プラトン立体

幾何学において、プラトン立体とは、三次元ユークリッド空間における凸状の正多面体です。正多面体とは、面が合同（形状と大きさが同じ）、正多角形（すべての角度とすべての辺が合同）であり、各頂点で交わる面の数が同じであることを意味します。このような多面体は、四面体（4つの三角形の面）、立方体（6つの正方形の面）、八面体（8つの三角形の面）、十二面体（ 12の五角形の面）、二十面体（20の三角形の面）の5つだけです。

幾何学者は数千年にわたってプラトン立体を研究してきました。^{[ 1 ]}プラトン立体は古代ギリシャの哲学者プラトンにちなんで名付けられました。プラトンは対話篇『ティマイオス』の中で、古典元素はこれらの正多面体でできていると仮説を立てました。^{[ 2 ]}

歴史

プラトン立体は古代から知られていました。スコットランドの後期新石器時代の人々が作った彫刻された石球の中には、これらの形状を表わすものがあると示唆されています。しかし、これらの石球は多面体ではなく丸い突起を持ち、突起の数はプラトン立体の頂点の数としばしば異なり、正十二面体の20頂点と一致する突起を持つ石球は存在せず、突起の配置も必ずしも対称的ではありませんでした。^[³^]

古代ギリシャ人はプラトン立体を広範囲に研究しました。プロクロスなどの文献では、ピタゴラスがその発見者とされています。しかし、他の証拠からは、ピタゴラスは正四面体、立方体、正十二面体しか知らなかった可能性があり、正八面体と正二十面体の発見はプラトンと同時代のテアイテトスによるものであると示唆されています。いずれにせよ、テアイテトスは5面体すべてを数学的に記述し、他に凸正多面体は存在しないという最初の証明を行った人物である可能性があります。

ケプラーの『世界の調和』における要素への割り当て

プラトン立体は、その名を冠したプラトンの哲学において重要な位置を占めています。プラトンは紀元前360年頃の対話篇『ティマイオス』の中で、古典的四元素（土、空気、水、火）をそれぞれ正多面体と関連付けて論じています。土は立方体、空気は正八面体、水は正二十面体、火は正四面体と関連付けられています。プラトンの5番目の立体である正十二面体について、プラトンは「…神は天空の星座を配置するためにそれを用いた」と漠然と述べています。アリストテレスは5番目の元素であるアイテル（ラテン語でエーテル、英語ではエーテル）を加え、天はこの元素でできていると仮定しましたが、プラトンの5番目の立体と関連付けることには関心を示しませんでした。^{[ 4 ]}

ユークリッドは『原論』の中でプラトン立体を数学的に完全に記述しており、その最後の巻（第 13 巻）はそれらの特性に充てられている。第 13 巻の命題 13 から 17 では、正四面体、正八面体、立方体、正二十面体、正十二面体の構築をこの順序で記述している。ユークリッドは各立体について、外接球の直径と辺の長さの比を求めている。命題 18 では、これ以外の凸正多面体は存在しないとしている。アンドレアス・シュパイザーは、5 つの正多面体の構築が『原論』で正典化された演繹体系の主たる目的であるという見解を主張している。^{[ 5 ]}第 13 巻の情報の多くは、おそらくテアイテトスの著作に由来している。

16 世紀、ドイツの天文学者ヨハネス・ケプラーは、当時知られていた5 つの地球外惑星を5 つのプラトン立体に関連付けようとしました。1596 年に出版された『宇宙の神秘』で、ケプラーは、 5 つの立体が互いに内接し、一連の内接球と外接球で区切られた太陽系モデルを提唱しました。ケプラーは、当時知られていた 6 つの惑星間の距離関係は、土星の軌道を表す球に囲まれた 5 つのプラトン立体で理解できると提唱しました。6 つの球はそれぞれ、惑星 (水星、金星、地球、火星、木星、土星 ) に対応していました。立体は、最も内側の正八面体、次いで正二十面体、正十二面体、正四面体、そして最後に立方体という順序で並べられ、プラトン立体によって太陽系の構造と惑星間の距離関係が決定づけられました。最終的にケプラーの当初の考えは放棄されましたが、彼の研究から軌道力学の3つの法則が生まれました。その最初の法則は、惑星の軌道は円ではなく楕円であるというもので、物理学と天文学の方向性を変えました。^{[ 6 ]}彼はまた、2つの非凸正多面体であるケプラー立体を発見しました。

