ通貨での両方の期間の収益がわからないと、どの通貨でも収益を計算するにはデータが不十分であるということです。

2015 年のシンガポールドルのリターンが 10% で、シンガポールドルが 2015 年に米ドルに対して 5% 上昇した場合、2015 年に資金流入がなかった限り、2015 年の米ドルのリターンは次のようになります。

1.1 × 1.05 − 1 = 15.5%

2015 年の初めから 2016 年 1 月末までの米ドルでのリターンは次のとおりです。

1.155 × 1.07 − 1 = 23.585%

資本がリスクにさらされているときのリターン

リスクとボラティリティ

投資には、投資家が投資した資本の一部または全部を失うリスクが伴います。例えば、株式への投資は、資本をリスクにさらします。貯蓄口座に投資した資本とは異なり、株価、つまりある時点における株式の市場価値は、誰かがその株式に支払う意思のある金額によって決まり、株式の価格は市場が開いている間は絶えず変動する傾向があります。価格が比較的安定している場合、その株式は「ボラティリティが低い」と言われます。価格が頻繁に大きく変動する場合、その株式は「ボラティリティが高い」と言われます。

投資収益に対する米国の所得税

例: ボラティリティが低く、四半期ごとに定期的に配当金が支払われる株式を再投資する
終了:	第1四半期	第2四半期	第3四半期	第4四半期
配当	1ドル	1.01ドル	1.02ドル	1.03ドル
株価	98ドル	101ドル	102ドル	99ドル
購入した株式	0.010204	0.01	0.01	0.010404
保有株式総数	1.010204	1.020204	1.030204	1.040608
投資価値	99ドル	103.04ドル	105.08ドル	103.02ドル
四半期ごとのROI	−1%	4.08%	1.98%	−1.96%

右側は、年初に 1 株を 100 ドルで購入した株式投資の例です。

四半期配当金は四半期末の株価で再投資されます。
四半期ごとに購入される株式数 = (配当金 $)/(株価 $)。
最終投資額が 103.02 ドルで、初期投資額が 100 ドルの場合、収益は 3.02 ドル、つまり 3.02% になります。
この例では、連続複利の収益率は次のようになります。

\ln \left({\frac {103.02}{100}}\right)=2.98\%

。

米国所得税の対象となるキャピタルゲインを計算するには、再投資された配当金を原価に含めます。投資家は年間で合計4.06ドルの配当金を受け取りましたが、そのすべてが再投資されたため、原価は4.06ドル増加しました。

原価ベース = $100 + $4.06 = $104.06
キャピタルゲイン/ロス = $103.02 − $104.06 = -$1.04（キャピタルロス）

したがって、米国の所得税の観点からは、配当金は 4.06 ドル、投資の原価は 104.06 ドルとなり、年末に株式を売却した場合、売却額は 103.02 ドル、資本損失は 1.04 ドルとなります。

投資信託と投資会社の収益

ミューチュアルファンド、ユニット投資信託（UIT）、保険の個別勘定、変額終身保険や変額年金保険などの関連変額商品、銀行が後援する合同運用ファンド、集団給付基金、または共通信託基金はすべて、基礎となる投資ポートフォリオから価値を生み出します。投資家やその他の関係者は、様々な期間における投資の成果を知ることに関心を持っています。

パフォーマンスは通常、ファンドのトータルリターンによって定量化されます。1990年代には、多くのファンド会社が様々なトータルリターンを宣伝していました。累積リターン、平均リターン、販売手数料や手数料などを控除したリターン、控除しないリターンなど、様々な種類がありました。公平な競争環境を整え、投資家がファンドのパフォーマンス・リターンを比較しやすくするため、米国証券取引委員会（SEC）は、ファンドに対し、標準化された計算式、いわゆる「SEC標準化トータルリターン」に基づいてトータルリターンを算出・報告することを義務付けました。これは、配当金や分配金を再投資し、販売手数料や手数料を控除したと仮定した年間平均トータルリターンです。ファンドは、他の基準（いわゆる「非標準化」リターン）に基づいてリターンを算出・宣伝することができますが、その場合も「標準化」リターンデータも同様に目立つように公表する必要があります。

その後、1990年代後半から2000年代初頭にかけて株価が大幅に上昇した後にファンドの株式を売却した投資家は、所得税／キャピタルゲイン税がファンドの「グロス」リターンにどれほど大きな影響を与えるかを認識していなかったようです。つまり、「グロス」リターン（連邦税控除前のリターン）と「ネット」リターン（税控除後のリターン）の差がどれほど大きくなる可能性があるかをほとんど認識していなかったのです。こうした投資家の明らかな無知への対応として、そしておそらくは他の理由もあって、SECは更なる規則を制定し、ミューチュアルファンドに対し、年次目論見書において、とりわけ米国連邦個人所得税の影響前と影響後のトータルリターンを公表することを義務付けました。さらに、税引後リターンには、1) 想定される課税口座における、図示期間中に受け取った配当金およびキャピタルゲイン分配に対する税金を控除した後のリターン、および2) 1) の項目の影響に加え、期末に投資株式すべてを売却したと仮定した場合（株式の清算によるキャピタルゲイン／ロスの実現）が含まれます。これらの税引後リターンは、当然のことながら課税口座のみに適用され、IRAなどの課税繰り延べ口座や退職金口座には適用されません。

