反応拡散系

グレイ・スコットモデルを用いたトーラス上での2つの仮想化学物質の反応と拡散のシミュレーション

反応拡散系は、いくつかの物理現象に対応する数学モデルです。最も一般的なのは、1つまたは複数の化学物質の濃度の空間的および時間的変化です。具体的には、物質が互いに変化する局所的な化学反応と、物質が空間的に表面全体に広がる 拡散反応が挙げられます。

反応拡散系は化学において当然応用されている。しかし、この系は非化学的な性質を持つ動的過程も記述することができる。例としては、生物学、地質学、物理学（中性子拡散理論）、そして生態学が挙げられる。数学的には、反応拡散系は半線形放物型偏微分方程式の形をとる。それらは一般的な形で表すことができる。

∂tq＝D__∇2q+R（q）、{\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\underline {\boldsymbol {D}}}}\,\nabla ^{2}{\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}),}

ここで、q ( x , t )は未知のベクトル関数、Dは拡散係数の対角行列、R はすべての局所反応を表します。反応拡散方程式の解は、進行波や波のような現象の形成、縞模様や六角形などの自己組織化パターン、あるいは散逸ソリトンのようなより複雑な構造など、幅広い挙動を示します。このようなパターンは「チューリングパターン」と呼ばれています。[ 1 ]反応拡散微分方程式が成り立つ各関数は、実際には濃度変数を表します。

一成分反応拡散方程式

最も単純な反応拡散方程式は平面幾何学における1次元空間にある。

∂tあなた＝D∂×2あなた+R（あなた）、{\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}

はコルモゴロフ・ペトロフスキー・ピスクノフ方程式とも呼ばれる。[ 2 ]反応項がゼロの場合、この方程式は純粋な拡散過程を表す。対応する方程式はフィックの第二法則である。R ( u ) = u (1 − u )を選択すると、もともと生物集団の拡散を記述するために使用されたフィッシャーの方程式が得られます。[ 3 ]レイリー・ベナール対流を記述するR ( u ) = u (1 − u 2 )のニューウェル・ホワイトヘッド・シーゲル方程式、[ 4 ] [ 5 ]燃焼理論で生じるR ( u ) = u (1 − u )e - β (1- u )および0 < β < ∞ (ゼルドビッチ数) のより一般的なゼルドビッチ・フランク・カメネツキー方程式、 [ 6 ]その特定の退化したケースであるR ( u ) = u 2 − u 3はゼルドビッチ方程式とも呼ばれます。[ 7 ]

一成分系のダイナミクスは、発展方程式が変分形式でも書けるため、一定の制約を受ける。

∂tあなた＝−δLδあなた{\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}

そして、関数によって与えられた 「自由エネルギー」の永久的な減少を記述する。L{\displaystyle {\mathfrak {L}}}

L＝∫−∞∞[D2（∂×あなた）2−V（あなた）]d×{\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}

ポテンシャルV ( u )がR ( u ) = ⁠d V ( u )/あなた​⁠。

フィッシャー方程式の進行波面解。

複数の定常同次解を持つシステムでは、典型的な解は同次状態を結ぶ移動波面によって与えられる。これらの解は形状を変えずに一定速度で移動し、u ( x , t ) = û ( ξ )の形をとり、 ξ = x − ctとなる。ここでcは移動波の速度である。移動波は一般的に安定な構造であるが、単調でない定常解（例えば、波面と反波面のペアからなる局所領域）はすべて不安定であることに注意されたい。c = 0の場合、この主張には簡単な証明がある。[ 8 ] u 0 ( x )が定常解で、u = u 0 ( x ) + ũ ( x , t )が微小摂動解である場合、線形安定性解析から次式が得られる 。

∂tu~=D∂x2u~−U(x)u~,U(x)=−R′(u)|u=u0(x).{\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}

