ブラウン運動

Ag(111)表面上の銀吸着原子の2次元ランダムウォーク^{[ 1 ]}

塵粒子に似た大きな粒子が、気体分子に似た小さな粒子の大きな集合と衝突し、異なる速度でランダムに異なる方向に移動するブラウン運動のシミュレーション

ブラウン運動は、媒体（液体または気体）中に浮遊する粒子のランダムな運動です。^{[ 2 ]}ブラウン運動の伝統的な数学的定式化はウィーナー過程 であり、数学の文献でもしばしばブラウン運動と呼ばれます。

この運動パターンは典型的には、流体のサブドメイン内での粒子の位置のランダムな変動と、それに続く別のサブドメインへの再配置から成ります。各再配置の後に、新しい閉空間内でのさらなる変動が続きます。このパターンは、与えられた温度で定義される熱平衡状態にある流体を表します。このような流体内では、流れの優先方向は存在しません（輸送現象の場合と同様）。より具体的には、流体全体の線形運動量と角運動量は時間の経過とともにゼロのままです。分子のブラウン運動の運動エネルギーは、分子の回転と振動の運動エネルギーと合わせて、流体の内部エネルギーの熱量成分になります（等分配定理）。^{[ 3 ]}

この運動は、1827年に水中に浸した植物クラークア・プルケラの花粉を顕微鏡で観察しながらこの現象を初めて記述したスコットランドの植物学者ロバート・ブラウンにちなんで名付けられました。1900年には、フランスの数学者ルイ・バシュリエが、アンリ・ポアンカレの指導の下で執筆した博士論文「思弁の理論（Théorie de la spéculation）」の中で、現在ブラウン運動と呼ばれている確率過程をモデル化しました。その後、1905年に理論物理学者アルバート・アインシュタインが、花粉粒子の運動を個々の水分子によって動かされるものとしてモデル化した論文を発表しました。これは彼の最初の主要な科学的貢献の1つとなりました。^{[ 4 ]}

原子衝撃の力の方向は絶えず変化しており、粒子は異なる時間において片側から他方よりも強く衝突するため、一見ランダムな運動特性を示す。このブラウン運動の説明は、原子と分子の存在を証明する説得力のある証拠となり、1908年にはジャン・ペランによって実験的にさらに検証された。ペリンは1926年に「物質の不連続構造に関する研究」によりノーベル物理学賞を受賞した。 ^{[ 5 ]}

ブラウン運動パターンを生み出す多体相互作用は、関与するすべての分子を考慮したモデルでは解くことができない。したがって、これを記述するには、分子集団に適用される確率モデルのみを用いることができる。^{[ 6 ]}統計力学におけるそのようなモデルとして、アインシュタインとスモルホフスキーによる2つのモデルを以下に示す。もう一つの純粋に確率的なモデルクラスは、確率過程モデルである。より単純な確率過程とより複雑な確率過程の両方の系列が存在し、それらは（限界において）ブラウン運動に収束する（ランダムウォークとドンスカーの定理を参照）。^{[ 7 ] [ 8 ]}

歴史

ジャン・バティスト・ペラン著『原子』より転載。顕微鏡下で観察された半径0.53μmのコロイド粒子の運動を3つの線で描いたもの。30秒ごとの位置変化は直線で結ばれている（メッシュサイズは3.2μm）。^{[ 9 ]}

ローマの哲学者であり詩人であったルクレティウスの科学詩『事物の性質について』（紀元前 60年頃）には、第2巻113～140節において、塵粒子の運動に関する注目すべき描写があります。彼はこれを原子の存在の証明として用いています。

太陽光線が建物に差し込み、その暗い部分を照らしたとき、何が起こるか観察してみてください。無数の微粒子が様々な形で混ざり合うのが見えるでしょう…それらのダンスは、私たちの目には見えない物質の根底にある動きを実際に示しています…それは、自ら動く原子から始まります。そして、原子の推進力から最も離れていない小さな複合物体は、目に見えない打撃の衝撃によって動き始め、今度はそれよりも少し大きな物体に衝突します。こうして、原子から運動が高まり、徐々に私たちの感覚レベルにまで現れ、太陽光線で私たちが見る物体は、目に見えない打撃によって動かされているのです。

