ユークリッドの原論
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要素
オクシリンコス・パピルス29は、ユークリッドの『原論』の断片で、 西暦3世紀から4世紀頃に遡る。オクシリンコスで発見され、第2巻の命題5に付随する図が見られる。
著者ユークリッド
言語古代ギリシャ
主題ユークリッド幾何学、数論、通約不可能性
ジャンル数学
発行日
紀元前300年頃
ページ13冊

『原論』（古代ギリシャ語：Στοιχεῖαストイケイア）は、紀元前300年頃、古代ギリシャの数学者ユークリッドによって書かれた数学の論文です。

『原論』は、現存する最古の大規模な演繹数学書である。キオス島のヒポクラテス、クニドスのエウドクソス、テアイテトスといった初期の数学者たちの著作を引用し、定義、公理、幾何学的構成、定理とその証明を13巻にまとめた作品であり、平面ユークリッド幾何学、立体ユークリッド幾何学、初等数論、通約不可能性などを網羅している。これらには、ピタゴラスの定理、タレスの定理、最大公約数を求めるユークリッドの互除法、素数が無限に存在するというユークリッドの定理、そして正多角形と多面体の構成などが含まれる。

史上最も成功した教科書と称される『原論』は、幾何学入門書として今もなお用いられ続けています。中世にはアラビア語とラテン語に翻訳され、中世イスラム世界と西ヨーロッパの数学に多大な影響を与えました。また、論理学と近代科学の発展にも大きく貢献し、その論理的厳密さは19世紀まで 凌駕されることはありませんでした。

背景

ユークリッドの『原論』は、現存する数学の大規模演繹的論考としては最古である。[ 1 ]ユークリッドの約 7 世紀後に生きたギリシャの数学者プロクロスは、『原論』の注釈で次のように記している。「ユークリッドは『原論』をまとめ、エウドクソスの定理の多くを収集し、テアイテトスの定理の多くを完成させ、また先人たちによってやや曖昧にしか証明されていなかった事柄を反駁の余地のない論証に導いた」。[ a ]学者たちは、『原論』は主にエウドクソス、キオス島のヒポクラテス、[ b ]タレス、テアイテトスなど、初期のギリシャの数学者の著書に基づく命題の集大成であると考えている。 [ 2 ]また、プラトンやアリストテレスによって言及されている定理もある。[ 3 ]ユークリッドの著作を、その先人たちの著作と区別することは困難です。特に『原論』は、はるか以前の、そして今では失われてしまったギリシャ数学を本質的に置き換えたからです。 [ 4 ]現在入手可能な『原論』版には、「ポストユークリッド」数学も含まれており、これはおそらく4世紀のアレクサンドリアの数学者テオンのような後世の編纂者によって後から追加されたものと思われます。 [ 3 ]古典学者のマルクス・アスパーは、「ユークリッドの功績は、広く受け入れられていた数学的知識を説得力のある秩序にまとめ、その空白を埋めるために新たな証明を加えたことにあるようだ」と結論付けており、歴史家のセラフィナ・クオモはそれを「成果の宝庫」と評しました。[ 5 ] [ 3 ]それにもかかわらず、歴史家のミハリス・シアラロスは、その「驚くほど緊密な構造」は、ユークリッドが単に他者の著作を編集したのではなく、自ら『原論』を執筆したことを示唆していると述べています。 [ 6 ]

『原論』の各部分が特定の数学者に帰属するかどうかについては、いまだに学術的な議論の的となっている。W・W・ラウズ・ボールによると、第1巻と第2巻の大部分はおそらくピタゴラス、第3巻はキオスのヒポクラテス、第5巻はクニドスのエウドクソスに由来し、第4巻、第6巻、第11巻、第12巻はおそらく他のピタゴラス派またはアテネの数学者に由来する。[ 7 ]『原論』はキオスのヒポクラテスの初期の教科書に基づいている可能性があり、数字を表記するために文字を使用することを始めたのもヒポクラテスかもしれない。[ 8 ]ウィルバー・ノールは『原論』第1巻、第3巻、第6巻の内容の起源をキオスのヒポクラテスの時代に、第2巻、第4巻、第10巻、第13巻の内容の起源を後代のキュレネのテオドロス、テアイテトス、エウドクソスの時代に帰している。しかし、この歴史説はファン・デル・ワールデンによって批判されており、彼は第1巻から第4巻は、はるか昔のピタゴラス学派によるところが大きいと信じていた。[ 9 ]

他にもヒポクラテス・オブ・キオス、テウディウス・オブ・マグネシア、レオンらが同様の著作を書いたと伝えられているが、現在は失われている。[ 10 ] [ 11 ]

コンテンツ

ユークリッド原論（ヒース版） の要約内容
本 私 II 3 IV V 6 7章 8章 9 X XI 12 13 合計
定義 23211718422––1628––131
公理 5––––––––––––5
共通の概念 5––––––––––––5
命題 481437162533392736115391818465

