オプション（ファイナンス）

金融において、オプションとは、オプションのスタイルに応じて、指定された日付以前に指定された行使価格で、特定の数量の原資産または証券を購入または売却する権利（義務ではない）をその所有者（保有者）に譲渡する契約です。

オプションは通常、購入、報酬として、あるいは複雑な金融取引の一環として取得されます。したがって、オプションは資産（または偶発債務）の一種でもあり、その評価は、原資産価格、満期までの期間、市場ボラティリティ、無リスク金利、そしてオプションの権利行使価格の間の複雑な関係に左右される可能性があります。

オプションは、店頭取引(OTC)で民間の当事者間で取引される場合もあれば、標準化された契約の形でライブの公開市場で取引される場合もあります。

定義と応用

オプションとは、オプションの種類に応じて、特定の行使価格で、特定の期日以前に原資産または金融商品を売買する権利を保有者に付与する契約です。満期前にオプションを売却または行使する場合、通常、買い手は合意された価格で契約を引き受ける必要があります。行使価格は、オプション発行日の原資産または商品のスポット価格（市場価格）を参照して設定される場合もあれば、割引価格またはプレミアム価格で固定される場合もあります。保有者がオプションを「行使」した場合、発行者は取引（売買）を履行する義務を負います。保有者に特定の価格で購入する権利を与えるオプションはコールオプション、特定の価格で売却する権利を与えるオプションはプットオプションと呼ばれます。

発行者は、別の取引（株式発行や従業員インセンティブ制度など）の一環として買い手にオプションを付与するか、買い手がオプションのプレミアムを発行者に支払う場合があります。コール オプションは通常、権利行使価格が原資産の市場価値を下回る場合にのみ行使され、プット オプションは通常、権利行使価格が市場価値を上回る場合にのみ行使されます。オプションが行使されると、オプション保有者のコストは、取得した資産の権利行使価格と、発行者に支払われるプレミアム（ある場合）の合計です。オプションが行使されないまま満了日が過ぎた場合、オプションは失効し、保有者は発行者に支払ったプレミアムを失います。いずれの場合も、プレミアムは発行者の収入となり、オプション保有者は通常、資本損失となります。

オプション保有者は、オプションに応じて店頭取引またはオプション取引所のいずれかの形で、流通市場で第三者にオプションを転売することができます。アメリカンスタイルのオプションの市場価格は通常、原株式の市場価格とオプションの行使価格の差額であるため、原株式の価格に密接に追随します。オプションの実際の市場価格は、満期日が近づいているがオプションを行使する資金がなく、重要なオプション保有者がオプションを売却する必要がある、または市場で大量のオプションを保有しようとしているなど、いくつかの要因に応じて異なる場合があります。オプションを所有することで、通常、保有者は議決権などの原資産に関連する権利、または配当金などの原資産からの収入を得ることはできません。

歴史

オプションの歴史的使用

オプションに似た契約は古代から使われてきました。^{[ 1 ]}最初のオプション購入者として有名なのは、古代ギリシャの数学者であり哲学者でもあったミレトスのタレスです。ある時、その季節のオリーブの収穫量が例年よりも多いと予測され、彼は閑散期に翌春に複数のオリーブ圧搾機を使用する権利を取得しました。春が来てオリーブの収穫量が予想を上回ったとき、彼はオプションを行使し、その「オプション」に支払った金額よりもはるかに高い価格で圧搾機を貸し出しました。^{[ 2 ] [ 3 ]}

1688年に出版された『混乱の混乱』では、アムステルダム証券取引所（現在のユーロネクスト）での「オプシー」取引について説明しており、「リスクは限られているが、得られる利益は想像や希望をはるかに超えるものになる可能性がある」と説明している。^{[ 4 ]}

ロンドンでは、プットオプションと「リフューズ」（コール）が初めてよく知られた取引手段となったのは、1690年代、ウィリアムとメアリーの治世下であった。^{[ 5 ]}プリビレッジオプションとは、19世紀アメリカで店頭で売買されるオプションであり、プットオプションとコールオプションの両方が専門のディーラーによって提供された。権利行使価格は、オプションが購入された日または週の市場価格を切り捨てた価格で固定され、満期日は通常購入後3ヶ月であった。流通市場では取引されていなかった。

不動産市場において、コールオプションは長年にわたり、別々の所有者から広大な土地をまとめて購入するために利用されてきました。例えば、開発業者は隣接する複数の区画を購入する権利に対して支払いを行いますが、これらの区画を購入する義務はなく、区画全体の区画をすべて購入できない場合は購入しないこともあります。さらに、住宅などの不動産を購入するには、買い手が売主に対してエスクロー口座に手付金を支払う必要があります。これにより、買い手は購入価格を含む定められた条件で不動産を購入する権利を得ます。

