複素平面における、a=2、b=3、c=4の超幾何関数2F1(a,b; c; z)の、-2 - 2iから2 + 2iまでのプロット（色付き）は、Mathematica 13.1のComplexPlot3D関数で作成されました
数学 において、ガウス関数あるいは通常の超幾何関数 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) は、超幾何級数 で表される特殊関数 であり、他の多くの特殊関数を特定の ケースまたは極限ケース として含みます。これは、2階線形 常微分方程式(ODE) の解です。3つ の正則特異点 を持つすべての2階線形常微分方程式は、この方程式に変換できます。
超幾何関数 に関する数千もの恒等式のうち、いくつかの体系的なリストについては、 Erdélyi et al. (1953) およびOlde Daalhuis (2010) の参考文献を参照してください。すべての恒等式を体系化するシステムは知られておらず、実際、すべての恒等式を生成できるアルゴリズムも知られていません。しかし、異なる系列の恒等式を生成するアルゴリズムは数多く知られています。恒等式のアルゴリズム的発見理論は、依然として活発な研究テーマです。
歴史 「超幾何級数」という用語は、ジョン・ウォリスが 1655年に著した『Arithmetica Infinitorum』 で 初めて使用されました
超幾何級数はレオンハルト・オイラー によって研究されたが、初めて完全に体系的な扱いをしたのはカール・フリードリヒ・ガウス ( 1813 ) であった。
19 世紀の研究には、エルンスト・クンマー ( 1836 年 ) の研究や、ベルンハルト・リーマン ( 1857 年 ) による、超幾何関数が満たす微分方程式による超幾何関数の基本的な特徴付けが含まれていました。
リーマンは、複素平面上で調べた2 F 1 ( z )の2階微分方程式が、（リーマン球面上で）3つ の正則な特異点 によって特徴付けられることを示した。
解が代数関数となるケースは 、ヘルマン・シュワルツ によって発見されました（シュワルツのリスト ）。
超幾何級数 超幾何関数は、 | z | < 1に対して、 べき級数 によって定義されます
2 F 1 （ a 、 b ; c ; z ) ＝ ∑ n ＝ 0 ∞ （ a ) n （ b ) n （ c ) n z n n ！ ＝ 1 + a b c z 1 ！ + a （ a + 1 ) b （ b + 1 ) c （ c + 1 ) z 2 2 ！ + ⋯ . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots 。}
c が 正でない整数 に等しい場合、それは未定義（または無限大）である。ここで( q ) n は（上昇）ポッホハマー記号 [ 注 1 ]
（ q ) n ＝ { 1 n ＝ 0 q （ q + 1 ) ⋯ （ q + n − 1 ) n > 0 {\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}
a またはb のいずれかが正でない整数の場合、この級数は終了し、その場合、関数は多項式に簡約されます。
2 F 1 （ − m 、 b ; c ; z ) ＝ ∑ n ＝ 0 m （ − 1 ) n （ m n ) （ b ) n （ c ) n z n . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}
| z | ≥ 1 の複素引数z に対して、複素平面上の分岐点 1 と無限遠点を避ける任意の経路に沿って解析的に接続する ことができます。実際には、超幾何関数のほとんどのコンピュータ実装では、直線z ≥ 1 に沿った分岐切断が採用されています。
c → − m （ m は非負の整数）のとき、 2 F 1 ( z ) → ∞ が成り立ちます。これを ガンマ 関数 の値 Γ ( c ) で割ると、次 の 極限が得られます。
リム c → − m 2 F 1 （ a 、 b ; c ; z ) ガンマ （ c ) ＝ （ a ) m + 1 （ b ) m + 1 （ m + 1 ) ！ z m + 1 2 F 1 （ a + m + 1 、 b + m + 1 ; m + 2 ; z ) {\displaystyle \lim_{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}
2 F 1 ( z )は、一般化超幾何級数 p F q
恒等式を用いて、次の式が示される （ a ) n + 1 ＝ a （ a + 1 ) n {\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}
d d z 2 F 1 （ a 、 b ; c ; z ) ＝ a b c 2 F 1 （ a + 1 、 b + 1 ; c + 1 ; z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
そしてより一般的には、
d n d z n 2 F 1 （ a 、 b ; c ; z ) ＝ （ a ) n （ b ) n （ c ) n 2 F 1 （ a + n 、 b + n ; c + n ; z ) {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}
特殊なケース 一般的な数学関数の多くは、超幾何関数、あるいはその極限ケースとして表現できます。いくつかの典型的な例を以下に示します
2 F 1 （ 1 、 1 ; 2 ; − z ) ＝ ln （ 1 + z ) z 2 F 1 （ a 、 b ; b ; z ) ＝ （ 1 − z ) − a （ b 任意 ) 2 F 1 （ 1 2 、 1 2 ; 3 2 ; z 2 ) ＝ アークサイン （ z ) z 2 F 1 （ 1 3 、 2 3 ; 3 2 ; − 27 × 2 4 ) ＝ 3 × 3 + 27 × 2 + 4 2 3 − 2 3 × 3 + 27 × 2 + 4 3 × 3 {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}} a = 1 かつb = c のとき、この級数は単純な等比級数 に簡約される。すなわち、 2 F 1 ( 1 , b ; b ; z ) = 1 F 0 ( 1 ; ; z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}