『原論』は、時に信じられているように、幾何学だけを論じているわけではない。[ 4 ] [ 12 ]伝統的に、平面幾何学（第1巻から第6巻）、基礎数論（第7巻から第10巻）、立体幾何学（第11巻から第13巻）の3つのトピックに分けられるが、第5巻（比例について）と第10巻（通約不可能性について）はこの体系に厳密には当てはまらない。[ 13 ] [ 14 ]本文の核心は、本文中に散りばめられた定理である。[ 15 ]アリストテレスの用語を用いると、これらは一般に「第一原理」と「第二原理」の2つのカテゴリーに分けられる。[ 16 ]最初のグループには、「定義」（古代ギリシア語：ὅροςまたはὁρισμός）、「公準」（αἴτημα）、または「共通概念」（κοινὴ ἔννοια）と呼ばれる記述が含まれる。[ 16 ] [ 17 ]公理（つまり公理）と共通概念は第1巻にのみ登場する。[ 4 ]プロクロスを詳細に研究すると、原論の古い版でも同じ区別が用いられていたが、用語が異なっていた可能性が示唆され、それぞれの定義を「仮説」（ύπόΘεςιζ）と呼び、共通概念を「公理」（άξιώμα）と呼んでいた。[ 17 ]第2のグループは命題で構成され、数学的な証明や図とともに提示されている。[ 16 ]ユークリッドが原論を教科書として意図していたかどうかは不明であるが、 [ 6 ]その後広く教科書として用いられた。[ 18 ]全体として、著者の意見は一般的で非個人的なままである。[ 3 ]

ユークリッドの公理と共通の概念[ 19 ]
いいえ。公理
次のことを仮定します。
1 任意の点から任意の点まで直線を描くこと。
2 直線で有限の直線を連続的に生成する
3 任意の中心と距離を持つ円を描く
4 すべての直角は互いに等しい
5 2本の直線に接する直線が同じ側の内角を2直角より小さくする場合、その2本の直線を無限に延長すると、その2直角より小さい角度を持つ側で交わる[ c ]
いいえ。共通の概念
1 同じものに等しいものは、互いに等しい。
2 等しいものに等しいものを加えれば、全体は等しい
3 等しいものから等しいものを引くと、残りは等しい
4 一致するものは互いに等しい
5 全体は部分よりも大きい

第1巻から第6巻：平面幾何学

第1巻

ユークリッドの第 5 公準: 直線g は2 つの直線hとkに接し、内角αとβの合計が 180° 未満となるため、直線hとk は、角度としてgと同じ側のある点Sで交わる必要があります。
ピタゴラスの定理の証明における「花嫁の椅子」。バーンの1847年版で用いられたカラー版。証明によれば、黒と黄色の面積は等しいが、赤と青の面積も等しい。

原論第 1 巻は、テキスト全体の基礎となる。[ 4 ]点、直線、角度、さまざまな正多角形など、基本的な幾何学の概念に対する 20 個の定義で始まる。[ 20 ]次にユークリッドは 10 個の仮定 (右の表を参照) を提示し、5 つの公準と 5 つの共通概念にグループ化している。[ 21 ]これらの仮定は、すべての後続の定理の論理的基礎を提供することを意図しており、公理系として機能する。[ 22 ]共通概念は、大きさ、つまり幾何学的対象の大きさの比較のみに関係している。 [ 23 ]現代数学では、これらの大きさは弧の長さ、角度、または面積を測定する実数として扱われ、数値的に比較されるが、ユークリッドは代わりに、これらの大きさを数値として解釈せずに、幾何学的演算を使用して図形の大きさを比較する方法を見つけた。[ 24 ]最初の 4 つの公準は比較的簡単であるが、5 番目はそうではない。これは平行線公理として知られており、他の4つの公理からの独立性に関する疑問が非ユークリッド幾何学の発展につながる長い一連の研究の焦点となった。[ 23 ]

第1巻には48の命題が含まれており、それらは大まかに、平面幾何学と三角形の合同の基本定理と構成（1–26）、平行線（27–34）、三角形と平行四辺形の面積（35–45）、ピタゴラスの定理とその逆（46–48）に分類できます。[ 23 ]

二等辺三角形の底角が等しいという命題5は、中世には「ポンス・アシノラム」（ロバの橋）として知られ、これを証明できる数学者と証明できない愚か者を分け隔てていました。 [ 25 ] 西暦3世紀のパピルス「オクシリンコス・パピルス29」には、命題8～11と14～25の断片が含まれています。 [ d ]第1巻の最後の2つの命題は、ピタゴラスの定理の現存する最古の証明であり、シアラロスはこれを「驚くほど繊細」と評しています。[ 16 ]ピタゴラスの定理の図自体も、花嫁の椅子、風車、孔雀の尾など、様々な名前で知られています。[ 26 ]

第2巻

ユークリッドによる線分ABの黄金比への細分化は、第二巻命題11に基づき、従来の図に円弧を追加したものである。この作図では、正方形ABCDの辺ACの中点Eを求め、直線ACと半径EBの円をFで交差させ、頂点Hを細分点とする2つ目の正方形AFGHを作図する。