映画業界では、映画や演劇のプロデューサーが、特定の本や脚本をドラマ化する権利（義務ではない）を与える オプションを購入することがよくあります。

信用枠は、借り手候補に、指定された期間内に借り入れる権利（義務ではありません）を与えます。

債券契約には、伝統的に多くの選択肢、すなわち組込オプションが組み込まれてきました。例えば、多くの債券は、買い手の選択により普通株に転換可能であったり、発行者の選択により特定の価格でコール（買い戻し）される可能性があります。住宅ローンの借り手は長年にわたり、ローンを早期に返済するオプションを有しており、これはコール可能な債券オプションに相当します。

現代のストックオプション

オプション契約は数十年前から知られています。シカゴ・オプション取引所（CBO）は1973年に設立され、標準化された書式と条件を用いた取引体制を確立し、保証付き清算機関を通じて取引を開始しました。それ以来、取引活動と学術的な関心は高まっています。

今日では、多くのオプションは標準化された形式で作成され、規制されたオプション取引所の清算機関を通じて取引されています。一方、店頭取引（OTC）オプションは、単一の買い手と売り手の間で締結される、カスタマイズされた双務契約として作成されます。売り手と買い手の一方または両方がディーラーまたはマーケットメーカーである場合もあります。オプションは、デリバティブ商品、または単にデリバティブと呼ばれる、より広範な金融商品の一部です。^{[ 6 ] [ 7 ]}

契約仕様

金融オプションとは、2つの相手方当事者間の契約であり、オプションの条件はタームシートに明記されます。オプション契約は非常に複雑になる場合もありますが、少なくとも以下の内容が含まれます。^{[ 8 ]}

• オプション保有者が買う権利（コールオプション）を持っているか売る権利（プットオプション）を持っているか
• 原資産の数量と種類（例：XYZ社B株100株）
• 行使価格とも呼ばれる行使価格は、権利行使時に基礎となる取引が発生する価格です。
• オプションを行使できる最終日である満了日
• 決済条件、例えば、作家は行使時に実際の資産を引き渡さなければならないのか、それとも単に同等の現金金額を支払うだけでよいのか
• オプションが市場で提示される条件。提示価格を実際のプレミアム（保有者がオプション発行者に支払う合計金額）に変換します。

オプション取引

プット取引量とコール取引量（90日間平均取引量）

取引形態

上場取引オプション

上場オプション（「上場オプション」とも呼ばれる）は、取引所で取引されるデリバティブ商品の一種です。取引所オプションは標準化された契約に基づき、オプション決済機構（OCC）によって履行が保証された清算機関を通じて決済されます。契約が標準化されているため、正確な価格モデルが利用できる場合が多くあります。取引所オプションには以下のものがあります。^{[ 9 ] [ 10 ]}

• ストックオプション
• 債券オプションおよびその他の金利オプション
• 株式市場指数オプション、または単に指数オプション
• 先物契約オプションと
• コール可能なブル/ベア契約

平均オプション取引量（90日間）と時価総額

店頭オプション

店頭オプション（OTCオプション、「ディーラーオプション」とも呼ばれる）は、取引所に上場されていない2者間で取引されます。OTCオプションの条件は制限されておらず、あらゆるビジネスニーズに合わせて個別にカスタマイズできます。一般的に、オプションの売り手は十分な資本を有する機関です（信用リスクを回避するため）。店頭で一般的に取引されるオプションの種類には、以下のものがあります。

• 金利オプション
• 通貨クロスレートオプション、および
• スワップまたはスワップションのオプション。
• MBS（モーゲージ担保証券）オプション

取引所を介さないことで、OTCオプションの利用者は、個々の事業ニーズに合わせてオプション契約の条件を細かく調整することができます。さらに、OTCオプション取引は一般的に市場への広告掲載を必要とせず、規制要件もほとんど、あるいは全くありません。しかしながら、OTC取引の相手方は相互に信用枠を設定し、互いの清算・決済手続きに従う必要があります。

いくつかの例外を除き、^{[ 11 ]}従業員ストックオプションの流通市場は存在しません。これらのオプションは、当初の付与者によって行使されるか、失効させられるかのいずれかとなります。

オプション取引量と未決済建玉（7000以上の契約）

取引所取引

オプション取引の最も一般的な方法は、様々な先物・オプション取引所が上場する標準化されたオプション契約を介することです。^{[ 12 ]}上場銘柄と価格は追跡されており、ティッカーシンボルで検索できます。取引所はオプション価格の継続的なライブ市場を公開することで、独立した当事者が価格発見を行い、取引を執行することを可能にします。取引の双方にとっての仲介者として、取引所が取引に提供するメリットには以下が含まれます。

• 契約の履行は、通常最高格付け（AAA）を持つ取引所の信用によって裏付けられています。
• 相手方は匿名のまま、
• 公正性と透明性を確保するための市場規制の施行、および
• 特に取引が活発な状況において、秩序ある市場を維持する。

