内積空間

内積を用いて定義された2つのベクトル間の角度の幾何学的解釈

任意の体上のスカラー積空間は、第一引数に関して対称かつ線形な「スカラー積」を持ちます。エルミート積空間は複素数体に限定され、第一引数に関して共役対称かつ線形な「エルミート積」を持ちます。内積空間は任意の体上に定義でき、第一引数に関して線形、共役対称かつ正定値である「内積」を持ちます。内積とは異なり、スカラー積とエルミート積は必ずしも正定値である必要はありません。

数学において、内積空間^{[注 1 ]}は、内積と呼ばれる演算を備えた実ベクトル空間または複素ベクトル空間です。この空間における 2 つのベクトルの内積はスカラー であり、のように山括弧で表記されることが多いです。内積により、ベクトルの長さ、角度、直交性(内積がゼロ)などの直感的な幾何学的概念を正式に定義できます。内積空間はユークリッドベクトル空間を一般化したものであり、この場合の内積は直交座標のドット積またはスカラー積です。無限次元の内積空間は関数解析で広く使用されています。複素数体上の内積空間はユニタリ空間と呼ばれることもあります。内積を持つベクトル空間の概念は、1898 年にジュゼッペ ペアノによって初めて使用されました。 ^{[ 3 ]}${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

内積は自然に、関連するノルム（図では と で表記）を誘導する。したがって、すべての内積空間はノルムベクトル空間となる。このノルム空間も完備（つまり、バナッハ空間）である場合、内積空間はヒルベルト空間となる。^{[ 1 ]}内積空間Hがヒルベルト空間でない場合、完備化によってヒルベルト空間 に拡張できる。これは、が の内積の線型部分空間であり、が の の制限であり、ノルムによって定義される位相に対してが稠密であることを意味する。 ^{[ 1 ] [ 4 ]}${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle {\overline {H}}.}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$

意味

本稿では、F は実数または複素数体を表す。したがって、スカラーはFの元である。スカラーを表す式にバーが付されている場合、そのスカラーの複素共役を表す。零ベクトルは、スカラー0と区別するために用いられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

内積空間とは、体F上のベクトル空間Vと内積、すなわちすべてのベクトルとすべてのスカラーに対して 次の3つの性質を満たす写像である 。^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \langle \cdot \operatorname {,} \cdot \rangle :V\times V\to F}$$ ${\displaystyle x,y,z\in V}$ ${\displaystyle a,b\in F}$

• 共役対称性：が実数であるとき、かつその場合に限り、共役対称性は が常に実数であることを意味します。F が の場合、共役対称性は単なる対称性です。$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$$ ${\textstyle a={\overline {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 第一引数の線形性: ^{[注 2 ]}$${\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle .}$$
• 正定値性:がゼロでない場合、(共役対称性はが実数であることを意味する)。${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \langle x,x\rangle >0}$$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

正定値性条件を、すべての に対してが成り立つという条件に置き換えると、半正定値エルミート形式の定義が得られる。半正定値エルミート形式が内積となるのは、すべての に対して が成り立つ場合、かつが成り立つ場合のみである。^{[ 7 ]}${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$

基本的なプロパティ

内積の定義からほぼ直ちに得られる以下の特性において、x、y、zは任意のベクトルであり、a、bは任意のスカラーです。

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$ ^{[注3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ は実数かつ非負である。^{[注 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ^{[注5 ]}の場合のみ${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$ 、つまり共役線型性（第2引数）です。これは、内積がセクスティ線形形式であることを意味します。
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$ ここで、 は引数の実部を表します。${\displaystyle \operatorname {Re} }$

上において、共役対称性は対称性に、二分線型性は双線型性に帰着する。したがって、実ベクトル空間上の内積は正定値対称双線型形式となる。正方形の 二項展開は${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

表記

内積には、通常のドット積のほか、、、などのいくつかの表記法が使用 さ れ ます 。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$

