エルゴード理論

エルゴード理論は、決定論的力学系の統計的性質を研究する数学の一分野であり、エルゴード性の研究です。この文脈における「統計的性質」とは、力学系の軌跡に沿った様々な関数の時間平均の挙動を通して表現される性質を指します。決定論的力学系の概念は、力学系を決定する方程式にランダムな摂動やノイズなどが含まれないことを前提としています。したがって、ここで扱う統計量は、力学系の性質です。

エルゴード理論は、確率論と同様に、測度論の一般的な概念に基づいています。その初期の発展は、統計物理学の問題に端を発しています。

エルゴード理論の中心的な関心事は、ある力学系が長時間動作した場合の挙動である。この方向における最初の結果はポアンカレ回帰定理であり、これは位相空間の任意の部分集合内のほぼすべての点が最終的にその集合に戻ってくることを主張する。ポアンカレ回帰定理が成立する系は保存系であり、したがってすべてのエルゴード系は保存系である。

より正確な情報は、様々なエルゴード定理によって提供される。これらの定理は、特定の条件下では、関数の軌跡に沿った時間平均はほぼどこにでも存在し、空間平均と関連していると主張する。最も重要な定理は、バーコフ（1931）とフォン・ノイマンの定理であり、これらは各軌跡に沿った時間平均の存在を主張する。エルゴード系という特殊なクラスでは、この時間平均はほぼすべての初期点で同じである。統計的に言えば、長期間にわたって進化する系は初期状態を「忘れる」。混合や等分布といったより強い特性も広く研究されている。

システムの計量分類の問題は、抽象エルゴード理論のもう一つの重要な部分です。エルゴード理論とその確率過程への応用において、力学系におけるエントロピーの様々な概念は重要な役割を果たしています。

エルゴード性とエルゴード仮説の概念は、エルゴード理論の応用において中心的な役割を担う。その根底にある考え方は、あるシステムにおいて、その特性の時間平均は空間全体の平均に等しいというものである。エルゴード理論を数学の他の分野に応用するには、通常、特殊な種類のシステムについてエルゴード特性を確立する必要がある。幾何学においては、負の曲率を持つリーマン面に対するエバーハルト・ホップの結果に始まり、エルゴード理論の手法はリーマン多様体上の測地線フローの研究に用いられてきた。マルコフ連鎖は確率論への応用において共通の文脈を形成する。エルゴード理論は、調和解析、リー理論（表現論、代数群の格子）、および数論（ディオファントス近似の理論、L関数）と密接な関連がある。

エルゴード変換

エルゴード理論はしばしばエルゴード変換に関係する。与えられた集合に作用するこのような変換の背後にある直感は、その集合の要素を徹底的に「かき混ぜる」というものである。例えば、集合がボウルに入った大量の熱いオートミールであり、スプーン一杯のシロップをボウルに落とすと、オートミールのエルゴード変換の逆変換を繰り返すことで、シロップはオートミールの局所的な部分領域に留まることなく、全体に均一に分散する。同時に、これらの反復はオートミールのどの部分も圧縮または膨張させない。密度という尺度を維持するからである。

正式な定義は次のとおりです。

$T : X \to X を$ 測度空間 $($ $X$ $,$ $Σ$ $,$ $μ$ $)$ 上の測度保存変換とし、 $μ$ $($ $X )$ $=$ $1$ とする。このとき $、$ $Σ$ 内の $任意$ $のE$ に対し、 $μ$ $($ $T$ $-1$ $($ $E$ $)$ $Δ$ $E )$ $=$ $0$ $（$ つまり $E$ は不変）であれば、T $は$ $エルゴード$ 的 $で$ ある。

ここでの演算子 Δ は集合の対称差であり、集合の所属に関する排他的論理和演算と等価である。対称差が測度ゼロであるという条件は、本質的に不変であると言われる。

例

位相空間における古典系集団の発展（上）。これらの系は1次元ポテンシャル井戸（下図の赤い曲線）内の質量を持つ粒子である。当初はコンパクトな集団は、時間の経過とともに渦巻き、位相空間全体に「広がる」。しかし、これらの系は左側のポテンシャル井戸には入らないため、これはエルゴード的な振る舞い*ではない。*