満期までの日数とオプション取引量（7000以上の契約）

基本的な取引（アメリカ式）

これらの取引は投機家の観点から説明されています。他のポジションと組み合わせることで、ヘッジにも利用できます。米国市場におけるオプション契約は通常、原資産の100株を表します。^{[ 13 ] [ 14 ]}

ロングコール

コール購入による利益

株価の上昇を予想するトレーダーは、株式をそのまま購入する代わりに、後日、固定価格（権利行使価格）で株式を購入できるコールオプションを購入することができます。オプション購入時に支払う現金がプレミアムです。トレーダーは株式を購入する義務はなく、満期日までに購入する権利のみを有します。損失リスクは、株式をそのまま購入した場合に発生する可能性のある損失とは異なり、支払ったプレミアム分に限定されます。

アメリカ式のコール オプションの保有者は、満期日までいつでもオプション保有を売却できます。特に、保有者がオプション価格の下落を予想している場合は、株式のスポット価格が権利行使価格を上回っているときに売却を検討するでしょう。そのような状況で早めにオプションを売却すれば、トレーダーは即座に利益を得ることができます。あるいは、トレーダーは (たとえばオプションの流通市場がない場合) オプションを権利行使してから株式を売却して利益を得ることもできます。株式のスポット価格がプレミアムよりも上昇すれば、トレーダーは利益を得ます。たとえば、権利行使価格が 100 で、支払われたプレミアムが 10 の場合、スポット価格 100 が 110 にしか上昇しなければ、取引は損益分岐点となり、株価が 110 を超えて上昇すれば利益が生まれます。

満了時の株価が権利行使価格よりも低い場合、その時点でのオプション保有者はコール契約を満了させ、プレミアム（または譲渡時に支払った価格）のみを失うことになります。

ロングプット

プットオプション購入による利益

株価が下がると予想するトレーダーは、プット オプションを購入して、後日、固定価格 (権利行使価格) で株式を売却することができます。トレーダーは株式を売却する義務はありませんが、満期日までに売却する権利があります。満期日の株価が行使価格よりも支払ったプレミアムよりも低い場合、トレーダーは利益を得ます。満期日の株価が行使価格を上回っている場合、トレーダーはプット契約を満期にせず、支払ったプレミアムのみを失います。この取引では、プレミアムは損益分岐点を高める役割も果たします。たとえば、行使価格が 100 で支払ったプレミアムが 10 の場合、スポット価格が 90 から 100 の間であれば利益は出ません。トレーダーはスポット価格が 90 を下回った場合にのみ利益を得ます。

株式のプット オプションを行使するトレーダーは、ほとんどの株式が空売り可能であるため、原資産を所有する必要はありません。

ショートコール

コールを書くことで得られる利益

株価の下落を予想するトレーダーは、空売りするか、コールオプションを売る（「売る」）ことができます。コールオプションを売るトレーダーは、コールオプションの買い手に、固定価格（「権利行使価格」）で株式を売却する義務を負います。オプションの権利行使時に売り手が株式を保有していない場合、売り手は市場でその株式を実勢価格で購入する義務を負います。株価が下落した場合、コールオプションの売り手（コールライター）はプレミアム額の利益を得ます。株価が権利行使価格をプレミアム額を超えて上回った場合、売り手は損失を被り、その損失は無制限となります。

ショートプット

プットオプションの売却による利益

株価の上昇を予想するトレーダーは、株式を購入するか、プットオプションを売却（「売る」）することができます。プットオプションを売るトレーダーは、プットオプションの買い手から固定価格（「権利行使価格」）で株式を購入する義務を負います。満期日の株価が権利行使価格を上回っている場合、プットオプションの売り手（プットオプションの売り手）はプレミアム相当の利益を得ます。満期日の株価が権利行使価格をプレミアム相当額以上下回っている場合、トレーダーは損失を被り、損失額は権利行使価格からプレミアム相当額を差し引いた金額となります。現金担保付きプットオプションのショートポジションのパフォーマンスを示すベンチマーク指数は、CBOE S&P 500プットライト指数（ティッカー：PUT）です。

オプション戦略

バタフライスプレッド購入による利益

ストラドルの売却による利益

カバードコールによるペイオフ

4種類の基本的なオプション取引（権利行使価格や満期日が異なる場合もある）と2種類の基本的な株式取引（ロングとショート）を組み合わせることで、多様なオプション戦略を構築できます。シンプルな戦略では通常、少数の取引のみを組み合わせますが、より複雑な戦略では複数の取引を組み合わせることもあります。

戦略は、原資産の変動に対して特定のリスクプロファイルを設計するためによく使用されます。例えば、バタフライスプレッド（X1コールを1つ買い、X2コールを2つ売り、X3コールを1つ買い）を購入すると、満期日の株価が中間権利行使価格X2に近い場合、トレーダーは利益を得ることができ、大きな損失を被ることはありません。