直交座標

原点を中心とするプラトン立体の場合、頂点の単純な直交座標は以下のように表されます。黄金比を表すためにギリシャ文字が用いられます。 $\varphi$ ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180$

パラメータ
形	四面体		八面体	キューブ	二十面体		十二面体
顔	4		8	6	20		12
頂点	4		6（2×3）	8	12（4×3）		20 (8 + 4 × 3)
位置	1	2			1	2	1	2
頂点座標	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) ( 1, −1, 1) ( 1, 1, −1)	(±1, 0, 0) ( 0, ±1, 0) ( 0, 0, ±1)	（±1、±1、±1）	( 0, ±1, ± φ ) (±1, ± φ , 0) (± φ , 0, ±1)	( 0、± φ、±1) (± φ、± 1、0) (±1、0 、± φ )	(±1, ±1, ±1) ( 0, ± ⁠1/φ⁠、 ± φ ) (± ⁠1/φ⁠ , ± φ , 0) (± φ , 0, ± ⁠1/φ⁠ )	(±1、±1、±1) ( 0、± φ、± ⁠1/φ⁠ ) (± φ , ± ⁠1/φ⁠、0) (± ⁠1/φ⁠ , 0, ± φ )

正四面体、正十二面体、正二十面体の座標は、互いに推測できる 2 つの位置で与えられます。正四面体の場合は、すべての座標の符号を変更することによって (中心対称)、その他の場合は、2 つの座標を交換することによって ( 3 つの対角面のいずれかに対する反射) 推測できます。

これらの座標はプラトン立体間の特定の関係を明らかにしている。四面体の頂点は立方体の頂点の半分を表し、{4,3}または、h{4,3}または両方の四面体の位置により、複合星型八面体が形成されます。

二十面体の座標は、非一様切頂八面体の2つの交互の座標セット、t{3,4}または、スナブ八面体とも呼ばれ、s{3,4}または、2つの二十面体の複合体として見られます。

正十二面体の8つの頂点は立方体と共有されています。すべての方向を揃えると、5つの立方体の複合体が完成します。

組み合わせ特性

凸多面体は、次の 3 つの要件がすべて満たされている場合にのみ、プラトン立体になります。

その面はすべて合同な凸正多角形です。
面は、端を除いて交差しません。
各頂点には同じ数の面が接します。

したがって、各プラトン立体には整数のペア { p , q } を割り当てることができます。ここで、 pは各面の辺（または頂点と同義）の数、qは各頂点で交わる面（または辺と同義）の数です。このペア { p , q } はシュレーフリ記号と呼ばれ、多面体の組み合わせ的な記述を与えます。5つのプラトン立体のシュレーフリ記号は、以下の表に示されています。

プラトン立体の性質
多面体	頂点	エッジ	顔	シュレーフリ記号	頂点構成
正四面体	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
キューブ	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
正八面体	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
正十二面体	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
正二十面体	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

これらの立体に関するその他の組み合わせ情報、例えば頂点の総数 ( V )、辺の総数 ( E )、面の総数 ( F ) などは、 pとqから決定できます。任意の辺は2つの頂点を結び、2つの隣接する面を持つため、以下の式が成り立ちます。