そのため、超幾何級数と呼ばれます。この関数は 、等比級数 の一般化と考えることができます。
合流型超幾何関数 （またはクンマー関数）は、超幾何関数の極限として与えられる。
M ( a , c , z ) = lim b → ∞ 2 F 1 ( a , b ; c ; b − 1 z ) {\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{_{2}F_{1}}(a,b;c;b^{-1}z)}
したがって、ベッセル関数 など、本質的に超幾何関数の特別なケースであるすべての関数は、超幾何関数の極限として表現できます。これには、数理物理学でよく使われる関数のほとんどが含まれます。
ルジャンドル関数は 3つの正則特異点を持つ2階微分方程式の解であり、超幾何関数を用いて様々な方法で表現できる。例えば、
2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c ) z 1 − c 2 ( 1 − z ) c − 1 2 P − a 1 − c ( 1 − 2 z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}
ヤコビ多項式 P を含むいくつかの直交多項式(α,β) n あるルジャンドル多項式 、チェビシェフ多項式 、ゲーゲンバウアー多項式 、ゼルニケ多項式は 、超幾何関数を用いて次のように記述できる。
2 F 1 ( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) = n ! ( α + 1 ) n P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}
その他の特殊な多項式には、Krawtchouk 多項式 、Meixner 多項式 、Meixner–Pollaczek 多項式 などがあります。
与えられた場合、 z ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}
τ = i 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; 1 − z ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; z ) . {\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}
そして
λ ( τ ) = θ 2 ( τ ) 4 θ 3 ( τ ) 4 = z {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}
はモジュラーラムダ関数 です。ここで
θ 2 ( τ ) = ∑ n ∈ Z e π i τ ( n + 1 / 2 ) 2 , θ 3 ( τ ) = ∑ n ∈ Z e π i τ n 2 . {\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}
j不変量 、つまりモジュラー関数 は、 における有理関数ですλ ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )}
不完全ベータ関数 B x p , q )は次のように関係する。
B x ( p , q ) = x p p 2 F 1 ( p , 1 − q ; p + 1 ; x ) . {\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}
完全楕円積分 K とEは [ 1 ]
K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) , E ( k ) = π 2 2 F 1 ( − 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}
超幾何微分方程式 超幾何関数はオイラーの超幾何微分方程式の解である。
z ( 1 − z ) d 2 w d z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d w d z − a b w = 0. {\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}
この方程式は、0、1、∞の3つの正則特異点 を持ちます。この方程式を任意の3つの正則特異点に一般化すると、リーマン微分方程式 が与えられます。3つの正則特異点を持つ任意の2階線形微分方程式は、変数変換によって超幾何微分方程式に変換できます。
特異点における解 超幾何微分方程式の解は、超幾何級数2 F 1 ( a , b ; c ; z ) から構築されます。この方程式には2つの線形独立な 解があります。3つの特異点 0, 1, ∞ のそれぞれにおいて、通常、x s にx の正則関数を乗じた形の特殊解が2つ存在します。ここで、s は指示方程式の2つの根の1つであり、x は正規特異点でゼロになる局所変数です。これにより、以下のように 3 × 2 = 6 個の特殊解が得られます。
点z = 0の周囲では、c が非正整数でない場合、 2つの独立した解が存在する。
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}
そして、 c が整数でない という条件で、
z 1 − c 2 F 1 ( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z ) {\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}