コンドルはバタフライ スプレッドに似た戦略ですが、ショート オプションの行使価格が異なります。バタフライ スプレッドと比較すると、利益の可能性は高くなりますが、純クレジットは低くなります。

ストラドルを売る（プットとコールの両方を同じ権利行使価格で売る）と、最終株価が権利行使価格に近い場合、トレーダーはバタフライよりも大きな利益を得ることができますが、大きな損失が発生する可能性があります。

ストラドルに似ているのがストラングルで、これもコールとプットで構成されますが、ストライクが異なるため、取引の純借方を減らすだけでなく、取引の損失リスクも減ります。

よく知られている戦略の 1 つにカバード コールがあります。これは、トレーダーが株式を購入 (または以前に購入した株式のポジションを保有) し、コールを売却する戦略です。(これはネイキッド コールと対比されます。ネイキッド プットも参照)。株価が権利行使価格を上回った場合、コールが権利行使され、トレーダーは固定の利益を得ます。株価が下落した場合、コールは権利行使されず、トレーダーが被る損失はコールの売却で受け取ったプレミアムによって部分的に相殺されます。全体として、ペイオフはプットの売却で得られるペイオフと一致します。この関係はプット・コール パリティとして知られ、金融理論に関する知見を提供します。バイライト戦略のパフォーマンスのベンチマーク インデックスは、CBOE S&P 500 バイライト インデックス(ティッカー シンボル BXM)です。

もう 1 つの非常に一般的な戦略は、プロテクティブ プットです。これは、トレーダーが株式を購入 (または以前に購入した株式のロング ポジションを保有) し、プット オプションを購入する戦略です。この戦略は、原資産のロングに投資する際の保険として機能し、投資家の潜在的な損失をヘッジしますが、プット オプションなしで株式を購入するだけの場合よりも大きな利益を縮小します。プロテクティブ プットは原資産のロングを保持する戦略であるため、理論上は最大利益は無制限です。最大損失は、原資産の株式購入価格からプット オプションの権利行使価格と支払ったプレミアムを差し引いた金額に限定されます。プロテクティブ プットは、マリッジ プットとも呼ばれます。

種類

オプションはいくつかの方法で分類できます。

オプション権によると

• コール オプションは、特定の期間に特定の価格で何かを購入する権利（義務ではありません）を保有者に与えます。
• プット オプションは、特定の期間に特定の価格で何かを販売する権利（義務ではありません）を保有者に与えます。

配送タイプに応じて

• 物理的な配送オプションでは、商品または在庫の実際の配送が必要になります。
• 現金決済オプションは結果として生じる現金支払いで決済されます。

原資産に応じて

• 株式オプション
• 債券オプション
• 将来の選択肢
• インデックスオプション
• 商品オプション
• 通貨オプション
• スワップオプション

その他のオプションタイプ

特に米国において重要なオプションのもう一つの種類は、従業員ストックオプションです。これは企業が従業員にインセンティブ報酬として付与するものです。他の種類のオプションは多くの金融契約に存在します。例えば、不動産オプションは大規模な土地を区画分けするためによく使用され、繰上返済オプションは通常住宅ローンに含まれています。しかし、評価とリスク管理の原則の多くは、すべての金融オプションに当てはまります。

オプションスタイル

オプションはいくつかのスタイルに分類されますが、最も一般的なものは次のとおりです。

• アメリカンオプション – 満期日当日または満期日前の任意の取引日に権利行使できるオプション。
• ヨーロピアンオプション – 満期時にのみ行使できるオプション。

これらはしばしばバニラオプションと呼ばれます。その他のスタイルには以下のものがあります。

• バミューダオプション – 満了日またはその前の指定された日付にのみ行使できるオプション。
• アジアンオプション – 事前に設定された期間の平均原資産価格によってペイオフが決定されるオプション。
• バリアオプション – 行使される前に、原証券の価格が特定のレベルまたは「バリア」を通過する必要があるという一般的な特徴を持つオプション。
• バイナリオプション – 満了時に基礎となる証券が定義された条件を満たした場合に全額が支払われ、そうでない場合は満了するオール オア ナッシング オプション。
• エキゾチックオプション – 複雑な金融構造を含む可能性のある幅広いオプションのカテゴリ。 ^{[ 15 ]}

評価

オプション契約の価値は、原資産の価値に加えて、様々な変数に依存するため、その評価は複雑です。多くの価格設定モデルが用いられていますが、いずれも本質的には合理的価格設定（すなわちリスク中立性）、マネーネス、オプションの時間価値、プットコール・パリティといった概念を取り入れています。

評価自体は、原資産価格の挙動（「プロセス」）モデルと、想定される挙動の関数としてプレミアムを算出する数学的手法を組み合わせたものです。モデルは、株式に関する（典型的な）ブラック・ショールズ・モデル^{[ 16 ] [ 17 ]}から、金利に関するヒース・ジャロー・モートン・フレームワーク、そしてボラティリティ自体が確率的であるとみなされるヘストン・モデルまで多岐にわたります。様々なモデルの一覧については、こちら （資産価格設定）をご覧ください。

