微分代数

数学において、微分代数は、広義には、微分方程式および微分作用素を代数的対象として研究する数学の領域であり、解を計算することなくそれらの性質を導出することを目的としている。これは、多項式代数が多項式方程式系の解集合である代数多様体の研究に用いられるのと同様である。ワイル代数とリー代数は微分代数に属すると考えられる。

より具体的には、微分代数は1950年にジョセフ・リットによって導入された理論を指し、微分環、微分体、微分代数は有限個の微分を備えた環、体、代数である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

微分体の自然な例としては、複素数上の 1 変数有理関数の体があり、ここでの微分は について微分することです。より一般的には、すべての微分方程式は、方程式に現れる (既知の) 関数によって生成される微分体上の微分代数の要素として見ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} (t),}$ ${\displaystyle t.}$

歴史

ジョセフ・リットは、微分方程式系を様々な標準形に還元しようとする試みが不十分なアプローチであると考えたため、微分代数学を考案しました。しかし、代数的消去法と代数多様体論の成功は、リットが微分方程式にも同様のアプローチを検討するきっかけとなりました。^{[ 4 ]} 彼の努力は、最初の論文『代数微分方程式系によって定義される関数の多様体』と2冊の著書『代数的立場からの微分方程式』『微分代数』につながりました。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 2 ]} リットの弟子であったエリス・コルチンはこの分野を発展させ、 『微分代数と代数群』を出版しました。^{[ 1 ]}

差動リング

意味

環 上 の 微分と は、${\textstyle \partial }$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$ （ライプニッツの積の法則）、

すべてのおよび${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle R.}$

これらの恒等式は整数に対して線形微分であることを意味するので、${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$ ${\displaystyle \partial(-r)=-\partial(r).}$

微分環は、一つ以上の微分が互いに可換である可換環 である。つまり、すべての微分対とすべての^{[ 7 ]}微分が 1 つしかない場合は、通常微分環と呼ばれる。そうでない場合は、偏微分環と呼ばれる。${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \partial_{1}(\partial_{2}(r))=\partial_{2}(\partial_{1}(r))}$$ ${\displaystyle r\in R.}$

微分体とは、体でもある微分環である。微分体上の微分代数 とは、微分環のうち、の微分に対する の制限が の微分に等しいものを指す。 （より一般的な定義は以下で示され、が体でない場合をカバーし、が体である場合は本質的に同値である。） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

ウィット代数は、有理数体 を含む微分環です。これは、 がすべての微分が零関数となる微分体 とみなせるため、上の微分代数であることと同値です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

微分環の定数とは、あらゆる微分に対して、微分環の定数が部分環を形成し、微分可能体の定数が部分体を形成するような元のことである。[ 8 ]^{この「定数}」の意味は定数関数の概念を一般化したものであり、定数の一般的な意味と混同してはならない。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \partial r=0}$ ${\displaystyle \partial .}$

基本的な公式

次の恒等式は微分環の導出である^{[ 9 ]}${\displaystyle \delta}$ ${\displaystyle R.}$

• およびが（つまり）における定数である場合、${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta c=0}$ $${\displaystyle \delta(cr)=c\delta(r).}$$
• とが 単位である場合${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)ur\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• が非負の整数である場合、${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in R}$ $${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• が単位であり、が整数である場合、対数微分恒等式が成り立ちます。${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

高階導出

微分作用素、あるいは高階微分とは、複数の微分を合成したものである。微分環の微分は可換と仮定されるため、微分の順序は重要ではなく、微分作用素は次のように書ける。 ここで、は対象となる微分であり、は非負の整数であり、微分の指数はその作用素においてその微分が合成される回数を表す。 $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

和は導出の順序と呼ばれる。導出演算子が元の導出の1つである場合。 ならば、恒等関数が成り立ち、これは一般に唯一の零位の導出演算子と考えられている。これらの規則に従うと、導出演算子は、検討対象の導出の集合上で 自由可換モノイドを形成する。${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle o=1}$ ${\displaystyle o=0}$

微分環の元の微分は微分演算子を上記の表記に適用したものである。真微分は正の位数の微分である。^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$

