直和

直和は、数学の一分野である抽象代数における構造間の演算です。異なる種類の構造に対しては定義が異なりますが、相似的に定義されます。例えば、2つの アーベル群と の直和は、およびの順序付きペアで構成される別のアーベル群です。順序付きペアを加算する場合、和はと定義されます。つまり、加算は座標ごとに定義されます。例えば、が実座標空間である直和 は、直交平面、です。同様のプロセスを使用して、2つのベクトル空間または2つの加群の直和を作成できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

直和は、任意の有限個の被加数を用いて形成することもできます。例えば、とが同じ種類の代数構造（例えば、すべてのアーベル群、またはすべてのベクトル空間）である場合、 となります。これは、同型 を除いて直和が結合的であるという事実に基づいています。つまり、同型の任意の代数構造、、に対して となります。また、同型 を除いて直和は可換的であり、つまり同型の 任意の代数構造 と に対して となります。${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

有限個のアーベル群、ベクトル空間、または加群の直和は、対応する直積と標準的に同型である。しかし、非アーベル群のような一部の代数的対象については、これは偽である。

無限に多くのオブジェクトが組み合わされる場合、直和と直積は、アーベル群、ベクトル空間、または加群であっても同型ではありません。たとえば、整数の（可算な）無限個のコピーの直和と直積を考えてみましょう。直積の要素は、(1,2,3,...) のような無限列ですが、直和では、有限個の座標を除くすべての座標が 0 でなければならないという要件があります。したがって、列 (1,2,3,...) は直積の要素になりますが、直和の要素にはなりません。一方、(1,2,0,0,0,...) は両方の要素になります。多くの場合、+ 記号を使用する場合は、有限個の座標を除くすべての座標が 0 でなければなりませんが、何らかの形式の乗算を使用する場合は、有限個の座標を除くすべての座標が 1 でなければなりません。

より専門的な言葉で言えば、被加数が であるとき、直和は、有限個を除くすべてのiに対してとなる組の集合として定義されます。直和は直積に含まれますが、添字集合が無限大のときは直積の要素が無限個の非ゼロ座標を持つことができるため、直和は厳密に小さくなります。^{[ 1 ]}${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

例

xy平面は2次元ベクトル空間であり、2つの1次元ベクトル空間、すなわちx軸とy軸の直和と考えることができます。この直和において、x軸とy軸は原点（零ベクトル）でのみ交差します。加法は座標的に定義されます。つまり、ベクトルの加法と同じです。 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

2 つの構造 と がある場合、それらの直和は と表されます。でインデックス付けされた構造のインデックス付き族がある場合、直和は と表すことができます。各A _iはAの直和対象と呼ばれます。インデックス セットが有限の場合、直和は直積と同じになります。グループの場合、グループ演算が と表されるときは「直和」という語句が使用され、グループ演算が と表されるときは「直積」という語句が使用されます。インデックス セットが無限の場合、直和は直積と同じではありません。これは、直和には、有限個以外のすべての座標が 0 でなければならないという追加の要件があるためです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$

内部および外部直接合計

内直和と外直和はどちらも同型ですが、区別されます。まず加数が定義され、次にその加数を用いて直和が定義される場合、外直和が存在します。例えば、実数が定義され、その後に が定義される場合、その直和は外直和と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

一方、何らかの代数構造が定義され、が2つの部分構造 と の直和として定義される場合、その直和は内部的であるといわれます。この場合、 の各要素は、の要素と の要素の代数的結合として一意に表現できます。内部的直和の例として、（6を法とする整数）を考えます。この整数の要素は です。これは内部的直和 として表現できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

直和の種類

アーベル群の直和

アーベル群の直和は、直和の典型的な例です。そのような群を 2つ与え、それらの直和はそれらの直積に等しくなります。つまり、基底集合は直積であり、群の演算は成分ごとに定義されます。 この定義は、有限個のアーベル群の直和にも一般化されます。 ${\displaystyle (A,\circ )}$ ${\displaystyle (B,\bullet ),}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

直和で添え字を付けられた任意の群族に対して^{[ 2 ]}は、有限サポートを持つ元からなる直積の部分群 である。ここで、定義により、が有限個を除くすべての^{[ 3 ]}​​に対しての単位元である場合、は有限サポートを持つと言われる。非自明群の 無限族の直和は、積群の適切な部分群である。${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

モジュールの直和

モジュールの直和は、複数のモジュールを新しいモジュールに 結合する構造です。

この構成の最もよく知られた例は、体上の加群であるベクトル空間を考える際に見られる。この構成はバナッハ空間やヒルベルト空間にも拡張できる。

カテゴリ内の直和

加法カテゴリは、加群のカテゴリの特性を抽象化したものである。^{[ 4 ] [ 5 ]}このようなカテゴリでは、有限積と余積は一致し、直和はどちらか一方になる：双積を参照。

より一般的には、^{[ 2 ]}圏論 では直和は、問題となっている数学的対象の圏においてはしばしば余積となるが、必ずしもそうであるとは限らない。例えば、アーベル群の圏においては、直和は余積である。これは加群の圏においても当てはまる。

