微積分学 において、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ にちなんで名付けられた、積分記号の下での微分に関するライプニッツの積分則 は、積分 関数 が であり、被積分関数がこの積分の導関数 に依存する場合 、積分は と表すことができると述べている。 ここで偏導関数 は、積分内部ではの変化のみが導関数を取る際に考慮されることを示す。[ 1 ] ∫ 1つの （ × ） b （ × ） f （ × 、 t ） d t 、 {\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,} − ∞ < 1つの （ × ） 、 b （ × ） < ∞ {\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty } × 、 {\displaystyle x,} d d × （ ∫ 1つの （ × ） b （ × ） f （ × 、 t ） d t ） ＝ f （ × 、 b （ × ） ） ⋅ d d × b （ × ） − f （ × 、 1つの （ × ） ） ⋅ d d × 1つの （ × ） + ∫ 1つの （ × ） b （ × ） ∂ ∂ × f （ × 、 t ） d t {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)\\&=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\end{aligned}}} ∂ ∂ × {\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}} f （ × 、 t ） {\displaystyle f(x,t)} × {\displaystyle x}
関数とが定数であり、値が に依存しない特殊なケースでは、これは次のように単純化されます。 1つの （ × ） {\displaystyle a(x)} b （ × ） {\displaystyle b(x)} 1つの （ × ） ＝ 1つの {\displaystyle a(x)=a} b （ × ） ＝ b {\displaystyle b(x)=b} × 、 {\displaystyle x,} d d × （ ∫ 1つの b f （ × 、 t ） d t ） ＝ ∫ 1つの b ∂ ∂ × f （ × 、 t ） d t 。 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}
が定数で の場合（これは別の一般的な状況です（たとえば、コーシーの繰り返し積分公式 の証明など）、ライプニッツの積分則は次のようになります。 1つの （ × ） ＝ 1つの {\displaystyle a(x)=a} b （ × ） ＝ × {\displaystyle b(x)=x} d d × （ ∫ 1つの × f （ × 、 t ） d t ） ＝ f （ × 、 × ） + ∫ 1つの × ∂ ∂ × f （ × 、 t ） d t 、 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}
この重要な結果は、特定の条件下では積分演算子と偏微分演算子 の交換に用いることができ、特に積分変換 の微分において有用である。一例として、確率論 における モーメント生成関数が挙げられる。これは ラプラス変換 の一種であり、微分することで確率変数 のモーメント を生成することができる。ライプニッツの積分則が適用されるかどうかは、本質的には極限 の交換に関する問題である。
右辺はラグランジュ記法 を使って次のように書くこともできます。 f （ × 、 b （ × ） ） b ′ （ × ） − f （ × 、 1つの （ × ） ） 1つの ′ （ × ） + ∫ 1つの （ × ） b （ × ） f × （ × 、 t ） d t 。 \textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}
より強い定理は、偏微分がほぼどこにでも 存在することだけを要求し、連続であることは要求しない。[ 2 ] この式はライプニッツの積分則の一般形であり、微積分学の基本定理 を用いて導くことができる。微積分学の基本定理（第一）は、上記の式の特殊なケースであり、が定数であり、に依存しない。1つの （ × ） ＝ 1つの ∈ R {\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} } b （ × ） ＝ × 、 {\displaystyle b(x)=x,} f （ × 、 t ） ＝ f （ t ） {\displaystyle f(x,t)=f(t)} × 。 {\displaystyle x.}
上限と下限の両方を定数とすると、式は演算子 方程式の形をとります。 ここで、 はに関する偏微分 、は に関する固定区間 上の積分演算子です。つまり、これは二階微分 の対称性 と関連していますが、微分だけでなく積分も含んでいます。この場合、ライプニッツの積分則としても知られています。 私 t ∂ × ＝ ∂ × 私 t {\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}} ∂ × {\displaystyle \partial_{x}} × {\displaystyle x} 私 t {\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}} t {\displaystyle t}
極限の交換 に関する次の 3 つの基本定理は本質的に同等です。
微分と積分の交換（積分記号の下での微分、すなわちライプニッツの積分則） 偏導関数の順序の変更。 積分順序の変更（積分記号の下での積分、すなわち、フビニの定理 ）。
図1: 空間全体に定義されたベクトル場F ( r , t )と、速度 v で移動する曲線∂Σで囲まれた表面Σ 。この表面上で場が積分されます。 3次元空間を移動する2次元面 に対するライプニッツの積分則は[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]である。
d d t ∬ Σ （ t ） F （ r 、 t ） ⋅ d あ ＝ ∬ Σ （ t ） （ F t （ r 、 t ） + [ ∇ ⋅ F （ r 、 t ） ] v ） ⋅ d あ − ∮ ∂ Σ （ t ） [ v × F （ r 、 t ） ] ⋅ d s 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}
どこ：
F ( r , t )tにおける空間位置 r F t r , t )Σ は閉曲線∂Σ で囲まれた曲面であり、d A Σ のベクトル要素であり、d s ∂Σ のベクトル要素であり、v は領域Σ の移動速度であり、∇⋅ はベクトル発散 であり、×は ベクトル外積で あり、二重積分は面Σ上 の面積分 であり、線積分は 境界曲線∂Σ 上の線積分です。
ライプニッツの積分則は多次元積分にも拡張できます。2次元および3次元では、この則は流体力学 の分野ではレイノルズ輸送定理 としてよく知られています。 d d t ∫ D （ t ） F （ × 、 t ） d V ＝ ∫ D （ t ） ∂ ∂ t F （ × 、 t ） d V + ∫ ∂ D （ t ） F （ × 、 t ） v b ⋅ d Σ 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}
ここで、 はスカラー関数、D ( t ) と∂ D ( t )はそれぞれ R 3 とその境界の時間変動接続領域を表し、は境界のオイラー速度（ラグランジュ座標とオイラー座標を 参照）、d Σ = n dS は表面 要素 の単位法線成分です。 F ( x , t ) {\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)} v b {\displaystyle \mathbf {v} _{b}}
ライプニッツの積分則の一般的な記述には、微分幾何学 の概念、特に微分形式 、外微分 、ウェッジ積 、内積が必要です。これらのツールを用いると、 n 次元におけるライプニッツの積分則は[ 4 ] Ω( t ) は時間変動積分領域、ω はp 形式、は速度のベクトル場、との内積 、d x ω は 空間 変数のみに関するω の外微分、は ω の時間微分です。 d d t ∫ Ω ( t ) ω = ∫ Ω ( t ) i v ( d x ω ) + ∫ ∂ Ω ( t ) i v ω + ∫ Ω ( t ) ω ˙ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},} v = ∂ x ∂ t {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}} i v {\displaystyle i_{\mathbf {v} }} v {\displaystyle \mathbf {v} } ω ˙ {\displaystyle {\dot {\omega }}}
上記の式は、リー微分が 時空多様体 の微分形式の積分とうまく相互作用する という事実から直接導かれます。ここで、 の時空外微分はであり、面は時空速度場 を持ちます。 は空間成分のみを持つため、リー微分はカルタンの魔法の公式 を用いて簡略化できます。これを 上で積分し、第2項に一般化ストークスの定理 を適用すると、必要な3つの項に簡約されます。 d d t ∫ Ω ( t ) ω = ∫ Ω ( t ) L Ψ ω , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,} M = R × R 3 {\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}} ω {\displaystyle \omega } d ω = d t ∧ ω ˙ + d x ω {\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega } Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} Ψ = ∂ ∂ t + v {\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} } ω {\displaystyle \omega } L Ψ ω = L v ω + L ∂ ∂ t ω = i v d ω + d i v ω + i ∂ ∂ t d ω = i v d x ω + d i v ω + ω ˙ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}} Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)}
