擬似球

幾何学において、擬球面とは 内の面のことである。擬球面の最も有名な例である。擬球面とは、一定の負のガウス曲率を持ち、 に区分的に滑らかに浸された面である。「半径Rの擬球面」とは、各点で曲率−1/ R ²を持つ内の面である。その名称は、曲率 1/ R ²の曲面である半径Rの球面との類似性に由来する。例としては、トラクトロイド、ディニ面、ブリーザー面、クエン面などがある。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

「擬球」という用語は、エウジェニオ・ベルトラミが1868年に発表した双曲幾何学のモデルに関する論文で導入された。^{[ 1 ]}

トラクトロイド

トラクトロイド

「擬球」とは、通常、トラクトロイドのことを指します。トラクトロイドは、トラクトリックスをその漸近線を中心に回転させることによって得られます。例えば、（半）擬球（半径1）は、トラクトリックスの回転面を^{[ 2 ]でパラメータ化したものです。}

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

これは特異空間（赤道が特異点）ですが、特異点から離れると、一定の負のガウス曲率を持つため、双曲面に対して局所的に等長になります。

「擬球」という名称は、球面が一定の正のガウス曲率を持つ表面を持つのと同様に、擬球が一定の負のガウス曲率を持つ2次元表面を持つことに由来します。球面があらゆる点で正の曲率を持つドーム形状を持つように、擬球全体もあらゆる点で負の曲率を持つ鞍形状を持ちます。

クリスティアーン・ホイヘンスは1693年という早い時期に、擬球の体積と表面積は有限であることを発見しました^{[ 3 ]。}これは、擬球が回転軸に沿った形状の広がりが無限であるにもかかわらずです。与えられた端半径Rに対して、面積は球の場合と同様に4π R ²ですが、体積は⁠2/3⁠ π R ³であり、したがってその半径の球の半分である。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

擬似球は数学的な織物芸術と教育学にとって重要な幾何学的先駆者である。^{[ 6 ]}

線の合同

直線合同とは、 における2パラメータ直線族のことです。 と書くことができます。ここで、 の各選択は、族内の特定の直線を選択します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle X(u,v,t)=x(u,v)+tp(u,v)}$$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$

直線合同の焦点面は、直線合同に接する面です。面上の各点において、上記の式は の二次方程式に展開されます。したがって、各 に対して、一般に の選択肢が2つ存在します。したがって、一般的な直線合同には、 によってパラメータ化された焦点面が2つあります。 $${\displaystyle \det \left(\partial _{u}X,\partial _{v}X,p\right)=0}$$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \det(\partial _{u}x(u,v)+t\partial _{u}p(u,v),\partial _{v}x(u,v)+t\partial _{v}p(u,v),p(u,v))=0}$$ ${\displaystyle (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$ ${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$

滑らかな表面に垂直な線束の場合、2 つの焦点面はその縮閉線、つまり主曲率中心の軌跡に対応します。

1879 年、ビアンキは、直線の合同が 2 つの焦点面上の対応する点の間の距離が一定で 1 であるような場合、つまり、両方の焦点面の曲率が一定で -1 であることを証明しました。 ${\displaystyle |t_{1}(u,v)-t_{2}(u,v)|=1}$

1880年、リーは部分逆を証明した。擬球面とする。すると、第二の擬球面と線分合同が存在し、とは の焦点面となる。さらに、と は常微分方程式 の列を積分することによってから構成できる。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\hat {X}}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\hat {X}}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\hat {X}}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle X}$

ユニバーサルカバースペース

擬球と双曲幾何学の他の3つのモデルとの関係

曲率 −1 の半擬球はホロサイクルの内部で覆われる。ポアンカレ半平面モデルでは、半平面のy ≥ 1の部分を選択するのが便利である。^{[ 7 ]} このとき被覆写像はx方向に周期 2 πで周期的となり、ホロサイクルy = c を擬球の子午線に、垂直測地線x = cを擬球を生成するトラクトスに取る。この写像は局所等長写像であり、擬球の普遍被覆空間として上半平面のy ≥ 1の部分を示す。正確な写像は