$pF=2E=qV.\,$

これらの値間の他の関係はオイラーの公式によって与えられます。

$V-E+F=2.\,$

これは多くの方法で証明できます。これら3つの関係を組み合わせることで、V、E、Fが完全に決定されます。

$V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.$

pとqを入れ替えると、Eは変化せず、 FとVが入れ替わります。この性質の幾何学的解釈については、§双対多面体を参照してください。

構成として

多面体の要素は配置行列で表すことができます。行と列は頂点、辺、面に対応します。対角数は、多面体全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ存在するかを示します。多面体の双対は、配置行列が互いに180度回転しています。^{[ 7 ]}

{p,q}

プラトン的構成

群位数: g = 8 pq /(4 − ( p − 2)( q − 2))

グラム= 24

グラム= 48

グラム= 120

	v	e	f
v	g /2 q	q	q
e	2	グラム/4	2
f	p	p	g /2 p

{3,3}
4	3	3
2	6	2
3	3	4

{3,4}
6	4	4
2	12	2
3	3	8

{4,3}
8	3	3
2	12	2
4	4	6

{3,5}
12	5	5
2	30	2
3	3	20

{5,3}
20	3	3
2	30	2
5	5	12

分類

古典的な結論は、凸正多面体は5つしか存在しないというものです。以下に示す2つの一般的な議論は、プラトン立体は5つまでしか存在できないことを示していますが、任意の立体の存在を肯定的に証明することは別の問題であり、明示的な構成を必要とします。

幾何学的証明

頂点の周りのポリゴンネット
{3,3}欠陥 180°	{3,4}欠陥 120°	{3,5}欠陥 60°	{3,6}欠陥 0°
{4,3}欠陥90°	{4,4}欠陥 0°	{5,3}欠陥 36°	{6,3}欠陥 0°
頂点には少なくとも3つの面と、角度欠陥が必要です。0 °の角度欠陥は、ユークリッド平面を規則的なタイルで埋め尽くします。デカルトの定理によれば、頂点の数は720°/欠陥です。

次の幾何学的議論は、ユークリッドの『原論』で示された議論と非常によく似ています。

ソリッドの各頂点は、少なくとも 3 つの面の頂点である必要があります。
立体の各頂点において、隣接する面同士の、それぞれの隣接する辺の間の角度の合計は、必ず360°未満でなければなりません。360°未満の角度は、角度欠陥と呼ばれます。
6辺以上の正多角形は、120°以上の角度を持つものだけなので、共通の面は三角形、正方形、または五角形のいずれかになります。これらの異なる形状の面については、以下の式が成り立ちます。
三角形の顔
正三角形の各頂点は 60° なので、図形には頂点で交わる 3 つ、4 つ、または 5 つの三角形が含まれることがあります。これらはそれぞれ、四面体、八面体、および 20 面体です。
四角い顔
正方形の各頂点は 90° なので、頂点に 3 つの面がある配置は立方体のみとなります。
五角形の面
各頂点は 108° です。この場合も、頂点に 3 つの面を配置できるのは 12 面体のみです。
これによって、5 つのプラトン立体が考えられます。

位相的証明

純粋に位相的な証明は、立体に関する組合せ論的情報のみを用いて行うことができる。鍵となるのは、オイラーの観察によるV − E + F = 2 と、pF = 2 E = qVである。ここで、p は各面の辺の数、q は各頂点で交わる辺の数を表す。これらの式を組み合わせると、以下の式が得られる。

${\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.$

簡単な代数操作で、

${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.$

Eは正なので、

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.$

pとq はどちらも 3 以上でなければならないという事実を利用すると、{ p , q }には 5 つの可能性しかないことが簡単にわかります。

{3, 3}、{4, 3}、{3, 4}、{5, 3}、{3, 5}。

幾何学的特性

角度

それぞれのプラトン立体には複数の角度が関連付けられています。二面角は、任意の2つの面の間の内角です。立体{ p , q }の二面角θは、次の式で与えられます。

$\sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.$

これは、接線を使って次のように表現するとより便利である。

$\tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.$

量h (コクセター数と呼ばれる) は、四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体の場合、それぞれ 4、6、6、10、10 です。