微分的イデアル

微分環の微分イデアル とは、環の微分に関して閉じた（安定な）イデアルである。つまり、任意の微分と任意の微分に対して、微分イデアルは環全体でない場合に真であると言われる。混乱を避けるため、微分イデアルではないイデアルは代数的イデアルと呼ばれることがある。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle \partial x\in I,}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle x\in I.}$

微分イデアルの根号は、代数イデアルとしての根号、すなわちイデアルにおいて冪を持つ環元の集合と同じである。微分イデアルの根号も微分イデアルである。根号微分イデアルまたは完全微分イデアルは、その根号に等しい微分イデアルである。^{[ 10 ]}素微分イデアルとは、通常の意味で素である微分イデアルである。つまり、積がイデアルに属する場合、少なくとも1つの因数がイデアルに属する。素微分イデアルは常に根号微分イデアルである。

リットの発見は、代数イデアルの古典理論は微分イデアルには適用できないが、その大部分は根元微分イデアルに拡張でき、これによって根元微分イデアルが微分代数学の基礎になるというものである。

任意の微分イデアル族の交点は微分イデアルであり、任意の根元微分イデアル族の交点は根元微分イデアルである。^{[ 11 ]}微分環の 部分集合が与えられたとき、それによって生成される３つのイデアルが存在し、それらはそれぞれ、それを含むすべての代数イデアル、すべての微分イデアル、およびすべての根元微分イデアルの交点となる。^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle S}$

によって生成される代数的イデアルは、の元の有限線形結合の集合であり、一般的にはまたはと表記される。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

によって生成される微分イデアルは、 の元とこれらの元の任意の次数の導関数の有限線形結合の集合です。これは通常 と表記されます。が有限の場合、は一般に代数イデアルとして 有限生成されません。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S].}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]}$

によって生成される根微分イデアルは、一般に と表記されます。他の 2 つのケースと同様にその要素を特徴付ける方法は知られていません。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{S\}.}$

微分多項式

微分体上の微分多項式は、方程式に現れる既知の関数が に属し、未定値が未知の関数の記号である ような微分方程式の概念の形式化です。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$

そこで、を微分体とします。これは典型的には (必ずしもそうとは限らないが)有理分数(多変数多項式の分数) の体であり、 および のような導関数 (通常の偏導関数) を備え ています。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)=K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{i}=1}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

上の不定値を持つ微分多項式環を、微分作用素を含む形で定義するために、無限個の新しい不定値を導入する。ここで、は1以上の位数の任意の微分作用素である。この記法を用いる と、はこれらすべての不定値を持つ多項式全体の集合であり、自然導関数を持つ（各多項式は有限個の不定値のみを含む）。特に、${\textstyle K\{Y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n},}$ ${\displaystyle \Delta y_{i},}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K\{Y\}}$ ${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle K\{y\}=K\left[y,\partial y,\partial ^{2}y,\partial ^{3}y,\ldots \right].}$

微分多項式環がネーター環でない場合でも、この多項式環の一般化の理論は困難になります。しかし、2つの事実によってこのような一般化が可能になります。 ${\displaystyle n=1,}$

まず、有限個の微分多項式は、有限個の不定元を包含する。したがって、有限個の多項式を包含する多項式の性質はすべて、微分多項式にも当てはまる。特に、最大公約数が存在し、微分多項式環は唯一の因数分解域となる。

2つ目の事実は、体が有理数体を含む場合、微分多項式環は根微分イデアル上の上昇連鎖条件を満たすという点である。このリットの定理は、その一般化（リット・ラウデンブッシュ基底定理と呼ばれることもある）によって示唆される。この定理は、リット代数（つまり、有理数体を含む微分環）が根微分イデアル上の上昇連鎖条件を満たす場合、^{[ 13 ]}微分多項式環も同じ性質を満たす（定理を繰り返し適用することで、一変数の場合から多変数の場合に移行できる）と主張する。^{[ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\{y\}}$

