角速度

角速度
一般的な記号
ω
SI単位ラジアン⋅秒−1
SI基本単位では秒−1
広範囲にわたる？はい
集中的な？はい（剛体のみ）
保存されていますか?いいえ
座標変換における動作
擬似ベクトル
他の量からの導出
ω = d θ / d t
寸法T−1{\displaystyle {\mathsf {T}}^{-1}}

物理学において、角速度（記号ωまたは⁠ ⁠ω→{\displaystyle {\vec {\omega }}}、ギリシャ文字の小文字オメガ）は、角周波数ベクトルとも呼ばれ、[ 1 ]物体の角度位置または方向が時間とともにどのように変化するか、つまり、物体が回転軸の周りを回転（自転または公転）する速度と、軸自体が方向を変える速度を表す擬似ベクトル表現です。[ 2 ]

擬似ベクトル の大きさは、角速度（または角周波数）、つまり物体が回転（自転または公転）する角速度を表します。擬似ベクトルの方向は、瞬間的な回転面または角変位に垂直です。 ω＝‖ω‖{\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}ω^＝ω/ω{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }

角速度には 2 つの種類があります。

角速度は単位時間あたりの角度の次元を持ちます。これは線速度に類似しており、距離の代わりに角度が用いられ、時間は共通です。角速度のSI単位系はラジアン/秒ですが[ 3 ]、度/秒（°/s）も一般的に用いられています。ラジアンは無次元量であるため、SI単位系の角速度は逆秒（s −1 ）と次元的に等しくなりますが、ヘルツ単位の回転速度（s −1 ）との混同を避けるため、rad/sが好まれます。[ 4 ]

角速度の方向は、慣例的に右手の法則によって規定され、時計回りの回転（回転面から見て）を意味します。負の数（-1を掛ける）は、大きさは変化しませんが、軸を反対方向に反転します。[ 5 ]

例えば、静止衛星は、赤道上空を恒星日ごとに1周します（24時間で約360度）[ a ]。角速度の大きさ（角速度）ω = 360°/24 h = 15°/h（または2π rad/24 h ≈ 0.26 rad/h）で、角速度の方向（単位ベクトル）は地球の自転軸（地心座標系では⁠ ⁠）と平行です。角度をラジアンで測定する場合、線速度は半径と角速度の積、⁠ ⁠です。軌道半径がω^＝Z^{\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}v＝rω{\displaystyle v=r\omega }地球の中心から42,000 km離れた場所では、衛星の宇宙 空間における接線速度はv =42,000 km × 0.26/h  ≈ 時速11,000キロメートル。衛星は地球の自転方向（地球の自転と同じ方向）に 沿って順方向に移動するため、角速度は正です。

点粒子の軌道角速度

2次元の粒子

原点Oに対するPにおける粒子の角速度は、速度ベクトルvの垂直成分によって決まります。

半径⁠ ⁠r{\displaystyle r}の円運動の最も単純なケースでは、位置はx軸からの角変位で与えられ、軌道角速度は時間に対する角度の変化率です: ⁠ ⁠。がラジアンで測定される場合、円の周りの正のx軸から粒子までの弧長は⁠ ⁠、線速度は⁠ ⁠なので、⁠ ⁠となります。 ϕ（t）{\displaystyle \phi (t)}ω＝dϕdt{\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}ϕ{\displaystyle \phi }ℓ＝rϕ{\displaystyle \ell =r\phi }v（t）＝dℓdt＝rω（t）{\displaystyle \textstyle v(t)={\frac {d\ell}{dt}}=r\omega (t)}ω＝vr{\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}

粒子が平面内を運動する一般的なケースでは、軌道角速度は、選択した原点に対する位置ベクトルが角度を「掃引」する速度です。図は、原点から粒子への位置ベクトルを、その極座標とともに示しています。（すべての変数は時間の関数です。）粒子の線速度は⁠ ⁠のように分割され、ラジアル成分は半径に平行で、クロスラジアル（または接線）成分は半径に垂直です。ラジアル成分がない場合、粒子は原点の周りを円を描いて移動しますが、クロスラジアル成分がない場合、粒子は原点から直線で移動します。ラジアル運動では角度は変化しないため、線速度のクロスラジアル成分のみが角速度に寄与します。 r{\displaystyle \mathbf {r} }お{\displaystyle O}P{\displaystyle P}（r、ϕ）{\displaystyle (r,\phi )}t{\displaystyle t}v＝v‖+v⊥{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\Vert}+\mathbf {v} _{\perp}}v‖{\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}v⊥{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp}}

角速度ωは時間に対する角度位置の変化率であり、次のように横方向速度から計算できます。 ω＝dϕdt＝v⊥r。{\displaystyle \omega ={\frac {d\phi}{dt}}={\frac {v_{\perp}}{r}}.}