多面体の頂点における角度の不足は、その頂点の面角の和と2πとの差である $。$ プラトン立体{ p , q } の任意の頂点における不足角δは、

$\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).$

デカルトの定理によれば、これは 4 $π を$ 頂点の数で割った値に等しくなります (つまり、すべての頂点の合計欠陥数は 4 $π$ です)。

平面角の3次元的な類似物は立体角である。プラトン立体の頂点における立体角Ωは、二面角を用いて次のように表される。

$\Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,$

これは、球面多角形の球面余剰の公式と、多面体 { p、q } の頂点図形が正q角形であるという事実から導かれます。

プラトン立体の中心から延びる面の立体角は、球面の立体角（4πステラジアン）を面の数で割った値に等しい $。$ これは、その双対面の角度不足に等しい。

プラトン立体に関連する様々な角度を以下の表にまとめます。立体角の数値はステラジアンで表されます。定数φ = ⁠1 + √ 5/2⁠は黄金比です。

多面体	二面角（θ）	日焼け ⁠θ/2⁠	欠陥（δ）	頂点立体角（Ω）	面立体角
四面体	70.53°	$1 \over {\sqrt {2}}$	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286$	$\pi$
キューブ	90°	$1$	$\pi \over 2$	${\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080$	$2\pi \over 3$
八面体	109.47°	${\sqrt {2}}$	${2\pi } \over 3$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935$	$\pi \over 2$
十二面体	116.57°	$\varphi$	$\pi \over 5$	$\pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174$	$\pi \over 3$
二十面体	138.19°	$\varphi ^{2}$	$\pi \over 3$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455$	$\pi \over 5$

半径、面積、体積

規則性のもう一つの利点は、プラトン立体はすべて 3 つの同心球を持っていることです。

すべての頂点を通る外接球面、
各辺の中点で各辺に接する中球、および
各面の中心で各面に接する内接球面。

これらの球面の半径は、それぞれ外接半径、中接半径、内接半径と呼ばれます。これらは、多面体の中心から頂点、辺の中点、面心までの距離です。辺の長さがaである立体{ p , q }の外接半径Rと内接半径rは、次のように与えられます。

${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$

ここでθは二面角である。中心半径ρは次のように与えられる。

$\rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}$

ここで、hは上記の二面角の定義で用いられた量（h = 4、6、6、10、または10）である。円周半径と内接円半径の比はpとqで対称である。

${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$

プラトン立体 { p , q } の表面積Aは、正p角形の面積に面数Fを掛けることで簡単に計算できます。これは次の式で表されます。

$A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).$

体積は、底辺が正p角形で高さが内接円rであるピラミッドの体積F倍として計算されます。つまり、

$V={\frac {1}{3}}rA.$

以下の表は、プラトン立体の様々な半径と、その表面積および体積を示しています。全体の大きさは、辺の長さaを 2 とすることで決定されます。

多面体、a = 2	半径			表面積、A	音量
多面体、a = 2	イン、r	ミッド、ρ	円周、R	表面積、A	V	ユニットエッジ
四面体	$1 \over {\sqrt {6}}$	$1 \over {\sqrt {2}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809$	$\approx 0.117851$
キューブ	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24\,$	$8\,$	$1\,$
八面体	${\sqrt {2 \over 3}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236$	$\approx 0.471404$
十二面体	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt {3}}\,\varphi$	$12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	${\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952$	$\approx 7.663119$
二十面体	${\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt {3}}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560$	$\approx 2.181695$

上記の定数φとξは次のように与えられる。

$\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.$

プラトン立体の中で、正十二面体と正二十面体は球面への近似値として最も優れていると言えるでしょう。正二十面体は面数が最も多く、二面角が最も大きく、内接球面への密着度が最も高く、表面積と体積の比が同じ大きさ（つまり、表面積または体積が同じ）の球体に最も近い形状です。一方、正十二面体は、角の欠陥が最も小さく、頂点立体角が最も大きく、外接球面を最も大きく埋めます。