測度論の声明 を の開部分集合とし、を測度空間 とする。 が以下の条件を満たすと仮定する: [ 6 ] [ 7 ] [ 2 ] X {\displaystyle X} R {\displaystyle \mathbf {R} } Ω {\displaystyle \Omega } f : X × Ω → R {\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }
f ( x , ω ) {\displaystyle f(x,\omega )} ω {\displaystyle \omega } x ∈ X {\displaystyle x\in X} ほとんどすべて の に対して、偏微分はすべての に対して存在します。ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } f x {\displaystyle f_{x}} x ∈ X {\displaystyle x\in X} すべてのおよびほぼすべてのに対してとなるような積分可能な関数が存在します。θ : Ω → R {\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} } | f x ( x , ω ) | ≤ θ ( ω ) {\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )} x ∈ X {\displaystyle x\in X} ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } そして、すべての に対して、 x ∈ X {\displaystyle x\in X} d d x ∫ Ω f ( x , ω ) d ω = ∫ Ω f x ( x , ω ) d ω . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}
証明は、優勢収束定理 と平均値定理 に依存します(詳細は下記)。
証明
まず積分の極限a とb が一定である場合を証明します。
フビニの定理を 用いて積分の順序を変えます。h > 0かつ x x + h [ x 0 , x 1 ] の範囲内にあるような任意のx とhに対して、以下 の 式が成り立ちます。 ∫ x x + h ∫ a b f x ( x , t ) d t d x = ∫ a b ∫ x x + h f x ( x , t ) d x d t = ∫ a b ( f ( x + h , t ) − f ( x , t ) ) d t = ∫ a b f ( x + h , t ) d t − ∫ a b f ( x , t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}
閉じた長方形で が連続し、したがってそこで一様連続でもあるため、ここでの積分は明確に定義されていることに注意してください。したがって、 dt またはdx による積分は他の変数で連続し、それによって積分可能です (基本的に、一様連続関数の場合、以下で説明するように、積分符号を極限まで通過できるためです)。 f x ( x , t ) {\displaystyle f_{x}(x,t)} [ x 0 , x 1 ] × [ a , b ] {\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}
したがって： ∫ a b f ( x + h , t ) d t − ∫ a b f ( x , t ) d t h = 1 h ∫ x x + h ∫ a b f x ( x , t ) d t d x = F ( x + h ) − F ( x ) h {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}
ここで次のように定義しました。 （ここでx 0 を x 0 とx の間の任意の点に 置き換えることができます） F ( u ) := ∫ x 0 u ∫ a b f x ( x , t ) d t d x {\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}
F は導関数 で微分可能なので、 h が ゼロに近づく極限を取ることができます。左辺の場合、この極限は次のようになります。 ∫ a b f x ( x , t ) d t {\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt} d d x ∫ a b f ( x , t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}
右側については次のようになります。 そして、望ましい結果が証明されます。 F ′ ( x ) = ∫ a b f x ( x , t ) d t {\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt} d d x ∫ a b f ( x , t ) d t = ∫ a b f x ( x , t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}
有界収束定理を用いた別の証明 手元の積分がルベーグ積分である場合、限界が積分符号を通過できることを示すために、 有界収束定理 （これらの積分には有効ですが、リーマン積分 には有効ではありません）を使用できます。
この証明は、 f x ( x , t ) がルベーグ積分可能であることを示しているだけで、リーマン積分可能であることを示しておらず、その意味で弱い証明であることに注意してください。前者の（より強い）証明では、f ( x , t ) がリーマン積分可能であるならば、 f x ( x , t ) も積分可能であり（したがって、明らかにルベーグ積分可能である）、
させて
u ( x ) = ∫ a b f ( x , t ) d t . {\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.} 1
微分の定義によれば、
u ′ ( x ) = lim h → 0 u ( x + h ) − u ( x ) h . {\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.} 2
式( 1 2 h は定数なので、 u ′ ( x ) = lim h → 0 ∫ a b f ( x + h , t ) d t − ∫ a b f ( x , t ) d t h = lim h → 0 ∫ a b ( f ( x + h , t ) − f ( x , t ) ) d t h = lim h → 0 ∫ a b f ( x + h , t ) − f ( x , t ) h d t . {\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}
ここで、極限が積分符号を通過できることを示します。
積分符号の下の極限通過は、有界収束定理（優勢収束定理 の系）により有効であると主張する。各δ > 0 について、差分商 t を 考えてみよう。t を固定した 場合、平均値定理 より、区間 [ x , x + δ ] に次の条件を満たすz が存在することがわかる。f x ( x t ) の連続性と定義域のコンパクトさから、 f x x , t ) は有界であることが分かる。したがって、上記の平均値定理の適用により、 の（ に依存しない）一様境界が得られる。差分商は、偏微分が存在するという仮定により、 偏微分f xに点ごとに収束する。 f δ ( x , t ) = f ( x + δ , t ) − f ( x , t ) δ . {\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.} f δ ( x , t ) = f x ( z , t ) . {\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).} t {\displaystyle t} f δ ( x , t ) {\displaystyle f_{\delta }(x,t)}
上記の議論は、任意の { δ n } → 0 列に対して、その列は一様有界であり、点収束でf x δ n } → 0 列で交換可能です。したがって、 δ → 0における極限は積分符号を通過できます。 { f δ n ( x , t ) } {\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}
代わりに、となる積分可能な関数が存在することだけがわかっている場合は、 となり、優勢収束定理によって積分の内側に極限を移動できるようになります。 θ : Ω → R {\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} } | f x ( x , ω ) | ≤ θ ( ω ) {\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )} | f δ ( x , t ) | = | f x ( z , t ) | ≤ θ ( ω ) {\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}
実数値 1変数の 連続関数 g と、実数値1変数の 微分可能 関数とについて、f 1 {\displaystyle f_{1}} f 2 {\displaystyle f_{2}} d d x ( ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t ) = g ( f 2 ( x ) ) f 2 ′ ( x ) − g ( f 1 ( x ) ) f 1 ′ ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}