ũ = ψ ( x )exp(− λt )という仮定のもとで、固有値問題に到達する。

H^ψ=λψ,H^=−D∂x2+U(x),{\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}

シュレーディンガー型の解では、負の固有値は解の不安定性をもたらす。並進不変性により、ψ = ∂ x u 0 ( x )は固有値λ = 0を持つ中立固有関数であり、他のすべての固有関数は、対応する実固有値の大きさが零点の数とともに単調に増加するノード数の増加に従ってソートすることができる。固有関数ψ = ∂ x u 0 ( x )は少なくとも1つの零点を持つ必要があり、非単調な定常解の場合、対応する固有値λ = 0が最小値になることはできず、したがって不安定性を意味する。

移動前線の 速度cを決定するには、移動座標系を使用して静止解を調べます。

D∂ξ2u^(ξ)+c∂ξu^(ξ)+R(u^(ξ))=0.{\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}

この方程式には、減衰係数 c を持つ力Rを受けて、位置ûを持つ質量Dがξの「時間」の経過中に移動するという優れた機械的類似点があり、これにより、さまざまな種類の解の構築とcの決定をわかりやすく説明できます。

空間次元を1次元から多次元に移行する場合でも、1次元系で述べた多くの記述は依然として適用できる。平面波面や曲面波面は典型的な構造であり、曲面波面の局所速度が局所的な曲率半径に依存するようになるため、新たな効果が生じる（これは極座標系に移行することで確認できる）。この現象は、いわゆる曲率駆動不安定性につながる。[ 9 ]

2成分反応拡散方程式

二成分系は、一成分系よりもはるかに広範囲の現象を許容します。アラン・チューリングによって最初に提唱された重要な概念は、局所系では安定な状態であっても、拡散が存在すると不安定になる可能性があるというものです。[ 10 ]

しかし、線形安定性解析によれば、一般的な2成分系を線形化すると、

(∂tu∂tv)=(Du00Dv)(∂xxu∂xxv)+(F(u,v)G(u,v)){\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}

平面波の摂動

q~k(x,t)=(u~(t)v~(t))eik⋅x{\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}

定常均質解は

(∂tu~k(t)∂tv~k(t))=−k2(Duu~k(t)Dvv~k(t))+R′(u~k(t)v~k(t)).{\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.}

チューリングの考えは、反応関数のヤコビアンR ′の符号によって特徴付けられるシステムの4つの同値類においてのみ実現可能である。特に、有限波数ベクトルkが最も不安定であると仮定すると、ヤコビアンは次の符号を持つ必要がある。

(+−+−),(++−−),(−+−+),(−−++).{\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}

このクラスのシステムは、その最初の代表例にちなんで「活性化因子-抑制因子システム」と名付けられています。基底状態に近い状態では、一方の成分が両方の成分の生成を刺激し、もう一方の成分がそれらの成長を阻害します。最も顕著な代表例は、フィッツヒュー・ナグモ方程式です。

∂tu=du2∇2u+f(u)−σv,τ∂tv=dv2∇2v+u−v{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}

ここで、 f ( u ) = λu − u 3 − κは活動電位が神経をどのように伝わるかを表します。 [ 11 ] [ 12 ]ここで、d u、d v、τ、σ、λは正の定数です。

活性化因子-抑制因子系においてパラメータ変化が生じると、均質な基底状態が安定な状態から線形不安定な状態へと遷移することがあります。この分岐は、支配波数k = 0を持つ大域的に振動する均質状態へのホップ分岐、または支配波数が有限である大域的にパターン化された状態へのチューリング分岐のいずれかです。後者は空間2次元において、典型的には縞模様または六角形のパターンを形成します。

  • 亜臨界チューリング分岐: 上記のフィッツヒュー-ナグモ型の 2 成分反応拡散システムにおけるノイズの多い初期条件からの六角形パターンの形成。
  • t = 0 におけるノイズの多い初期条件。
    t = 0におけるノイズの多い初期条件 。
  • t = 10 におけるシステムの状態。
    t = 10におけるシステムの状態 。
  • t = 100 でほぼ収束した状態。
    t  = 100でほぼ収束した状態。

