数学的な美しさ

数学的美とは、数学を実践したり考察したりする際に経験される美的価値の一種です。数学者の証言によると、数学の様々な側面（結果、公式、証明、理論など）は、芸術、音楽、自然の美しさと同様の主観的な反応を引き起こす可能性があります。こうした経験から得られる喜びは、数学を行う動機となる可能性があり、GHハーディなどの数学者は、数学を美を追求する芸術形式と特徴づけています。

数学における美しさは、数学者自身だけでなく、哲学者、心理学者、神経科学者によっても検証されてきました。美しさは感覚経験に対する主観的な反応であるにもかかわらず、外部の対象の特性として認識され、文化的影響や個人的経験によって形作られることもあるため、一般的に理解することは難しい場合があります。数学の美しさはさらなる問題を提起します。なぜなら、美的反応は記号的に伝達できる抽象的な概念によって引き起こされますが、数学的な能力と訓練を受けた少数の人々にしか理解できない可能性があるからです。数学の鑑賞は、（例えば）音楽を聴くことよりも受動的ではないかもしれません。[ 1 ]さらに、数学における美しさは他の美的価値または非美的価値と結びついている可能性があります。数学の優雅さを数学の美しさと同一視する著者もいれば、優雅さを別の美的価値と区別したり、たとえば数学的説明の形式に限定したりする著者もいます。[ 2 ] : 177–178 美そのものは、数学の抽象性、純粋さ、単純さ、深さ、秩序と結び付けられることが多く、あるいはそれらに依存していると考えられています。

美しい数学の例

結果

e 0 = 1から始まり、自分の位置に対する相対的な速度iで時間 π だけ移動し、1 を加えると 0 に到達します。(この図はアルガンド図です。)

オイラーの恒等式は、美しい結果の例としてよく挙げられる: [ 3 ] : 1–3 [ 4 ] : 835–836 [ 5 ]

e私π+1＝0。{\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,.}

この式は、おそらく最も重要な5つの数学定数（e、i、π、1、0）と、最も一般的な2つの数学記号（+、=）を結び付けています。オイラーの等式は、物理学者リチャード・ファインマンが「我々の宝石」であり「数学における最も注目すべき公式」と呼んだオイラーの公式の特殊なケースです。[ 6 ]

もう1つの例は、2つの平方数の和に関するフェルマーの定理です。これは、 となる任意の素数は2つの平方数の和（たとえば、、、）として表すことができるという定理で、GH Hardy [ 7 ] : §12とET Bell [ 8 ] : ch.4 の両者が美しい結果だと考えていました。 p≡1（モッド4）{\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}5＝12+22{\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}13＝22+32{\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}37＝12+62{\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}

数学者に24の定理の美しさを評価するよう依頼した調査では、最も評価が高かった3つの定理は次の通りであった。[ 9 ]オイラーの方程式、 V頂点、E辺、F面を持つ多面体について、無限個の素数が存在するというユークリッドの定理。 これはハーディによって美しい定理の例として挙げられた。 [ 7 ] : §12 V−E+F＝2{\displaystyle V-E+F=2}

証明

「方法の美しさ」の例—ピタゴラスの定理をシンプルかつエレガントに視覚的に表現したもの。

カントールの対角線論証は、自然数の無限集合と一対一に対応付けられない無限集合が存在することを証明するものであり、数学者[ 10 ]と哲学者[ 11 ]の両方によって美しい証明の例として引用されてきた。

奇数和定理の言葉を使わない証明

ピタゴラスの定理の図解による証明のような視覚的な証明や、2n  −1までのすべての正の奇数の和が完全な平方数であるという図示された証明のような、一般的に言葉を使わない証明は美しいと考えられてきた。[ 12 ]

数学者ポール・エルデシュは、神があらゆる最も美しい数学的証明を書き記したという想像上の無限の書物「ザ・ブック」について語った。エルデシュは、ある証明に特別な感謝の意を表したい時、「ザ・ブックから直接引用した！」と宣言した。[ 13 ] : 35彼 の修辞技法は、エルデシュ自身が示唆したものも含め、そのような証明を集めた『ザ・ブックからの証明』の創作にインスピレーションを与えた。 [ 14 ] : v