これは連鎖律 と微積分学の第一基本定理 から導かれる。 と を定義する （ 下限は の領域内の任意の数でなければならない）。 G ( x ) = ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t , {\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,} Γ ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t . {\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.} g {\displaystyle g}
すると、は合成 として書き表すことができます。連鎖律 から、 が成り立ちます 。微積分学の第一基本定理 より、です。したがって、この結果を上記の式に代入すると、目的の方程式が得られます。 G ( x ) {\displaystyle G(x)} G ( x ) = ( Γ ∘ f 2 ) ( x ) − ( Γ ∘ f 1 ) ( x ) {\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)} G ′ ( x ) = Γ ′ ( f 2 ( x ) ) f 2 ′ ( x ) − Γ ′ ( f 1 ( x ) ) f 1 ′ ( x ) . {\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).} Γ ′ ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)} G ′ ( x ) = g ( f 2 ( x ) ) f 2 ′ ( x ) − g ( f 1 ( x ) ) f 1 ′ ( x ) . {\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}
注: この形式は、微分する式が次の形式の場合に特に便利です。 は 積分の極限に依存しない ため、積分記号の下から移動することができ、上記の形式は積分規則 とともに使用できます。つまり、 ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) h ( x ) g ( t ) d t {\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt} h ( x ) {\displaystyle h(x)} d d x ( ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) h ( x ) g ( t ) d t ) = d d x ( h ( x ) ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t ) = h ′ ( x ) ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t + h ( x ) d d x ( ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}
ここ で、a とbは α の関数であり、 αがΔα だけ 増加すると、それぞれΔa とΔbの増分 を示す。すると、 φ ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x , {\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,} Δ φ = φ ( α + Δ α ) − φ ( α ) = ∫ a + Δ a b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a + Δ a a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = − ∫ a a + Δ a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}
平均値定理 の一種、a < ξ < b は、上記のΔ φ の式の最初と最後の積分に適用することができ、その結果、 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( ξ ) {\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )} Δ φ = − Δ a f ( ξ 1 , α + Δ α ) + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + Δ b f ( ξ 2 , α + Δ α ) . {\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}
Δ α で割り、 Δ α → 0 とする。ξ 1 → a および ξ 2 → b に注意する。 積分符号 を越える 極限 は、 これ も有界収束定理によって成立する。これにより、 ライプニッツの積分則の一般形が得られる。 lim Δ α → 0 ∫ a b f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) Δ α d x = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x , {\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,} d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x + f ( b , α ) d b d α − f ( a , α ) d a d α . {\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}
変数極限を持つライプニッツの積分則の一般形は、ライプニッツの積分則の基本形、 多変数連鎖律 、および微積分学の第一基本定理 の結果として導出できる。 が-平面上の長方形において、および に対して定義されているとする。また、と偏微分はともにこの長方形上の連続関数であるとする。 が上で定義され、 （すなわち任意の に対して）の値を持つ微分可能な 実数値関数であるとする。ここで、 と とを 設定する。f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} t {\displaystyle t} x ∈ [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]} t ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]} f {\displaystyle f} ∂ f ∂ x {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} a , b {\displaystyle a,b} [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]} [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle [t_{1},t_{2}]} x ∈ [ x 1 , x 2 ] , a ( x ) , b ( x ) ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]} F ( x , y ) = ∫ t 1 y f ( x , t ) d t , for x ∈ [ x 1 , x 2 ] and y ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]} G ( x ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t , for x ∈ [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}
そして、定積分 の性質により、次のように書くことができる。 G ( x ) = ∫ t 1 b ( x ) f ( x , t ) d t − ∫ t 1 a ( x ) f ( x , t ) d t = F ( x , b ( x ) ) − F ( x , a ( x ) ) {\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}
関数はすべて微分可能であるため（証明の最後の注釈を参照）、多変数連鎖律 より、 は微分可能であり、その導関数は次式で与えられることが わかります。ここで、すべての、およびすべての について、 が成り立ちます。について偏微分を取る場合、式 を固定しているからです。したがって、積分の制限が一定であるライプニッツの積分則の基本形が適用されます。 次に、 微積分学の第一基本定理 より、 が成り立ちます。について偏微分を取る場合、最初の変数が固定されているため、基本定理を適用できるからです。 F , a , b {\displaystyle F,a,b} G {\displaystyle G} G ′ ( x ) = ( ∂ F ∂ x ( x , b ( x ) ) + ∂ F ∂ b ( x ) ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) ) − ( ∂ F ∂ x ( x , a ( x ) ) + ∂ F ∂ a ( x ) ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) ) {\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial b(x)}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial a(x)}}(x,a(x))a'(x)\right)} x ∈ [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]} y ∈ [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]} ∂ F ∂ x ( x , y ) = ∫ t 1 y ∂ f ∂ x ( x , t ) d t {\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt} x {\displaystyle x} F {\displaystyle F} y {\displaystyle y} ∫ t 1 y f ( x , t ) d t {\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt} ∂ F ∂ y ( x , y ) = f ( x , y ) {\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)} y {\displaystyle y} F {\displaystyle F} x {\displaystyle x}