c が 正でない整数 1 − m の場合、これらの解のうち最初のものは存在しないため、 で置き換える必要があります。2番目の解は、 c が1より大きい整数の場合には存在せず、c が他の整数の場合には最初の解またはその代替解と等しくなります。したがって、 c が整数の場合、2番目の解を求めるには、より複雑な式を使用する必要があります。これは、最初の解に ln( z ) を乗じたものに、 ディガンマ関数 を含むz の累乗の別の級数を加えたものに等しくなります。詳細については、Olde Daalhuis (2010) を参照してください。 z m F ( a + m , b + m ; 1 + m ; z ) . {\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}
z = 1の周りで 、c − a − b が整数でない場合、2つの独立した解が存在する。
2 F 1 ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}
そして
( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) {\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}
z = ∞の周りで 、a − b が整数でない場合、2つの独立した解が存在します
z − a 2 F 1 ( a , 1 + a − c ; 1 + a − b ; z − 1 ) {\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}
そして
z − b 2 F 1 ( b , 1 + b − c ; 1 + b − a ; z − 1 ) . {\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}
繰り返しになりますが、非整数条件が満たされない場合は、より複雑な他の解決策が存在します。
上記の6つの解のうち3つは、解の空間が2次元であるため線形関係を満たし、次の式が成り立ちます（6 3 接続式 と呼ばれます
n 個の特異点を持つ2階フックス方程式は 、その解に（射影的に）作用する対称群を持ち、これは位数2 n −1 n !の コクセター群 W( D n )と同型です。超幾何方程式はn = 3の場合で、位数24の群は クンマー によって最初に記述された4点上の対称群と同型です。対称群の出現は偶然であり、3つ以上の特異点には類似点がありません。そのため、この群を3点上の対称群（3つの特異点の順列として作用する）のクライン4次元群 （その要素は偶数個の特異点における指数の差の符号を変える）による拡張と考えた方がよい場合があります。クンマーの24変換群は、解F ( a , b ; c ; z )を次のいずれかに 取る3つの変換によって生成されます
( 1 − z ) − a F ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) F ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z ) ( 1 − z ) − b F ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}
これらは、4点1、2、3、4上の対称群との同型の下での転置(12)、(23)、(34)に対応する。(これらの最初と3番目は実際にはF ( a 、b 、c 、z )に等しいが、2番目は微分方程式の独立した解である。)
クンマーの24 = 6×4変換を超幾何関数に適用すると、3つの特異点のそれぞれにおける2つの可能な指数に対応する6 = 2×3の解が得られる。これらの特異点は、恒等式により4回現れる。
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) Euler transformation 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) Pfaff transformation 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) Pfaff transformation {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}
超幾何微分方程式はQ形式にすることができる
d 2 u d z 2 + Q ( z ) u ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}
u = wv と置き換え、一次導関数項を消去することによって、次の式が得られる
Q = z 2 [ 1 − ( a − b ) 2 ] + z [ 2 c ( a + b − 1 ) − 4 a b ] + c ( 2 − c ) 4 z 2 ( 1 − z ) 2 {\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}
そしてv は次のように与えられる。
d d z log v ( z ) = − c − z ( a + b + 1 ) 2 z ( 1 − z ) = − c 2 z − 1 + a + b − c 2 ( z − 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}
これは
v ( z ) = z − c / 2 ( 1 − z ) ( c − a − b − 1 ) / 2 . {\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}
Q形式はシュワルツ微分 との関係において重要です（Hille 1976 、pp. 307–401）。
シュワルツの三角写像 シュワルツの三角写像 、またはシュワルツのs 関数 は、解のペアの比です
s k ( z ) = ϕ k ( 1 ) ( z ) ϕ k ( 0 ) ( z ) {\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}
ここでk は0, 1, ∞のいずれかの点である。
D k ( λ , μ , ν ; z ) = s k ( z ) {\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}
も時々使われます。接続係数は三角形写像上で はメビウス変換となることに注意してください。
各三角形写像はそれぞれz∈ {0, 1, ∞} において正則であり、