第二巻は面積 に焦点を当てており、これは求積法、つまり与えられた図形に等しい面積の正方形を構築することを通じて測られる。それは余弦定理 の幾何学的前身を含み、任意の長方形の求積法で最高潮に達する。[ 23 ] 19世紀後半から20世紀にかけて、第2巻は一部の数学史家によって「幾何代数」を確立するものと解釈された。これは長さと面積という幾何学的概念を用いて線形方程式と二次方程式を代数的に操作する表現であり、[ 27 ] [ 28 ]二項定理の二次の場合を中心としていた。[ 23 ]この解釈は1970年代から激しく議論されてきた。 [28] 批評家はこの解釈は時代錯誤だと述べている。なぜなら、初期の代数学の基礎が確立されたのは何世紀も後のことだったからである。[ 16 ]しかしながら、幾何学に関する記述として捉えると、この本の多くの命題は代数学を用いることで包含できるため、現代数学には不要である。[ 29 ]

第2巻の命題11は、与えられた線分を極限比と中位比に分割するものであり、現在では黄金比と呼ばれています。これは、この比を含むいくつかの命題の最初のものです。後に第4巻では黄金三角形と正五角形を構築するために、第13巻では正十二面体と正二十面体を構築するために用いられ、第6巻の命題30では比として研究されています。[ 30 ] [ 31 ]

第3巻

第 3 巻は 11 の定義のリストから始まり、円とその特性を扱う 37 の命題が続く。命題 1 は円の中心を求めることである。命題 2 から 15 は弦、交差円と接円に関するものである。円の接線は、命題 16 から 19 の主題である。次は円周角に関する命題(20 から 22)、弦、円弧、角度に関する命題 (23 から 30) で、命題 20 のように円周角と中心角を関連付ける円周角定理が含まれる。命題 31 から 34 は円の角度に関するもので、半円に内接する角は直角であるというタレスの定理(命題 31 の一部) が含まれる。残りの命題 35 から 37 は交差する弦と接線に関するものである。命題35は交差弦定理であり、命題36は接線正接定理である。[ 32 ]

第4巻

第4巻では、異なる多角形について、円に多角形を内接させる問題、円に多角形を外接させる問題、多角形に円を内接させる問題、多角形に円を外接させる問題という4つの問題を体系的に扱っています。[ 33 ]これらの問題は、三角形について順に解かれ、次に4、5、6、15辺の作図可能な正多角形（定規とコンパスで作図できる多角形）について解かれます。 [ 4 ]

第5巻

第5巻は、前の4巻とは独立しており、大きさの比（直感的に言えば、ある図形が他の図形に比べてどれだけ大きいか小さいか）と比の比較について扱っています。[ 34 ]ヒースと他の翻訳者たちは、最初の6つの命題を記号代数で、乗法の除算に対する分配法則と乗法の結合法則の形で定式化しました。しかし、レオ・コリーは、ユークリッドは大きさを数として扱わず、比を数から数への二項演算として捉えていなかったため、これは時代錯誤で誤解を招くものだと主張しています。[ 35 ]

第5巻の大部分は、おそらくエウドクソスなどの初期の数学者から得られたものであると思われるが[ 16 ] 、V.16のような「交替」（ a  : b  :: c  : dならばa  : c  :: b  : d ）を扱う特定の命題は、エウドクソス以前のものである可能性が高い。[ 36 ]

クリストファー・ゼーマンは、第5巻が大きさの加法における比の挙動に焦点を当て、その結果として比の比を定義しなかったことが、ギリシャ人が複比（射影幾何学の中心）などの重要な概念を発見することを妨げた欠陥であったと主張した。[ 37 ]

第6巻

第6巻は、第5巻の比の理論を平面幾何学の文脈で用いており、[ 4 ]特に相似図形 の構成と認識に焦点を当てている。この構成はほぼすべて、第一命題[ 38 ]「同じ高さの三角形と平行四辺形は、互いに底辺である」から成り立っている。つまり、2つの三角形の高さが同じであれば、それらの面積の比は、それらの2つの底辺の長さの比と同じである（同じ高さの2つの平行四辺形についても同様）。この命題は、長さの比と面積の比の関係を示している。[ 39 ]命題25は、任意の2つの多角形から、最初の多角形に相似で、2番目の多角形と同じ面積を持つ3番目の多角形を構成する。プルタルコスはこの構成をピタゴラスに帰し、「ピタゴラスの定理よりも繊細で科学的」であると述べた。立方体を2倍にする古代ギリシャの有名な問題は、現在ではコンパスと定規では不可能であることが知られていますが、これは、指定された形状と体積を持つ図形を作成するという類似の3次元問題の特殊なケースです。[ 40 ]この本は、始まりと同じように、命題33で角度の比と円弧の長さの比という2種類の比を結び付けて終わります。[ 41 ]