これらの結果を上記の式に代入すると、 期待どおりの結果が得られます。 G ′ ( x ) {\displaystyle G'(x)} G ′ ( x ) = ( ∫ t 1 b ( x ) ∂ f ∂ x ( x , t ) d t + f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) ) − ( ∫ t 1 a ( x ) ∂ f ∂ x ( x , t ) d t + f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) ) = f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ f ∂ x ( x , t ) d t , {\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}
上記の証明には、注目すべき技術的な点があります。連鎖律を に適用するには、が既に微分可能 であることが必要です。これは、 についての仮定を使用する部分です。上で述べたように、 の偏微分は公式および で与えられます 。は連続なので、その積分も連続関数です。[ 8 ] [ 9 ] G {\displaystyle G} F {\displaystyle F} f {\displaystyle f} F {\displaystyle F} ∂ F ∂ x ( x , y ) = ∫ t 1 y ∂ f ∂ x ( x , t ) d t {\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt} ∂ F ∂ y ( x , y ) = f ( x , y ) {\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)} ∂ f ∂ x {\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}} f {\displaystyle f} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F}
時刻tにおいて、 図 1 の面 Σ には、重心 を中心とする点の集合が含まれます。関数は、時間に依存しない と表すことができます 。変数は、原点が である、移動する面に付随する新しい参照フレームに移動します。剛体移動する面の場合、積分の極限は時間に依存せず、次のようになります。 ここで、積分を領域 Σ に限定する積分極限はもはや時間に依存しないため、微分は積分を通り抜けて積分対象にのみ作用します。 面の運動速度は次のように定義されます。 C ( t ) {\displaystyle \mathbf {C} (t)} F ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)} F ( C ( t ) + r − C ( t ) , t ) = F ( C ( t ) + I , t ) , {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),} I {\displaystyle \mathbf {I} } C ( t ) {\displaystyle \mathbf {C} (t)} d d t ( ∬ Σ ( t ) d A r ⋅ F ( r , t ) ) = ∬ Σ d A I ⋅ d d t F ( C ( t ) + I , t ) , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),} d d t F ( C ( t ) + I , t ) = F t ( C ( t ) + I , t ) + v ⋅ ∇ F ( C ( t ) + I , t ) = F t ( r , t ) + v ⋅ ∇ F ( r , t ) , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),} v = d d t C ( t ) . {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}
この式は、場の物質微分 、つまり運動する表面に付随する座標系に対する微分を表します。微分を求めれば、変数は元の参照系に戻すことができます。（回転に関する記事を 参照） また、ストークスの定理は、Σ上の回転の面積分と ∂Σ 上の線積分を等しくしていることに留意してください。 ∇ × ( v × F ) = ( ∇ ⋅ F + F ⋅ ∇ ) v − ( ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ ) F , {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,} d d t ( ∬ Σ ( t ) F ( r , t ) ⋅ d A ) = ∬ Σ ( t ) ( F t ( r , t ) + ( F ⋅ ∇ ) v + ( ∇ ⋅ F ) v − ( ∇ ⋅ v ) F ) ⋅ d A − ∮ ∂ Σ ( t ) ( v × F ) ⋅ d s . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}
線積分の符号は、線要素d s の方向の選択に関する右手の法則 に基づきます。この符号を確立するために、たとえば、フィールドF が正のz方向を指し、面 Σ が周囲が ∂Σ である xy 平面の一部であると仮定します。 Σ の法線が正のz 方向になるように採用します。 ∂Σ の正の横断は反時計回りになります ( z 軸に沿って親指で右手の法則)。次に、左側の積分により、 Σ を通るF の正の流束が決まります。 Σ が速度 v で正のx 方向に移動すると仮定します。 y 軸に平行な Σ の境界の要素 (たとえばd s ) が、時間t で領域v t × d s を掃引します。境界 ∂Σ の周りを反時計回りに積分すると、v t × d s は∂Σ の左側では負のz方向（ d s は下向き）を指し、 ∂Σ の右側では正のz 方向（d s は上向き）を指します。これは、Σ が右に移動して右側で面積を増やし、左側で面積を減らすため、理にかなっています。そのことから、F の流束は ∂Σ の右側で増加し、左側で減少します。ただし、ドット積 v × F ⋅ d s = − F × v ⋅ d s = − F ⋅ v × d s
v が定数である 場合、 これは引用された結果です。この証明では、表面が移動する際に変形する可能性は考慮されていません。 d d t ∬ Σ ( t ) F ( r , t ) ⋅ d A = ∬ Σ ( t ) ( F t ( r , t ) + ( ∇ ⋅ F ) v ) ⋅ d A − ∮ ∂ Σ ( t ) ( v × F ) ⋅ d s , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}
代替導出 補題： 次のようになる 。∂ ∂ b ( ∫ a b f ( x ) d x ) = f ( b ) , ∂ ∂ a ( ∫ a b f ( x ) d x ) = − f ( a ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}
証明。 微積分学の基本定理の証明 から、
∂ ∂ b ( ∫ a b f ( x ) d x ) = lim Δ b → 0 1 Δ b ( ∫ a b + Δ b f ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x ) = lim Δ b → 0 1 Δ b ( ∫ a b f ( x ) d x + ∫ b b + Δ b f ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x ) = lim Δ b → 0 1 Δ b ∫ b b + Δ b f ( x ) d x = lim Δ b → 0 1 Δ b [ f ( b ) Δ b + O ( Δ b 2 ) ] = f ( b ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}} ∂ ∂ a ( ∫ a b f ( x ) d x ) = lim Δ a → 0 1 Δ a [ ∫ a + Δ a b f ( x ) d x − ∫ a b f ( x ) d x ] = lim Δ a → 0 1 Δ a ∫ a + Δ a a f ( x ) d x = lim Δ a → 0 1 Δ a [ − f ( a ) Δ a + O ( Δ a 2 ) ] = − f ( a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}
a とb は定数であり、f ( x ) には、積分においては定数であるが、異なる積分を形成するために変化する可能性のあるパラメータαが含まれるものとする。 f ( x , α ) はコンパクト集合 {( x , α ) : α 0 ≤ α ≤ α 1 かつa ≤ x ≤ b } における x とα の連続関数であり、偏微分f α x , α ) が存在し、連続であるとする。次のように定義すると、 積分符号の下で微分することにより 、α に関して微分することができる。すなわち、 φ ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x , {\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,} φ {\displaystyle \varphi } d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x . {\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}
ハイネ・カントール定理 によれば、その集合内では一様連続である。言い換えれば、任意のε > 0 に対して、Δ α が存在し、[ a , b ] 内の任意のx の値に対して、 | f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) | < ε . {\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}