このネーター的性質は、微分多項式環において、すべての根元微分イデアルIが根元微分イデアルとして有限生成であることを意味する。つまり、微分多項式の有限集合Sが存在し、 I がSを含む最小の根元微分イデアルであることを意味する。^{[ 16 ]}これにより、根元微分イデアルをそのような有限集合の生成元で表現し、これらのイデアルを用いて計算することが可能になる。しかし、代数的な場合の通常の計算には拡張できないものがある。特に、根元微分イデアルの元の帰属関係や、2つの根元微分イデアルの等式をテストするアルゴリズムは知られていない。

ネーターの性質のもう一つの結果は、根元微分イデアルは、そのイデアルの本質的素成分と呼ばれる有限個の素微分イデアルの交差として一意に表現できることである。 ^{[ 17 ]}

排除法

消去法は、微分方程式のセットから指定された導関数のセットを優先的に消去するアルゴリズムであり、微分方程式のセットをよりよく理解して解くためによく使用されます。

消去法のカテゴリーには、特性集合法、微分グレブナー基底法、結果ベース法などがある。^{[ 1 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

消去アルゴリズムで使用される一般的な操作には、1) 導関数、多項式、および多項式セットの順位付け、2) 多項式の主要な導関数、初期値、および分離値の識別、3) 多項式の削減、および 4) 特殊な多項式セットの作成が含まれます。

デリバティブのランキング

導関数の順位は全順序と許容順序であり、以下のように定義される。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :\theta _{\mu }p>p.}$

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

各導関数は整数組を持ち、単項式順序は導関数の整数組を順位付けすることで導関数を順位付けする。整数組は微分不定項、導関数の多重指数、そして場合によっては導関数の順序を識別できる。順位付けの種類には以下のものがある：^{[ 27 ]}

• 順位付け：${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$
• 敗退ランキング：${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$

この例では、整数タプルは微分不定値と導関数の多重インデックスを識別し、辞書式単項式順序、、は導関数のランクを決定します。^{[ 28 ]}${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$ 。

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

主導関数、頭文字、分離語

これは標準的な多項式の形である。^{[ 24 ] [ 28 ]}${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$

• リーダーまたは主要導関数は、多項式の最高位の導関数です。${\displaystyle u_{p}}$
• 係数には 主導関数は含まれません。${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$ ${\textstyle u_{p}}$
• 多項式の次数は、主導関数の最大指数です。${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$
• 初期値は係数です: 。${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$
• 階数は、多項式の次数まで上げられた主導関数です。${\displaystyle u_{p}^{d}}$
• 分離子は導関数です:。${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$

分離集合は、初期集合は、結合集合は である。^{[ 29 ]}${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$ ${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$ ${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$

削減

多項式 に関する部分的に約された（部分正規形）多項式は、これらの多項式が非基底体要素であり、の適切な導関数を含まないことを示しています。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 29 ]}${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u_{p}}$

多項式 に関する部分約多項式は、におけるの次数が における の次数より小さい場合、に関する約（正規形）多項式になる 。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 29 ]}${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle p}$

自己約多項式集合は、その集合内の他のすべての多項式に関してすべての多項式が約分された集合である。すべての自己約集合は有限である。自己約集合は三角形であり、各多項式要素は異なる主導関数を持つ。^{[ 32 ] [ 30 ]}

リットの縮約アルゴリズムは整数を識別し、擬似除法を用いて微分多項式を、自己縮約多項式集合に関して縮約される、より低いまたは等しい順位の剰余多項式に変換する。アルゴリズムの第一段階では入力多項式を部分的に縮約し、第二段階では多項式を完全に縮約する。縮約の式は以下の通りである。^{[ 30 ]}${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f_{red}}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

多項式集合の順位付け

集合が微分連鎖であるとは、主導関数の階数が^{[ 33 ]}に関して約数であるときである。${\textstyle A}$ ${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$ ${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$ ${\textstyle A_{i+1}}$

自動縮約集合であり、それぞれは順位付けされた多項式元を含む。この手順は、2つの自動縮約集合から同じインデックスを持つ多項式のペアを比較することにより、2つの自動縮約集合を順位付けする。^{[ 34 ]}${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$ そしてそして。${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$ ${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$ およびに対してとなるような が存在する場合。${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\textstyle 1\leq i<k}$ ${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$ の場合、およびの場合。${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$ の場合、およびの場合。${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