ここで、横方向速度は⁠ ⁠の符号付きの大きさであり、反時計回りの運動の場合は正、時計回りの運動の場合は負です。線速度を極座標で表すと、大きさ（線速度）と動径ベクトルに対する角度が得られます。これらの用語では、⁠ ⁠となるため、 v⊥{\displaystyle v_{\perp}}v⊥{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp}}v{\displaystyle \mathbf {v} }v{\displaystyle v}θ{\displaystyle \theta}v⊥＝v罪⁡（θ）{\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}ω＝v罪⁡（θ）r。{\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}

これらの式は、時間に対する原点までの距離の関数、およびベクトルとx軸の間の角度の関数 として、 ⁠ ⁠ をr＝（rコス⁡（φ）、r罪⁡（φ））{\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}実行することで導出できます。すると、 次の式は次の式と等しくなります （円筒座標における単位ベクトルを参照）。 r{\displaystyle r}φ{\displaystyle \varphi }drdt＝（r˙コス⁡（φ）−rφ˙罪⁡（φ）、r˙罪⁡（φ）+rφ˙コス⁡（φ））、{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}r˙（コス⁡（φ）、罪⁡（φ））+rφ˙（−罪⁡（φ）、コス⁡（φ））＝r˙r^+rφ˙φ^{\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}

⁠ ⁠drdt＝v{\displaystyle \textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }がわかっているので、速度のラジアル成分は⁠ ⁠r˙{\displaystyle {\dot {r}}}で与えられると結論付けることができます。なぜならはラジアル単位ベクトルだからです。また、垂直成分は は垂直単位ベクトルなのでで与えられると結論付けることができます。 r^{\displaystyle {\hat {r}}}rφ˙{\displaystyle r{\dot {\varphi }}}φ^{\displaystyle {\hat {\varphi }}}

二次元において、角速度はプラスまたはマイナスの符号を持つ数値であり、向きを示すものではありません。慣例的に、動径ベクトルが反時計回りに回転する場合は正、時計回りに回転する場合は負と解釈されます。したがって、角速度は擬スカラーと呼ばれることもあります。擬スカラーとは、一方の軸を反転させたり、2つの軸を入れ替えたりするなどのパリティ反転によって符号が変化する数値量です。

三次元の粒子

軌道角速度ベクトルは、角度位置の時間変化率と、瞬間的な角変位面を符号化します。この場合（反時計回りの円運動）、ベクトルは上向きになります。

3次元空間では 、運動粒子の位置ベクトルrが再び存在します。ここで、軌道角速度は擬似ベクトルであり、その大きさはr が角度を掃引する速度（単位時間あたりのラジアン）であり、その方向はr が角度を掃引する瞬間平面（つまり、 rとvが張る平面）に垂直です。しかし、どの平面にも垂直な方向が2つ存在するため、角速度の方向を一意に特定するには追加の条件が必要です。慣例的には、右手の法則が用いられます。

擬ベクトルを、rとvが張る平面に垂直な単位ベクトルとすると、右手の法則が満たされます（つまり、瞬間的な角変位の方向は、⁠ ⁠の上から見て反時計回りです）。上記の2次元の場合と同様に、この平面で極座標をとると、軌道角速度ベクトルは次のように定義できます。 あなた{\displaystyle \mathbf {u} }あなた{\displaystyle \mathbf {u} }（r、ϕ）{\displaystyle (r,\phi )}

ω＝ωあなた＝dϕdtあなた＝v罪⁡（θ）rあなた、{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}

ここで、⁠ ⁠はθ{\displaystyle \theta }⁠ ⁠r{\displaystyle \mathbf {r} }と⁠ ⁠v{\displaystyle \mathbf {v} }の間の角度です。外積で表すと、次のようになります。

ω=r×vr2.{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}[ 6 ]

上記の式から、接線速度は次のように求められます。

v⊥=ω×r{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

剛体または参照フレームのスピン角速度

3つの線形独立な単位座標ベクトルからなる回転系が与えられた場合、各瞬間において、3つのベクトルすべてが同じ角速度と角度方向（時計回りまたは反時計回り）で回転する共通の軸（回転軸と呼ばれる）が常に存在します。このような回転系では、各ベクトルは一定のスカラー半径を持つ運動粒子とみなすことができます。このような粒子の集合は剛体と呼ばれます。

オイラーの回転定理によれば、回転する系において、3つの線形独立な単位ベクトルから1つを選んで得られる回転軸は、他のどの選択をした場合でも同じである。つまり、系には単一の瞬間的な回転軸があり、その周りをすべての点が同じ角速度と角度方向（時計回りまたは反時計回り）で回転する。系または剛体のスピン角速度は、この共通角速度を大きさとし、右手の法則に従って共通回転軸に沿う方向を持つ擬似ベクトルとして定義される（つまり、反時計回りの回転では軸に沿って「上向き」、時計回りの回転では「下向き」となる）。