空間内の点

円周半径Rのプラトン立体の空間内の任意の点について、そのプラトン立体の重心とそのn頂点までの距離がそれぞれLとd _iであり、

$S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}$ 、

我々は^{[ 8 ]を持っている}

${\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}$ 5つのプラトン立体すべてについて、^{[ 8 ]}

$S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.$

プラトン立体のn頂点からその外接球面上の任意の点までの距離をd _iとすると、 ^[⁸^]

$4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.$

ルパートプロパティ

多面体Pは、 Pと同じかそれより大きい大きさで同じ形の多面体がPの穴を通り抜けられるとき、ルパート特性を持つといわれる。^[⁹^] 5つのプラトン立体はすべてこの特性を持つ。^[⁹^]^[¹⁰^]^[¹¹^]

対称

双面体

二重化合物

すべての多面体には、面と頂点が入れ替わった双対（または「極性」）多面体があります。すべてのプラトン立体の双対は別のプラトン立体であるため、5つの立体を双対のペアとして配置することができます。

四面体は自己双対です（つまり、その双対は別の四面体です）。
立方体と八面体は二重のペアを形成します。
正十二面体と正二十面体は双対を形成します。

多面体がシュレーフリ記号 { p , q } を持つ場合、その双対多面体は { q , p }という記号を持ちます。実際、あるプラトン立体のあらゆる組合せ的性質は、双対多面体の別の組合せ的性質として解釈できます。

双対多面体は、双対多面体の頂点を元の図形の面の中心とすることで構築できます。元の図形の隣接する面の中心を結ぶと双対多面体の辺が形成され、辺の数は維持したまま面と頂点の数を入れ替えることができます。

より一般的には、プラトン立体を、その立体と同心円状の半径dの球面に関して双対化することができる。立体の半径（ R、 ρ、 r ）とその双対の半径（ R *、 ρ *、 r *）は、次のように関係付けられる。

$d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .$

中球面（d = ρ ）を基準とした双対化は^、中球面が両方の多面体に対して同じ関係を持つため、しばしば便利です。d 2 = Rrとすると、同じ外接半径と内接半径を持つ双対立体が得られます（すなわち、R * = R、r * = r）。

対称群

数学において、対称性の概念は数学群の概念を用いて研究されます。すべての多面体には、対応する対称群が存在します。対称群とは、多面体を不変に保つすべての変換（ユークリッド等長変換）の集合です。対称群の位数は、多面体の対称性の数です。鏡映を含む完全対称群と、回転のみを含む真対称群は、しばしば区別されます。

プラトン立体の対称群は、多面体群として知られる特殊な三次元点群の一種です。プラトン立体の高い対称性は、様々な解釈が可能です。最も重要なのは、各立体の頂点は、対称群の作用の下では辺や面と同様にすべて等価であるということです。対称群の作用は、頂点、辺、面に対して推移的であると言われています。実際、これは多面体の正則性を定義する別の方法です。つまり、多面体が正則であるためには、頂点、辺、面がすべて一様である必要があります。

プラトン立体に関連する対称群は5つではなく3つだけです。これは、任意の多面体の対称群がその双対多面体の対称群と一致するためです。これは双対多面体の構成を調べれば容易にわかります。元の多面体の対称性は必ず双対多面体の対称性で、その逆もまた同様です。3つの多面体群は以下のとおりです。

四面体群T、
八面体群O（これは立方体の対称群でもある）、および
二十面体群I (十二面体の対称群でもある)。

固有（回転）群の位数はそれぞれ12、24、60で、それぞれの多面体の辺数のちょうど2倍です。完全対称群の位数はさらに2倍（24、48、120）です。これらの事実の導出については、(Coxeter 1973)を参照してください。四面体を除くすべてのプラトン立体は中心対称であり、つまり原点を鏡映しても対称性が保たれます。