s 0 ( z ) = z λ ( 1 + O ( z ) ) s 1 ( z ) = ( 1 − z ) μ ( 1 + O ( 1 − z ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}} s ∞ ( z ) = z ν ( 1 + O ( 1 z ) ) . {\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}
λ、μ、νが実数である特殊な場合（0 ≤ λ、μ、ν < 1）では、s写像は上半平面Hからリーマン球面上の円弧で囲まれた三角形への等角写像です。この 写像 は 、シュワルツ ・クリストッフェル写像を 円弧を持つ三角形に一般化したもの です。特異点0、1、∞は三角形の頂点に送られます。三角形の角度はそれぞれπλ、πμ、πνです
さらに、整数p 、q 、rに対して λ=1/ p 、 μ=1/ q 、 ν=1/ r の場合、三角形は λ + μ + ν − 1 が正、ゼロ、負のいずれであるかに応じて、球面、複素平面、または上半平面をタイル張りします。また、s-写像は三角形群 〈p 、 q 、 r 〉 = Δ( p 、 q 、 r )の自己同型関数 の逆関数です。
モノドロミー群 超幾何方程式のモノドロミーは、z 平面上の経路を解析的に辿り、同じ点に戻る際に基本解がどのように変化するかを記述する。つまり、経路が 2 F 1 の特異点を迂回する場合、終点における解の値は始点とは異なる。
超幾何方程式の2つの基本解は線形変換によって互いに関連しているため、モノドロミーは写像（群準同型）です。
π 1 ( C ∖ { 0 , 1 } , z 0 ) → GL ( 2 , C ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}
ここでπ 1は 基本群 である。言い換えれば、モノドロミーは基本群の2次元線形表現である。方程式のモノドロミー群はこの写像の像、すなわちモノドロミー行列によって生成される群である。基本群のモノドロミー表現は、特異点における指数を用いて明示的に計算することができる。 [ 2 ] z 0 を 0付近でとると、0と1の周りのループはモノドロミー行列を持つ。
g 0 = ( e 2 π i α 0 0 e 2 π i α ′ ) g 1 = ( μ e 2 π i β − e 2 π i β ′ μ − 1 μ ( e 2 π i β − e 2 π i β ′ ) ( μ − 1 ) 2 e 2 π i β ′ − e 2 π i β μ e 2 π i β ′ − e 2 π i β μ − 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
ここで
μ = sin π ( α + β ′ + γ ′ ) sin π ( α ′ + β + γ ′ ) sin π ( α ′ + β ′ + γ ′ ) sin π ( α + β + γ ′ ) . {\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}
1 − a 、c − a − b 、a − b が分母がk 、l 、m である非整数有理数 である場合、モノドロミー群が有限となるのは 、シュワルツのリスト またはコバチッチのアルゴリズムを 参照のこと 1 / k + 1 / l + 1 / m > 1 {\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}
オイラー型 B がベータ関数 なら ば
B ( b , c − b ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∫ 0 1 x b − 1 ( 1 − x ) c − b − 1 ( 1 − z x ) − a d x ℜ ( c ) > ℜ ( b ) > 0 , {\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}
ただし、zは 1以上の実数ではない。これは、 二項定理 を用いて(1 − zx ) − a を展開し、絶対値が1より小さいz について項ごとに積分し、他の場所では解析接続によって証明できる。zが 1以上の実数の場合、解析接続を用いなければならない。なぜなら、積分のサポートのある点で(1 − zx )はゼロとなり、積分の値が定義できなくなる可能性があるからである。これは1748年にオイラーによって示され、オイラー とパフの超幾何変換を意味する。
他の枝 に対応する他の表現は、同じ被積分関数をとり、積分の経路を様々な順序の特異点を囲む閉じたポッホハマー閉路とすることで与えられる。このような経路は モノドロミー 作用に対応する。
バーンズ積分 バーンズは留数 理論を用いてバーンズ積分 を評価した。
1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s ) Γ ( c + s ) ( − z ) s d s {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}
として
Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( c ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) , {\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}
ここで、等高線は極0、1、2…を極−a 、 −a − 1、…、−b 、 −b − 1、…から分離するように描かれます。これは、zが非負の実数でない限り有効です
ガウス超幾何関数はジョン変換 として表すことができます（Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2）。
6つの関数
2 F 1 ( a ± 1 , b ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ± 1 ; c ; z ) , 2 F 1 ( a , b ; c ± 1 ; z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}