塵の粒子が混ざり合って回転する運動は主に空気の流れによって引き起こされますが、小さな塵の粒子がきらめき揺れ動く運動は主に真のブラウン運動によって引き起こされます。ルクレティウスは「間違った例によってブラウン運動を完璧に記述し説明している」^{[ 10 ] 。}

この現象は、1827年に植物学者ロバート・ブラウンによって発見されました。ブラウンは植物の生殖を研究していた際、水中のクラーキア・プルケラ（Clarkia pulchella）の花粉粒 を顕微鏡で観察しました。これらの花粉粒には、1/4000インチ（6ミクロン）程度の微小な粒子が含まれています。彼はこれらの粒子がぎくしゃくとした動きをしているのを観察しました。無機物質の粒子でこの実験を繰り返すことで、彼はこの動きが生命活動によるものではないことを明らかにしましたが、その起源は未だ解明されていませんでした。^{[ 11 ] [ 12 ]}

ブラウン運動の数学を含む確率解析の大部分の数学は、 1900年にルイ・バシュリエによって博士論文「投機理論」の中で導入されました。彼はこの論文で株式市場とオプション市場の分析を提示しました。しかし、この研究は1950年代までほとんど知られていませんでした。^{[ 13 ] [ 14 ] : 33}

アルバート・アインシュタインは（ 1905年の論文の一つで）原子や分子の存在がまだ議論されていた時代に、ブラウン運動を原子や分子の観点から説明した。アインシュタインはブラウン運動粒子の確率分布と拡散方程式の関係を証明した。^{[ 14 ] : 33} ブラウン運動を記述するこれらの方程式は、その後1908年にジャン・バティスト・ペランの実験的研究によって検証され、彼のノーベル賞受賞につながった。^{[ 15 ]}ノーバート・ウィーナーは1923年に初めて完全かつ厳密な数学的分析を行い、その基礎となる数学的概念はウィーナー過程と呼ばれるようになった。^{[ 14 ]}

ブラウン運動の瞬間速度は、 Δ t << τのとき、v = Δ x /Δ tと定義される。ここで、τは運動量緩和時間である。2010年には、ブラウン運動粒子（光ピンセットで空気中に閉じ込められたガラス微小球）の瞬間速度の測定に成功した。この速度データは、マクスウェル・ボルツマン速度分布とブラウン運動粒子の等分配定理を検証した。^{[ 16 ]}

統計力学理論

アインシュタインの理論

アインシュタインの理論は2つの部分から成ります。第1の部分はブラウン運動粒子の拡散方程式の定式化で、拡散係数はブラウン運動粒子の平均二乗変位に関係し、第2の部分は拡散係数を測定可能な物理量に関係させます。^{[ 17 ]}このようにして、アインシュタインは原子の大きさと、1モルまたは1グラムでの分子量の気体中に含まれる原子の数を決定することができました。^{[ 18 ]}アボガドロの法則によれば、この体積はすべての理想気体で同じであり、標準温度および圧力で22.414リットルです。この体積に含まれる原子の数はアボガドロ数と呼ばれ、この数を決定することは原子の質量を知ることと同義です。なぜなら、原子の質量は気体のモル質量をアボガドロ定数で割ることで得られるからです。

ブラウン運動粒子の拡散に特徴的な釣鐘型曲線。分布はディラックのデルタ関数として始まり、時刻t = 0においてすべての粒子が原点に位置することを示しています。tが増加するにつれて、分布は平坦化しますが（釣鐘型のままです）、最終的には時間が無限大に近づく極限で均一になります。

アインシュタインの議論の最初の部分は、ブラウン運動粒子が与えられた時間間隔でどれだけの距離を移動するかを決定することだった。^{[ 4 ]古典力学では、ブラウン運動粒子が受ける衝突の数が膨大で、おおよそ1秒間に10の14}乗回の衝突があるため、この距離を決定することはできない。^{[ 2 ]}

彼は、1次元 ( x ) 空間 (座標は原点が粒子の初期位置になるように選択)における時間における粒子位置の増分を、ある確率密度関数(つまり、は大きさのジャンプの確率密度、つまり時間間隔 で粒子の位置が から に増加する場合の確率密度)を持つランダム変数( ) とみなしました。さらに、粒子数は保存されると仮定して、時間 における数密度( の周りの単位体積あたりの粒子数)をテイラー級数に展開しました。ここで、 2 番目の等式は の定義により得られます。確率の定義により、第 1 項の積分は1 に等しく、第 2 項およびその他の偶数項 (つまり、第 1 モーメント およびその他の奇数モーメント) は空間対称性によりゼロになります。残った関係式から次のようになります。 ここで、ラプラシアン の後の係数、つまり変位確率の第 2モーメントは 、 質量拡散率Dと解釈されます。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+q}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t+\tau }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (xq,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (xq,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{高次偶モーメント。}}}$$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