基本的な分解

最も基本的な意味では、オプションの価値は通常、次の 2 つの部分に分解されます。

• 最初の部分は本質的価値であり、これは原資産の市場価値と特定のオプションの行使価格の差として定義されます。
• 2 番目の部分は時間価値であり、これは他の一連の要因に依存し、多変数の非線形相互関係を通じて、満期時の差の割引期待値を反映するものです。

評価モデル

上述のように、オプションの価値は様々な定量的手法を用いて推定されます。これらの手法はすべてリスク中立価格設定の原則に基づき、その解法には確率論的計算が用いられます。最も基本的なモデルはブラック・ショールズ・モデルです。より洗練されたモデルはボラティリティ・スマイルをモデル化するために用いられます。これらのモデルは様々な数値的手法を用いて実装されます。^{[ 18 ]}一般的に、標準的なオプション評価モデルは以下の要因に依存します。

• 原証券の現在の市場価格
• オプションの行使価格、特に原資産の現在の市場価格との関係（イン・ザ・マネーかアウト・オブ・ザ・マネーか）
• 利息や配当金を含む、原資産のポジションを保有するためのコスト
• 運動がいつ行われるかに関する制限と、発動までの時間
• オプションの有効期間中の原証券価格の将来の変動率の推定

より高度なモデルでは、時間の経過やさまざまな基礎価格レベルでのボラティリティの変化の推定や、確率的金利の動向などの追加要素が必要になる場合があります。

以下は、オプション契約を評価するために実際に使用される主な評価手法です。

ブラック・ショールズ

ルイ・バシュリエの初期の研究、そしてロバート・C・マートンの後の研究に続き、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは、無配当株式に依存するあらゆるデリバティブの価格が満たすべき微分方程式を導出することで、画期的な進歩を遂げました。ブラックとショールズは、オプション保有のリターンを再現するリスク中立ポートフォリオを構築する手法を用いて、ヨーロピアン・オプションの理論価格の閉形式解を導き出しました。^{[ 19 ]}同時に、このモデルはオプション保有の効果的なリスク管理に必要な ヘッジパラメータも生成します。

ブラック＝ショールズ・モデルの背後にあるアイデアは画期的であり、最終的にショールズとマートンはスウェーデン中央銀行の経済学賞（ノーベル経済学賞とも呼ばれる）を受賞するに至りましたが^{[ 20 ]} 、このモデルを実際のオプション取引に適用することは、継続的な取引、一定のボラティリティ、そして一定の金利という仮定のために容易ではありません。それでもなお、ブラック＝ショールズ・モデルは、結果が妥当な範囲内にある既存の金融市場において、依然として最も重要な手法と基盤の一つとなっています^{[ 21 ] 。}

確率的ボラティリティモデル

1987 年の市場暴落以来、低い権利行使価格のオプションの市場インプライド ボラティリティは、高い権利行使価格のオプションよりも一般的に高いことが観察されています。これは、ボラティリティが時間と原証券の価格レベルの両方によって変化することを示唆しています (いわゆるボラティリティ スマイル)。また、時間の次元では、ボラティリティ サーフェスとなります。

ここでの主なアプローチは、ボラティリティを確率的として扱い、その結果得られる確率的ボラティリティモデルとヘストンモデルをプロトタイプとすることです。^{[ 22 ]}論理の議論についてはリスク中立指標を参照してください。他のモデルとしては、 CEVボラティリティモデルとSABRボラティリティモデルがあります。しかし、ヘストンモデルの主な利点の一つは、他の確率的ボラティリティモデルが複雑な数値解析を必要とするのに対し、閉じた形で解くことができることです。^{[ 22 ]}

関連性はあるものの、代替的なアプローチとして、ローカル・ボラティリティ・モデルを適用する方法があります。このモデルでは、ボラティリティは現在の資産水準と時間の両方の決定論的関数として扱われます。したがって、ローカル・ボラティリティ・モデルは、ボラティリティが定数であるブラック・ショールズ・モデルの一般化と言えます。この概念は、ブルーノ・デュピレ^{[ 23 ]} 、エマニュエル・ダーマン、イラジ・カニ^{[ 24 ]}が、ヨーロピアン・オプションの市場価格から得られるリスク中立密度と一致する独自の拡散過程が存在することに気づいた際に開発されました。議論については #開発を参照してください。${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$