は2 F 1 ( a , b ; c ; z )2 F 1 ( a , b ; c ; z )は、 a 、b 、c z を有理数係数として、任意の2つの隣接関数の線型結合として表すことができることを示しました。これは次のようになります
( 6 2 ) = 15 {\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}
関係は、右辺の任意の2つの線を特定することによって与えられます
z d F d z = z a b c F ( a + , b + , c + ) = a ( F ( a + ) − F ) = b ( F ( b + ) − F ) = ( c − 1 ) ( F ( c − ) − F ) = ( c − a ) F ( a − ) + ( a − c + b z ) F 1 − z = ( c − b ) F ( b − ) + ( b − c + a z ) F 1 − z = z ( c − a ) ( c − b ) F ( c + ) + c ( a + b − c ) F c ( 1 − z ) {\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}
ここで、F = 2 F 1 ( a , b ; c ; z )、F ( a +) = 2 F 1 ( a + 1, b ; c ; z ) 、などとなる。これらの関係式を繰り返し適用すると、 C ( z )
2 F 1 ( a + m , b + n ; c + l ; z ) , {\displaystyle {_{2}F_{1}}(a+m,b+n;c+l;z),}
ここで、 m 、n 、l は整数である。[ 3 ] [ 4 ]
ガウスは連続関係を用いて、2つの超幾何関数の商を連分数として表すいくつかの方法を示しました。例えば、
2 F 1 ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = 1 1 + ( a − c ) b c ( c + 1 ) z 1 + ( b − c − 1 ) ( a + 1 ) ( c + 1 ) ( c + 2 ) z 1 + ( a − c − 1 ) ( b + 1 ) ( c + 2 ) ( c + 3 ) z 1 + ( b − c − 2 ) ( a + 2 ) ( c + 3 ) ( c + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
変換式は、2つの超幾何関数を、 引数zの異なる値で関連付けます
オイラー変換は、 オイラーの積分表現から導かれる 2つのパフ変換を組み合わせることで得られます 。オイラーの第一および第二変換の拡張については、Rathie & Paris (2007) およびRakha & Rathie (2011) を参照してください。線形結合と書くこともできます 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).} 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( b , c − a ; c ; z z − 1 ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}} 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) 2 F 1 ( a , b ; a + b + 1 − c ; 1 − z ) + Γ ( c ) Γ ( a + b − c ) Γ ( a ) Γ ( b ) ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; 1 + c − a − b ; 1 − z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}
1 − c 、c − 1 、a − b 、b − a 、a + b − c 、c − a − b のうち2つの数が 等しいか、あるいはそのうちの1つが1/2である場合、超幾何関数の二次変換 が存在し、二次方程式で関連付けられた異なるz 値に結び付けられます。最初の例はKummer (1836) によって示され、完全なリストはGoursat (1881) によって示されました。典型的な例は次のとおりです 。
2 F 1 ( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 2 F 1 ( 1 2 a , b − 1 2 a ; b + 1 2 ; z 2 4 z − 4 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}
1− c 、a − b 、 a + b − c の符号が異なる場合、またはそのうちの2つが1/3または-1/3の場合、超幾何関数の3次変換 があり、3次方程式で関連付けられた異なるz値に接続されます。最初の例は Goursat (1881) によって示されました。典型的な例は次のとおりです
2 F 1 ( 3 2 a , 1 2 ( 3 a − 1 ) ; a + 1 2 ; − z 2 3 ) = ( 1 + z ) 1 − 3 a 2 F 1 ( a − 1 3 , a ; 2 a ; 2 z ( 3 + z 2 ) ( 1 + z ) − 3 ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}
4次と6次の変換もいくつか存在する。他の次数の変換は、a 、b 、c が特定の有理数である場合にのみ存在する（Vidunas 2005 ）。例えば、 2 F 1 ( 1 4 , 3 8 ; 7 8 ; z ) ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 1 / 16 = 2 F 1 ( 1 48 , 17 48 ; 7 8 ; − 432 z ( z − 1 ) 2 ( z + 1 ) 8 ( z 4 − 60 z 3 + 134 z 2 − 60 z + 1 ) 3 ) . {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}