N個の粒子が初期時刻t = 0に原点から出発すると仮定すると、拡散方程式の解は次のようになります。^{[ 19 ]} この式（平均と分散を持つ正規分布、通常ブラウン運動と呼ばれる）により、アインシュタインはモーメントを直接計算することができました。最初のモーメントはゼロとみなされ、ブラウン運動粒子が左に移動する確率と右に移動する確率が等しいことを意味します。しかし、2番目のモーメントはゼロではなく、次式で与えられます。 この式は、平均二乗変位を経過時間と拡散係数で表したものです。この式から、アインシュタインはブラウン運動粒子の変位は経過時間に比例するのではなく、その平方根に比例すると主張しました。^{[ 17 ]}彼の主張は、ブラウン運動粒子の「集団」から「単一の」ブラウン運動粒子への概念的転換に基づいています。つまり、ブラウン運動粒子が特定の点に到達するのにかかる時間と同様に、ある瞬間における粒子の相対数について語ることができるのです。^{[ 20 ]}$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.}$$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$ ${\displaystyle B_{t}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$$

アインシュタインの理論の第二部は、拡散定数を、与えられた時間間隔における粒子の平均二乗変位などの物理的に測定可能な量と関連付けています。この結果により、アボガドロ数を実験的に決定し、ひいては分子の大きさを決定することが可能になります。アインシュタインは、互いに反発する力の間に成立する動的平衡を分析しました。彼の議論の優れた点は、最終的な結果が、動的平衡の成立にどの力が関与しているかに依存しないという点です。

当初の考察では、アインシュタインは浸透圧実験を検討しましたが、他の方法でも同じ結論に達することができます。

例えば、重力場にある粘性流体に浮遊する粒子を考えてみましょう。重力は粒子を沈降させる傾向があり、一方、拡散は粒子を均質化するように作用し、粒子をより低い濃度の領域に追いやります。重力の作用下では、粒子は下向きの速度v = μmgを獲得します。ここで、 mは粒子の質量、gは重力加速度、μは流体中での粒子の移動度です。ジョージ・ストークスは、半径rの球形粒子の移動度は であることを示しました。ここで、ηは流体の動粘性です。動的平衡の状態では、等温流体の仮説の下、粒子は気圧分布に従って分布します。 ここで、ρ − ρ _oは、高さの差 によって分離された粒子の密度の差、k _Bはボルツマン定数（気体定数Rとアボガドロ定数N _Aの比）、Tは絶対温度です。 ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \etar}}}$ $${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),}$$ ${\displaystyle h=z-z_{o}}$

ペリンは、粘性物質であるガンボージの粒子（0.6ミクロン）の平衡状態（気圧分布）を顕微鏡下で観察した。粒子は重力に逆らって濃度の低い領域へと移動する。10ミクロンの懸濁液で観察される相対的な密度変化は、6kmの空気中で起こる変化に匹敵する。

動的平衡は、粒子が重力によって引き下げられるほど、粒子がより低濃度の領域へ移動する傾向が強くなるため成立する。フラックスはフィックの法則によって与えられ、 J = ρv である。ρの式を導入すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$ $${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.}$$

動的平衡状態では、この速度はv = μmgにも等しくなければなりません。vの両方の式はmgに比例し、微分は考慮する力の種類に依存しないことを反映しています。同様に、大きさEの一様な電界内の電荷qの同一の荷電粒子に対する等式を導くことができます。ここで、mg は静電力qEに置き換えられます。これら 2 つの式を等しくすると、 mgやqEなどの力 とは無関係に、拡散率に関するアインシュタインの関係式が得られます。 ここで、最初の等式はアインシュタインの理論の最初の部分から得られ、3 番目の等式はボルツマン定数k _B = R / N _Aの定義から得られ、4 番目の等式はストークスの移動度に関する式から得られます。一定時間にわたる平均二乗変位を、普遍気体定数R、温度T、粘度η、および粒子半径rとともに測定することにより、アボガドロ定数N _Aを決定できます。 $${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

