法線座標

微分幾何学において、対称アフィン接続を備えた微分可能多様体の点pにおける正規座標は、 pの近傍における局所座標系であり、pにおける接空間への指数写像を適用することによって得られる。正規座標系では、接続のクリストッフェル記号は点pで消えるため、局所的な計算が簡素化されることが多い。リーマン多様体のレヴィ・チヴィタ接続に関連付けられた正規座標では、さらに、計量テンソルが点pにおけるクロネッカーのデルタとなり、pにおける計量の第1偏微分が消えるように設定することができる。

微分幾何学の基本的な結果は、点における正規座標が、対称アフィン接続を持つ多様体上に常に存在するというものである。このような座標では、共変微分は偏微分（pにおいてのみ）に簡約され、 pを通る測地線はt （アフィンパラメータ）の局所的に線形関数となる。この考え方は、アルベルト・アインシュタインによって一般相対性理論において基本的な形で実現された。 同値原理は、慣性系を介して正規座標を使用する。リーマン多様体または擬リーマン多様体のレヴィ・チヴィタ接続では、正規座標が常に存在する。対照的に、フィンスラー多様体に対して、指数写像が2回微分可能であるような正規座標を定義する方法は一般に存在しない（ Busemann 1955）。

測地正規座標

測地正規座標は、指数写像によって定義されるアフィン接続を持つ多様体上の局所座標である。

${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M}$

0の開近傍を持ち、同型 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M}$

固定された基点における接空間の任意の基底によって与えられる。リーマン計量の追加構造が課される場合、 Eによって定義される基底は正規直交であることがさらに要求され、その結果得られる座標系はリーマン正規座標系と呼ばれる。 ${\displaystyle p\in M}$

M内の点pの正規近傍上には正規座標が存在する。正規近傍UはMの開部分集合であり、接空間T _p Mにおいて原点の真近傍Vが存在し、 exp _{p は}UとV間の微分同相写像として作用する。M内のpの正規近傍Uにおいて、図は次のように表される。

${\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

同型写像E 、ひいてはチャートは、決して一意ではない。凸正規近傍Uは、 U内の任意のpの正規近傍である。このような開近傍（位相基底を形成する）の存在は、JHC ホワイトヘッドによって対称アフィン接続に対して 確立されている。

プロパティ

正規座標の性質は、多くの場合計算を簡素化します。以下では、が 内の点を中心とする正規近傍であり、が 上の正規座標であると仮定します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U}$

• を局所座標の成分を持つからのベクトルとし、をおよびを持つ測地線とします。すると、が にある限り、標準座標では となります。したがって、標準座標における放射状の経路は を通る測地線とまったく同じです。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle V^{i}}$ ${\displaystyle \gamma_{V}}$ ${\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}$ ${\displaystyle \gamma _{V}'(0)=V}$ ${\displaystyle \gamma_{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$
• 点の座標は${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (0,...,0)}$
• リーマン正規座標の点では、リーマン計量の成分は、つまり と簡略化されます。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \delta_{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}(p)=\delta _{ij}}$
• クリストッフェル記号は で消える、すなわち。リーマンの場合、 の1次偏微分も で消える、すなわち。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}$

明示的な式

リーマンテンソルが値をとる 局所直交座標系を備えた 任意の点の近傍では、 計量テンソルの成分がから離れた 位置 で${\displaystyle p=(0,\ldots 0)}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)}$ ${\displaystyle x^{\mu}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3})。}$

対応するレヴィ・チヴィタ接続のクリストッフェル記号は

${\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}{R^{\lambda }}_{\nu \mu \tau }(0)+{R^{\lambda }}_{\mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2})。}$

同様に、局所コフレームを構築することができる。

${\displaystyle e_{\mu}^{*a}(x)=\delta _{a\mu}-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),}$

スピン接続係数は次のような値を取る。

${\displaystyle {\omega^{a}}_{b\mu}(x)=-{\tfrac{1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau}(0)x^{\tau}+O(|x|^{2}).}$

極座標

リーマン多様体では、pにおける通常の座標系により、極座標として知られる球面座標系の導入が容易になります。これらは、ユークリッド空間T _p Mに標準球面座標系を導入することで得られるM上の座標です。つまり、T _p Mに標準球面座標系 ( r ,φ) を導入します。ここで、r  ≥ 0 はラジアルパラメータ、 φ = (φ ₁ ,...,φ _{n −1 ) は}( n −1) 球面のパラメータ化です。( r ,φ) とpにおける指数写像の逆写像の合成は極座標系です。

極座標はリーマン幾何学においていくつかの基本的なツールを提供する。その中でも最も重要なのは動径座標である。幾何学的には、近傍点 からpまでの測地線距離を表す。ガウスの補題によれば、rの勾配は単に偏微分である。つまり、 ${\displaystyle \partial /\partial r}$

${\displaystyle \langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}}$

任意の滑らかな関数ƒに対して、極座標上の計量はブロック対角形式 をとる。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.}$

参考文献

• Busemann、Herbert (1955)、「フィンスラー空間の法線座標について」、Mathematische Annalen、129 : 417–423、doi : 10.1007/BF01362381、ISSN  0025-5831、MR  0071075。
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• Chern, SS; Chen, WH; Lam, KS (2000), Lectures on Differential Geometry (hardcover ed.), World Scientific , ISBN 978-981-02-3494-2。

参照

• ガウスの補題
• フェルミ座標
• ローカル参照フレーム
• シングの世界関数