位相幾何学の一分野である結び目理論において、ブルニアンリンクとは、任意の要素を一つ取り除くと、自明な連結されていない円の集合となる非自明なリンクである。言い換えれば、任意のループを切断すると、他のすべてのループが解放される（つまり、2つのループを直接連結することはできない）。
ブルニアンという名前はヘルマン ブルンにちなんで付けられています。 Brunn の 1892 年の記事「Über Verkettung」には、そのようなリンクの例が含まれていました。
例
最もよく知られ、最も単純なブルニアンリンクは、3つの非結び目からなるボロミアン環です。しかし、3以上の任意の数に対して、その数のループを含むブルニアン特性を持つリンクが無限に存在します。以下に、ボロミアン環とは異なる、比較的単純な3成分ブルニアンリンクをいくつか示します。
12 交差リンク。
18クロスリンク。
24 交差点リンク。
6交点ボロミアン環以外で最も単純なブルニアンリンクは、おそらく10交点L10a140リンクである。[ 1 ]
n成分ブルニアンリンクの例としては、「ラバーバンド」ブルニアンリンクが挙げられます。このリンクでは、各成分が次の成分の周りをaba −1 b −1としてループし、最後の成分が最初の成分の周りをループして円を形成します。[ 2 ]
2020年には、 [ 3 ]において、非常に柔軟な幾何学的位相幾何学的手法を用いて、より複雑な新しいブルニアンリンクが発見されました。第6節を参照。 [ 3 ]
非円形
幾何学的な円からブルニアンリンクを構成することは不可能である。より一般的には、リンクの各要素が円であり、かつ2つの要素がリンクされていないという性質を持つリンクであれば、証明は自明である。マイケル・フリードマンとリチャード・スコラによる証明では、リンクを含む3次元空間を4次元双曲空間のポアンカレ球モデルの境界として埋め込み、円の双曲凸包を考慮する。これらは双曲空間の2次元部分空間であり、その交差パターンは円のペアごとのリンクを反映している。2つの円がリンクされている場合、それらの包には交点があるが、円のペアがリンクされていないという仮定の下では、包は互いに素である。ポアンカレ球の断面を同心円状の三次元球でとると、各球と円の包との交点は再び円でできたリンクとなり、この断面群はすべての円の連続的な動きを提供し、各円は他の円と交差することなく一点に縮小される。[ 4 ]
分類
ブルニアンリンクは、ジョン・ミルナーによって（Milnor 1954 ）リンクホモトピーまで分類され、彼が導入した不変量は現在ではミルナー不変量と呼ばれています。
( n + 1)成分のブルニアンリンクは、 n成分の非リンクのリンク群（この場合（ただし一般にはそうではない）はリンク補群の基本群） の元と考えることができる。これは、ブルニアン性により最後のリンクを削除すると他のリンクが非リンクになるからである。n成分の非リンクのリンク群は、n個の生成元F n 上の自由群である。これは、単一のリンクのリンク群が非結び目の結び目群（整数）であり、非リンク和のリンク群が成分のリンク群の 自由積であるためである。
リンク群のすべての元がブルニアンリンクを与えるわけではない。他の要素を削除すると、残りのn個の元もリンクを解除する必要があるためである。ミルナーは、ブルニアンリンクに対応する群元は、自由群の下中心級数の次数付きリー代数と関連していることを示し、これは自由リー代数における「関係」として解釈できる。
2021年には、3次元球面上のブルニアンリンクに対して、「サテライト和」と「サテライトタイ」と呼ばれる2つの特別な衛星演算が研究されました。これらはどちらも、ほぼすべてのブルニアンリンクから無限に多くの異なるブルニアンリンクを構築するために使用できます。[ 5 ]ブルニアンリンクの幾何学的分類定理が与えられました。[ 5 ]さらに興味深いことに、ブルニアンリンクに対して、JSJ分解よりも単純な、サテライト和とサテライトタイを用いた標準的な幾何学的分解が開発されました。その中で、ブルニアンリンクの構成要素は、ホップリンク、双曲型ブルニアンリンク、および非リンク補集合における双曲型ブルニアンリンクであることが判明しました。非リンク補集合における双曲型ブルニアンリンクは、さらに3次元球面上のブルニアンリンクに簡約できます。[ 5 ]
マッセイ製品
ブルン連結は、代数位相幾何学においてマッセイ積を介して理解することができる。マッセイ積とは、その項の( n −1)-積がすべて零となる場合にのみ定義されるn-重積である。これは、すべての( n −1)-成分のサブ連結が非連結であるが、全体のn-成分の連結が非自明であるという ブルンの性質に対応する。
ブルニアン組紐
ブルニアン組紐とは、その弦のいずれか1本を除去すると自明になる組紐である。ブルニアン組紐は組紐群の部分群を形成する。2次元球面上のブルニアン組紐のうち、2次元円板上のブルニアン組紐でないものは、 2次元球面のホモトピー群に非自明な元を生じる。例えば、ボロミアン環に対応する「標準的な」組紐はホップファイバリングS 3 → S 2を生じ、これを（日常的な組紐と同様に）反復すると、同様にブルニアンとなる。
実世界の例
多くの解け目パズルや一部の機械パズルはブルニアンリンクのバリエーションであり、残りの部分と部分的にのみリンクされている 1 つのピースを解放して構造を解体することが目的です。
ブルニアン チェーンは、レインボー ルームやワンダー ルームなどの装置を使用して、弾性バンドから着用可能な装飾品を作成するためにも使用されます。
参考文献
- ^ Bar-Natan, Dror (2010-08-16). 「 All Brunnians, Maybe」 [Academic Pensieve] .
- ^「ラバーバンド」ブルニアンリンク
- ^ a b Bai, Sheng; Wang, Weibiao (2020年11月). 「ブルニアンリンクの新しい基準と構築」 . Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 29 (13): 2043008. arXiv : 2006.10290 . doi : 10.1142/S0218216520430087 . ISSN 0218-2165 .
- ^フリードマン、マイケル・H. ; スコラ、リチャード (1987)、「球面上の群の奇妙な作用」、微分幾何学ジャーナル、25 : 75–98、doi : 10.4310/jdg/1214440725特に補題3.2（89ページ）を参照
- ^ a b c Bai, Sheng; Ma, Jiming (2021年9月). 「衛星構築とブルニアンリンクの幾何学的分類」 . Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 30 (10): 2140005. arXiv : 1906.01253 . doi : 10.1142/S0218216521400058 . ISSN 0218-2165 .
さらに読む
- Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R.; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006)、「配置、組紐、ホモトピー群」、アメリカ数学会誌、19 (2): 265– 326、doi : 10.1090/S0894-0347-05-00507-2、MR 2188127。
- ヘルマン・ブルン、「Über Verkettung」、J. ミュンシュ。ベル、XXII。 77 ～ 99 年 (1892 年)。JFM 24.0507.01 (ドイツ語)
- ミルナー、ジョン（1954年3月）、「リンク群」、Annals of Mathematics、59（2）、Annals of Mathematics：177-195、doi：10.2307/1969685、JSTOR 1969685
- ロルフセン、デール（1976年）『結び目とつながり』、数学講義シリーズ、第7巻、カリフォルニア州バークレー：Publish or Perish、ISBN 0-914098-16-0、MR 0515288
外部リンク
- 「ボロメオリンクはそんなに珍しいのか？」、スラヴィク・ヤブラン著（ジャーナルFormaに掲載されたオリジナルの形式はこちら（PDF ファイル）Wayback Machineに 2021 年 2 月 28 日にアーカイブ）。
- 「Brunnian_link」、The Knot Atlas。