一方で、 Δ φ = φ ( α + Δ α ) − φ ( α ) = ∫ a b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b ( f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ) d x ≤ ε ( b − a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}
したがってφ ( α )は連続関数である。
同様に、が存在し、連続である場合、すべてのε > 0に対して、次の Δ α が存在する:∂ ∂ α f ( x , α ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )} ∀ x ∈ [ a , b ] , | f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) Δ α − ∂ f ∂ α | < ε . {\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}
したがって 、 Δ φ Δ α = ∫ a b f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) Δ α d x = ∫ a b ∂ f ( x , α ) ∂ α d x + R , {\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,} | R | < ∫ a b ε d x = ε ( b − a ) . {\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}
さて、ε → 0 は Δ α → 0 なので、 lim Δ α → 0 Δ φ Δ α = d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x . {\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}
これが私たちが証明しようとした公式です。
ここで、 a とbが α の関数であり 、α が Δαだけ増加すると、それぞれΔa とΔbだけ 増加すると仮定する。 ∫ a b f ( x , α ) d x = φ ( α ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),} Δ φ = φ ( α + Δ α ) − φ ( α ) = ∫ a + Δ a b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a + Δ a a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = − ∫ a a + Δ a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}
平均値定理 の一種（a < ξ < b ）を上記のΔφ の式の最初の積分と最後の積分に適用すると、次のようになる。 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( ξ ) , {\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),} Δ φ = − Δ a f ( ξ 1 , α + Δ α ) + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + Δ b f ( ξ 2 , α + Δ α ) . {\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}
Δ α で割り、 Δ α → 0 とし、ξ 1 → a およびξ 2 → b に注意し、上記の導出を用いると 、 d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x {\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx} d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x + f ( b , α ) ∂ b ∂ α − f ( a , α ) ∂ a ∂ α . {\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}
これはライプニッツの積分則の一般的な形です。
例
例1: 固定制限 機能について考える
φ ( α ) = ∫ 0 1 α x 2 + α 2 d x . {\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.} 積分符号の下の関数は点 で連続ではなく、として近づくため関数 はで不連続になります。 ( x , α ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (x,\alpha )=(0,0)} φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} α = 0 {\displaystyle \alpha =0} φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} ± π / 2 {\displaystyle \pm \pi /2} α → 0 ± {\displaystyle \alpha \to 0^{\pm }}
を積分記号の下 で微分すると、 についてが得られる。これをについて 積分すると、φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} α {\displaystyle \alpha } d d α φ ( α ) = ∫ 0 1 ∂ ∂ α ( α x 2 + α 2 ) d x = ∫ 0 1 x 2 − α 2 ( x 2 + α 2 ) 2 d x = − x x 2 + α 2 | 0 1 = − 1 1 + α 2 , {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},} α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} α {\displaystyle \alpha } φ ( α ) = { 0 , α = 0 , − arctan ( α ) + π 2 , α ≠ 0. {\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}
例2: 変数制限 変数制限のある例: d d x ∫ sin x cos x cosh t 2 d t = cosh ( cos 2 x ) d d x ( cos x ) − cosh ( sin 2 x ) d d x ( sin x ) + ∫ sin x cos x ∂ ∂ x ( cosh t 2 ) d t = cosh ( cos 2 x ) ( − sin x ) − cosh ( sin 2 x ) ( cos x ) + 0 = − cosh ( cos 2 x ) sin x − cosh ( sin 2 x ) cos x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}
アプリケーション
定積分の評価 この公式は 、特定の定積分を評価する際に役立ちます。この文脈で使用される場合、積分符号の下での微分に関するライプニッツの積分則は、積分におけるファインマンのトリック とも呼ばれます。 d d x ( ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t ) = f ( x , b ( x ) ) ⋅ d d x b ( x ) − f ( x , a ( x ) ) ⋅ d d x a ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt}
例3 その導関数はポアソン積分 として知られ 、[ 10 ] φ ( α ) = ∫ 0 π ln ( 1 − 2 α cos ( x ) + α 2 ) d x , | α | ≠ 1. {\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |\neq 1.} d d α φ ( α ) = ∫ 0 π − 2 cos ( x ) + 2 α 1 − 2 α cos ( x ) + α 2 d x = 1 α ∫ 0 π ( 1 − 1 − α 2 1 − 2 α cos ( x ) + α 2 ) d x = π α − 2 α { arctan ( 1 + α 1 − α tan ( x 2 ) ) } | 0 π . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}
からに変化するので、 x {\displaystyle x} 0 {\displaystyle 0} π {\displaystyle \pi } { 1 + α 1 − α tan ( x 2 ) ≥ 0 , | α | < 1 , 1 + α 1 − α tan ( x 2 ) ≤ 0 , | α | > 1. {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 0,&|\alpha |<1,\\{\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\leq 0,&|\alpha |>1.\end{cases}}}
したがって、 arctan ( 1 + α 1 − α tan ( x 2 ) ) | 0 π = { π 2 , | α | < 1 , − π 2 , | α | > 1. {\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
したがって、
d d α φ ( α ) = { 0 , | α | < 1 , 2 π α , | α | > 1. {\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi }{\alpha }},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
