数学教育
指で計算する子供（2006年）

現代教育において、数学教育（ヨーロッパでは数学の教授学または教授法として知られています）とは、数学的知識の伝達について 教え、学び、学術的研究を行う実践のことです。

数学教育の研究は、主に実践や実践研究を促進するツール、方法、アプローチに焦点を当てていますが、多様な概念、理論、方法を網羅する広範な研究分野を網羅しています。国内外の組織は、数学教育の向上を目指し て定期的に会議を開催し、文献を出版しています。

歴史

古代

古代エジプト、古代バビロニア、古代ギリシャ、古代ローマ、そしてヴェーダ時代のインドなど、多くの古代文明において、初等数学は教育の中核を成していました。多くの場合、正式な教育は、十分な地位、富、あるいはカーストを持つ男子のみに与えられました。現在知られている最古の数学教科書は、紀元前1650年頃のリンド・パピルスです。 [ 1 ]

ピタゴラスの定理

メソポタミアの歴史家たちは、ピタゴラスの定理の使用は古バビロニア帝国（紀元前20世紀～16世紀）にまで遡り、ピタゴラスの誕生の1000年以上前から書記学校で教えられていたことを確認しています。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

プラトンが自由学を三分学と四分学に分けた際、四分学には算術と幾何学という数学の分野が含まれていた。この構造は、中世ヨーロッパで発展した古典教育の構造にも引き継がれた。幾何学の教えは、ほぼ普遍的にユークリッドの『原論』に基づいていた。石工、商人、金貸しなどの職業に就く徒弟は、それぞれの職業に関連する実用的な数学を学ぶことが期待できた。

中世と近世

ユークリッドの『原論』 14世紀の翻訳の冒頭の挿絵

中世には、数学は貿易や商業と強く結び付けられ、非キリスト教的であると見なされたため、その学問的地位は低下した。[ 7 ]数学はヨーロッパの大学で教えられ続けたが、自然哲学、形而上学、道徳哲学の研究に従属するものと見なされていた。最初の近代的算術カリキュラム (加算から始まり、減算、乗算、除算)は、1300 年代にイタリアの計算学校で生まれた。 [ 8 ]交易路に沿って広まったこれらの方法は、商業で使用できるように設計された。これは、大学で教えられたプラトンの数学とは対照的であった。プラトンの数学はより哲学的で、計算方法というよりも数を概念として扱っていた。[ 8 ]また、職人の徒弟が学ぶ、手元の作業や道具に特化した数学的手法とも対照的であった。例えば、板を3つに分割する場合、長さを測って割り算をする代わりに、ひもを使って分割することができます。[ 7 ]

英語とフランス語で書かれた最初の数学の教科書は、ロバート・レコードによって出版された1543年の『The Grounde of Artes』に始まる。しかし、紀元前1800年まで遡る数学と数学の方法論に関するさまざまな著作が存在する。これらのほとんどは、シュメール人が掛け算と割り算を実践していたメソポタミアで発見された。二次方程式のような方程式を解くための方法論を示す遺物もある。シュメール人の後、数学に関する最も有名な古代の著作のいくつかは、リンド数学パピルスとモスクワ数学パピルスの形でエジプトから来た。より有名なリンド・パピルスは紀元前1650年頃のものとされているが、さらに古い巻物のコピーであると考えられている。このパピルスは本質的にエジプトの学生のための初期の教科書であった。

17 世紀までに数学研究の社会的地位は向上し、 1613 年にアバディーン大学に数学教授職が設けられ、続いて1619 年にオックスフォード大学に幾何学教授職が、1662 年にケンブリッジ大学にルーカス数学教授職が設立されました。

モダンな

18世紀と19世紀には、産業革命によって都市人口が急増しました。時刻の読み方、金銭の計算、簡単な計算といった基本的な算数のスキルは、この新しい都市生活において不可欠なものとなりました。新しい公教育制度において、数学は幼少期から カリキュラムの中心的な位置を占めるようになりました。

20 世紀までに、数学はすべての先進国において中核的なカリキュラムの一部となりました。

20世紀には、数学教育は独立した研究分野として確立されました。この発展における主な出来事には、以下のものがあります。

20世紀半ばには、「電子時代」（マクルーハン）の文化的影響が教育理論と数学教育にも取り入れられました。以前のアプローチは「算数における専門的な『問題』への取り組み」に重点を置いていましたが、知識への新たな構造的アプローチは「小さな子供たちに数論と『集合』について考えさせる」ものでした。[ 10 ] 1980年代以降、連続的な数学に重点を置き、基本的な離散的概念さえも上級レベルの学習に委ねる従来のカリキュラムを改革し、数学の連続的側面と離散的側面のカバー範囲をよりバランスよくする取り組みが数多く行われてきました。[ 11 ]