特殊点zにおける値 特殊点における和の公式の一覧については、Slater (1966 、付録III) を参照のこと。そのほとんどはBailey (1935) にも記載されている。Gessel & Stanton (1982) は、 より多くの点における評価を示している。Koepf (1995) は、 これらの恒等式のほとんどがコンピュータアルゴリズムによって検証可能であることを示している。
z = 1における特別な値ガウスの和定理はカール・フリードリヒ・ガウス にちなんで名付けられ、
2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}
これは、オイラーの積分公式からz = 1 と置くことで得られます。これには、特別なケースとして ヴァンデルモンド恒等式が含まれます。
の特別なケースでは、 a = − m {\displaystyle a=-m} 2 F 1 ( − m , b ; c ; 1 ) = ( c − b ) m ( c ) m {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}
ダガルの公式はこれを z = 1 における双対超幾何級数 に一般化します。
z = −1）z = −1をz = 1に変換し、ガウスの定理を用いて結果を評価することで、 z = −1において評価できる場合が多い。典型的な例として、エルンスト・クンマー にちなんで名付けられたクンマーの定理が挙げられる。
2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) = Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + 1 2 a ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + 1 2 a − b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}
これはクンマーの二次変換から導かれる。
2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a 2 , 1 + a 2 − b ; 1 + a − b ; − 4 z ( 1 − z ) 2 ) = ( 1 + z ) − a 2 F 1 ( a 2 , a + 1 2 ; 1 + a − b ; 4 z ( 1 + z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}
ガウスの定理は、 第一恒等式にz = −1を置くことで成立する。クンマーの和の一般化については、 Lavoie, Grondin & Rathie (1996) を参照のこと。
z = 1/2における値ガウスの第二の和定理は
2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}
ベイリーの定理とは
2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}
ガウスの第二和定理とベイリーの和定理の一般化については、Lavoie 、Grondin、Rathie（1996）を参照してください
その他の点 パラメータの特別な有理数値において、超幾何関数を代数的数として与える式は他にも多く存在し、そのいくつかはGessel & Stanton (1982) とKoepf (1995) に列挙されています。いくつかの典型的な例を以下に示します
2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; x 2 4 ( x − 1 ) ) = ( 1 − x ) a + ( 1 − x ) − a 2 , {\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}
これは次のように言い換えられる。
T a ( cos x ) = 2 F 1 ( a , − a ; 1 2 ; 1 2 ( 1 − cos x ) ) = cos ( a x ) {\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}
−π < x < π のときは常に、 T は（一般化）チェビシェフ多項式 です。
参照
参考文献
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外部リンク _with_a%3D2_and_b%3D3_and_c%3D4_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2%2B2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{任意}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d0aa93d1ec1fe6226ecba7d17bfbd7c30cba4c)
![{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e8e3756bb7c64f4d8d5bd0b3aea7b3890ec783)
![{\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(ab)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e778623e3a601cf8b1f06a87cd38adb1cd1225bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (cab)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+bc)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{cab}{}_{2}F_{1}(ca,cb;1+cab;1-z).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9036dee88ebd40782cf7a0d67ada5319e8566751)