円R / Zの無理回転、T : x → x + θ ( θ は無理数 )はエルゴード的です。この変換は、一意のエルゴード性、極小性、および等分布というさらに強力な特性を持ちます。対照的に、 θ = p / qが有理数 (最低項で) である場合、 Tは周期的 (周期q )であり、したがってエルゴードにはなれません。長さaの任意の区間I (0 < a < 1/ q )について、 Tによるその軌道(つまり、I、T ( I )、...、T ^q⁻¹ ( I ) の和集合で、 Tを任意回数適用した場合のIの像を含みます) は、 0 を法としてT不変な集合であり、長さaのq個の区間の和集合であるため、測度qaは厳密に 0 と 1 の間になります。
G をコンパクトアーベル群、 μ を正規化されたハール測度、 T を G の群自己同型とする。G *をGの連続指標からなるポンチャギン双対群とし、 T *を G *の対応する随伴自己同型とする。自己同型Tがエルゴード的であるためには、等式 ( T *) ⁿ ( χ ) = χがn = 0 またはχがGの自明指標である場合のみ可能である。特に、Gがn次元トーラスであり、自己同型Tがユニモジュラ行列Aで表される場合、Tがエルゴード的であるためには、Aのどの固有値も単位根ではない。
ベルヌーイシフトはエルゴード性を持つ。より一般的には、 iid確率変数の列といくつかのより一般的な定常過程に関連するシフト変換のエルゴード性は、コルモゴロフのゼロ-1法則から導かれる。
連続力学系のエルゴード性とは、その軌道が位相空間を「広がる」ことを意味する。定数でない第一積分を持つコンパクトな位相空間を持つ系は、エルゴードにはなり得ない。これは特に、ハミルトン関数Hから関数的に独立な第一積分Iと、一定エネルギーのコンパクト準位集合X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} を持つハミルトン系に当てはまる。リウヴィルの定理は、 X上に有限の不変測度が存在することを意味するが、系のダイナミクスはX上のIの準位集合に制約されるため、系は正だが完全測度未満の不変集合を持つ。エルゴード性の反対である連続力学系の特性は、完全積分可能性である。

エルゴード定理

T : X → X を測度空間( X , Σ, μ )上の測度保存変換とし、f をμ -積分関数、すなわちf ∈ L ¹ ( μ ) と仮定する。このとき、以下の平均を定義する。

時間平均:これは、ある初期点xから始まるTの反復における平均 (存在する場合) として定義されます。

{\hat {f}}(x)=\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).

空間平均：μ（X）が有限かつ非ゼロの場合、 ƒの空間平均または位相平均を考えることができます。

{\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{（確率空間では、}}\mu (X)=1.）

一般に、時間平均と空間平均は異なる場合があります。しかし、変換がエルゴード的で、測度が不変であれば、時間平均はほぼすべての点で空間平均と等しくなります。これは、ジョージ・デイヴィッド・バーコフによる抽象的な形での有名なエルゴード定理です。（実際には、バーコフの論文は抽象的な一般の場合ではなく、滑らかな多様体上の微分方程式から生じる力学系の場合のみを扱っています。）等分布定理はエルゴード定理の特殊なケースであり、単位区間における確率の分布を特に扱います。

より正確には、点ごとの定理または強いエルゴード定理は、 $f$ の時間平均の定義における極限がほぼすべてのxに対して存在し、（ほぼすべての場所で定義されている）極限関数が積分可能であることを述べています。 ${\hat {f}}$

${\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,$

さらに、T不変である、つまり ${\hat {f}}$

${\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,$

ほぼどこでも成り立ち、μ ( X ) が有限であれば、正規化は同じになります。

$\int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .$

特に、Tがエルゴード的であれば、（ほぼどこでも）定数となるので、 ${\hat {f}}$

${\bar {f}}={\hat {f}}\,$

ほぼどこでも同じである。最初の主張から最後の主張までをまとめ、μ ( X ) が有限かつ非ゼロであると仮定すると、

$\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu$

ほぼすべてのxに対して、つまり測度ゼロの集合を除くすべてのxに対して。

エルゴード変換の場合、時間平均はほぼ確実に空間平均に等しくなります。

例として、測度空間 ( X , Σ, μ ) が上記のように気体粒子をモデル化し、位置xにおける粒子の速度をf $(x) と$ すると、点ごとのエルゴード定理によれば、ある時点における全粒子の平均速度は、ある粒子の時間経過に伴う平均速度に等しいとされます。

バーコフの定理の一般化は、キングマンの劣加法エルゴード定理である。

確率論的定式化：バーコフ・ヒンチン定理

バーコフ・ヒンチンの定理。ƒ が可測、E (|ƒ|) < ∞、T が測度保存写像であるとする。このとき、確率 1 で次のようになる。

$\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),$

ここで、はTの不変集合のσ 代数が与えられた場合の条件付き期待値です。 $E(f|{\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$

系（点ごとのエルゴード定理）：特に、Tもエルゴードであれば、は自明なσ-代数であり、したがって確率1で次の式が成り立ちます。 ${\mathcal {C}}$

$\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).$

平均エルゴード定理

フォン・ノイマンの平均エルゴード定理はヒルベルト空間で成立する。^{[ 1 ]}

U をヒルベルト空間H上のユニタリ作用素とする。より一般的には等長線型作用素（すなわち、Hのすべてのxに対して ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖を満たす、あるいは同値でU * U = I を満たすが必ずしもUU * = I とは限らない射影線型作用素）とする。Pを{ ψ ∈ H | Uψ = ψ} = ker( I − U ) への直交射影とする。