オブジェクト

プラトンの『ティマイオス』では、この対話での役割からプラトン立体と呼ばれる5つの正凸多面体は、「最も美しい」（「κάλλιστα」）体と呼ばれています。 [ 15 ]：53e 『ティマイオス』では、その美しさゆえに、宇宙を創造した創造主であり職人であるデミウルゴスが、古典的な4つの要素と天体のために使用したと描写されています。 [ 15 ]：54e–55e

ケプラーの太陽系のプラトン立体モデル

ヨハネス・ケプラーは1596年の著書『宇宙の神秘』の中で、当時太陽系で知られていた惑星の軌道は、神によって5つのプラトン立体の同心円状に配置されており、それぞれの軌道は1つの多面体の外接球面と別の多面体の内接球面上に位置していると主張した。ケプラーにとって、神は5つの正多面体の美しさゆえに宇宙を5つの正多面体に沿って形作ろうとしたのであり、これが当時の知識によれば6つの惑星が存在する理由を説明した。 [ 16 ] : ch.3 [ 4 ] : 280--285

ペトリー投影のE8{\displaystyle E_{8}}

より現代的な例としては、例外的に単純なリー群が あり、これは「おそらく数学全体の中で最も美しい構造」と呼ばれています。[ 17 ]E8{\displaystyle E_{8}}

科学理論

科学理論、特に物理学における数学的記述は、数学的に美しいと考えられることがあります。例えば、ロジャー・ペンローズはマクスウェルの電磁気学の方程式に「特別な美しさ」があると考えていました。 [ 18 ]：268 ∇⋅E＝ρε0∇⋅B＝0∇×E＝−∂B∂t∇×B＝μ0（J+ε0∂E∂t）{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}

アインシュタインの一般相対性理論は芸術作品とみなされており、他の美的賞賛の中でも[ 19 ]：148は ポール・ディラックによって「偉大な数学的美しさ」[ 20 ]：123 と評され、ペンローズによって「至高の数学的美しさ」[ 21 ]：1038 と評された。

（科学理論の美しさは、数学的な記述以上のものがある。例えば、理論が視覚化可能か決定論的かは、その理論が美しいとみなされるかどうかに影響を与えるかもしれない。[ 22 ]：53 [ 4 ]：873-877 ）

美しい数学の特性

数学の美しさについて著述してきた多くの数学者や哲学者は、数学作品における美しさの認識につながる性質や基準を特定しようと試みてきた。しかし、そのような性質によって美しさを明確にしたり説明したりできるかどうかについては議論がある。ポール・エルデシュは、ベートーヴェンの交響曲第九番の美しさを、本人が目で見て理解できない限り納得させることが不可能であるのと同様に、数学作品の美しさを納得させることは不可能だと考えていた。[ 23 ]

結果

1940年のエッセイ 『数学者の弁明』の中で、G・H・ハーディは、美しい結果（その証明も含む）は「必然性」「意外性」「簡潔性」という3つの「純粋に美的な性質」を備えていると述べた。特に、事例の列挙は「数学的議論の中でも退屈な形式の一つ」として除外した。[ 7 ] : §18

1997年、ジャン・カルロ・ロータは、意外性が美しさの十分条件であるという意見に反対し、反例を提示した。

数学の定理の多くは、初めて発表されたときには驚くべきものであるように思われる。例えば、約20年前（1977年）には、高次元球面上の非等価な微分可能構造の存在の証明は驚くべきことと考えられていたが、当時も今も、そのような事実を美しいと呼ぶ人は誰もいなかった。[ 2 ]：172

対照的に、モナスティルスキーは2001年に次のように書いている。

ミルナーの7次元球面上のさまざまな微分構造の美しい構築に類似した発明を過去に見つけることは非常に困難です...ミルナーの最初の証明はあまり構成的ではありませんでしたが、後にE.ブリスコーンはこれらの微分構造が非常に明確で美しい形で記述できることを示しました。[ 24 ]：44