コンベンションバリアント

特に物理学や行列代数学の分野では、内積やセスクイリニア形式を、第一引数ではなく第二引数に線型性を持つように定義することを好む著者もいます。そうすると、第一引数は第二引数ではなく共役線型になります。量子力学におけるブラケット記法でも、わずかに異なる記法、すなわちが用いられます。 ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle x|y\rangle :=\left(y,x\right)}$

例

実数と複素数

内積空間の最も単純な例としては、 とがある。 実数は上のベクトル空間であり、その内積として算術乗算を持つ内積空間となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {R} .}$$

複素数は 、内積空間となる ベクトル空間である。 実数とは異なり、この割り当ては複素内積を定義しない。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}\quad {\text{ for }}x,y\in \mathbb {C} .}$$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ユークリッドベクトル空間

より一般的には、ドット積を持つ実空間${\displaystyle n}$ は内積空間であり、ユークリッドベクトル空間の例である。 ここで、は転置である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ ${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle x.}$

関数がの内積であるのは、すべての に対して となる対称正定値行列が存在する場合であり、が単位行列である場合は内積です。別の例として、と が正定値である場合（これは、対角要素の一方または両方が正である場合に限ります）、任意の に対して となります 。前述のように、 のすべての内積はこの形式になります（ただし、と は を満たします）。 ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$ ${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle ad>b^{2}}$

複素座標空間

の内積の一般的な形はエルミート形式として知られ、 で与えられます。 ここで、 は任意のエルミート正定値行列であり、は の共役転置です。実数の場合、これは2つのベクトルを方向の異なるスケーリングした結果のドット積に対応し、スケーリング係数が正でスケーリング方向が直交します。これは、直交変換を除いて、正の重みを持つドット積の 加重和バージョンです。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y^{\dagger }}$ ${\displaystyle y.}$

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間に関する記事には、内積空間の例がいくつか挙げられており、これらの空間では内積によって誘導される計量は完全な計量空間を生じます。不完全な計量を誘導する内積空間の例としては、区間 上の連続複素数値関数の空間が挙げられます。内積は この空間は完全ではありません。例えば、区間[−1, 1]において、次のように定義される連続「ステップ」関数の列を考えてみましょう。 ${\displaystyle C([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b].}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$ $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

このシーケンスは、連続関数に収束しない、前の内積によって誘導されるノルムのCauchy シーケンスです。

確率変数

実数確率変数 とそれらの積 の期待値 は内積である。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}この場合、が成り立つ場合（つまり、ほぼ確実に）に限り、 は事象の確率を表す。期待値を内積として定義するこの定義は、確率ベクトルにも 拡張できる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ $${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ ${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

複素行列

同じ大きさの複素正方行列の内積はフロベニウス内積 です。トレースと転置は線形であり、共役は2番目の行列上にあるため、これはセスクイリニア演算子です。さらに、 によってエルミート対称性が得られます。 最後に、 が非零の 場合、 なので、フロベニウス内積も正定値であり、内積も正定値であることが分かります。 ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)}$ $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$

形式を持つベクトル空間

内積空間、またはより一般的には非退化形式（したがって同型）を持つベクトル空間では、ベクトルを共ベクトルに（座標で、転置を介して）移すことができるため、ベクトルと共ベクトルの単純な積ではなく、2 つのベクトルの内積と外積を取ることができます。 ${\displaystyle V\to V^{*}}$

基本的な結果、用語、定義

ノルム特性

あらゆる内積空間はノルムを誘導し、これを標準ノルムは、 によって定義されます。 このノルムにより、すべての内積空間はノルム付きベクトル空間。 $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

したがって、ノルムベクトル空間の一般的な性質はすべて内積空間にも当てはまります。特に、以下の性質が当てはまります。

絶対的な均質性

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ あらゆるおよび に対して (これは から生じます)。 ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$