すると、H内の任意のxに対して次の式が成り立ちます。

$\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,$

ここで、極限はHのノルムに関するものである。言い換えれば、平均の列は

${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}$

強演算子位相においてPに収束します。

実際、この場合、任意のがそれぞれとからの部分に直交分解できることは容易に理解できます。前者はが大きくなるにつれてすべての部分和に対して不変ですが、後者については、伸縮級数から次の式が得られます。 $x\in H$ $\ker(I-U)$ ${\overline {\operatorname {ran} (I-U)}}$ $N$

$\lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(I-U)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\left(I-U^{N}\right)=0$

この定理は、ヒルベルト空間Hが測度空間上のL ²個の関数から成り、 Uが次の形式の作用素である場合に特化している。

$Uf(x)=f(Tx)\,$

ここで、TはXの測度保存自己準同型であり、応用においては離散力学系の時間ステップを表すものと考えられる。^{[ 2 ]} エルゴード定理は、関数ƒ の十分に大きな時間スケールでの平均的な振る舞いは、時間不変なƒ の直交成分によって近似されると主張している。

平均エルゴード定理の別の形では、U _{t を}H上のユニタリ作用素の強連続な1パラメータ群とする。このとき、作用素

${\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}U_{t}\,dt$

強作用素位相において、T → ∞ のとき収束する。実際、この結果は、反射空間上の縮約作用素の強連続な1パラメータ半群の場合にも拡張される。

注: 平均エルゴード定理に関する直観的な理解を深めるには、単位長さの複素数を複素平面上のユニタリ変換（左乗法による）と見なすケースを検討します。単位長さの複素数を1つ（Uとする）選ぶと、その冪乗が円周を満たすことは直感的に理解できます。円周は0を中心に対称なので、Uの冪乗の平均が0に収束するのは当然です。また、0 はUの唯一の不動点であるため、不動点空間への射影は零点演算子（これは前述の極限と一致する）でなければなりません。

L ^pノルムにおけるエルゴード平均の収束

( X , Σ, μ ) を上記のように測度保存変換Tを持つ確率空間とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。 T不変集合の部分 σ 代数 Σ _Tに関する条件付き期待値は、バナッハ空間L ^p ( X , Σ, μ ) のノルム 1 のその閉部分空間L ^p ( X , Σ _T , μ ) への線型射影子E _Tである。後者は、 X上のすべてのT不変L ^p関数の空間として特徴付けることもできる。 L ^p ( X , Σ, μ )上の線型作用素としてのエルゴード平均も単位作用素ノルムを持ち、バーコフ・ヒンチンの定理の単純な結果として、 1 ≤ p ≤ ∞ の場合はL ^pの強作用素位相で射影子E _Tに収束し、p = ∞の場合は弱作用素位相で収束する。さらに、 1 < p ≤ ∞ の場合、ウィーナー・吉田・角谷のエルゴード優勢収束定理によれば、f ∈ L ^pのエルゴード平均はL ^pにおいて優勢となる。しかし、f ∈ L ¹の場合、エルゴード平均はL ^pにおいて等優勢にならない可能性がある。最後に、fがジグムント類、つまり | f | log ⁺ (| f |) が積分可能であると仮定すると、エルゴード平均はL ¹において等優勢となる。

滞在時間

( X , Σ, μ ) を測度空間とし、μ ( X ) は有限かつ非零とする。測定可能な集合Aにおける滞在時間は滞在時間と呼ばれる。エルゴード定理から直接導かれる結論は、エルゴード系においてはAの相対測度は平均滞在時間に等しいということである。

${\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)$

測度ゼロの集合を除くすべてのxに対して、 χ _AはAの指示関数です。

測定可能な集合Aの出現回数は、 T ^k ( x ) がAに含まれる回数kの集合k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., として定義され、昇順で並べられる。連続する出現回数の差R _i = k _i − k _i_−1は、Aの反復回数と呼ばれる。エルゴード定理のもう一つの帰結として、初期点xがAに含まれると仮定すると、 Aの平均反復回数はAの測度に反比例し、 k ₀ = 0となる。

${\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\to {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(almost surely)}}$