アインシュタインが提唱した動的平衡のタイプは、新しいものではありませんでした。1903年5月にイェール大学で行われた一連の講義の中で、JJトムソン^{[ 21 ]}は、フィックの法則によって与えられる濃度勾配によって生じる速度と、イオンが運動する際に生じる分圧の変化によって生じる速度との間の動的平衡が「分子の形状や大きさ、あるいは分子同士の相互作用に関するいかなる仮説にも依存せずにアボガドロ定数を決定する方法を与える」と指摘していました。^{[ 21 ]}

アインシュタインの拡散係数の式と同一の表現は、1888年にヴァルター・ネルンストによっても見出されており^{[ 22 ]}、彼は拡散係数を、浸透圧と摩擦力およびそれがもたらす速度の比として表現した。前者はファントホッフの法則と同一視され、後者はストークスの法則によって与えられた。彼は拡散係数k′について次のように書き記した。ここで、は浸透圧、kは摩擦力と分子粘性の比であり、彼はこれがストークスの粘性に関する式によって与えられると仮定した。浸透圧について単位体積あたりの理想気体の法則を導入すると、式はアインシュタインのものと同一になる。^{[ 23 ]}ネルンストのケース、アインシュタイン、スモルホフスキーのケースにおけるストークスの法則の使用は、球の半径が平均自由行程に比べて小さい場合には適用されないため、厳密には適用できない。^{[ 24 ]}${\displaystyle k'=p_{o}/k}$ ${\displaystyle p_{o}}$

アインシュタインの式を実験的に確認することは困難であることが判明した。1906年と1907年のテオドール・スヴェドベリによる最初の試みは、式に直接比較できる量を測定していないとしてアインシュタインとペランによって批判された。1908年、ヴィクトル・アンリは顕微鏡で映画ショットを撮影し、式との量的な不一致を発見したが、この場合も分析は不確実であった。^{[ 25 ]}アインシュタインの予測は、最終的に1908年にショーデゼーグ、1909年にペランが行った一連の実験で確認された。^{[ 26 ] [ 11 ]}アインシュタインの理論の確認は、熱の運動論の経験的進歩であった。本質的に、アインシュタインは、熱平衡の運動論モデルから運動を直接予測できることを示した。この理論の重要性は、熱力学の第二法則が本質的に統計的な法則であるという運動論の説明を確認したという事実にあった。^{[ 27 ]}

水中の染料粒子の軌跡のブラウン運動モデル

スモルホフスキーモデル

スモルホフスキーのブラウン運動理論^{[ 28 ]}はアインシュタインの理論と同じ前提から出発し、ブラウン運動粒子が時刻tにxに沿って変位する確率分布ρ ( x , t )を同じに導出します。したがって、平均二乗変位の式も同じです。ただし、ストークスの法則に従う摩擦力の結果として速度uで運動する質量mの粒子に関連付けると、次の式が得られます 。 ここで、μは粘性係数、aは粒子の半径です。運動エネルギーを熱エネルギーRT / Nと関連付けると、平均二乗変位の式はアインシュタインによって求められた式の64/27倍になります。 27/64という分数は、アーノルド・ゾンマーフェルトがスモルホフスキーの死因論の中で次のように述べている。「アインシュタインの数値係数はスモルホフスキーのものと27/64だけ異なるため、疑問視されるしかない。」^{[ 29 ]}${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}}$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

スモルホフスキー^{[ 30 ]}は、前方と後方の衝突確率が等しいのに、なぜブラウン運動粒子がより小さな粒子の衝突によって変位するのかという疑問に答えようと試みている。もしm回の利得とn − m回の損失の確率が二項分布に従い、 事前確率が1/2に 等しいとすると、平均総利得は $${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n+1}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$$

nが十分に大きく、スターリングの近似を使用できる場合 、 期待される総利得は 総人口の平方根として増加することがわかります。 $${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$$ $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi }}},}$$

質量Mのブラウン運動粒子が、速度uで運動する質量mのより軽い粒子に囲まれていると仮定する。スモルホフスキーによれば、周囲の粒子とブラウン運動粒子との衝突において、後者に伝わる速度はμ / Mとなる。この比は、10 ⁻⁷  cm/s です。しかし、気体中では1秒間に10 ¹⁶回以上の衝突があり、液体中では1秒間に10 ^{20回以上の衝突が起こることも考慮に入れる必要があります。これらの衝突の中にはブラウン運動粒子を加速させるものもあれば、減速させるものもあります。もし、1秒間に10 8 回}から10 ^{10 回}程度の衝突が平均して過剰に発生するとすると、ブラウン運動粒子の速度は10～1000 cm/s。したがって、前方衝突と後方衝突の確率は等しいものの、バロット定理が予測するように、ブラウン運動粒子は運動を続ける傾向がある。