三角不等式

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ これら 2 つの特性は、 確かに規範が存在することを示しています。${\displaystyle x,y\in V.}$

コーシー・シュワルツの不等式

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ 任意のに対して が 等式であり、かつと が線形従属である場合に限ります。 ${\displaystyle x,y\in V,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

平行四辺形の法則

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ 平行四辺形法則は 、ノルムが内積によって定義されるための必要かつ十分な条件です。 ${\displaystyle x,y\in V.}$

二極化のアイデンティティ

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ あらゆる場合において、 内積は分極恒等式によってノルムから取り出すことができる。なぜなら、その虚部は実部であるからである。${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

プトレマイオスの不等式

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ プトレマイオスの不等式は、半ノルムが内積によって定義されるノルムとなる ための必要十分条件である。 ^{[ 11 ]}${\displaystyle x,y,z\in V.}$

直交性

直交性

2つのベクトルとは次のようになると言われている。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ 直交 であり、内積がゼロ、 すなわちよく書きます。すべてのスカラー^{[ 12 ]}に対して の場合に限り、また実数値関数が非負の場合に限ります。（これは、の場合、スカラーは常に非正の値で最小化される複素内積空間 では線型演算子が同一 であるすべての に対して の場合に^{限ります[ 12 ]}これは、共役対称性が複素内積の対称性とは異なる結果であるため、実内積空間では一般には当てはまりません。実内積空間での反例はにおける 90° 回転で、これはすべてのベクトルを直交ベクトルに写像しますが、 と同一 ではありません。 ${\displaystyle x\perp y,}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\perp Tx}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 0}$

直交補集合

部分集合の直交補集合は、 Cのすべての元に直交するベクトルの集合である。つまり、 この集合は常にの閉ベクトル部分空間であり、におけるの閉包がベクトル部分空間である場合、${\displaystyle C\subseteq V}$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ ${\displaystyle C^{\bot }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

ピタゴラスの定理

とが直交する 場合、 これは、方程式の右辺を展開するために加法性を用いて、ノルムの2乗を内積で表すことで証明できます。ピタゴラスの定理 という名称は、ユークリッド幾何学における幾何学的解釈に由来しています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$

パーセヴァルの正体

ピタゴラスの定理に基づく帰納法は次のようになる。もし 2つが直交するならば、 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

角度

が実数の 場合、コーシー・シュワルツの不等式は を意味し、したがって は 実数です。これにより、ユークリッド幾何学の現代的な定義において、2つのベクトルの（向きのない）角度を線型代数の観点から定義することができます。これはデータ分析においても、「コサイン類似度」という名前で、2つのデータベクトルを比較するために用いられます。さらに、が負の場合、角度は90度よりも大きくなります。この特性は、コンピュータグラフィックス（例えば、バックフェースカリング）において、三角関数を評価せずに方向を分析するためによく用いられます。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$ $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \angle (x,y)}$

内積の実部と複素部

が の内積であるとする（したがって、第2引数は反線型である）。分極恒等式から、内積の 実部は${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

が実ベクトル空間である 場合 、 の虚部（複素部とも呼ばれる）は常に${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle 0.}$

この節の残りの部分では、 が複素ベクトル空間であると仮定する。複素ベクトル空間の 分極恒等式は、${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

によって定義される写像は、すべての に対して内積の公理を満たすが、その第2引数ではなく第1引数において反線型である点が異なる。 と の実部はどちらも に等しいが、内積の複素部は異なる。 ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

最後の等式は、線形関数をその実部に関して 表現する式に似ています。

これらの式は、すべての複素内積がその実部によって完全に決定されることを示しています。さらに、この実部は実ベクトル空間上の内積を定義します。したがって、複素ベクトル空間上の複素内積と実ベクトル空間上の実内積の間には一対一対応があります。${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V.}$