この不一致は、一般的な他の形態の美と同様に数学的美の主観的な性質と、数学的結果との関連性の両方を示しています。この場合、異質な球体の存在だけでなく、それらの特定の実現も示しています。

証明

ハーディが証明と結果の両方に適用した「意外性」、「必然性」、「経済性」といった性質に加えて、数学者は、短くてシンプルな証明を美しいと考えるのが通例である。[ 25 ]：22

数学者は、エレガントな証明を求める際に、結果を証明する複数の独立した方法を探すことがよくあります。最初に見つかった証明は、しばしば改善できるからです。最も多くの異なる証明が発見されている定理は、おそらくピタゴラスの定理でしょう。数百もの証明が発表されています。[ 26 ]他にも、様々な方法で証明されている定理として、二次の相互法則があります。実際、カール・フリードリヒ・ガウスだけでも、この定理の8つの異なる証明があり、そのうち6つを出版しました。[ 27 ]

対照的に、論理的には正しいものの、膨大な計算や多数のケースの検討を必要とする結果は、通常は美しいとはみなされず、醜悪あるいは不器用とさえ言われることがある。例えば、ケネス・アペルとヴォルフガング・ハーケンによる四色定理の証明では、1000以上のケースをコンピュータで検証した。フィリップ・J・デイビスとルーベン・ハーシュは、この証明について初めて聞いたとき、「その美しさで私の一日が一変する」ような新しい洞察が含まれていることを期待したが、ケースの列挙とコンピュータ検証による証明だと聞いて落胆したという。[ 28 ] : 384 ポール・エルデシュは、この証明は定理がなぜ正しいのかという洞察を与えていないため、「美しくない」と述べた。[ 29 ] : 44

哲学的分析

アリストテレスは美は特に数学に見出されると考え、形而上学の中で次のように 書いている。

数学は美や善について何も語らないと主張する者は誤りである。なぜなら、これらの科学は美や善について非常に多くのことを語り、証明しているからである。もし数学が美や善について明示的に言及せず、その帰結や公式となる属性を証明するならば、数学が美や善について何も語っていないと言うのは正しくない。美の主要な形態は秩序、対称性、そして明確さであり、数学はこれらを特に顕著に示している。[ 30 ] : 1078a32–35

論理学者であり哲学者でもあるバートランド・ラッセルは、数学の美しさを純粋さと厳格さの観点から特徴づける、今では有名な発言を残しました。

数学は、正しく見れば、真実だけでなく、この上ない美しさも備えている。それは彫刻のような冷たく厳粛な美しさであり、人間の弱い部分に訴えかけることも、絵画や音楽の華麗な装飾もないが、崇高な純粋さを持ち、最高の芸術だけが示すことのできるような厳格な完璧さを備えている。[ 31 ]

20世紀には、数学に真の美が存在するのかどうか疑問視する哲学者もいた。科学哲学者ロム・ハレは、数学には真の美的評価は存在せず、準美的評価しかないと主張した。美的用語で表現される数学的成功は、理解と正しさに次ぐ二次的な成功である。対照的に、芸術作品の美的評価は一次的な成功である。ハレは、この点が準美的評価と真に美的評価の違いであると考えた。[ 32 ]

ニック・ザングウィルは、数学には真の美的経験など存在せず、証明や理論は比喩的に美しいに過ぎないと考えた。彼の主張には二つの根拠があった。第一に、美的性質は感覚的性質に依存しており、抽象的な実体は美的性質を持つことはできないと考えた。第二に、証明、定理、理論などは、正しさを証明したり理解を与えたりするといった目的があり、それらを称賛するのは、その目的をどれだけ達成したかのみを反映していると考えていた。[ 33 ] : 140–142