対照的に、（おそらく非アーベル）群の圏では、「直和」はアーベル群の直和と同様に定義できますが、その圏では余積を形成しません。例えば、 は群と の余積ではありません。 ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

グループ表現の直和

群表現の直和は、基底モジュールの直和に群作用を加えることで一般化されます。具体的には、群 と の2つの表現と（またはより一般的には2つの-モジュール）が与えられた場合、表現の直和は の作用を成分ごとに与えた場合、つまり と なります。 直和を定義する別の同等な方法は以下のとおりです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$$

2 つの表現が与えられ、直和のベクトル空間はであり、準同型は次のように与えられます。ここで、は上記のような座標ごとの作用によって得られる自然な写像です。 ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ ${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

さらに、が有限次元の場合、 の基底が与えられ、とは行列値となる。この場合、は次のように与えられる。 ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

さらに、と が群環 （は体）上の加群として扱われる場合、 との表現の直和は、加群としての直和に等しくなります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$

環の直和

2 つの環の直和を直積 の意味で言う著者もいるが、これは避けるべきである^{[ 6 ]} 。なぜなら はおよびから自然な環準同型を受けないからである。特に、を に送る写像は環準同型ではない。なぜなら 1 を に送ることができないからである（においてと仮定して）。したがって、は環 のカテゴリにおける余積ではなく、直和として書くべきではない。（可換環のカテゴリにおける余積は環 のテンソル積である。^{[ 7 ]}環のカテゴリでは、余積は群の自由積に似た構成によって与えられる。） ${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to R\times S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\times S}$

直和の用語と表記法の使用は、無限環族を扱う際に特に問題となる。 が非自明な環の無限集合である場合、基礎となる加法群の直和は項ごとの乗法を備える可能性があるが、そうすると乗法単位元を持たない環rngが生成される。 ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

行列の直和

任意の行列 および について、両方が正方行列である場合、直和はおよびのブロック対角行列として定義されます(そうでない場合は、類似のブロック行列として定義されます)。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

あるいは、または という形式も文献で見られることがあり、これらは前述のブロック形式と同型です。 ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {A} \\\mathbf {B} \end{matrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \end{matrix}}\right]}$

位相ベクトル空間の直和

バナッハ空間のような位相ベクトル空間（TVS）は、2つのベクトル部分空間の位相的な直和であり、の位相的な直和であるという。加法写像 が位相ベクトル空間の同型 （つまり、この線型写像は全単射同相写像である）である場合、およびはにおける位相的な補集合であると言われる。これは、加法的な位相群 として考えた場合（したがってスカラー乗算は無視される）、が位相的な部分群と位相的な直和である場合に限り真である。 この場合、およびがハウスドルフである場合、およびは必然的にの閉部分空間である。${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

が実ベクトル空間または複素ベクトル空間のベクトル部分空間である場合、におけるの代数的補空間と呼ばれる別のベクトル部分空間が常に存在し、はと の代数的直和であり、これは加法写像がベクトル空間同型である場合に限り発生します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times N\to X}$

代数的直和とは対照的に、位相的直和ではそのような補数の存在は保証されなくなりました。

のベクトル部分空間が の（位相的に）補部分空間であるとは、と の位相的直和となるようなのベクトル部分空間が存在する場合を言う。 ベクトル部分空間は、補部分空間でないとき非補部分空間であると言う。例えば、ハウスドルフTVSのベクトル部分空間のうち閉部分集合でないものは、必ず非補部分空間である。ヒルベルト空間の閉ベクトル部分空間はすべて補部分空間である。しかし、ヒルベルト空間でない バナッハ空間はすべて、必ず非補閉ベクトル部分空間を持つ。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

準同型

直和は、Iの各jに対する射影準同型と、Iの各jに対する共射影を備える。^{[ 8 ]}同じ付加構造 を持つ別の代数構造と、Iの各jに対する準同型が与えられた場合、すべてのjに対してg _jの和と呼ばれる唯一の準同型が存在する。したがって、直和は適切なカテゴリにおける余積である。 ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ ${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

参照

• グループの直和
• 順列の直和
• 位相群の直和
• 制限商品
• ホイットニー・サム
• フェファーマン・ヴォート定理

注記

1. Thomas W. Hungerford , Algebra , p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189
2. nラボでの直接合計
3. ジョセフ・J・ロットマン『群論入門』 177ページ、アリン・アンド・ベーコン、1965年
4. "「p.45」（PDF） 。 2013年5月22日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2014年1月14日閲覧。
5. 「付録」（PDF） . 2006年9月17日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2014年1月14日閲覧。
6. 環の直和と環の直積に関するMath StackExchange 。
7. Lang 2002、セクションI.11
8. ヒューネン、クリス (2009).カテゴリカル量子モデルとロジック。パラス・プローフシュクリフテン。アムステルダム大学出版局。 p. 26.ISBN​ 978-9085550242。

参考文献

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001