両辺を について積分すると次のようになります。 α {\displaystyle \alpha } φ ( α ) = { C 1 , | α | < 1 , 2 π ln | α | + C 2 , | α | > 1. {\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}C_{1},&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},&|\alpha |>1.\end{cases}}}
C 1 = 0 {\displaystyle C_{1}=0} φ ( 0 ) {\displaystyle \varphi (0)} φ ( 0 ) = ∫ 0 π ln ( 1 ) d x = ∫ 0 π 0 d x = 0. {\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln(1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}
同じように決定するには、 に1より大きい値を代入する必要がありますが、これは少々不便です。代わりに、 を代入します。ここで です。すると、 C 2 {\displaystyle C_{2}} α {\displaystyle \alpha } φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} α = 1 β {\textstyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}} | β | < 1 {\displaystyle |\beta |<1} φ ( α ) = ∫ 0 π ( ln ( 1 − 2 β cos ( x ) + β 2 ) − 2 ln | β | ) d x = ∫ 0 π ln ( 1 − 2 β cos ( x ) + β 2 ) d x − ∫ 0 π 2 ln | β | d x = 0 − 2 π ln | β | = 2 π ln | α | . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}
したがって、C 2 = 0 {\displaystyle C_{2}=0}
の計算はこれで完了です。 φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} φ ( α ) = { 0 , | α | < 1 , 2 π ln | α | , | α | > 1. {\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |,&|\alpha |>1.\end{cases}}}
もちろん、微分可能性の条件が満たされていないため、 の場合には前述の議論は適用されません。 α = ± 1 {\displaystyle \alpha =\pm 1}
例4 I = ∫ 0 π / 2 1 ( a cos 2 x + b sin 2 x ) 2 d x , a , b > 0. {\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}
まず計算します: J = ∫ 0 π / 2 1 a cos 2 x + b sin 2 x d x = ∫ 0 π / 2 1 cos 2 x a + b sin 2 x cos 2 x d x = ∫ 0 π / 2 sec 2 x a + b tan 2 x d x = 1 b ∫ 0 π / 2 1 ( a b ) 2 + tan 2 x d ( tan x ) = 1 a b arctan ( b a tan x ) | 0 π / 2 = π 2 a b . {\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}
積分の極限は に依存しないので、次の式が得られます。 a {\displaystyle a} ∂ J ∂ a = − ∫ 0 π / 2 cos 2 x ( a cos 2 x + b sin 2 x ) 2 d x {\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx}
一方で： ∂ J ∂ a = ∂ ∂ a ( π 2 a b ) = − π 4 a 3 b . {\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}
これら2つの関係を等しくすると、 ∫ 0 π / 2 cos 2 x ( a cos 2 x + b sin 2 x ) 2 d x = π 4 a 3 b . {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.}
同様に、利回り を追求する∂ J ∂ b {\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial b}}} ∫ 0 π / 2 sin 2 x ( a cos 2 x + b sin 2 x ) 2 d x = π 4 a b 3 . {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.}
2 つの結果を加算すると、 期待どおりに 計算される結果が生成されます。 I = ∫ 0 π / 2 1 ( a cos 2 x + b sin 2 x ) 2 d x = π 4 a b ( 1 a + 1 b ) , {\displaystyle I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),} I {\displaystyle I}
この導出は一般化できる。 これを定義すれば、簡単に証明できる。 I n = ∫ 0 π / 2 1 ( a cos 2 x + b sin 2 x ) n d x , {\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,} ( 1 − n ) I n = ∂ I n − 1 ∂ a + ∂ I n − 1 ∂ b {\displaystyle (1-n)I_{n}={\frac {\partial I_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial I_{n-1}}{\partial b}}}
が与えられている場合、この積分簡約公式を使用しての のすべての値を計算できます。 や のような積分は、ワイエルシュトラスの置換 を使用して処理することもできます。 I 1 {\displaystyle I_{1}} I n {\displaystyle I_{n}} n > 1 {\displaystyle n>1} I {\displaystyle I} J {\displaystyle J}
例5 ここで、積分 I ( α ) = ∫ 0 π / 2 ln ( 1 + cos α cos x ) cos x d x , 0 < α < π . {\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\,dx,\qquad 0<\alpha <\pi .}
について積分微分すると、 α {\displaystyle \alpha } d d α I ( α ) = ∫ 0 π / 2 ∂ ∂ α ( ln ( 1 + cos α cos x ) cos x ) d x = − ∫ 0 π / 2 sin α 1 + cos α cos x d x = − ∫ 0 π / 2 sin α ( cos 2 x 2 + sin 2 x 2 ) + cos α ( cos 2 x 2 − sin 2 x 2 ) d x = − sin α 1 − cos α ∫ 0 π / 2 1 cos 2 x 2 1 1 + cos α 1 − cos α + tan 2 x 2 d x = − 2 sin α 1 − cos α ∫ 0 π / 2 1 2 sec 2 x 2 2 cos 2 α 2 2 sin 2 α 2 + tan 2 x 2 d x = − 2 ( 2 sin α 2 cos α 2 ) 2 sin 2 α 2 ∫ 0 π / 2 1 cot 2 α 2 + tan 2 x 2 d ( tan x 2 ) = − 2 cot α 2 ∫ 0 π / 2 1 cot 2 α 2 + tan 2 x 2 d ( tan x 2 ) = − 2 arctan ( tan α 2 tan x 2 ) | 0 π / 2 = − α . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}
したがって： I ( α ) = C − α 2 2 . {\displaystyle I(\alpha )=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}
しかし定義上はそうであり I ( π 2 ) = 0 {\textstyle I{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0} C = π 2 8 {\textstyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}} I ( α ) = π 2 8 − α 2 2 . {\displaystyle I(\alpha )={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}
例6 ここで、積分 ∫ 0 2 π e cos θ cos ( sin θ ) d θ . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta )\,d\theta .}
新しい変数φ を導入し、積分を次のように書き直す。 f ( φ ) = ∫ 0 2 π e φ cos θ cos ( φ sin θ ) d θ . {\displaystyle f(\varphi )=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\,d\theta .}
φ = 1のとき、これは元の積分に等しい。しかし、このより一般的な積分は、 について微分することができる。 φ {\displaystyle \varphi } d f d φ = ∫ 0 2 π ∂ ∂ φ [ e φ cos θ cos ( φ sin θ ) ] d θ = ∫ 0 2 π e φ cos θ [ cos θ cos ( φ sin θ ) − sin θ sin ( φ sin θ ) ] d θ . {\displaystyle {\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .}