科学的分析

情報理論モデル

1970年代に、アブラハム・モールズとフリーダー・ネイケは、美しさ、情報処理、情報理論の関係を分析した。[ 34 ] [ 35 ] 1990年代に、ユルゲン・シュミットフーバーは、アルゴリズム情報理論に基づいて、観察者に依存する主観的美の数学的理論を策定した。主観的に比較可能な対象の中で最も美しい対象は、観察者が既に知っていることに関連する短いアルゴリズム的記述（すなわち、コルモゴロフ複雑性）を持つ。 [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]シュミットフーバーは、美しいことと興味深いことを明確に区別している。後者は、主観的に知覚される美しさの第一次導関数に対応する。観察者は、繰り返しや対称性、フラクタル自己相似性などの規則性を発見することによって、観察の予測可能性と圧縮性を継続的に改善しようとする。観察者の学習プロセス（予測型人工ニューラルネットワークなど）によってデータ圧縮が改善され、観測シーケンスを以前よりも少ないビット数で記述できるようになると、データの一時的な面白さは圧縮の進行に対応し、観察者の内部的な好奇心の報酬に比例する。[ 39 ] [ 40 ]

神経相関

セミール・ゼキ、マイケル・アティヤ、および共同研究者らが行った脳画像実験では、数学的美の経験は、神経相関として脳の内側眼窩前頭皮質（mOFC）のA1野に活動を持ち、この活動は表明された美の強度とパラメトリックに関連していることが示された。この活動の位置は、視覚芸術や音楽など、他の情報源からの美の経験と相関する活動の位置と類似している。[ 41 ]さらに、数学者は、同僚からの矛盾した意見を考慮して、数式の美しさに関する判断を修正することに抵抗を示す傾向がある。[ 42 ]

数学的な美と芸術

音楽

音楽における数学の応用例としては、ヤニス・クセナキスの確率音楽、トゥールの『ラテラルス』におけるフィボナッチ数列、ヨハン・セバスチャン・バッハの対位法、ポリリズム構造（イーゴリ・ストラヴィンスキーの『春の祭典』など）、エリオット・カーターのメトリック変調、アルノルド・シェーンベルクに始まるセリー主義における順列理論、カールハインツ・シュトックハウゼンの『賛美歌』におけるシェパード音の応用などが挙げられます。また、デイヴィッド・ルーウィンの理論的著作における音楽の変奏への群論の応用も挙げられます。

視覚芸術

レオン・バッティスタ・アルベルティの 1435 年のデッラ・ピットゥーラの図、格子上に柱が遠近表示されている

視覚芸術における数学の使用例としては、カオス理論とフラクタル幾何学のコンピューター生成アートへの応用、レオナルド・ダ・ヴィンチの対称性研究、ルネサンス美術の遠近法理論の発展における射影幾何学、オプ・アートのグリッド、ジャンバッティスタ・デッラ・ポルタのカメラ・オブスクラの光学幾何学、分析キュービズムと未来派における多重遠近法などが挙げられます。

神聖幾何学は独自の分野であり、最もよく知られている神秘的なシンボルや宗教的モチーフを含む無数の芸術形式を生み出し、特にイスラム建築において豊かな歴史を持っています。また、カバラのセフィロト（生命の樹）やメタトロンの立方体の研究など、瞑想や観想の手段、そして描くという行為そのものにも用いられています。

オランダのグラフィックデザイナー、MCエッシャーは、数学にインスピレーションを得た木版画、リトグラフ、メゾチントを制作しました。これらの作品には、不可能な構成、無限の探求、建築、視覚的なパラドックス、モザイク模様などが特徴的です。

南アフリカの彫刻家ジョンティ・ハーウィッツを含む一部の画家や彫刻家は、アナモルフォーシスの数学的原理を用いて歪んだ作品を制作している。

折り紙、つまり紙を折る芸術は、美的価値と多くの数学的関連性を備えています。折り紙を広げた時の折り目を観察することで、紙を折る数学を学ぶことができます。[ 43 ]

イギリスの構成主義芸術家ジョン・アーネストは、群論にインスピレーションを得てレリーフや絵画を制作しました。[ 44 ]アンソニー・ヒルやピーター・ロウなど、構成主義やシステム学派の他の多くのイギリスの芸術家も、数学モデルや構造をインスピレーションの源としています。[ 45 ]コンピューター生成アートは、数学的アルゴリズムに基づいています。

参照

注記

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参考文献

さらに読む

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