短期金利モデル

債券オプション、スワップション（すなわちスワップのオプション）、金利キャップとフロア（実質的には金利のオプション）の評価のために、さまざまな短期金利モデルが開発されている（実際には、金利デリバティブ全般に適用可能）。これらの中で最も有名なのは、Black-Derman-ToyモデルとHull-Whiteモデルである。^{[ 25 ]}これらのモデルは、短期金利の将来の推移を記述することによって金利の将来の推移を説明する。金利モデリングのためのもう1つの主要なフレームワークは、Heath–Jarrow–Mortonフレームワーク（HJM）である。HJMとの違いは、HJMでは短期金利だけでなく、イールドカーブ全体 の分析的記述が得られることである。（HJMフレームワークには、Brace–Gatarek–Musielaモデルと市場モデルが組み込まれている。また、いくつかの短期金利モデルは、HJMフレームワークで直接表現できる。）住宅ローン担保証券の評価など、いくつかの目的では、これは大幅な単純化となる。いずれにせよ、高次元モデルではこのフレームワークが好まれることが多い。ここで述べたようなより単純な選択肢については、特定の仮定のもとでブラックモデルを代わりに採用できる点に注意する必要がある。

モデルの実装

評価モデルを選択したら、そのモデルを実装するためにさまざまな手法が使用されます。

分析技術

場合によっては、数学モデルを解析的手法を用いてブラック・ショールズモデルやブラックモデルなどの閉形式解を得ることができます。得られた解は容易に計算可能であり、その「ギリシャ関数」も同様です。ロール・ゲスケ・ホエリーモデルは配当1つのアメリカンコールには適用できますが、アメリカンオプションの他のケースでは閉形式解は得られません。ここでの近似値としては、バローネ・アデシとホエリー、ビェルクスンドとステンスランドなどが挙げられます。

二項木価格モデル

ブラック・ショールズによる導出に続いて、ジョン・コックス、スティーブン・ロス、マーク・ルビンスタインは二項オプション価格モデルの最初のバージョンを開発した。^{[ 26 ] [ 27 ]}これは、オプションの有効期間中の離散時間間隔でのオプションの理論価値のダイナミクスをモデル化する。このモデルは、将来の原資産株価の可能性のある離散的な二項ツリーから始まる。オプションと株式のリスクのないポートフォリオを（ブラック・ショールズ・モデルのように）構築することにより、簡単な式を使用してツリーの各ノードでのオプション価格を見つけることができる。この値は、ブラック・ショールズによって生成された理論価値に、必要な精度で近似することができる。ただし、二項モデルはより柔軟であるため、ブラック・ショールズよりも正確であると考えられている。たとえば、将来の離散配当支払いを適切なフォワードタイムステップで正しくモデル化でき、アメリカンオプションをヨーロピアンオプションと同様にモデル化できる。二項モデルは、プロのオプション取引者によって広く使用されている。三項式木は類似のモデルであり、上昇、下降、または安定パスを許容します。特に少ない時間ステップでモデル化する場合、より正確であると考えられていますが、実装が複雑なため、あまり一般的には使用されていません。より一般的な議論、およびコモディティ、金利、ハイブリッド商品への応用については、格子モデル（金融）を参照してください。

モンテカルロモデル

多くのオプションクラスでは、商品の複雑さのために従来の評価手法は扱いにくい。このような場合、モンテカルロ法が有用となることが多い。モンテカルロモデルは、オプションの価値を原資産価格との関係で記述する微分方程式を解くのではなく、シミュレーションを用いて原資産のランダムな価格経路を生成する。それぞれの価格経路はオプションのペイオフをもたらす。これらのペイオフの平均を割り引くことで、オプションの期待値を算出することができる。 ^{[ 28 ]}ただし、柔軟性があるにもかかわらず、アメリカンスタイルのオプションにシミュレーションを使用することは、格子ベースのモデルよりもやや複雑になる点に注意する必要がある。

有限差分モデル

オプションをモデル化するために使用される方程式は、偏微分方程式として表現されることが多い（ブラック・ショールズ方程式を参照）。この形式で表現されると、有限差分モデルを導出し、評価を得ることができる。オプション評価のための有限差分法の実装は数多く存在し、明示的有限差分、暗黙的有限差分、クランク・ニコルソン法などがある。三項式ツリー・オプション価格設定モデルは、明示的有限差分法を簡略化した適用例として示すことができる。有限差分アプローチは数学的に洗練されているが、モデル入力（配当利回り、無リスク金利、ボラティリティ、またはこれらの組み合わせなど）が時間の経過とともに変化すると想定され、閉じた形式では扱いにくい場合に特に有用である。