例えば、ある整数 に対して が通常の方法で実ベクトル空間とみなされる（つまり、 がと同一視される次元実ベクトル空間と同一視される）場合、ドット積はこの空間上の実内積を定義します。ドット積によって誘導される上の唯一の複素内積は、を に写像する写像です（この写像の実部はドット積に等しいため）。 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2n-}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ ${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle c,d\rangle :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$

実内積と複素内積

を複素数ではなく実数上のベクトル空間として考えるとします。複素内積の実部は、実ベクトル空間上の実内積を必ず形成する写像です。実ベクトル空間上のすべての内積は、双線型かつ対称な写像です。 ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ~:~V_{\mathbb {R} }\times V_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }.}$

例えば、内積 （ここでは体上のベクトル空間）の場合、は 上のベクトル空間であり、 は点 と同一視される内積（についても同様）である。したがって、上の標準的な内積は内積 の「拡張」である。また、 が（通常の共役対称写像 ではなく）対称写像として定義されていた場合、その実部は内積ではない。さらに、複素共役がなければ、 となるが となるので、割り当てはノルムを定義しない。 ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\cdot y,}$ ${\displaystyle x=a+ib\in V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (a,b)\in V_{\mathbb {R} }=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =xy}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle =xx=x^{2}\not \in [0,\infty )}$ ${\textstyle x\mapsto {\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

次の例は、実内積と複素内積には多くの共通の性質と結果があるものの、完全に互換性があるわけではないことを示しています。例えば、の場合、 となりますが、次の例は、その逆は一般には成り立たないことを示しています。任意の に対して、ベクトル（ 90°回転したベクトル）は に属し、したがって にも属します（によるのスカラー倍は では定義されていませんが、で表される のベクトルはの要素でもあります）。複素内積の場合、 の値は ですが、実内積の場合、 の値は常に です。${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }=0,}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ix}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle =-i\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \langle x,ix\rangle _{\mathbb {R} }=0.}$

が複素内積で、がすべての に対してを満たす連続線型演算子である場合、この記述は、次の例が示すように、 が実内積である場合はもはや真ではありません。 が上記の内積を持つと仮定します。すると、 で定義される写像は線型写像（と の両方に対して線型）であり、平面におけるによる回転を表します。と は垂直ベクトルであり、はすべてのベクトル に対して単なるドット積であるため、それでもなお、この回転写像は確かに と全く同じではありません。対照的に、複素内積を使用すると が得られ、これは（予想どおり）全く同じゼロではありません。 ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in V,}$ ${\displaystyle A=0.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x{\overline {y}}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$ ${\displaystyle Ax=ix}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle _{\mathbb {R} }=0}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle x,Ax\rangle =-i\|x\|^{2},}$

直交シーケンス

を次元の有限次元内積空間とします。の基底はすべて、正確に線型独立なベクトルから構成されることを思い出してください。グラム・シュミット過程を用いると、任意の基底から始めて、それを直交基底に変換することができます。つまり、すべての要素が直交し、ノルムが1である基底に変換します。記号で表すと、基底が直交基底であるとは、すべての に対して、かつ各添字に対してが成り立つことを意味します。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle i.}$

この直交基底の定義は、無限次元内積空間の場合に次のように一般化される。任意の内積空間を とする。すると、集合 は の基底 となる。これは、 の元の有限線型結合によって生成されるの部分空間が（内積によって誘導されるノルムにおいて）に稠密である場合である。 が の直交基底であるとは、 が基底であり、 かつ かつすべて に対して であることを意味する。${\displaystyle V}$ $${\displaystyle E=\left\{e_{a}\right\}_{a\in A}}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \left\langle e_{a},e_{b}\right\rangle =0}$$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle \langle e_{a},e_{a}\rangle =\|e_{a}\|^{2}=1}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