第7巻から第10巻：数論

自然数の算術理論である数論は、第 VII 巻から第 10 巻までで扱われています。第 VII 巻は、偶奇性(数が偶数か奇数か)、素数、その他の算術関連の概念に関する 22 の定義で始まります。[ 4 ]これらの定義の最初のものは単位 (現代の言葉で言えば、数 1) に関するもので、2 番目の定義は「数は単位から成る集合である」というものです。[ 42 ]これは一般に、ユークリッドにとって 1 は数ではなく、自然数は 2 から始まると解釈されています。[ 43 ]

第7巻

第7巻は初等数論を扱っており、39の命題が含まれている。これらは、ユークリッドの互除法（数が互いに素であるかを判定し、最大公約数を求める方法）（1–4）、分数（5–10）、数の比例理論（11–19）、素数と互いに素な数、最大公約数の理論（20–32）、最小公倍数（ 33–39）に大まかに分類できる。[ 44 ]

第8巻

第8巻の主題は等比数列である。[ 44 ]ユークリッドにとって、等比数列は現代のように指数法（数列の 番目の項は定数と に対して の形をとる）ではなく、連続比例の性質（連続する2つの大きさが同じ比を持つ）によって定義された。これによりユークリッドは2つ以上の値の乗算を避けることができたが、指数表記法によって明らかになる事実の証明がいくつか厄介になった。[ 45 ]私{\displaystyle i}1つの×私{\displaystyle ax^{i}}1つの{\displaystyle a}×{\displaystyle x}

第8巻の前半（命題1から10）は、一般的な整数の等比数列の構成と存在、および等比数列の要素同士の割り切れる可能性について扱っている。命題11から27は、等比数列における平方数と立方数、そしてこれらの特殊な数列と任意の等比数列における2段階または3段階離れた要素との関係について扱っている。[ 44 ]

第9巻

第8巻の等比数列における正方形と立方体に関する考察を継続した後、[ 44 ]第9巻では、前の2巻の結果を適用し、素数の無限性（ユークリッドの定理、命題20）、有限等比数列の和の公式（命題35）、およびこの和を偶数完全数に適用する構成（命題36）を示します。ここで、ある数が完全数であるとは、その数の真の約数の和に等しい場合を指します。たとえば、28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 です。[ 4 ] [ 46 ]アルハゼンは1000年頃にこの構成によってすべての偶数完全数が生成されると予想し、18世紀にレオンハルト・オイラーが証明しました。この結果がユークリッド・オイラーの定理です。[ 47 ]

第10巻

『原論』の中で、第10巻は群を抜いて最大かつ最も複雑で、（現代の用語で言えば）無理数を大きさの文脈で扱っている。[ 16 ] [ 48 ]命題9（現代の用語で言い換えると）は、2の平方根など、すべての非平方整数の平方根の無理数を証明している。[ 49 ]命題29の補題は、すべての基本的なピタゴラスの三つ組を生成するためのユークリッドの公式を与えている。[ 50 ]さらに、本書では無理数の長さを13の互いに素な範疇に分類し、それらの構成を、他の整数である長さとその平方根の様々な組み合わせと関連付けている。[ 51 ]しかし、ウィルバー・ノールは、「ユークリッドの第10巻の長さと難解さの中に数学的な宝が隠されていることを期待して本書に近づく学生は、失望する可能性が高い。…数学的なアイデアは少ない」と警告している。[ 52 ]2{\displaystyle {\sqrt {2}}}

ユークリッドは、大きさを実数として扱い、それが有理数かどうかを問うのではなく、長さや面積の通約可能性、すなわち2つの線分や2つの長方形が共通の単位の整数倍で測定できるかどうかという観点からこの問題を扱っている。[ 48 ]彼が長さを有理数と無理数に分類した方法は、現代の意味とは異なる。ユークリッドにとって、線分が有理数であるのは、その辺にある正方形の面積が有理数である場合である。つまり、ユークリッドにとって、有理数面積の平方根となるような長さは、それ自体が有理数である。[ 53 ]2{\displaystyle {\sqrt {2}}}

この本は、プラトンの対話『テアイテトス』における、ソクラテス、キュレネのテオドロス、そして若い数学者テアイテトスの間の短い一節と関連している。この一節では、テオドロスによる3から17までの非平方整数は無理数平方根を持つという証明（はるか以前に の無理数性の発見に続いて）、この結果のテアイテトスによるすべての非平方整数への一般化、そして無理数の部分的な分類（13クラス未満）について論じられている。[ 54 ] [ 55 ]2{\displaystyle {\sqrt {2}}}

第11巻から第13巻：立体幾何学

5つのプラトン立体は、第11巻から第13巻に登場する立体幾何学の基礎となる要素です。

最後の3冊は主に立体幾何学について論じている。[ 13 ]第11巻は37の定義リストを紹介することで、次の2つの定義の文脈を示している。[ 56 ]その基礎的な性格は第1巻に似ているが、第1巻とは異なり、公理体系や公準は特徴付けられない。[ 56 ]