  • 1980 年代から 1990 年代初頭にかけて、離散数学を高等教育レベルでより利用しやすくしようという動きがありました。
  • 1980 年代後半から新世紀にかけて、米国などの国々は初等教育および中等教育のための一連の離散数学のトピックを特定し、標準化し始めました。
  • 同時に、学者たちは離散数学のトピックを教室に導入するための実践的なアドバイスをまとめ始めました。
  • 研究者たちは2000年代を通じて移行の緊急性を主張し続けた。
  • 並行して、一部の教科書著者は、よりバランスの取れたものを提供することを明確に目的とした教材の作成に取り組み始めました。

数学的モデリングと離散数学との関係に焦点を移す同様の取り組みも進行中です。[ 12 ]

目的

計算をする少年、ギニアビサウ、1974年

時代や文化、国によって、数学教育は様々な目標を達成しようと試みられてきました。これらの目標には以下のようなものがあります。

方法

特定の状況で使用される方法（単数または複数）は、関連する教育システムが達成しようとしている目標によって大きく左右されます。数学の教授法には、以下のようなものがあります。

コンピュータベースの数学、CAD、CAM、BIM、コンピュータ支援エンジニアリング、コンピュータプログラミング、アニメーションソフトウェア、科学ソフトウェアアプリケーションなどのために、教室にコンピュータを導入するためのデスクキュービクルの 3D スケッチ。
ゲームは、暗記で習得することが多いスキルの向上を生徒に促します。「ナンバービンゴ」では、プレイヤーは3つのサイコロを振り、出た目に対して基本的な計算を行い、新しい数字を出します。そして、その数字をボード上の4つのマス目まで連続して隠していくゲームです。このゲームは、ビッグ・ブラザー・マウスがラオスで開催した「ディスカバリー・デー」で行われました。

コンテンツと年齢レベル

アールト大学理工科大学での数学講義

国によって、数学はレベルが異なり、年齢も進度も異なります。場合によっては、特別クラスや優等クラスとして、通常よりも低い年齢で授業が行われることもあります。

ほとんどの国で初等数学は同じように教えられていますが、違いもあります。ほとんどの国では、アメリカ合衆国よりも少ないトピックをより深く扱う傾向があります。[ 26 ]小学校時代、子供たちは整数と算数（加算、減算、乗算、除算）を学びます。[ 27 ]比較と測定は、数値と図の両方で教えられ、分数と比例、パターン、そして幾何学に関連する様々なトピックも教えられます。[ 28 ]

アメリカのほとんどの高校では、代数、幾何学、解析学（プレカルキュラスと微積分）が別々の学年で別々の科目として教えられています。一方、他のほとんどの国（およびアメリカのいくつかの州）では、数学は統合科目として教えられており、毎年数学のあらゆる分野のトピックを学びます。そのため、生徒はアメリカのようにアラカルトで科目を選択するのではなく、様々なトピックを網羅したあらかじめ定められたコースの順序に沿って学習します。しかし、このような場合でも、高校卒業後の進路に応じて複数の「数学」の選択肢が提供される場合があります。 (たとえば、南アフリカでは、選択肢は数学、数学リテラシー、技術数学です。) したがって、科学指向のカリキュラムは通常、大学の数学 1 年目に重なり、16～17 歳で微分積分と三角法、中等学校の最終学年で積分積分、複素数、解析幾何学、指数関数と対数関数、無限級数が含まれます。確率と統計も同様に教えられることが多いです。