グラム・シュミット過程の無限次元類似物を使用すると次のことが示されます。

定理。任意の可分内積空間は直交基底を持つ。

ハウスドルフの最大原理と、完全な内積空間において線形部分空間への直交射影が明確に定義されている という事実を用いると、次のことが示される。

定理。任意の完全内積空間は直交基底を持つ。

前の2つの定理は、すべての内積空間が正規直交基底を持つかどうかという問題を提起する。答えは否定的であることが判明する。これは自明ではない結果であり、以下で証明する。以下の証明は、ハルモス著『ヒルベルト空間問題集』（参考文献参照）から引用したものである。

証拠

内積空間の次元は、それに含まれる最大正規直交系の濃度である（ツォルンの補題により、少なくとも1つは含まれ、任意の2つは同じ濃度を持つ）。正規直交基底は確かに最大正規直交系であるが、その逆は一般には成立しない。 が内積空間の稠密部分空間である場合、 の任意の正規直交基底は自動的に の正規直交基底となる。したがって、の次元よりも厳密に小さい稠密部分空間を持つ内積空間を構築すれば十分である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ を次元のヒルベルト空間（例えば）とする。をの直交基底とすると、 のハメル基底に拡張できる。のハメル次元は連続体の濃度であることが知られているので、${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ ${\displaystyle K=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle |E|=\aleph _{0}.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cup F}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle E\cap F=\varnothing .}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle |F|=c.}$ を次元 のヒルベルト空間（例えば）とする。を の直交基底とし、を全単射とする。すると、 に対して、 に対してとなる線型変換が存在する。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L=\ell ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varphi :F\to B}$ ${\displaystyle T:K\to L}$ ${\displaystyle Tf=\varphi (f)}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle Te=0}$ ${\displaystyle e\in E.}$ とを のグラフとし、をにおけるの閉包とします。 を示します。任意の に対して が存在するので、${\displaystyle V=K\oplus L}$ ${\displaystyle G=\{(k,Tk):k\in K\}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle {\overline {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {G}}=V.}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle (e,0)\in G,}$ ${\displaystyle K\oplus 0\subseteq {\overline {G}}.}$ 次に、もしあるに対して が成り立つならば、 もまた成り立つので、 が成り立ち、は において稠密であることがわかる。${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle b=Tf}$ ${\displaystyle f\in F\subseteq K,}$ ${\displaystyle (f,b)\in G\subseteq {\overline {G}}}$ ${\displaystyle (f,0)\in {\overline {G}}}$ ${\displaystyle (0,b)\in {\overline {G}}.}$ ${\displaystyle 0\oplus L\subseteq {\overline {G}},}$ ${\displaystyle {\overline {G}}=V,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ 最後に、は における最大直交集合です。 すべての に対してであれば、 の零ベクトルも です。したがって、 の次元はですが、 の次元はであることは明らかです。これで証明は完了です。 ${\displaystyle \{(e,0):e\in E\}}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle 0=\langle (e,0),(k,Tk)\rangle =\langle e,k\rangle +\langle 0,Tk\rangle =\langle e,k\rangle }$$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle k=0,}$ ${\displaystyle (k,Tk)=(0,0)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |E|=\aleph _{0},}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c.}$

パーセヴァルの恒等式から、直ちに次の定理が導かれます。

定理。が可分な内積空間での直交基底であるとすると、写像は 稠密な像を持つ 等長線型写像となる。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}_{k}}$ ${\displaystyle V.}$ $${\displaystyle x\mapsto {\bigl \{}\langle e_{k},x\rangle {\bigr \}}_{k\in \mathbb {N} }}$$ ${\displaystyle V\rightarrow \ell ^{2}}$

この定理は、任意の直交基底が三角多項式の列の役割を果たす、フーリエ級数の抽象的な形式とみなすことができます。基礎となるインデックス集合は、任意の可算集合（実際には、ヒルベルト空間の記事で説明されているように、適切に定義されていれば、任意の集合）とすることができることに注意してください。特に、フーリエ級数の理論において、以下の結果が得られます。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$