これらの桁数は正確ではありません。なぜなら、ブラウン運動粒子の速度Uが考慮されていないからです。Uは、ブラウン運動粒子を加速または減速させる衝突に依存します。U が大きいほど、ブラウン運動粒子を減速させる衝突も大きくなり、ブラウン運動粒子の速度が無限に増加することは決してありません。もしそのようなプロセスが起こったとしたら、それは第二種の永久運動に等しいでしょう。そして、エネルギーの等分配が適用されるため、ブラウン運動粒子の運動エネルギー は、平均して、周囲の流体粒子の運動エネルギー と等しくなります。${\displaystyle MU^{2}/2}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

1906 年、スモルホフスキーはブラウン運動をする粒子を記述する 1 次元モデルを発表しました。^{[ 31 ]}このモデルでは、衝突はM ≫ mと仮定します。ここで、 Mは試験粒子の質量、m は流体を構成する個々の粒子のうちの 1 つの質量です。粒子の衝突は 1 次元に限定され、試験粒子が左から衝突される確率と右から衝突される確率は等しいと仮定します。また、すべての衝突は常に同じ大きさのΔ Vを与えると仮定します。右からの衝突回数をN _R 、左からの衝突回数をN _Lとすると、 N 回の衝突後、粒子の速度はΔ V (2 N _R − N )だけ変化します。多重度は次のように単純に与えられ 、可能な状態の総数は2 ^Nで与えられます。したがって、粒子が右からN _R回衝突される確率は次のとおりです。 $${\displaystyle {\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$ $${\displaystyle P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$

スモルホフスキーの1次元モデルは、その単純さゆえにブラウン運動を定性的にしか記述できません。流体中でブラウン運動する現実の粒子には、多くの仮定が当てはまりません。例えば、平均して右からの衝突と左からの衝突の数は同数であるという仮定は、粒子が運動を始めると崩れてしまいます。また、現実的な状況では、ΔVは常に1つではなく、複数の異なる分布を持つことになります。

ランジュバン方程式

拡散方程式は、物理的定義の下でブラウン運動する粒子の位置に関連付けられた確率密度関数の時間発展の近似値を与える。この近似値は衝突中の粒子の加速を記述する項を含まないため、個々の原子衝突の時間スケールよりもはるかに長い時間スケールで有効になる。ブラウン運動する粒子の位置の時間発展は、すべての時間スケールにわたってランジュバン方程式を使用して記述される。この方程式は、溶媒の熱変動が粒子に及ぼす影響を表すランダム力場を伴う。 ^{[ 16 ]}加速が無視できるより長い時間スケールでは、ランジュバン動力学の代わりにブラウン動力学を使用して個々の粒子の動力学を近似することができる。

天体物理学：銀河内の星の運動

恒星の力学において、大質量天体（恒星、ブラックホールなど）は周囲の恒星からの重力に反応してブラウン運動をすることがあります。 ^{[ 32 ]}質量Mの大質量天体の実効速度V は、背景の恒星の 実効速度と次の式で関連しています。 ここで、 は背景の恒星の質量です。大質量天体からの重力により、近くの恒星はそうでない場合よりも速く移動し、とV の両方が増加します。^{[ 32 ]}この式から、天の川銀河の中心にある超大質量ブラックホールSgr A*のブラウン運動速度は1 km s ⁻¹未満であると予測されます。^{[ 33 ]}${\displaystyle v_{\star }}$ $${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$$ ${\displaystyle m\ll M}$ ${\displaystyle v_{\star }}$

数学

周期境界条件を持つ2次元表面上のブラウン運動に似たランダムウォークのアニメーション例。スケーリング極限において、ランダムウォークはドンスカーの定理に従ってウィーナー過程に近づく。

数学において、ブラウン運動はウィーナー過程によって記述される。ウィーナー過程は連続時間確率過程であり、ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられている。ウィーナー過程は最もよく知られたレヴィ過程（定常独立増分を伴う確率過程）の一つであり、純粋数学、応用数学、経済学、物理学において頻繁に登場する。