多項式集合

特性集合 とは、その部分集合多項式分離項がイデアルの要素でないすべての自己約部分集合の中で、最も順位の低い自己約部分集合のことである。^{[ 35 ]}${\textstyle C}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}}$

デルタ多項式は、共通の導関数 を共有する多項式ペアに適用されます。多項式ペアの主導関数に対する最小公倍数演算子は であり、デルタ多項式は次のように表されます。^{[ 36 ] [ 37 ]}${\textstyle p,q}$ ${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$ ${\textstyle \theta _{pq}}$

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

コヒーレント集合とは、デルタ多項式対をゼロにする多項式集合である。^{[ 36 ] [ 37 ]}

規則的なシステムと規則的な理想

正則系には、 自己簡約かつ首尾一貫した微分方程式の集合と、その方程式の集合に関して簡約された不等式集合が含まれる。 ^{[ 37 ]}${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$ ${\textstyle H_{\Omega }}$

正則微分イデアルと正則代数イデアルは、正則系から生じる飽和イデアルである。 ^{[ 37 ]}ラザードの補題によれば、正則微分イデアルと正則代数イデアルは根基イデアルである。^{[ 38 ]}${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$

• 正規微分イデアル：${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• 正規代数的イデアル：${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

ローゼンフェルド・グレブナーアルゴリズム

ローゼンフェルド・グレブナー法は、根微分イデアルを正則根微分イデアルの有限集合として分解する。特性集合で表されるこれらの正則微分根微分イデアルは、必ずしも素イデアルではなく、表現も必ずしも極小ではない。^{[ 39 ]}

帰属問題とは、微分多項式が微分多項式の集合から生成されるイデアルの元であるかどうかを判定する問題である。ローゼンフェルド・グレブナーアルゴリズムはグレブナー基底の集合を生成する。このアルゴリズムは、部分約剰余多項式がグレブナー基底によって生成される代数的イデアルの元である場合に限り、多項式がイデアルの元であると判定する。^{[ 40 ]}${\textstyle p}$ ${\textstyle S}$

ローゼンフェルド・グレブナーアルゴリズムは、微分方程式の解のテイラー級数展開を容易に作成します。 ^{[ 41 ]}

例

微分場

例 1:は、単一の標準微分を持つ微分有理型関数体です。 ${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$

例 2:は、任意の多項式 に対して、線形微分演算子を微分として持つ微分体です。 ${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$ ${\displaystyle p(y)}$

導出

を多項式 のシフト演算子として定義します。 ${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ ${\textstyle E^{a}}$ ${\textstyle p(y)}$

シフト不変演算子はシフト演算子と可換です。 ${\textstyle T}$ ${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$

ピンチャール微分はシフト不変演算子の微分であり、 である。^{[ 42 ]}${\textstyle T}$ ${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$

定数

整数環は であり、すべての整数は定数です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$

• 1 の微分はゼロです。${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$
• また、。${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$
• 帰納的に、.${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$

有理数体は であり、すべての有理数は定数です。 ${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$

• すべての有理数は整数の商です。

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• 整数の微分はゼロであることを認識しながら、商の微分公式を適用します。

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$ 。

差動サブリング

定数は定数の部分環 を形成する。^{[ 43 ]}${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$

微分イデアル

要素は単に微分リングに微分イデアルを生成する。^{[ 44 ]}${\textstyle \exp(y)}$ ${\textstyle [\exp(y)]}$ ${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$

微分環上の代数

単位元を持つ環はどれも代数である。^{[ 45 ]} したがって微分環は代数である。 ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$

環 が単位環 の中心の部分環であるならば、 は代数である。^{[ 45 ]} したがって、微分環はその微分部分環上の代数である。これはその部分環上の代数の自然な構造である。^{[ 30 ]}${\textstyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$

特殊多項式と正規多項式

リングには、(通常の、平方自由) および(特殊な、理想的な生成元) という既約多項式があります。 ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

多項式

ランキング

環には導関数があり、${\textstyle (\mathbb {Q} \{y_{1},y_{2}\},\delta )}$ ${\textstyle \delta (y_{1})=y_{1}^{\prime }}$ ${\textstyle \delta (y_{2})=y_{2}^{\prime }}$