最後に、近年、投資家から「パーソナライズされた」証券口座明細書の要求が高まっています。言い換えれば、投資家は、実際の投資口座の取引履歴に基づくファンドのリターンが、実際の口座のリターンと異なる可能性があると感じているということです。これは、投資が複数の日に行われた場合や、追加購入や引き出しが金額や日付が異なる場合があり、特定の口座に固有のものとなる可能性があるためです。こうしたニーズに応えるため、ますます多くのファンドや証券会社が、投資家の口座明細書にパーソナライズされた口座リターンを提供するようになっています。

では、投資信託における基本的な収益と損益の仕組みについてご説明します。ファンドは配当金と利息収入を記録し、通常、これらは投資信託の株式価値を増加させます。一方、積み立てられた費用は株式価値を相殺します。ファンドの投資の市場価値が上昇（または下落）すると、ファンドの株式価値も上昇（または下落）します。ファンドが投資を利益で売却すると、その帳簿上の利益または未実現利益を実際の利益または実現利益に転記（再分類）します。売却はファンドの株式価値に影響を与えませんが、ファンドの帳簿上、その価値の一部をある区分から別の区分に再分類したことになります。これは将来の投資家に影響を与えることになります。ファンドは通常、少なくとも年に一度、純利益（収益から費用を差し引いたもの）と実現純キャピタルゲインから、IRS（内国歳入庁）の要件に従って株主に配当金を支払います。これにより、ファンドは税金を支払うことなく、課税対象口座のすべての投資家が税金を支払うことになります。投資信託の株価は通常、株式市場または債券市場が開いている毎日に評価され、通常、1株の価値は投資家が所有するファンド株の純資産価値となります。

総収益

投資信託は、配当金とキャピタルゲイン分配金の再投資を前提としたトータルリターンを算出します。つまり、分配された金額は、再投資日または配当落ち日時点でファンドの追加投資口の購入に充てられます。再投資率または再投資係数は、各期間の総分配金（配当金とキャピタルゲイン）に基づいています。

平均年間トータルリターン（幾何）

米国の投資信託は、米国証券取引委員会（SEC）がN-1A（ファンド目論見書）作成要領に定める平均年間トータルリターンを、1年、5年、10年（またはファンド設立時より短い期間）の期間における平均年間複利収益率として算出する。算出式は以下のとおりである。^{[ 11 ]}

$\mathrm {P\left(1+T\right)^{n}=ERV}$

どこ：

P = 仮想的な初期支払額 1,000 ドル

T = 平均年間総収益

n = 年数

ERV = 1 年、5 年、または 10 年の期間の初めに行われた仮想的な 1,000 ドルの支払いの、1 年、5 年、または 10 年の期間の終了時における償還可能価値（または端数部分）

Tを解くと

$\mathrm {T=\left({\frac {ERV}{P}}\right)^{1/n}-1}$

投資信託のキャピタルゲイン分配

投資信託は、配当金だけでなくキャピタルゲインもリターン計算に含めます。投資信託の受益証券の市場価格は純資産価値に基づいているため、キャピタルゲインの分配は、投資信託の受益証券の同額の下落によって相殺されます。株主の観点から見ると、キャピタルゲインの分配は資産の純増加ではなく、実現キャピタルゲイン（未実現キャピタルゲインの同額の減少と相殺される）です。

例

例: 好況期のバランス型投資信託。定期的に年間配当を受け取り、分配時に再投資。0年末の初期投資額は1,000ドル、株価は14.21ドル。
	1年目	2年目	3年目	4年生	5年生
1株当たり配当金	0.26ドル	0.29ドル	0.30ドル	0.50ドル	0.53ドル
1株当たりのキャピタルゲイン分配	0.06ドル	0.39ドル	0.47ドル	1.86ドル	1.12ドル
1株当たり総配当	0.32ドル	0.68ドル	0.77ドル	2.36ドル	1.65ドル
年末の株価	17.50ドル	19.49ドル	20.06ドル	20.62ドル	19.90ドル
分配前の保有株式数	70.373	71.676	74.125	76.859	84.752
総配当（1株当たり配当額×保有株式数）	22.52ドル	48.73ドル	57.10ドル	181.73ドル	141.60ドル
配当時の株価	17.28ドル	19.90ドル	20.88ドル	22.98ドル	21.31ドル
購入株式数（総分配金 / 価格）	1.303	2.449	2.734	7.893	6.562
分配後の保有株式数	71.676	74.125	76.859	84.752	91.314

5年後、分配金をすべて再投資した投資家は、1株あたり19.90ドルの価値を持つ91.314株を保有することになります。5年間のリターンは、19.90ドル × 91.314 / 1,000ドル - 1 = 81.71%となります。
再投資後の幾何平均年間総収益 = ($19.90 × 91.314 / $1,000) ^ (1 / 5) − 1 = 12.69%
再投資を行わなかった投資家は、1株当たり5.78ドルの配当（現金）を受け取ることになります。この場合、5年間のリターンは（19.90ドル + 5.78ドル）/ 14.21ドル - 1 = 80.72%となり、算術平均リターンは年間80.72%/5 = 16.14%となります。