大学レベルでは、理工系の学​​生は多変数微分積分学、微分方程式、線形代数学の履修が必須です。米国の多くの大学では、数学の副専攻または準学士課程（AS）が実質的にこれらの科目で構成されています。 数学専攻の学生は、解析学や現代代数学の特定の上級科目の履修を必須とし、純粋数学（そして多くの場合応用数学）の付加的な分野を学びます。純粋数学のその他のトピックには、微分幾何学、集合論、位相幾何学などがあります。 応用数学は、偏微分方程式、最適化、数値解析などを含む、それ自体が主専攻科目として履修される場合もあります。これらの科目は他のプログラムでも教えられます。例えば、土木技術者は流体力学を学ぶことが必須となる場合があります。 [ 29 ]また、「コンピュータサイエンスのための数学」には、グラフ理論、順列、確率、形式的な数学的証明が含まれる場合があります。[ 30 ]純粋数学と応用数学の学位には、確率論や数理統計学、そして確率過程 のモジュールが含まれることがよくあります。 （理論）物理学は数学を多用する分野であり、純粋数学や応用数学の学位と実質的に重複することが多い。ビジネス数学は通常、初等微積分と（場合によっては）行列計算に限定されている。経済学のプログラムでは、最適化、多くの場合微分方程式と線型代数、そして時には解析学も扱う。ビジネスや社会科学の学生は、統計学や確率論のコースも受講するのが一般的で、これらには専攻分野特有の定量的研究コースが補完的に付加されることが多い。文系の学生には、「現代数学」または「文系のための数学」のコースが提供される場合があり、集合論、数理論理学、数論などのトピックが含まれることがある。初等代数、線形計画法、資金管理と複利計算、確率、記述統計、幾何学、直角三角法、 投票と配分、グラフ理論、数学の他分野への応用。[ 31 ]

標準

歴史を通じて、数学教育の基準は、生徒にとって関連性があり、現実的で、社会的に適切であると考えられる達成レベルに応じて、個々の学校または教師によって地域的に設定されてきました。

近代においては、通常、より広範な標準学校カリキュラムの傘下で、地域基準または国家基準が策定される傾向にあります。例えばイングランドでは、数学教育の基準はイングランド国家カリキュラムの一部として設定されていますが[ 32 ] 、スコットランドは独自の教育制度を維持しています。他の多くの国では、中央集権的な省庁が国家基準やカリキュラム、そして時には教科書さえも設定しています。

Ma (2000) は、全国規模のデータに基づき、標準化された数学テストの得点が高い生徒は高校でより多くの数学科目を履修していることを明らかにした他の研究を要約した。この結果、一部の州では数学の履修期間を2年間から3年間に延長した。しかし、この要件を満たすには、より低レベルの数学科目を履修することが多いため、追加科目による学力向上効果は「薄められた」ものであった。[ 33 ]

北米では、全米数学教員協会（NCTM）が2000年に米国とカナダ向けに「学校数学の原則と基準」を出版し、数学改革への流れを後押しした。2006年には、NCTMは8年生までの各学年で最も重要な数学のトピックを推奨するカリキュラム・フォーカル・ポイントを発表した。しかし、これらの基準はアメリカの州とカナダの州が自由に選択して実施できるガイドラインであった。2010年には、全米知事協会ベストプラクティスセンターと州教育長協議会が米国の州向けに「共通コア州基準」を出版し、その後ほとんどの州で採用された。数学における共通コア州基準の採用は各州の裁量に委ねられており、連邦政府によって義務付けられているわけではない。[ 34 ] 「州は定期的に学力基準を見直し、生徒のニーズに最も合うように基準を変更または追加することができる。」[ 35 ] NCTMには州レベルで異なる教育基準を持つ州支部があります。例えば、ミズーリ州にはミズーリ数学教師協議会（MCTM）があり、そのウェブサイトには教育の柱と基準が掲載されています。MCTMはまた、教師や将来の教師が数学教育基準の改訂に関する最新情報を入手できるよう、会員資格を提供しています。[ 36 ]

経済協力開発機構（OECD）が作成した国際学習到達度調査（PISA）は、15歳の生徒の読解力、科学、数学の能力を調査する世界的なプログラムです。[ 37 ]最初の調査は2000年に43カ国が参加して実施されました。[ 38 ] PISAは比較可能なデータを提供するために3年ごとにこの調査を繰り返し、若者が将来の経済に備えるためのより良い準備を世界の教育に役立てています。3年ごとのPISA調査の結果を受けて、関係者の暗黙的および明示的な反応により多くの影響があり、教育改革や政策変更につながっています。[ 38 ] [ 39 ] [ 23 ]

研究

ヒーバートとグラウスによれば、「教室での指導に関する確固とした有用な理論はまだ存在しない」とのことです。[ 40 ]しかし、子どもがどのように数学を学ぶかについては有用な理論が存在し、これらの理論を指導にどのように応用できるかを探る研究が近年数多く行われてきました。以下の結果は、数学教育分野における最新の知見の一例です。