定理。内積空間を とすると、連続関数の列（整数全体の集合を添え字とする）は、 内積を持つ 空間の直交基底となる。写像は 稠密像を持つ等長線型写像である。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ].}$ $${\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}}$$ ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle f\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left\{\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,\mathrm {d} t\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$$

シーケンスの直交性は、次の 事実から直ちに明らかになる。${\displaystyle \{e_{k}\}_{k}}$ ${\displaystyle k\neq j,}$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,\mathrm {d} t=0.}$$

この数列の正規性は設計によるものであり、つまり、ノルムが1になるように係数が選ばれている。最後に、この数列が内積ノルムにおいて稠密な代数的範囲を持つという事実は、この数列が、今度は一様ノルムを持つ 上の連続周期関数の空間において稠密な代数的範囲を持つという事実から導かれる。これは、三角多項式の一様密度に関する ワイエルシュトラスの定理の内容である。${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

内積空間上の作用素

内積空間と間の線型写像にはいくつかの種類があり、それらは関連している。 ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• 連続線型写像:は上で定義された計量に関して線型かつ連続である、または同等に、、の閉じた単位球上の値域がある非負の実数の集合である。${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V,}$
• 対称線形演算子：は線形であり、すべての${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$
• 等長変換:すべての に対してが成り立ちます。線型等長変換（または反線型等長変換）は、線型写像 （または反線型写像）でもある等長変換です。内積空間の場合、分極恒等式を使用してすべての に対して 変換である場合に限り、等長変換である。すべての等長変換は単射です。マズール・ウラムの定理は、 2 つの実ノルム空間間のすべての射影等長変換がアフィン変換であることを証明しています。したがって、実内積空間間の等長変換が線型写像である場合に限り、変換は内積空間間の射影であり、実内積空間の射影は直交変換です（直交行列と比較してください）。${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|Ax\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(0)=0.}$
• 等長同型：は全射的（したがって全単射）な等長同型である。等長同型はユニタリ演算子とも呼ばれる（ユニタリ行列と比較のこと）。${\displaystyle A:V\to W}$

内積空間論の観点からは、等長的に同型な二つの空間を区別する必要はない。スペクトル定理は、有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、そしてより一般的には正規作用素の標準形を与える。スペクトル定理の一般化は、ヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成立する。^{[ 13 ]}

一般化

内積の公理はいずれも弱められ、一般化された概念となる。内積に最も近い一般化は、双線型性と共役対称性を維持しながら、正定値が弱められた場合に生じる。

退化した内積

がベクトル空間で半正定値セクリニア形式である場合、関数： は意味を持ち、ノルムのすべての性質を満たすが、 はを意味しない（このような関数は半ノルムと呼ばれる）。商 を考えることで内積空間を生成することができる。セクリニア形式は、${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ ${\displaystyle \|x\|=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle W.}$

この構成は様々な文脈で用いられます。ゲルファンド・ナイマーク・シーガル構成は、この手法の特に重要な応用例です。もう一つの例は、任意の集合上の半正定値核の表現です。

非退化共役対称形式

あるいは、ペアリングが非退化形式であることを要求する場合もあります。これは、すべての非ゼロ に対して が存在するが と等しい必要はないことを意味します。言い換えると、双対空間への誘導写像は単射です。この一般化は微分幾何学において重要です。接空間が内積を持つ多様体はリーマン多様体であり、これが非退化共役対称形式と関連付けられる場合、多様体は擬リーマン多様体です。シルベスターの慣性法則により、すべての内積がベクトルの集合に対する正の重みを持つドット積に相似であるのと同様に、すべての非退化共役対称形式はベクトルの集合に対する非ゼロの重みを持つドット積に相似であり、正と負の重みの数はそれぞれ正の指数と負の指数と呼ばれます。ミンコフスキー空間におけるベクトルの積は不定内積の一例ですが、厳密に言えば、上記の標準的な定義によれば内積ではありません。ミンコフスキー空間は4次元で、添字は3と1です（これらに「+」と「-」を割り当てる方法は慣例によって異なります）。 ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