その他のモデル

オプションを評価するために使用されてきた他の数値実装には、有限要素法が含まれます。

リスク

例： XYZ株100株の99日後に満期を迎えるコールオプション（COとも​​呼ばれる）が50ドルで行使され、XYZ株は現在48ドルで取引されている。オプションの有効期間中の将来の実現ボラティリティを25%と推定すると、オプションの理論価値は1.89ドルとなる。ヘッジパラメータ、、はそれぞれ(0.439, 0.0631, 9.6, -0.022)である。翌日、XYZ株が48.5ドルに上昇し、ボラティリティが23.5%に低下したと仮定する。ヘッジパラメータを新しいモデル入力に適用することで、コールオプションの推定価値を次のように計算できる。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle dC=(0.439\cdot 0.5)+\left(0.0631\cdot {\frac {0.5^{2}}{2}}\right)+(9.6\cdot -0.015)+(-0.022\cdot 1)=0.0614}$ このシナリオでは、オプションの価値は0.0614ドル上昇して1.9514ドルとなり、6.14ドルの利益が実現します。なお、デルタ・ニュートラル・ポートフォリオでは、トレーダーはヘッジとしてXYZ株44株も売却しているため、同じシナリオにおける純損失は15.86ドルとなります。

他の証券と同様に、オプション取引にはオプションの価値が時間とともに変動するリスクが伴います。しかし、従来の証券とは異なり、オプションの保有によるリターンは、原資産の価値やその他の要因によって非線形に変動します。そのため、オプション保有に伴うリスクの理解と予測はより複雑になります。

標準ヘッジパラメータ

一般に、オプションの価値の変化は伊藤の補題から次のように導かれます。

${\displaystyle dC=\Delta dS+\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt\,}$

ここで、ギリシャ文字 、、は、ブラック・ショールズ、などのオプション評価モデルから計算される標準的なヘッジパラメータであり、、はそれぞれ原資産の価格、原資産のボラティリティ、時間の単位変化です。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dt}$

したがって、オプションのヘッジパラメータを計算し、モデル入力値、、およびの期待変化を推定することで、オプション保有に伴うリスクをいつでも推定できます。ただし、これらの値の変化が小さいことが条件です。この手法は、標準的なオプションに伴うリスクを理解し、管理するために効果的に活用できます。例えば、オプション保有額を原資産の株式数で相殺することで、トレーダーは原資産価格の小さな変動による損失をヘッジするデルタ中立ポートフォリオを形成できます。このポートフォリオに対応する価格感応度の式は以下のとおりです。 ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle d\Pi =\Delta dS+\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt-\Delta dS=\Gamma {\frac {dS^{2}}{2}}+\kappa d\sigma +\theta dt\,}$

ピンリスク

ピンリスクと呼ばれる特殊な状況は、オプションの満期日前の最終取引日に、原資産価格がオプションの権利行使価格と同等か、非常に近い価格で終値した場合、発生する可能性があります。オプションの売り手（売手）は、オプションが実際に権利行使されるか、あるいは満期日を迎えるかを確実に知ることができません。そのため、オプションの売り手は、満期日の翌営業日に市場が開いた際に、残余ポジションを回避しようと最大限の努力を払ったにもかかわらず、原資産価格の大きな、望ましくない残余ポジションを抱えてしまう可能性があります。

カウンターパーティリスク

オプションなどのデリバティブ取引において、しばしば無視されがちなもう一つのリスクがカウンターパーティリスクです。オプション取引においては、売り手が合意通りに原資産を売買しないリスクが存在します。このリスクは、取引を履行できる財務的に強固な仲介業者を利用することで最小限に抑えることができますが、大規模なパニックや暴落時には、債務不履行の多さによって、最も強力な仲介業者でさえ対応しきれない可能性があります。

オプション承認レベル

リスクを制限するため、ブローカーはアクセス制御システムを用いて、トレーダーが適さない特定のオプション戦略を実行できないように制限しています。ブローカーは通常、4～5段階の承認レベルを提供しており、最下位レベルはリスクが最も低く、最上位レベルはリスクが最も高くなります。実際のレベル数や各レベルで許可される具体的なオプション戦略はブローカーによって異なります。ブローカーは独自の審査基準を設けている場合もありますが、通常はトレーダーの年収や純資産、取引経験、投資目標（元本保全、収入、成長、投機）などの要素に基づいています。例えば、年収や純資産が低く、取引経験が浅く、元本保全のみを重視するトレーダーは、一般的にネイキッドコールやネイキッドプットといっ​​た高リスク戦略の実行を許可されません。トレーダーは、より高い承認レベルへのアップグレードを申請する際に、情報を更新することができます。^{[ 29 ]}

オプション取引所

シカゴ・オプション取引所（CBOE）

シカゴ・オプション取引所（CBOE）は、イリノイ州シカゴに所在するオプション取引所です。1973年に設立されたCBOEは、米国初のオプション取引所です。CBOEは、市場指数、上場投資信託（ETF）、株式、ボラティリティ指数など、様々な証券オプションを提供しています。主力商品は、世界で最も活発に取引されているオプションの一つであるS&P 500指数（SPX）のオプションです。フロアベースのオープン・アウトクライ取引に加え、CBOEは完全電子取引プラットフォームも運営しています。CBOEは米国証券取引委員会（SEC）の規制を受けています。^{[ 30 ]}