ここでφ を固定し、によって定義される上のベクトル場を考えます。さらに、 、 によって与えられる単位円の正の向きのパラメータ化を選択して、とします 。すると 、上の最終積分は 上の 線積分とまったく同じになります。グリーンの定理 により、これはが閉じた単位円 である二重積分に等しくなります 。その積分関数は恒等的に 0 であるため、も同様に恒等的に 0 です。これはf ( φ ) が定数であることを意味します。定数はで評価することで決定できます。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} F ( x , y ) = ( F 1 ( x , y ) , F 2 ( x , y ) ) := ( e φ x sin ( φ y ) , e φ x cos ( φ y ) ) {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(F_{1}(x,y),F_{2}(x,y)):=(e^{\varphi x}\sin(\varphi y),e^{\varphi x}\cos(\varphi y))} S 1 {\displaystyle S^{1}} r : [ 0 , 2 π ) → R 2 {\displaystyle \mathbf {r} \colon [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}} r ( θ ) := ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ):=(\cos \theta ,\sin \theta )} r ′ ( t ) = ( − sin θ , cos θ ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(-\sin \theta ,\cos \theta )} ∫ 0 2 π e φ cos θ [ cos θ cos ( φ sin θ ) − sin θ sin ( φ sin θ ) ] d θ = ∫ 0 2 π [ e φ cos θ sin ( φ sin θ ) e φ cos θ cos ( φ sin θ ) ] ⋅ [ − sin θ − cos θ ] d θ = ∫ 0 2 π F ( r ( θ ) ) ⋅ r ′ ( θ ) d θ = ∮ S 1 F ( r ) ⋅ d r = ∮ S 1 F 1 d x + F 2 d y , {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}} F {\displaystyle \mathbf {F} } S 1 {\displaystyle S^{1}} ∬ D ∂ F 2 ∂ x − ∂ F 1 ∂ y d A , {\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,dA,} D {\displaystyle D} d f / d φ {\displaystyle df/d\varphi } f {\displaystyle f} φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} f ( 0 ) = ∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π . {\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi .}
したがって、元の積分も と等しくなります。 2 π {\displaystyle 2\pi }
解決すべきその他の問題 積分符号の下での微分法を用いて解ける積分は無数に存在する。例えば、以下の各ケースでは、元の積分は新しいパラメータを持つ類似の積分に置き換えることができる。 α {\displaystyle \alpha } ∫ 0 ∞ sin x x d x → ∫ 0 ∞ e − α x sin x x d x , ∫ 0 π / 2 x tan x d x → ∫ 0 π / 2 tan − 1 ( α tan x ) tan x d x , ∫ 0 ∞ ln ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 d x → ∫ 0 ∞ ln ( 1 + α 2 x 2 ) 1 + x 2 d x ∫ 0 1 x − 1 ln x d x → ∫ 0 1 x α − 1 ln x d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}
最初の積分であるディリクレ積分 は、正の α に対して絶対収束しますが、 の場合には条件付き収束となります。したがって、 の場合には積分符号の下での微分は容易に正当化できますが、 の場合でも結果として得られる式が妥当であることを証明するには、慎重な作業が必要です。 α = 0 {\displaystyle \alpha =0} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} α = 0 {\displaystyle \alpha =0}
無限級数 積分記号の下での微分の測度論的解釈は、（有限または無限の）和にも適用可能であり、これは和を測度を数えることと解釈することによって可能となる。その応用例としては、 冪級数が 収束半径に関して微分可能である という事実が挙げられる。
オイラー・ラグランジュ方程式 ライプニッツの積分則は変分法 におけるオイラー-ラグランジュ方程式 の導出に使用されます。
大衆文化において 積分記号を用いた微分法は、故リチャード・ファインマン のベストセラー回顧録 『冗談でしょう、ファインマンさん！』 高校 時代に、マサチューセッツ工科大学の数学教授であったフレデリック・S・ウッズ 著の古い教科書『上級微積分学』 （1926年）でこの方法を学んだと述べています。ファインマンが後に微積分学 の正式な教育を受けた当時、この手法はあまり教えられていませんでしたが、この手法を用いることで、プリンストン大学 大学院 に進学したファインマンは、本来であれば難しかった積分問題を解くことができました。
私が一度も習わなかったのは、等高線積分 です。高校の物理の先生、ベイダー先生がくれた本に載っていた様々な方法で積分を習っていました。ある日、先生は私に授業後に残るように言いました。「ファインマン、君はしゃべりすぎだし、騒がしい。理由は分かっている。君は退屈しているんだ。だから君に本をあげる。後ろの隅っこに行って、この本を勉強しなさい。この本に書いてあることを全部理解したら、また話していいよ。」だから、物理の授業では、パスカルの法則の話など、他の授業の話には全く注意を払いませんでした。私はいつも後ろのほうで、ウッズ著の『上級微積分学』 という本を手にしていました。ベイダー先生は私が『実務家のための微積分学』を 少し勉強したことを知っていたので、本格的な内容を教えてくれました。それは大学の3年生か4年生向けのものでした。その本には、フーリエ級数 、ベッセル関数 、行列式 、楕円関数 など、私が知らなかったすばらしい内容がたくさん載っていました。その本には、積分記号の下でのパラメータの微分方法も載っていました。これは特別な操作です。大学ではあまり教えられていないことが分かりました。重視されませんでした。しかし、私はその方法の使い方をつかみ、あの忌々しいツールを何度も使いました。その本を使って独学だったので、積分を行う独特な方法を身につけていました。その結果、MITやプリンストン の人たちがある積分に苦労していたのは、学校で習った標準的な方法ではできなかったからです。それが線積分であれば、彼らはそれを見つけていたでしょうし、単純な級数展開であれば、彼らは見つけていたでしょう。その後、私がやって来て積分記号の下での微分を試みると、うまく行くことがよくありました。それで、私が積分を解くのに素晴らしい評判を得たのは、私の道具箱が他の人のものと違っていたからで、彼らは私に問題を渡す前に、あらゆる道具を試していたのです。
参照
参考文献
さらに読む
外部リンク 
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1920d1765de7da9577a03567e36b3d9d7409e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db6294500e99f5f27fffb98de034435232e2b62)
![{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3dd2c917fe190a51bf1dc6014ab25c52acebd0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bc4fbdaf4ee242590c8486de47a5040d5b9b00)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f5e20c95bd1d2bbe2a4f2290afb772d4331d8c)
![{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e36563c2c4e6f252b197fdf0c03db2e68b869c)
![{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28267d22f13c327a49b44a9cb3f3e4cd38b39d13)
![{\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e34a2927bca2a13a30ae0e6fc3a757366e0ba6)
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bdff343d848c2b70c68b5c04a2479b14a9fef0)
![{\displaystyle [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e35e13fa8221f864808f15cafa3d1467b5d78ce)
![{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c47e98fcb040ce05754e1e93c3342f483b47d5e)