純粋に代数的なステートメント（正値性を使用しないステートメント）は通常、非退化（注入準同型）のみに依存するため、より一般的に成り立ちます。 ${\displaystyle V\to V^{*}}$

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「内積」という用語は、もう少し一般的な対義語である外積（テンソル積）とは対照的です。簡単に言うと、座標において、内積は共ベクトルとベクトルの積で行列（スカラー）を生成し、外積はベクトルと共ベクトルの積で行列を生成します。外積は異なる次元に対して定義されますが、内積は同じ次元を必要とします。次元が同じ場合、内積は外積のトレースとなります（トレースは正方行列に対してのみ適切に定義されます）。簡単にまとめると、「内側は水平×垂直で縮小し、外側は垂直×水平で拡大する」となります。 ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle m\times n}$

より抽象的に言えば、外積はベクトルと共ベクトルを階数 1 の線形変換 (型 (1, 1) の単純なテンソル) に送る双線形マップであり、内積はベクトル上の共ベクトルを評価することによって与えられる双線形評価マップです。ここでのドメイン ベクトル空間の順序は、共ベクトルとベクトルの区別を反映しています。 ${\displaystyle W\times V^{*}\to \hom(V,W)}$ ${\displaystyle V^{*}\times V\to F}$

内積と外積は、内積と外積と混同しないでください。内積と外積は、ベクトル場と微分形式、またはより一般的には外積代数に対する演算です。

さらに複雑な点として、幾何代数では、内積と外積（グラスマン積）は幾何積（クリフォード代数におけるクリフォード積）に統合されます。内積は2つのベクトル（1ベクトル）をスカラー（0ベクトル）に渡し、外積は2つのベクトルを2ベクトル（2ベクトル）に渡します。この文脈では、外積は通常外積（またはウェッジ積）と呼ばれます。この文脈では、内積はより正確にはスカラー積と呼ばれます。これは、問題の非退化二次形式が正定値である必要がない（内積である必要がない）ためです。

参照

• 双線形形式 – スカラー値双線形関数
• 双直交系 – ベクトル空間のペア
• 双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間
• エネルギー空間 – 物理学におけるエネルギーの数学的概念
• L-半内積 – すべてのノルム空間に適用できる内積の一般化
• ミンコフスキー距離 – pth累乗を用いたベクトル距離
• 直交基底 – 互いに直交するベクトルからなる基底
• 直交補集合 – 線形代数の概念
• 直交基底 – 特定の線形基底（数学）
• リーマン多様体 – 各接空間に内積を持つ滑らかな多様体

注記

1. 稀にハウスドルフ前ヒルベルト空間とも呼ばれる。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}ハウスドルフ空間とヒルベルト空間にちなんで名付けられている。
2. 第一引数における線形性と共役対称性を組み合わせると、第二引数における共役線形性が証明されます：。これは内積が元々定義された方法であり、ほとんどの数学的文脈で使用されています。理論物理学と量子力学では、ポール・ディラックのブラケット記法に由来する異なる表記法が採用されています。この表記法では、内積は第二引数において線形、第一引数において共役線形とされます。この表記法は、工学やコンピュータサイエンスなど、他の多くの分野で使用されています。${\textstyle \langle x,by\rangle =\langle x,y\rangle {\overline {b}}}$
3. ここで、2 番目の等式の右辺は、最初の引数の線形性から来ています。同様に、共役対称性と第 1 引数の線形性を使用して証明することもできます。${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x-x,x\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,x\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle x,\mathbf {0} \rangle =0}$
4. なので、実数です。 の場合、正定値性により正の実数です。 の場合、上記の第1の基本的性質により0です。したがって、は実数かつ非負です。${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}}$ ${\displaystyle x\neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle x=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$
5. 上記の 2 番目の基本特性と正定値性によります。

参考文献

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