ナスダック OMX PHLX

1790年に設立されたNASDAQ OMX PHLX （フィラデルフィア証券取引所としても知られる）は、ペンシルベニア州フィラデルフィアにあるオプションおよび先物取引所です。米国最古の証券取引所です。NASDAQ OMX PHLXでは、株式、指数、ETF、および外国通貨のオプション取引が可能です。米国で通貨オプション取引専用の数少ない取引所の一つです。2008年、NASDAQはフィラデルフィア証券取引所を買収し、NASDAQ OMX PHLXに改名しました。NASDAQ, Inc.の子会社として運営されています。^{[ 31 ]}

国際証券取引所（ISE）

国際証券取引所（ISE）は、ニューヨーク市に拠点を置く電子オプション取引所です。2000年に設立されたISEは、米国初の完全電子化オプション取引所です。ISEは、米国株式、指数、ETFのオプション取引を提供しています。ISEの取引プラットフォームは、マーケットメーカーが注文を競い合うための最大価格改善オークション（MPIオークション）を提供しています。ISEはSECの規制下にあり、ナスダック・インクが所有しています。^{[ 32 ]}

ユーレックス取引所

ユーレックス・エクスチェンジは、ドイツのフランクフルトに拠点を置くデリバティブ取引所です。金利、株式、指数、債券商品の先物およびオプション取引を提供しています。1998年にドイツ・ターミンボーセ（DTB）とスイス・オプション・アンド・ファイナンシャル・フューチャーズ取引所（SOFFEX）の合併により設立されたユーレックス・エクスチェンジは、電子取引プラットフォームとオープン・アウトクライ取引プラットフォームを運営しています。ユーレックス・エクスチェンジは、ユーレックス・フランクフルトAGが所有しています。^{[ 33 ]}

東京証券取引所（TSE）

東京証券取引所（TSE）は、1878年に設立された日本の東京に所在する証券取引所です。株式に加え、株価指数先物およびオプションの取引も行っています。取引は電子取引に加え、証券会社による入札方式でも行われます。TSEは日本の金融庁の規制下にあり、日本取引所グループが所有しています。^{[ 34 ]}

参照

• アメリカ証券取引所
• エリア利回りオプション契約
• アスコット（金融）
• シカゴ・オプション取引所
• 希薄化証券
• ユーレックス
• ユーロネクスト・リフ
• 国際証券取引所
• NYSEアルカ
• フィラデルフィア証券取引所
• LEAPS（金融）
• オプションのバックデート
• オプション清算機構
• オプションスプレッド
• オプション戦略
• オプションシンボル
• リアルオプション分析
• PnLの説明
• ピンリスク（オプション）
• XVA

参考文献

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さらに読む

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• フェルドマン、バリー、ダヴ・ロイ「パッシブ・オプション投資戦略：CBOE S&P 500バイライト指数の事例」『ジャーナル・オブ・インベスティング』 （2005年夏号）
• クライナート、ハーゲン、「量子力学、統計、高分子物理学、金融市場における経路積分」、第4版、ワールドサイエンティフィック（シンガポール、2004年）; ペーパーバックISBN 981-238-107-4（オンラインでも閲覧可能：PDFファイル、 2008年6月15日アーカイブ、 Wayback Machine）
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• ミルマン、グレゴリー・J.（2008）、「先物とオプション市場」、デイビッド・R・ヘンダーソン（編）、経済学簡潔百科事典（第2版）、インディアナポリス：経済と自由の図書館、ISBN 978-0-86597-665-8、OCLC  237794267
• ナテンバーグ、シェルドン（2015年）『オプションのボラティリティと価格設定：高度な取引戦略とテクニック（第2版）』ニューヨーク、ISBN 978-0-07-181877-3。
• マシュー・モラン「デリバティブ・ベース・インデックスのリスク調整後パフォーマンス ― リターン安定化のためのツール」『インデックス・ジャーナル』 （2002年第4四半期）34～40頁。
• ライリー、フランク、キース・C・ブラウン、「投資分析とポートフォリオ管理」第7版、トンプソン・サウスウェスタン、2003年、994～995頁。
• シュネーワイス、トーマス、リチャード・スパージン「機関投資家向けポートフォリオにおけるインデックス・オプション戦略のメリット」オルタナティブ・インベストメンツ誌（2001年春）、44～52頁。
• ロバート・ホエリー、「CBOEバイライト月次指数のリスクとリターン」『デリバティブズ・ジャーナル』 （2002年冬号）、35～42頁。
• ブロス、マイケル。エルンスト、ディートマール。 Häcker Joachim (2008): デリバティブ – 金融仲介者および投資家のためのデリバティブの信頼できるガイド オルデンブール・フェルラーク・ミュンヘンISBN 978-3-486-58632-9
• エスペン・ガーダー・ハウグとナシム・ニコラス・タレブ（2008年）：「なぜブラック・ショールズ・マートンのオプション価格決定式が使われなかったのか」