フィッツヒュー・ナグモの例では、チューリング分岐とホップ分岐の線形安定領域の境界を示す中立安定曲線は次のように与えられる。

qnH(k):1τ+(du2+1τdv2)k2=f′(uh),qnT(k):κ1+dv2k2+du2k2=f′(uh).{\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}

分岐が亜臨界状態の場合、パターンが基底状態と共存するヒステリシス領域において、局所的な構造（散逸ソリトン）がしばしば観測される。その他によく見られる構造としては、パルス列（周期進行波とも呼ばれる）、螺旋波、標的パターンなどがある。これらの3つの解型は、局所的なダイナミクスが安定なリミットサイクルを持つ2成分（またはそれ以上）の反応拡散方程式の一般的な特徴でもある[ 13 ]。

  • 上記のフィッツヒュー・ナグモ型の2成分反応拡散系に見られる他のパターン。
  • 回転する螺旋。
    回転する螺旋。
  • ターゲットパターン。
    ターゲットパターン。
  • 定常局所パルス（散逸ソリトン）。
    定常局所パルス（散逸ソリトン）。

3成分以上の反応拡散方程式

様々なシステムに対して、2つ以上の成分を持つ反応拡散方程式が提案されている。例えば、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応[ 14 ]、血液凝固[ 15 ]、核分裂波[ 16 ] 、平面ガス放電システム[ 17 ]などである。

より多くの構成要素を持つシステムでは、1つまたは2つの構成要素を持つシステムでは不可能な様々な現象（例えば、グローバルフィードバックなしで1つ以上の空間次元で安定して動作するパルス）が可能になることが知られています。[ 18 ]基礎となるシステムの特性に依存した起こり得る現象の紹介と体系的な概要は、[ 19 ]に記載されています。

応用と普遍性

近年、反応拡散システムはパターン形成のプロトタイプモデルとして大きな関心を集めている。[ 20 ]上記のパターン（フロント、スパイラル、ターゲット、六角形、ストライプ、散逸ソリトン）は、局所反応項などで大きな矛盾があるにもかかわらず、さまざまなタイプの反応拡散システムで見つけることができます。 また、反応拡散プロセスは生物学における形態形成に関連するプロセスの重要な基礎であり、動物の毛皮や皮膚の色素沈着にさえ関連している可能性があると主張されてきました。 [23] [24]反応拡散方程式の他の応用には、生態学的侵入、[ 25 ]疫病の蔓延、[ 26 ]腫瘍の成長、[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]核分裂波のダイナミクス、[ 30 ]創傷治癒[ 31 ]および幻視が含まれます。[ 32 ]反応拡散系が注目されるもう一つの理由は、非線形偏微分方程式であるにもかかわらず、解析的な処理が可能な場合が多いことである。[ 8 ] [ 9 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 20 ]

実験

化学反応拡散系における制御性の高い実験は、これまで3つの方法で実現されてきた。第一に、ゲルリアクター[ 36 ]または充填毛細管[ 37 ]を用いる。第二に、触媒表面における温度パルスの研究[ 38 ] [ 39 ] 。第三に、反応拡散系を用いて走行神経パルスの伝播をモデル化する[ 11 ] [ 40 ] 。

これらの一般的な例以外にも、適切な条件下ではプラズマ[ 41 ]や半導体[ 42 ]のような電気輸送系も反応拡散理論で記述できることが判明している。これらの系については、パターン形成に関する様々な実験が行われてきた。

数値処理

反応拡散系は数値数学の手法を用いて解くことができる。研究文献にはいくつかの数値的処理法が存在している。[ 43 ] [ 20 ] [ 44 ]複雑な形状に対する数値解法も提案されている。[ 45 ] [ 46 ]反応拡散系は、SRSimやReaDDy [ 47 ]などの粒子ベースのシミュレーションツールによって非常に詳細に記述され、これらのツールは可逆的な相互作用粒子反応ダイナミクスを採用している。[ 48 ]

参照

例

参考文献

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