第11巻

第11巻は、第6巻の結果を立体図形に一般化します。すなわち、平行六面体（3組の平行面を持つ多面体）の垂直性、平行性、体積、相似性です。第11巻は3つのセクションに分かれており、それぞれ立体幾何学（1～19）、立体角（20～23）、平行六面体（24～37）に関する内容が含まれています。[ 56 ]

第12巻

第12巻では、積分法の前身である消尽法を用いて円錐、角錐、円柱の体積を詳細に研究し、[ 56 ]例えば、円錐の体積は対応する円柱の体積の3分の1であることを示しています。[ 57 ]最後に、球の体積は（現代の言葉で言えば）その半径の3乗に比例し、その体積を多くの角錐の和で近似することを示しています。[ 58 ]

第13巻

第13巻では、球面に内接する5つのプラトン立体（正多面体）を構築し、その辺の比を球面の半径と比較し、[ 59 ]これらが唯一の正多面体であることを証明して『原論』を締めくくっています。[ 60 ]

外典

ユークリッドによって書かれていない2冊の追加書籍、第14巻と第15巻は、『原論』の写本に含まれていた。[ 61 ]

これらの本に代表されるような有名な著者の作品に加筆する習慣は、古代ギリシャの数学では珍しいことではなかった。[ 61 ]

ユークリッドの方法と表現スタイル

• 任意の点から任意の点まで直線を描く。 • 任意の中心と距離で円を描く。

ユークリッド『原論』第1巻、公準1と3。[ 62 ]
ユークリッドが六角形をどのように描いたかを示すアニメーション（第4巻、命題15）。『原論』に登場するすべての二次元図形は、コンパスと定規のみを使って作図できる。[ 62 ]

ユークリッドの公理的アプローチと構成的方法は広く影響を与えた。[ 63 ] [ 64 ]

ユークリッドの命題の多くは構成的であり、コンパス（円を描く道具）と定規（目盛りのない定規）を用いて図形を作図する手順を詳細に記述することで、ある図形の存在を証明した。彼の構成的アプローチは幾何学の公理にも現れており、直線と円の存在を述べる第一公理と第三公理は構成的である。彼は、直線と円が彼の以前の定義に従って存在すると述べるのではなく、直線と円を「作図」することが可能であると述べている。また、彼が証明において図形を用いるには、それ以前の命題においてその図形を作図する必要があるように思われる。例えば、彼はピタゴラスの定理を、まず直角三角形の辺に正方形を内接させることによって証明するが、これは一つ前の命題において、与えられた直線上に正方形を作図した後にのみ行われる。[ 65 ]

それぞれの結果は、ユークリッドが考案したものではないものの、典型的な古典的表現として認識されている様式化された形式で提示される。それは6つの異なる部分から構成される。まず「宣言」であり、これは結果を一般的な用語（すなわち命題の記述）で述べる。次に「設定」が続き、これは図を示し、特定の幾何学的対象を文字で表す。次に「定義」または「指定」が続き、これは特定の図を用いて宣言を言い直す。そして「構成」または「仕組み」が続く。ここで元の図が拡張され、証明が進められる。そして「証明」自体が続く。最後に「結論」は、証明で導き出された具体的な結論を、宣言の一般的な用語で述べることで、証明と宣言を結び付ける。[ 66 ]

ユークリッドの別の著書『データ』には、原論の最初の4巻で遭遇するタイプの問題にどのように取り組むかについての指示があるものの、その結果に至った推論方法については何も示されていない。[ 67 ]場合分けを含む証明については、原論では最も難しい場合の詳細のみが記載されていることが多い。これらの場合分けの一部は、テオンなどの後代の編集者によって補完されている。[ 68 ]

ユークリッドの数学の表現は、当時一般的に使われていた数学的概念や記法によって制限されており、そのため現代の読者には扱いがぎこちなく感じられる箇所がある。例えば、2直角より大きい角度という概念は存在せず、[ 69 ] 1という数は他の正の整数とは別に扱われることがあり、また乗算は与えられた辺の長さを持つ長方形の面積という幾何学的に扱われていたため、3つ以上の異なる数の積は用いなかった。数論を幾何学的に扱ったのは、他の選択肢が極めて扱いにくいアレクサンドリア記数法、つまり各ギリシャ文字が10の累乗の1桁の倍数を表すアルファベット記数法を採用することになるためであったと考えられる。 [ 71 ]

受付

ユークリッドの『原論』は、これまでに書かれた中で最も成功した教科書だと言われています。[ 18 ] [ 72 ]『原論』は、聖書に次いで歴史上最も頻繁に翻訳、出版、研究された本であると考えられています。 [ 73 ]アリストテレスの『形而上学』とともに、『原論』はおそらく最も成功した古代ギリシャのテキストであり、中世イスラム世界と西ヨーロッパで主要な数学の教科書でした。[ 73 ] [ 72 ]印刷機の発明後に印刷された最も初期に印刷された数学の作品の1つであり、 1482年の初版以来、出版された版の数では聖書に次いで2番目に多いと推定されており、 [ 74 ] [ 75 ]その数は1000をはるかに超えています。[ 75 ]