(ほぼ確実にを参照してください。) つまり、Aが小さいほど、そこに戻るのに時間がかかります。

多様体上のエルゴード流れ

可変の負の曲率を持つコンパクトリーマン面上および任意次元の定負の曲率を持つコンパクト多様体上の測地線フローのエルゴード性は、1939 年にEberhard Hopfによって証明されましたが、特殊なケースは以前にも研究されていました。たとえば、Hadamard のビリヤード(1898) やArtin のビリヤード(1924) を参照してください。リーマン面上の測地線フローと SL(2, R )上の 1 パラメータ部分群の関係は、 1952 年にSV FominとIM Gelfandによって説明されました。Anosovフローの論文では、 SL(2, R )上および負の曲率を持つリーマン面上のエルゴードフローの例が示されています。そこで説明されている展開の多くは、双曲多様体にも一般化されます。なぜなら、双曲多様体は、半単純リー群SO(n,1)の格子の作用による双曲空間の商として見ることができるからです。リーマン対称空間上の測地線流のエルゴード性は、1957年にFIマウトナーによって実証されました。 1967年には、 DVアノソフとYa. G.シナイが、負の可変断面曲率を持つコンパクト多様体上の測地線流のエルゴード性を証明しました。半単純リー群の同質空間上の同質流のエルゴード性に関する単純な基準は、 1966年にカルビン・C・ムーアによって与えられました。この研究分野の定理と結果の多くは、剛性理論の典型です。

1930年代、GA・ヘドランドは、コンパクト双曲面上のホロサイクルフローが極小かつエルゴード的であることを証明した。このフローの唯一のエルゴード性は、1972年にヒレル・ファーステンベルグによって確立された。ラトナーの定理は、Γ \ Gの形式を持つ同質空間上のユニポテントフローに対するエルゴード性の主要な一般化を提供する。ここで、Gはリー群であり、Γ はG内の格子である。

過去20年間、ファーステンバーグとマーギュリスの予想に触発され、対角化可能な作用に対するラトナーの定理に類似した測度分類定理を見つけようとする多くの研究が行われてきました。重要な部分的結果（正エントロピーという追加の仮定を伴ってこれらの予想を解くこと）は、イーロン・リンデンストラウスによって証明され、この結果により彼は2010年にフィールズ賞を受賞しました。

参照

参考文献

^リード、マイケル; サイモン、バリー (1980)、「関数解析、現代数理物理学の方法、第1巻（改訂版）、アカデミックプレス、ISBN 0-12-585050-6
^ウォルターズ 1982

歴史的参照

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フォン・ノイマン、ジョン(1932)、「エルゴード仮説の物理的応用」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA、第18巻、第3号、pp. 263– 266、Bibcode : 1932PNAS...18..263N、doi : 10.1073/pnas.18.3.263、JSTOR 86260、PMC 1076204、PMID 16587674。
ホップ、エバーハルト(1939)、「Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung における Statistik der geodätischen Linien」、ライプツィヒベル。ヴェルハンドル。ザックス。アカド。ウィス。、vol. 91、261–304ページ。
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Mautner, FI (1957)、「対称リーマン空間上の測地線流」、Ann. Math.、第65巻、第3号、pp. 416– 431、doi : 10.2307/1970054、JSTOR 1970054。
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現代の参考文献

DVアノソフ（2001）[1994]、「エルゴード理論」、数学百科事典、EMSプレス
この記事にはPlanetMathの ergodic theorem の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。
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レオ・ブレイマン著『確率論』。初版はアディソン・ウェスレー社、1968年刊。再版は産業応用数学協会、1992年。ISBN 0-89871-296-3（第6章を参照）
ウォルターズ、ピーター（1982）「エルゴード理論入門」、Graduate Texts in Mathematics、第79巻、Springer-Verlag、ISBN 0-387-95152-0、Zbl 0475.28009
ベッドフォード、ティム、キーン、マイケル、シリーズ、キャロライン編（1991年）、エルゴード理論、記号力学、双曲空間、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853390-X(エルゴード理論のトピックの概説と演習付き。)
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Françoise Pène、力学システムの確率的性質、SMF 専門コース、第 30 巻、2022 年
Joseph M. Rosenblatt と Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis , (1993) appeared in Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, eds. , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0（単位区間上のシフト写像の等分布定理の一般化のエルゴード的性質に関する広範な調査。Bourgain によって開発された手法に焦点を当てています。）
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マンフレッド・アインジードラー、トーマス・ワード『数論に向けたエルゴード理論』Springer、2011年。
ジェーン・ホーキンス著『エルゴード動力学：基礎理論から応用まで』Springer、2021年。ISBN 978-3-030-59242-4

外部リンク

エルゴード理論（2015年6月16日） Cosma Rohilla Shaliziによるメモ
エルゴード定理はテストに合格Physics Worldより

[1] リード、マイケル; サイモン、バリー (1980)、「関数解析、現代数理物理学の方法、第1巻（改訂版）、アカデミックプレス、ISBN 0-12-585050-6

[2] ウォルターズ 1982

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