• 各導関数を整数タプルにマッピングします。${\textstyle \eta (\delta ^{(i_{2})}(y_{i_{1}}))=(i_{1},i_{2})}$
• ランク導関数と整数タプル: .${\textstyle y_{2}^{\prime \prime }\ (2,2)>y_{2}^{\prime }\ (2,1)>y_{2}\ (2,0)>y_{1}^{\prime \prime }\ (1,2)>y_{1}^{\prime }\ (1,1)>y_{1}\ (1,0)}$

主要導関数と初期値

主な派生語、頭文字は次のとおりです。

${\textstyle p={\color {Blue}(y_{1}+y_{1}^{\prime })}\cdot ({\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }})^{2}+3\cdot y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle q={\color {Blue}(y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime })}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+y_{1}\cdot y_{2}^{\prime }+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle r={\color {Blue}(y_{1}+3)}\cdot ({\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }})^{2}+y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }}+2\cdot y_{1}}$

分離剤

${\textstyle S_{p}=2\cdot (y_{1}+y_{1}^{\prime })\cdot y_{2}^{\prime \prime }+3\cdot y_{1}^{2}}$ 。

${\textstyle S_{q}=y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime }}$

${\textstyle S_{r}=2\cdot (y_{1}+3)\cdot y_{1}^{\prime \prime }+y_{1}^{2}}$

自動縮小セット

• 自動約集合はとです。各集合は、異なる多項式主導関数を持つ三角形です。${\textstyle \{p,r\}}$ ${\textstyle \{q,r\}}$
• 非自動約数集合には、に関して部分的に約数化された のみが含まれます。この集合は、多項式が同じ主導関数を持つため、非三角形です。${\textstyle \{p,q\}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

アプリケーション

記号積分

記号積分では、エルミート還元、チチョフスキーアルゴリズム、ラザード・リオボー・トレーガーアルゴリズム、ホロウィッツ・オストログラツキーアルゴリズム、平方分解、特殊多項式と通常多項式への分割分解など、多項式とその導関数を含むアルゴリズムが使用されます。^{[ 46 ]}

微分方程式

微分代数は、一連の微分多項式方程式が解を持つかどうかを判定できる。全位数順位付けは代数的制約を特定できる。消去順位付けは、1つまたは選択された独立変数のグループが微分方程式を表現できるかどうかを判定できる。三角分解と消去順序を用いることで、段階的な方法で微分不定項を1つずつ解くことができる。別のアプローチとして、既知の解形式を持つ微分方程式のクラスを作成し、微分方程式をそのクラスと一致させることで方程式の解を特定する方法がある。微分代数方程式系の数値積分を容易にする手法も存在する。 ^{[ 47 ]}

カオスを含む非線形動的システムの研究では、微分消去法を用いて微分方程式を単一の状態変数を含む常微分方程式に簡約した。この方法はほとんどの場合成功し、近似解の開発、カオスの効率的な評価、リアプノフ関数の構築が容易になった。^{[ 48 ]}研究者らは、微分消去法を細胞生物学の 理解、コンパートメント生化学モデル、生化学反応のパラメータ推定および準定常状態近似（QSSA）に応用してきた。^{[ 49 ] [ 50 ]}微分グレブナー基底を用いて、研究者らは非線形微分方程式の 非古典的な対称性特性を調査した。^{[ 51 ]} その他の応用としては、制御理論、モデル理論、代数幾何学などがある。^{[ 52 ] [ 16 ] [ 53 ]} 微分代数は微分差分方程式にも適用される。^{[ 54 ]}

微分を含む代数

微分次数付きベクトル空間

ベクトル空間とは、に対して整数次数のベクトル空間の集合である。この次数付きベクトル空間は直和で表すことができる。 ^{[ 55 ]}${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ ${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle V_{m}}$ ${\textstyle |v|=m}$ ${\textstyle v\in V_{m}}$

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

微分次数付きベクトル空間または鎖複素数とは、との微分写像または境界写像を持つ次数付きベクトル空間である。^{[ 56 ]}${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$ ${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$