3 次元を超える空間では、スピン角速度を擬似ベクトルとして解釈することは有効ではありません。ただし、スピン角速度は、反対称ランク 2テンソルと呼ばれるより一般的なタイプのオブジェクトによって特徴付けられる可能性があります。

フレームにおける角速度ベクトルの加算も、通常のベクトル加算（直線運動の合成）によって定義され、ジンバルのように回転を分解するのに役立ちます。ベクトルのすべての成分は、移動フレームを定義するパラメータ（オイラー角または回転行列）の微分として計算できます。一般的な場合と同様に、加算は可換です：⁠ ⁠ω1+ω2=ω2+ω1{\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}。

回転系に固定された基準点を選択した場合、その系内の任意の点の速度は次のように表される。 r0{\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}r˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}

r˙=r0˙+ω×(r−r0){\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}

物体固定フレームの基底ベクトルの成分

固定点Oの周りを回転する剛体を考える。その物体に固定され、共通の原点がOにあるベクトルの直交集合からなる参照フレームを物体内に構築する。フレームと物体の両方のOの周りの回転角速度ベクトルは、 e1,e2,e3{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}

ω=(e˙1⋅e2)e3+(e˙2⋅e3)e1+(e˙3⋅e1)e2,{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}

ここで、回転による フレームベクトルの時間変化率です。e˙i=deidt{\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}ei,i=1,2,3{\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3}

この式は軌道角速度 の式と矛盾する。

ω=r×vr2,{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}

この式はOを中心とした一点の角速度を定義するのに対し、このセクションの式はフレームまたは剛体に適用されます。剛体の場合、単一の式で 物体内の すべての粒子の運動を考慮する必要があります。ω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}

オイラー角からの成分

緑色でオイラーフレームを示す図

スピン角速度擬似ベクトルの成分は、レオンハルト・オイラーがオイラー角と中間フレームを使用 して初めて計算しました。

  • 基準フレームの1つの軸（歳差軸）
  • 参照フレーム（章動軸）に対する移動フレームの節点の線
  • 移動フレームの1つの軸（固有回転軸）

オイラーは、角速度擬似ベクトルのこれら3つの軸への投影は、その軸に対応する角度の微分であることを証明した（これは瞬間回転を3つの瞬間オイラー回転に分解することと等価である）。したがって、[ 7 ]

ω=α˙u1+β˙u2+γ˙u3{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}

この基底は直交しておらず、扱いにくいですが、基底を変更するだけで速度ベクトルを固定系または移動系に変更できます。例えば、移動系に変更する場合は次のようになります。

ω=(α˙sin⁡βsin⁡γ+β˙cos⁡γ)i^+(α˙sin⁡βcos⁡γ−β˙sin⁡γ)j^+(α˙cos⁡β+γ˙)k^{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}

ここで、これらは移動体に固定されたフレームの単位ベクトルです。この例は、オイラー角のZXZ表記法を用いて作成されています。 i^,j^,k^{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}

テンソル

角速度テンソルは次のように定義される歪対称行列です。

Ω=(0−ωzωyωz0−ωx−ωyωx0){\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}

上記のスカラー要素は、角速度ベクトルの成分に対応します。 ω=(ωx,ωy,ωz){\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}

これは無限小回転行列である。線形写像Ωは外積 として作用する。 (ω×){\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}

ω×r=Ωr{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}

ここでは位置ベクトルです。 r{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}

時間差を掛けると、角変位テンソルになります。

参照

注記

  1. ^恒星日は太陽日よりも約 4 分短く、23 時間 56 分 04 秒ですが、この例では簡単にするために 24 時間を想定しています。

参考文献

  1. ^カミングス、カレン、ハリデイ、デイヴィッド (2007). 『物理学を理解する』 ニューデリー: John Wiley & Sons Inc., Wiley – India への再版許可. pp. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2。（UP1）
  2. ^ 「角速度｜回転運動、角運動量、トルク｜ブリタニカ」www.britannica.com . 2024年10月5日閲覧。
  3. ^テイラー、バリー・N. (2009).国際単位系（SI）（2008年改訂版）. DIANE Publishing. p. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7。27ページの抜粋
  4. ^ 「特別な名前と記号を持つ単位、特別な名前と記号を組み込んだ単位」。
  5. ^ヒッベラー、ラッセル・C. (2009). 『工学力学』 .アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州: ピアソン・プレンティス・ホール. pp. 314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6。（EM1）
  6. ^ Singh, Sunil K.角速度. ライス大学. 2021年5月21日閲覧– OpenStax経由。
  7. ^ KSHEDRIH: レオンハルト・オイラー (1707–1783) と剛体力学
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