参照

注記

^平方差の公式を考えてみましょう。(すなわちの場合項の算術平均は 100% ですが、積は 100% 未満です。 $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.$ $x=100\%$ $x=1$

参考文献

^ 「return: オックスフォード辞書（英国および世界英語）におけるreturnの定義」。2012年7月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ 「収益率の理解: 異なる期間にわたる投資パフォーマンスの標準化」。
^国際投資パフォーマンス基準「GIPS基準」の概要。
^ John Simpson (2012年8月6日). 「CIPM試験のヒントとコツ」 .
^ブルックス、クリス（2008年）『ファイナンスのための計量経済学入門』ケンブリッジ大学出版局、 p.8、ISBN 978-0-521-87306-2。
^ストロング、ロバート（2009年）『ポートフォリオの構築、管理、保護』メイソン、オハイオ州：サウスウェスタン・センゲージ・ラーニング、p.527、ISBN 978-0-324-66510-9。
^ハドソン、ロバート；グレゴリオウ、アンドロス (2010年2月7日). 「証券リターンの計算と比較は想像以上に難しい：対数リターンと単純リターンの比較」 . SSRN . doi : 10.2139/ssrn.1549328 . S2CID 235264677. SSRN 1549328 .
^ AA GroppelliとEhsan Nikbakht (2000). Barron's Finance, 第4版. ニューヨーク. pp. 442– 456. ISBN 0-7641-1275-9。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^バロンズ・ファイナンス151～ 163ページ。
^ 「貨幣の時間価値 - 貨幣の現在価値と将来価値の計算方法」 Corporate Finance Institute . 2020年10月6日閲覧。
^米国証券取引委員会(1998). 「最終規則：オープンエンド型運用投資会社が使用する登録フォーム：サンプルフォームと説明書」 .

さらに読む

AAグロッペリとエフサン・ニクバクト著『バロンズ・ファイナンス』第4版。ニューヨーク：バロンズ・エデュケーショナル・シリーズ社、2000年。ISBN 0-7641-1275-9
ズヴィ・ボディ、アレックス・ケイン、アラン・J・マーカス著『投資のエッセンシャルズ』第5版。ニューヨーク：マグロウヒル／アーウィン、2004年。ISBN 0073226386
リチャード・A・ブリーリー、スチュワート・C・マイヤーズ、フランクリン・アレン著『コーポレートファイナンスの原則』第8版、マグロウヒル／アーウィン、2006年
ウォルター・B・メイグス、ロバート・F・メイグス著『財務会計』第4版。ニューヨーク：マグロウヒル・ブック・カンパニー、1970年。ISBN 0-07-041534-X
ブルース・J・ファイベル著『投資パフォーマンス測定』ニューヨーク：ワイリー、2003年、ISBN 0-471-26849-6
カール・ベーコン著『実践的ポートフォリオ・パフォーマンス測定とアトリビューション』ウェスト・サセックス：ワイリー、2003年、ISBN 0-470-85679-3

外部リンク

[8] 平方差の公式を考えてみましょう。(すなわちの場合項の算術平均は 100% ですが、積は 100% 未満です。 $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.$ $x=100\%$ $x=1$

[1] 「return: オックスフォード辞書（英国および世界英語）におけるreturnの定義」。2012年7月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[2] 「収益率の理解: 異なる期間にわたる投資パフォーマンスの標準化」。

[3] 国際投資パフォーマンス基準「GIPS基準」の概要。

[4] John Simpson (2012年8月6日). 「CIPM試験のヒントとコツ」 .

[5] ブルックス、クリス（2008年）『ファイナンスのための計量経済学入門』ケンブリッジ大学出版局、 p.8、ISBN 978-0-521-87306-2。

[6] ストロング、ロバート（2009年）『ポートフォリオの構築、管理、保護』メイソン、オハイオ州：サウスウェスタン・センゲージ・ラーニング、p.527、ISBN 978-0-324-66510-9。

[7] ハドソン、ロバート；グレゴリオウ、アンドロス (2010年2月7日). 「証券リターンの計算と比較は想像以上に難しい：対数リターンと単純リターンの比較」 . SSRN . doi : 10.2139/ssrn.1549328 . S2CID 235264677. SSRN 1549328 .

[9] AA GroppelliとEhsan Nikbakht (2000). Barron's Finance, 第4版. ニューヨーク. pp. 442– 456. ISBN 0-7641-1275-9。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[10] バロンズ・ファイナンス151～ 163ページ。

[11] 「貨幣の時間価値 - 貨幣の現在価値と将来価値の計算方法」 Corporate Finance Institute . 2020年10月6日閲覧。

[12] 米国証券取引委員会(1998). 「最終規則：オープンエンド型運用投資会社が使用する登録フォーム：サンプルフォームと説明書」 .

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