古典古代

ユークリッドの『原論』に関する現存する最古の証拠は、紀元前3世紀のエレファンティネのパピルスとオストラカの中に発見された6枚のオストラカ（文字が刻まれた粘土片）のセットで、正十二面体の構築に関する命題XIII.10とXIII.16を扱っています。[ 76 ]ヘルクラネウムから発見されたパピルス[ 77 ]には、エピクロス派の哲学者デメトリウス・ラコンによるユークリッドの『原論』に関するエッセイが含まれています。[ 76 ] 『原論』の実際の本文を含む現存する最古のパピルスは、パピルス・オクシリンコス29で、第2巻、命題5の本文と付随する図を含む断片で、 西暦75-125年頃のものです。[ 78 ]

写本Vat.gr.190のピタゴラスの定理

ギリシャ語本文の写本は現在も存在し、その一部はバチカン図書館とオックスフォードのボドリアン図書館に所蔵されている。 [ e ] [ f ]現存する写本は質にばらつきがあり、不完全なものも多い。[ 79 ]翻訳と原本を綿密に分析することで、原文の内容に関する仮説が立てられている。[ 80 ]また、スコリア（本文への注釈）も重要である。これらの注釈は、写本によっては本文とは区別されることが多かったが、何が説明や更なる研究に値するのかという意見が変化するにつれ、時間の経過とともに徐々に蓄積されていった。[ 81 ]

4世紀、アレクサンドリアのテオンはユークリッドの版を出版した。これは非常に広く使われ、 1808年にフランソワ・ペラールがバチカンでテオンの版に由来しない写本を発見するまで、現存する唯一のギリシャ語資料（複数の写本）となった。[ 82 ]この写本（MS. Vat.gr.190）[ e ]は10世紀に転写された。この写本にはテオンが編纂したとされる本文は含まれておらず、テオンが自ら追加したと主張する第6巻命題33の系が欠落している。どちらのギリシャ語版にも、原論のアラビア語訳にはない、命題とその証明以外の多くの説明が含まれている。これが19世紀にM. クラムロートとJL ハイバーグの間で、さまざまな版の違いがユークリッドのテキストの要約か追加を反映したものであるかについての学術的論争を引き起こした。この問題を再検討したウィルバー・ノールは、アラビア語の資料が原典に近いと主張する点でクラムロスに同調したが、「ユークリッドの『本物の』テキストはこれまで存在したことがなく、今後も存在しないだろう」と結論付けている。[ 82 ]

例えば、エウクレイデスはキケロにも知られていたが、5世紀か6世紀のボエティウス以前にそのテキストがラテン語に翻訳されたという記録は存在しない。 [ 83 ]

中世

幾何学を教える女性。12世紀にバースのアデラードがアラビア語からラテン語に翻訳した『原論』の写本（1309-1316年頃）より。 [ 83 ]

古典古代から西洋における印刷術の発明に至るまで、『原論』のようなテキストは写本を写すという過程を通じて保存・複製されてきました。これは労力と費用がかさむ作業であったため、写本は富裕層のコレクションや、中世イスラム世界の智恵の家、あるいは中世ヨーロッパの修道院や初期の大学といった機関に限定されることが多かったのです。[ 84 ]

イスラム世界は760年頃、ビザンチン帝国から『原初原理』を受け取った。当時の資料によると、この版はハールーン・アッ＝ラシード（ 800年頃）の治世下でアラビア語に翻訳され、 [ 83 ]アル＝ハジャージ・イブン・ユースフ・イブン・マタルによる2つの版が作成された。9世紀後半には、イシャク・イブン・フナインによる別のアラビア語訳が作られ、タービト・イブン・クルラによって改訂された。[ 85 ] [ 86 ]ほとんどのアラビア語写本はこれらの翻訳のいずれかに帰属されているが、中には両方の翻訳からの資料が混在しているものもあり、[ 85 ]その帰属は現存する写本におけるテキストの類似性から得られる証拠と必ずしも一致しない。[ 86 ]この混合は中世のアラビア語からヘブライ語への翻訳にも受け継がれた。[ 85 ]

ビザンチン学者アレタスは9世紀後半にエウクレイデスのギリシア語写本の1つの写しを委託した。[ 87 ]この写本と別のビザンチン写本は、ギリシア語本文の現存する最古の2つの写本である。[ 88 ] 『原論』はビザンチンでは知られていたが、1120年頃まで西ヨーロッパでは失われていた。[ 89 ]唯一の残された記録は、ボエティウス（500年頃）によるラテン語訳の断片で、他の著作に引用されているものであった。 [ 90 ] [ g ] 1120年頃、イギリスの修道士アデラード・オブ・バースは、アラビア語訳から『原論』をラテン語に翻訳した。 [ 91 ]比較的最近、シチリア島パレルモで12世紀のギリシア語からラテン語への翻訳が発見された。この翻訳者の名前は、アルマゲストをラテン語に翻訳するためにパレルモを訪れていたサレルノ出身の無名の医学生であったということ以外わかっていない。ユークリッド写本は現存しており、非常に完全な状態である。[ 89 ]