コチェーン複体とは、の微分写像または共境界写像を持つ次数付きベクトル空間である。^{[ 56 ]}${\textstyle V^{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$ ${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$

微分階数代数

微分次数代数は、次数ライプニッツ積分則に従う線形微分を持つ次数代数である。 ^{[ 57 ]}${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$ ${\displaystyle d\circ d=0}$

• 次数付きライプニッツ積分則:ベクトルの次数を持つ。${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a}$

リー代数

リー代数は、歪対称性とヤコビ恒等性を持つ双線型括弧演算子を持つ有限次元の実数または複素ベクトル空間である。^{[ 58 ]}${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$

• 歪対称性:${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ヤコビ恒等式の性質:${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

すべてのために。 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$

随伴演算子は括弧の微分である。なぜなら、随伴演算子の二項括弧演算への影響は、微分が二項積演算に与える影響と類似しているからである。これは、によって決定される内部微分である。^{[ 59 ] [ 60 ]}${\textstyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[Y,X]}$ ${\textstyle X}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

リー代数の普遍包絡代数は 、単位元を持つ極大結合代数であり、リー代数の元によって生成され、括弧演算によって定義される積を含む。極大とは、線型準同型写像が、普遍代数を、他の任意の代数（これらの性質を持つもの）に写像することを意味する。随伴作用素は、ライプニッツの積則に従う微分である。^{[ 61 ]}${\textstyle U({\mathcal {g}})}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$

• 製品 ：${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ ${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• ライプニッツの積の法則:${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

すべてのために。 ${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$

ワイル代数

ワイル代数は、特定の非可換積を持つ 環上の代数である: ^{[ 62 ]}${\textstyle A_{n}(K)}$ ${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\ :\ i\in \{1,\dots ,n\}}$ 。

その他の不定積はすべて に対して可換である。 ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$ 。

ワイル代数は可換環の多項式の微分を表現することができる。ワイル代数の元は自己準同型であり、元は標準微分として機能し、写像合成は線型微分作用素を生成する。D 加群は微分作用素を理解するための関連するアプローチである。自己準同型は以下の通りである：^{[ 62 ]}${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ ${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

擬微分作用素環

結合的かつ非可換な環は微分を持つ。^{[ 63 ]}${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$

擬微分作用素環は 環元を含む左作用素環で ある: ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$ ${\textstyle \operatorname {A-module} }$ ${\textstyle L}$

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}$

微分演算子は である。^{[ 63 ]}${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$

二項係数は です。 ${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$

擬似微分演算子の乗算は次の通りである: ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$

未解決の問題

リットの問題は、特性集合が両方のイデアルを識別するときに、1つの素微分イデアルが2番目の素微分イデアルを含むかどうかを決定するアルゴリズムが存在するかどうかを問うものである。^{[ 66 ]}

コルチンカテナリー予想は、次元の既約微分代数多様体と任意の点が与えられたとき、VからVにかけて既約微分代数部分多様体の長いギャップ連鎖が発生することを述べている。 ^{[ 67 ]}${\textstyle d>0}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle p\in V}$ ${\textstyle p}$

ヤコビ上界予想は、微分多様体の既約成分の位数の上限に関する予想である。多項式の位数はヤコビ数を決定し、この上界はヤコビ数によって決定されるという予想である。^{[ 68 ]}

参照

• 算術微分 – 整数論における整数上で定義された関数
• 差分代数
• 微分代数幾何学
• 可換代数上の微分積分
• 微分ガロア理論 – 微分体のガロア対称群の研究
• 微分閉場
• 微分次数代数 – ホモロジー代数における代数構造
• D加群 – 微分作用素の層上の加群
• ハーディ体 – 数学的概念
• ケーラー微分 – 可換代数における微分形式
• リウヴィルの定理（微分代数）  - 初等関数の原始関数が初等関数として表現できる場合を述べる
• ピカール・ヴェシオ理論 – 線型微分方程式によって誘起される微分場の拡張の研究
• コルチンの問題

引用

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外部リンク

• David Marker のホームページには、微分場について議論するオンライン調査がいくつかあります。