重要な結果

近年の研究で最も強力な成果の一つは、効果的な指導において最も重要なのは生徒に「学習の機会」を与えることであるというものです。教師は、生徒の学習機会に影響を与えるような期待値、時間、課題の種類、質問、許容される回答、そして議論の種類を設定することができます。これには、技能の効率性と概念の理解の両方が関与する必要があります。[ 40 ]

概念理解

出典: [ 40 ]

概念理解を促進するための指導法のうち最も重要な2つの特徴は、概念に明示的に注意を向けることと、生徒が重要な数学に取り組めるようにすることです。これらの特徴は両方とも、さまざまな研究で確認されています。概念に明示的に注意を向けるには、事実、手順、アイデアを結び付ける必要があります。（これは、東アジア諸国の数学指導の強みの1つとみなされることが多く、教師は通常、時間の約半分を結び付けることに費やしています。もう一方の極端なのは米国で、学校の授業では基本的に結び付けがされません。[ 41 ]）。これらの結び付けは、手順の意味の説明、問題の戦略と解決法を比較する質問、1つの問題が別の問題の特別なケースであることに気付くこと、生徒に要点を思い出させること、レッスンのつながり方について話し合うことなどを通じて行うことができます。
数学的概念との意図的で生産的な取り組みとは、生徒が重要な数学的概念に取り組んだ際に、たとえ当初は混乱や誤りを伴うとしても、結果としてより深い学習効果が得られるという事実を指します。これは、その取り組みが意図的に難しく、適切に実施された指導によるものであれ、意図せず混乱を招き、誤った指導によるものであれ、当てはまります。

形成的評価

形成的評価は、生徒の学習成果、生徒の学習意欲、そして教師の職業的満足度を高めるための最良かつ最も安価な方法です。その効果は、クラス規模の縮小や教師の教科知識の向上よりも優れています。効果的な評価は、生徒が何を知っておくべきかを明確にし、必要な証拠を得るための適切な活動を作成し、適切なフィードバックを提供し、生徒が自ら学習をコントロールできるように促し、生徒同士が互いに支え合うことに基づいています。[ 42 ]

宿題

過去の授業を復習したり、将来の授業の準備をしたりする宿題は、現在の授業を復習する宿題よりも効果的です。生徒はフィードバックから恩恵を受けます。学習障害のある生徒や学習意欲の低い生徒は、報酬から恩恵を受けるかもしれません。低学年の生徒にとって、宿題は単純なスキルの習得には役立ちますが、より広範な達成度の尺度には役立ちません。[ 43 ]

困難を抱える生徒

出典: [ 43 ]

真の困難を抱える生徒（動機や過去の指導とは無関係）は、基本的な事実の理解に苦労し、衝動的に答え、心的表現に苦労し、数感覚が乏しく、短期記憶力も低い。このような生徒を支援するのに効果的であることが分かっている手法としては、ピア・アシストド・ラーニング、視覚教材を用いた明示的な指導、形成的評価に基づく指導、そして生徒に思考発話を促すことなどが挙げられます。
特に、数学の授業における障害のある生徒に関する研究は、主に特別支援教育の研究者によって行われています。数学教育の研究者の中には、障害のある数学の生徒にとって役立つ支援をより深く理解するために、分野を超えた連携を強化する必要があると訴える人もいます。[ 44 ]

代数的推論

小学生は、代数記法を学ぶ前に、記号を使わずに代数的性質を表現する方法を学ぶのに長い時間を費やす必要があります。記号を学ぶ際、多くの生徒は文字は常に未知数を表すと考え、変数の概念に苦労します。文章題を解く際には、代数方程式よりも算術的な推論を好みます。パターンを記述するために、算術的な一般化から代数的な一般化に移行するには時間がかかります。生徒はマイナス記号に苦労し、イコール記号を「答えは…」という意味だと理解することがよくあります。[ 43 ]

文化的平等

数学は人種に中立であるという通説があるにもかかわらず、いくつかの研究[ 45 ]は、文化的に多様な生徒への効果的な数学教育には、生徒の文化的背景や経験を考慮した、文化的に適切な教育法が必要であることを示唆しています。文化的に適切な教育法の3つの基準は、学業成績、文化的能力、そして批判的意識です。より最近の研究[ 46 ]では、文化的に持続可能な教育法は、教育システムにおける文化的・言語的多元性を永続させ、育成することを明確に目的としており、生徒が文化的アイデンティティを維持しながら成長していくことができるようにすることが提唱されています。