0 ≤ t ≤ 2の時刻における3次元ブラウン運動の単一実現

ウィーナー過程Wt_は4つの事実によって特徴付けられる: ^{[ 34 ]}

1. W ₀ = 0
2. W _tはほぼ確実に連続で
3. W _tは独立した増分を持つ
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$ （のために）。${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ は、期待値μ、分散σ ²の正規分布を表します。独立増分を持つという条件は、の場合、 と が独立確率変数であることを意味します。さらに、ある濾過に対して、はすべての に対して測定可能です。${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

ウィーナー過程の別の特徴付けは、いわゆるレヴィ特徴付けであり、ウィーナー過程はW ₀ = 0と二次変化を伴うほぼ確実に連続するマルチンゲールであるとされています。${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

3つ目の特徴は、ウィーナー過程が、係数が独立な確率変数である正弦級数としてスペクトル表現されるという点である。この表現は、コザンビ・カルーネン・レーヴの定理を用いて得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

ウィーナー過程は、ランダムウォーク、あるいは定常独立増分を持つ他の離散時間確率過程のスケーリング極限として構成することができる。これはドンスカー定理として知られている。ランダムウォークと同様に、ウィーナー過程は1次元または2次元では回帰的である（つまり、原点の任意の固定近傍にほぼ確実に無限回戻る）が、3次元以上では回帰的ではない。ランダムウォークとは異なり、ウィーナー過程はスケール不変である。d次元ガウス自由場は、「ブラウン運動のd次元時間アナログ」と表現される。^{[ 35 ]}

統計

ブラウン運動はランダムウォークでモデル化できる。^{[ 36 ]}

一般的な場合、ブラウン運動はマルコフ過程であり、確率積分方程式で記述される。^{[ 37 ]}

レヴィの特徴

フランスの数学者ポール・レヴィは、連続R ⁿ値確率過程Xが実際にn次元ブラウン運動となるための必要十分条件を与える以下の定理を証明した。したがって、レヴィの条件はブラウン運動の代替定義として実際に用いることができる。

X = ( X ₁ , ..., X _n )を確率空間(Ω, Σ, P )上の連続確率過程とし、R ⁿに値をとるものとする。このとき、以下の式は同値である。

1. XはPに関するブラウン運動である。つまり、 Pに関するXの法則はn次元ブラウン運動の法則と同じである。つまり、押し出し測度X _∗ ( P )はC ₀ ( [0, ∞) ; R ⁿ )上の古典的なウィーナー測度である。
2. 両方
   1. XはP（およびそれ自身の自然濾過）に関してマルチンゲールであり、
   2. すべての1 ≤ i、j ≤ nに対して、X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij tはP (およびそれ自身の自然濾過)に関するマルチンゲールであり、ここでδ _{ij は}クロネッカーのデルタを表します。

スペクトル内容

確率過程のスペクトル内容は、パワースペクトル密度から求めることができます。これは正式には次のように定義されます 。ここで、は期待値を表します。ブラウン運動のパワースペクトル密度は^{[ 38 ]}で表されます。 ここで、DはX _tの拡散係数です。自然発生的な信号の場合、スペクトル内容は、有限の利用可能な時間を持つ単一の実現のパワースペクトル密度から求めることができます。つまり、 ブラウン運動の軌跡の個々の実現では、^{[ 39 ]}期待値 と分散を持つことが分かっています^{[ 39 ]。}${\displaystyle X_{t}}$ $${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ $${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$ $${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$ ${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$ ${\displaystyle \sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)}$ $${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

実現時間が十分に長い場合、単一軌道のパワースペクトルの期待値は、正式に定義されたパワースペクトル密度 に収束しますが、その変動係数はに近づく傾向があります。これは、無限時間制限においても の分布が広いことを意味します。 ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \gamma =\sigma /\mu }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ ${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

リーマン多様体

球面上のブラウン運動

ブラウン運動は通常、ユークリッド空間で起こると考えられています。このような運動が、曲面や高次元多様体 といったより複雑な形状にどのように一般化されるかを考えるのは自然なことです。この定式化には、空間が何らかの形の微分と計量を持つことが必要であり、それによってラプラシアンを定義できます。これらはどちらもリーマン多様体で利用可能です。