以下の表は、プラトン立体の様々な対称性の性質を列挙したものです。列挙されている対称群は、回転部分群を括弧内に示した完全な群です（対称性の個数も同様です）。ワイトフの万華鏡作図法は、対称群から直接多面体を構築する手法です。参考までに、各プラトン立体のワイトフ記号を記載しています。

多面体	シュレーフリ記号	ウィトフ記号	二重多面体	対称群（反射、回転）
多面体	シュレーフリ記号	ウィトフ記号	二重多面体	多面体	シェーン。	コックス。	オーブ。	注文
四面体	{3, 3}	3 \| 2 3	四面体	四面体	T _dT	[3,3] [3,3] ⁺	*332 332	24 12
キューブ	{4, 3}	3 \| 2 4	八面体	八面体	おお_おお	[4,3] [4,3] ⁺	*432 432	48 24
八面体	{3, 4}	4 \| 2 3	キューブ	八面体	おお_おお	[4,3] [4,3] ⁺	*432 432	48 24
十二面体	{5, 3}	3 \| 2 5	二十面体	正二十面体	私_は私	[5,3] [5,3] ⁺	*532 532	120 60
二十面体	{3, 5}	5 \| 2 3	十二面体	正二十面体	私_は私	[5,3] [5,3] ⁺	*532 532	120 60

自然とテクノロジー

*Circogonia icosahedra は、*正二十面体のような形をした放散虫の一種です。

四面体、立方体、八面体はすべて、結晶構造の中に自然に存在します。これらは、結晶の考えられる形状の数をすべて網羅するものではありません。しかし、正二十面体も正十二面体もその中には含まれていません。その中の 1 つである黄鉛面体 (代表的な鉱物のグループにちなんで名付けられました) は、正十二面体の面と同じパターンで並んだ 12 個の五角形の面を持っています。しかし、黄鉛面体の面は規則的ではないため、黄鉛面体も規則的ではありません。ホウ素の同素体や、炭化ホウ素などの多くのホウ素化合物は、結晶構造内に個別の B _{12二十面体を含んでいます。}カルボラン酸も、正二十面体に近い分子構造を持っています。

20世紀初頭、エルンスト・ヘッケルは放散虫類のいくつかの種を記載しました。その骨格の中には、様々な正多面体のような形状を持つものもいました。例としては、Circoporus octahedrus、Circogonia icosahedra、Lithocubus geometricus、Circorrhegma dodecahedraなどが挙げられます。これらの生物の形状は、その名前から明らかです。^{[ 12 ]}

ヘルペスウイルス^[¹³^]など、多くのウイルスは正二十面体の形状をしています。ウイルスの構造は同一のタンパク質サブユニットの繰り返しによって構成されており、二十面体はこれらのサブユニットを用いて組み立てるのが最も容易な形状です。正多面体が用いられるのは、単一の基本単位タンパク質を繰り返し使用することで構築できるためであり、これによりウイルスゲノムのスペースを節約できます。

気象学および気候学においては、大気の流れに関する全球数値モデルへの関心が高まっています。これらのモデルでは、より一般的に用いられる経度・緯度グリッドではなく、（三角測量によって精緻化された）イコサヘドロンに基づく測地線グリッドが用いられています。このモデルは、特異点（すなわち極）がなく、空間解像度が均一に分布するという利点がありますが、数値計算の難易度がやや高くなります。

スペースフレームの幾何学は、多くの場合、プラトン立体に基づいています。MEROシステムでは、様々なスペースフレーム構成の命名規則としてプラトン立体が用いられています。例えば、⁠1/2⁠ O+T は、八面体の半分と四面体からなる構成を指します。

キュバンやドデカヘドランを含むいくつかのプラトン炭化水素が合成されている。