数学教師教育

教育実習は、教員候補者が教師になるための道のりにおいて非常に重要な部分です。数学教員教育における改革案では、教室運営や生き残りを重視する従来の教育モデルではなく、生徒の数学的思考を予測し、引き出し、活用することを学ぶことを第一目標としています。[ 47 ]

方法論

他の教育研究（そして社会科学全般）と同様に、数学教育研究は定量的研究と定性的研究の両方に依存しています。定量的研究には、特定の教授法が現状よりも有意に優れた成果をもたらすかどうかなど、具体的な疑問に答えるために推論統計を用いる研究が含まれます。最も効果的な定量的研究は、ランダム化試験です。ランダム化試験では、生徒またはクラスをランダムに異なる教授法に割り当て、その効果を検証します。統計的に有意な結果を得るには、大規模なサンプルが必要です。

ケーススタディ、アクションリサーチ、談話分析、臨床面接といった質的研究は、学生の学習を理解し、特定の方法がどのように、そしてなぜそのような結果をもたらすのかを考察するために、小規模ながらも焦点を絞ったサンプルを用いて行われます。こうした研究では、ランダム化試験のように、ある方法が他の方法よりも優れていると決定的に証明することはできませんが、治療Xが治療Yよりも優れている理由を理解しない限り、定量的研究の結果を実際の教室に適用すると、結果の「致命的な突然変異」 [ 40 ]につながることがよくあります。探索的質的研究は、最終的にランダム化実験によって検証できる新しい仮説を提唱するのにも役立ちます。したがって、他の社会科学と同様に、教育においては、定性的研究と定量的研究の両方が不可欠であると考えられています[ 48 ] 。多くの研究は、定量的研究と定性的研究の両方の側面を適宜組み合わせた「混合研究」です。

ランダム化試験

異なる種類の研究の相対的な強みについては、これまで議論の的となってきた。ランダム化試験は「何が効果的か」について明確かつ客観的な証拠を提供するという意見があるため、政策立案者はしばしばそれらの研究のみを考慮する。一部の学者は、教授法をクラスにランダムに割り当てるランダム化実験の実施を促してきた。[ 49 ] [ 50 ]生物医学、心理学、政策評価など、人間を対象とする他の分野では、対照群を用いたランダム化実験が依然として治療法の評価に好まれている。 [ 51 ] [ 52 ]教育統計学者や一部の数学教育者は、教授法の評価にランダム化実験の利用を増やすよう努めてきた。[ 50 ]一方、教育学界の多くの学者は、ランダム化実験の数を増やすことに反対している。その理由は、様々な治療法の効果がまだ分かっていないのに生徒をランダムに様々な治療法に割り当てることの倫理的な難しさや、[ 53 ]流動的で現実の学校環境において独立変数を厳密に制御することの難しさなどの哲学的な反対意見である。[ 54 ]

アメリカ合衆国では、全米数学諮問委員会（NMAP）が2008年に研究に基づく報告書を発表したが、その研究の中には、教室や生徒といった実験単位へのランダム化割り当てを用いたものもあった。NMAP報告書におけるランダム化実験の重視は、一部の学者から批判を受けた。 [ 55 ] 2010年には、What Works Clearinghouse （教育省の研究機関）が、回帰不連続設計や単一事例研究といった非実験研究も研究対象に加えることで、継続的な論争に応えた。[ 56 ]

組織

参照

数学教育の側面

北米の問題

数学の難しさ

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さらに読む

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  • ゴストニー、カタリン「20世紀ハンガリーにおける数学文化と数学教育」『数学文化』 （ビルクハウザー社、チャム社、2016年）p​​p. 71–89、オンライン
  • ポール・ロックハート（2009年）『数学者の嘆き：学校はいかにして私たちを最も魅力的で想像力豊かな芸術形式から奪っているのか』ベルビュー・リテラリー・プレス、ISBN 978-1934137178。
  • ロサノ、レティシア、マルシア・クリスティーナ・デ・コスタ・トリンダーデ・シリノ。「中等教育数学教員志望者の職業的アイデンティティに関する最新研究」『世界中の中等教育教員志望者への数学教育』 （Springer, Cham, 2017）pp. 25–32。
  • スリラマン、バーラト著、イングリッシュ、リン著（2010年）。数学教育理論、シュプリンガー、ISBN 978-3-642-00774-3。
  • ストロガッツ、スティーブン・ヘンリー、ジョフリー、ドン（2009年）『友情の微積分：数学のやり取りを通して教師と生徒が人生について学んだこと』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-13493-2。
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