![{\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{and}}~y\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88125d123e436bb0e6af6f4bed1cd43edf65ff55)
![{\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{for}}~x\in [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abae4618d003cc3fd630e8c9f62334f40064bf12)
![{\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3dbc62b50259c75e078c02fbf9d36176b69611)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376ed3e1f8a84c58afabe62aa112e4d7285caded)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1516c15a829156cfd3d8eba75eeee30d949df5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442fbcf1d1b415aa521c6748450d36d3f17b4d8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (ba).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c148d9df299e782ad4373fb5aa5d637e6b2b9)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c46cc29cd17e5bba84da7e4b546591b803820c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234e65ec4850e0c7fed3946f9d533d7832b25a78)
![{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \アルファ)。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c03a4ea6d77c7f3f621471c4d7b1522e9da0f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b100bb708ad271fdb20541fd748918678c44cc1e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]&=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099481733226eedc7a81e2dc53c0a1f125f298f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\alpha )&=\int _{0}^{\pi }\left(\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)-2\ln |\beta |\right)dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\beta \cos(x)+\beta ^{2}\right)\,dx-\int _{0}^{\pi }2\ln |\beta |dx\\[6pt]&=0-2\pi \ln |\beta |\\[6pt]&=2\pi \ln |\alpha |.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d41dfab8bbdf7b2c5df9f855071714a046443c14)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]&={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]&=\left.{\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right)\right|_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf7cfddc39c3413bfff065eaf416eb82e844d0e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}I(\alpha )&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\ln(1+\cos \alpha \cos x)}{\cos x}}\right)\,dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha \cos x}}\,dx\\&=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \alpha }{\left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)+\cos \alpha \left(\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}\right)}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}{\frac {1}{{\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\frac {1}{2}}\sec ^{2}{\frac {x}{2}}}{{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,dx\\[6pt]&=-{\frac {2\left(2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}{2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\cot {\frac {\alpha }{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\cot ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}}}\,d\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=-2\arctan \left(\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {x}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&=-\alpha .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a56ade83c73dd04d834a219e081bb67953f79a)
![{\displaystyle {\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left[e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\right]d\theta =\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd54b27116e83a8682777193f77300c17583e5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\left[\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta )-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta )\right]d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }{\begin{bmatrix}e^{\varphi \cos \theta }\sin(\varphi \sin \theta )\\e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\{\hphantom {-}}\cos \theta \end{bmatrix}}\,d\theta \\[6pt]={}&\int _{0}^{2\pi }\mathbf {F} (\mathbf {r} (\theta ))\cdot \mathbf {r} '(\theta )\,d\theta \\[6pt]={}&\oint _{S^{1}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\oint _{S^{1}}F_{1}\,dx+F_{2}\,dy,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5a36bac0f56e22ad8aad215144d127a3bd909f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty}{\frac {\sin x}{x}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx&\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty}{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx&\to \int _{0}^{\infty}{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx&\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bfab3abc110729b43f53edc6f6d0b48f45ea0a)