リーマン多様体は、測地線を極座標で記述できるという性質を持つ。つまり、変位は常に半径方向であり、ある角度で与えられる。そして、一様ランダム運動は、ユークリッド空間と同様に、角度に依存せず、半径方向に沿ったガウス分布で記述される。

ユークリッドR ⁿ上のブラウン運動の無限小生成子（したがって特性演算子）は⁠1/2⁠ Δ、ここでΔはラプラス作用素を表す。m次元リーマン多様体 ( M , g ) 上のブラウン運動は、特性作用素が⁠で与えられるM上の拡散として定義できる。1/2⁠ Δ _LB、ラプラス・ベルトラミ演算子Δ _{LB の}半分。

研究テーマの一つは、そのようなシステムのポアンカレ回帰時間の特徴づけである。^{[ 15 ]}

危機一髪

ナローエスケープ問題は、生物学、生物物理学、細胞生物学において広く見られる問題であり、次のように定式化されます。ブラウン運動粒子（イオン、分子、またはタンパク質）は、反射境界によって限定された領域（区画または細胞）に閉じ込められており、そこから脱出できる小さな窓は例外です。ナローエスケープ問題とは、平均脱出時間を計算する問題です。この時間は窓が小さくなるにつれて発散するため、計算は特異摂動問題となります。

参照

• ブラウン橋 – 物理学における確率過程
• ブラウン共分散 – 統計的尺度Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ブラウン運動 – 平均加速が起こらない理想的な分子運動
• ブラウン運動モーター – ナノスケールマシン
• ブラウン運動ノイズ – ブラウン運動によって生成されるノイズの種類
• ブラウン運動ラチェット - 永久運動装置
• ブラウン運動面
• ブラウン運動木 – 確率論における概念
• ブラウン運動ウェブ
• 非整数ブラウン運動 - 確率論の概念
• 幾何ブラウン運動 – 連続確率過程
• 伊藤拡散 – 特定の種類の確率微分方程式の解
• レヴィの逆正弦法則 – 1次元ランダムウォークとブラウン運動の結果の集積Pages displaying short descriptions of redirect targets
• マランゴニ効果 – 2つの流体間の物理現象
• ナノ粒子追跡分析
• 反射ブラウン運動 - 反射空間境界を持つウィーナー過程
• 回転ブラウン運動
• シュラム・レーヴナー進化 – 確率論における概念
• 単一粒子追跡 – AliAlamerrPages displaying short descriptions of redirect targetsPages displaying short descriptions with no spaces
• 単一粒子の軌跡
• 表面拡散 – 物理的プロセス
• チンダル効果 – コロイド懸濁液中の微粒子による光の散乱

参考文献

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さらに読む

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• ルクレティウス『事物の本質について』 、ウィリアム・エラリー・レナード訳。（オンライン版、プロジェクト・グーテンベルクより。「原子運動」の見出しを参照。この翻訳は引用したものと若干異なります）。
• ネルソン、エドワード(1967) 『ブラウン運動の力学的理論』(絶版となった本書のPDF版、著者のウェブページより)本書は主に数学的な著作ですが、最初の4章ではブラウンからアインシュタインまでの時代におけるこのテーマの歴史について論じています。
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). 「ブラウンが見たもの、そしてあなたも見ることができるもの」. American Journal of Physics . 78 (12): 1278– 1289. arXiv : 1008.0039 . Bibcode : 2010AmJPh..78.1278P . doi : 10.1119/1.3475685 . S2CID  12342287 .
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  • ペリンの著書『Les Atomes』（1914年）も参照。
• フォン・スモルコウスキー、M. (1906)。「ブラウンシェン分子運動と懸濁液の運動理論」。アンナレン・デア・フィジーク。21 (14): 756–780。ビブコード: 1906AnP...326..756V。土井：10.1002/andp.19063261405。
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• テネシー州タイル
  • デンマーク語版: 「Om Anvendelse af minste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter」。
  • フランス語版：「Sur lacompensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la methodes de moindre carrés」がヴィデンスクで同時出版。セルスク。クローナ5. Rk.、ナチュラビッド。オグマット。アフド。、12:381–408、1880。

外部リンク

• ブラウン運動に関するアインシュタイン
• ブラウンのオリジナルの観察の歴史、植物学、物理学についてビデオで解説します
• 「アインシュタインの予言は1世紀後にようやく実現した」  ：ブラウン運動の速度を観測する実験
• 大規模ブラウン運動のデモンストレーション