アデラードの翻訳（アデラード1世として知られるようになる）の後、アラビア語からの翻訳が急増した。この時期の著名な翻訳者としては、 1140年頃に版を書いたケルンテンのヘルマン、チェスターのロバート（彼の写本はまとめてアデラード2世と呼ばれ、1251年以前に書かれた）、タインマスのジョン[ 92 ]（12世紀後半。彼の写本はまとめてアデラード3世と呼ばれる）、クレモナのジェラルド（1120年以降、1187年以前のいつか）などがいる。これらの翻訳の詳細な伝承史は、現在でも活発に研究されている分野である[ 93 ] 。ノヴァーラのカンパヌスはこれらのアラビア語翻訳に大きく依存して彼の版（1260年以前のいつか）を作成し、それが最終的に16世紀にギリシア語写本が利用可能になるまでラテン語版を支配するようになった。 1482年以前のカンパヌス写本は現在でも100点以上残っています。[ 90 ] [ h ]ヨーロッパで入手可能になった後、原論の最初の本は、文法、論理学、修辞学の3科目に続く教育の2番目の段階である4科目の一部として中世の大学の標準となりました。[ 84 ]

ルネサンスと近世

イタリアのイエズス会士マテオ・リッチ（左）と中国の数学者徐光啓（右）は、 1607年にユークリッドの『原論』の中国語版初版（Jīhé yuánběn幾何原本）を出版した。

『原論』の最初の印刷版は、カンパヌス版に基づいて1482年にエアハルト・ラトドルトによって出版されました。[ 94 ]それ以来、多くの言語に翻訳され、1000種類以上の版が出版されました。[ 75 ]テオンのギリシャ語版から派生した写本が発見され、1505年にヴェネツィアでバルトロメオ・ザンベルティによってラテン語訳が出版されました。[ 95 ]ギリシャ語の本文自体は1533年に出版されました。[ 96 ] 『原論』を現代ヨーロッパの言語に翻訳した最初の人物はニコロ・タルタリアで、1543年にイタリア語版を出版しました。[ 97 ]

1570年、ジョン・ディーはヘンリー・ビリングスリーによる最初の英語版に、広く評価されている「数学的序文」を膨大な注釈と補足資料とともに提供した。[ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] 1607年、イタリアのイエズス会士マッテオ・リッチと中国の数学者徐光啓はユークリッドの『原論』の最初の中国語版を出版した。[ 101 ]

ルネサンス期には、遠近法を用いた新しい多面体作品も創作された。ピエロ・デッラ・フランチェスカの『正多面体について』（1400年代後半）、それを盗作したルカ・パチョーリの『比例する神』 （1498年、レオナルド・ダ・ヴィンチの挿絵）、ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『正多面体透視図』 （1568年）などがある。[ 102 ]デッラ・フランチェスカがこの方面で初期作品に取り組むにあたっては、『原論』が主なインスピレーションとなった。[ 103 ] [ 104 ]パチョーリはヴェネツィアでユークリッドの講義を行い、その注釈が1509年版の『原論』に収録された。[ 105 ]ヤムニッツァーも同様に、その本の副題に『原論』の功績を記している。 [ 106 ]

この時期には教科書の新刊が爆発的に増加したが、教師たちは古典に固執することが多かった。例えば、 16世紀オランダの人文主義者ヨアヒム・ステルク・ファン・リンゲルベルグの推奨図書リストには、『原論』が唯一の数学書として挙げられている。[ 107 ]印刷版が存在した後も、大学は学生に大学の『原論』のコピーから手書きで資料を書き写すことを期待することもあった。[ 108 ]

現代数学

19世紀には、『原論』は幾何学の教科書としては人気がなくなった。その理由の一部は、アドリアン・マリー・ルジャンドルによるものなどの新しい教科書に取って代わられたためである。 [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]非ユークリッド幾何学、解析幾何学、記述幾何学など他の幾何学の台頭や、[ 112 ] [ 113 ]暗記よりも直感を重視した数学教育へのアプローチを求める圧力も一部にあった。[ 112 ] [ 114 ]特に、チャールズ・ドジソン（通称ルイス・キャロル）は、著書『ユークリッドと現代のライバル』（1879年）でユークリッドの置き換えを激しく非難した。[ 109 ] 『原論』のもう一人の擁護者である数学者で歴史家のWWラウズ・ボールは、「2000年もの間、『原論』がこの分野の通常の教科書であったという事実は、それがその目的に不適切ではないという強い推定を生じさせる」と述べた。[ 69 ]教育の場で広く使用されなくなったにもかかわらず、『原論』は実験教育プロジェクトの教科書として今でも時々使用されている。[ 115 ]

『原論』は数学史における学術研究の対象であり、現代数学の二つの分野、すなわち非ユークリッド幾何学[ 116 ] [ 117 ]と公理的方法[ 118 ] [ 119 ]の発展に大きな影響を与えました。

非ユークリッド幾何学

平行線公理の異なるバージョンは異なる幾何学を生み出します。

『原論』によって確立された幾何学体系は長い間この分野を支配してきましたが、今日ではその体系は19世紀初頭に発見された他の非ユークリッド幾何学と区別するために「ユークリッド幾何学」と呼ばれることがよくあります。 [ 73 ]

ユークリッドが現代数学、さらには現代物理学や一般相対性理論の発見に与えた最も顕著な影響の一つは、平行線公準に関する議論である。[ 116 ] [ 117 ]第1巻では、ユークリッドは5つの公準を挙げており、その5番目は[ 120 ]と規定している。

つまり、2 本の直線に接する直線が同じ側の内角を 2 直角より小さくする場合、その 2 本の直線を無限に延長すると、その 2 直角より小さい角度を持つ側で交わります。

この公準は他の4つの公準に比べて明らかに複雑であるため、何世紀にもわたって数学者を悩ませてきました。他の4つの公準に基づいて第5公準を証明しようとする試みは数多く行われましたが、成功することはありませんでした。最終的に1829年、数学者ニコライ・ロバチェフスキーは、平行線公準の異なる形式を前提とする鋭角幾何学（または双曲幾何学）の記述を発表しました。実際には、第5公準をまったく使用せずに、または第5公準の異なるバージョン（楕円幾何学）を使用して有効な幾何学を作成することは可能です。第5公準を所与とすると、結果はユークリッド幾何学です。[ 121 ]

公理学

ユークリッドの『原論』の公理的推論は長い間、数学的厳密さの基準を定めるものと考えられてきたが[ 122 ]、ユークリッドの公理の健全性と完全性の問題が19世紀後半に前面に出てきたのは、彼の推論に欠陥が見つかり[ 123 ]、ダヴィド・ヒルベルトが「ユークリッドの公理的観点を復活させ」、簡単な計算ですべての数学的および物理学的疑問に答えられるような公理系を改善しようと模索し始めたときだった[ 118 ] 。ヒルベルトの希望は20世紀初頭の基礎的危機で打ち砕かれ、クルト・ゲーデルらが集合論の健全な公理系は必ず不完全でなければならないことを発見した。[ 124 ] 21世紀には、厳密さの新しい基準であるコンピュータ支援証明が登場し、原論の命題は（証明にいくつかの更新を加えて）コンピュータによる検証に耐えるようになりました。[ 119 ] [ 125 ]

半径を共有する二つの円が交差し、魚の袋（vesica piscis）を形成します。これが第1巻命題1の最初のステップであり、半径と交点の一つから正三角形を作図するものです。

『原論』の基礎的な証明の中には、ユークリッドが公理として明示的に述べなかった仮定を使用しているものがある。例えば、第一巻の最初の正三角形の構築において、ユークリッドは、仮定も証明もされていない前提を使用した。それは、同じ線分を半径として共有する 2 つの円は、交差しないのではなく、2 点で交差するという前提である。[ 126 ] [ 127 ]この例は、図の位相特性のみに依存しており、この特性は、図が不正確に描かれていても明らかである。[ 128 ]しかし、他の場合には、ユークリッドは、特定のオブジェクトが互いに異なる、または分離されていることを証明しておらず、それらが一致する可能性 (一種の退化) は、単一の図からは明らかではない可能性がある。その一例が、与えられた角に二等辺三角形と、同じ底辺を持つ正三角形を構築し、2 つの三角形の頂点を線で結ぶユークリッドの角の二等分である。これは、最初の角度が60°で2つの頂点が一致すると破綻します。[ 125 ]

その後の『原論』の編纂者は、パッシュの公理[ 129 ] [ 130 ]などのこれらの暗黙の公理的仮定を、それぞれの版の形式公理の一覧に含めました。[ 131 ]より完全な公理のセットを構築する初期の試みには、ヒルベルトの幾何学の公理[ 132 ] [ 133 ]とタルスキの公理[ 129 ] [ 134 ]が含まれます。2017 年、マイケル・ビーソンらはコンピューター証明支援機能を使用して、ユークリッドの公理に似た公理のセットを作成し、検証しました。 ビーソンらは、ヒルベルトではなくタルスキのシステムを出発点として選択しました。これは、タルスキのシステムがユークリッドのシステムに近く、式の変数として点のみを使用しているためです。彼らはこれらの公理を用いて第1巻のすべての命題のコンピュータ検証済みの証明を提供し、また（実数の別の論理的形式化を用いて）すべての公理が直交座標系の点に対して有効であることを証明した。[ 125 ]

厳選された版

ユークリッドの『原論』は、ギリシャ語、ラテン語、英語、その他の言語で 1000版以上出版されています[ 75 ] 。中でも特に重要な版には以下のようなものがあります。

参考文献

注記

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出典

Wikiquote にはユークリッドの『原論』に関連する引用があります。
英語版ウィキソースにはこの記事に関連する原文があります:
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