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )},}$

どこ

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

これは上記の tractrix のパラメーター化です。

双曲面

擬球をディニ面の一部に変形する。微分幾何学では、これはリー変換である。正弦ゴルドン方程式の対応する解において、この変形は静的1-ソリトン解のローレンツブーストに対応する。

双曲面の双曲面モデルを使用するいくつかの資料では、双曲面は擬球面と呼ばれます。^{[ 8 ]} この用語の使用法は、双曲面がミンコフスキー空間に埋め込まれた虚半径の球面と考えられるためです。

サイン・ゴードン方程式の解との関係

擬球面はサイン・ゴルドン方程式の解から構成できる。^{[ 9 ]}概略的な証明は、トラクトロイドをガウス・コダッツィ方程式がサイン・ゴルドン方程式として書き直される 座標で再パラメータ化することから始まる。

曲面上の各点に、主曲率の2つの方向を指す十字を描きます。これらの十字は2つの曲線族に統合することができ、曲面上の座標系を構成します。座標系を と書きます。 ${\displaystyle (x,y)}$

擬球面上の各点には、一般に2つの漸近方向が存在する。それらの漸近方向に沿った曲率は0である。漸近方向間の角度を とする。 ${\displaystyle \theta}$

定理によれば、特にトラクトロイドの場合、ガウス・コダッツィ方程式は静的ソリトン解に正弦ゴルドン方程式を適用したものであるため、ガウス・コダッツィ方程式は満たされる。これらの座標系において、第一基本形式と第二基本形式は、正弦ゴルドン方程式の任意の解に対してガウス曲率が-1であることを明確にするように記述される。 $${\displaystyle \partial _{xx}\theta -\partial _{yy}\theta =\sin \theta }$$

すると、サイン・ゴードン方程式の任意の解を用いて、ガウス・コダッツィ方程式を満たす第一基本形と第二基本形を特定することができる。そして、そのような初期データセットは、少なくとも局所的には、 における浸漬面を特定するために使用できるという定理が存在する。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

サイン・ゴルドン方程式と擬球面とのこの関連性は、方程式の解を面と同一視できることを意味します。したがって、古いサイン・ゴルドン解から新しいサイン・ゴルドン解を生成するあらゆる方法は、自動的に古い擬球面を生成し、その逆もまた同様です。

サイン・ゴードン解とそれに対応する面のいくつかの例を以下に示します。

• 静的1ソリトン：擬球
• 移動する1ソリトン：ディニ面
• ブリーザーソリューション：ブリーザー表面
• 2ソリトン：クエン面

参照

• ヒルベルトの定理（微分幾何学）
• ディニの表面
• ガブリエルの角笛
• 双曲面
• 双曲面構造
• 準球
• サイン・ゴードン方程式
• 球
• 革命の表面

参考文献

1. ベルトラミ、エウジェニオ (1868)。 「Saggio sulla interpreazione della geometria non euclidea」[非ユークリッド幾何学の解釈に関するエッセイ]。ジオール。マット。（イタリア語で）。6 : 248–312 .

   ( ベルトラミ、エウジェニオ (1902 年) に再出版。Opere Matematiche。Vol. 1。ミラノ: Ulrico Hoepli。XXIV 、374 ～ 405 ページ。フランス語では 「Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne」と訳されます。高等師範科学誌。サー。 1.6 .​ J. Hoüel 訳: 251–288 . 1869. doi : 10.24033/asens.60。EuDML 80724。 ジョン・スティルウェルによって「非ユークリッド幾何学の解釈に関するエッセイ」として英訳され、Stillwell 1996、pp. 7–34に掲載されている。

2. ボナホン、フランシス (2009).低次元幾何学：ユークリッド面から双曲結び目まで. AMS書店. p. 108. ISBN 978-0-8218-4816-6。第5章、108ページ
3. スティルウェル、ジョン (2010). 『数学とその歴史』（改訂第3版）. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8。、345ページの抜粋
4. Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (第2版). Courier Dover Publications. p. 154. ISBN 0-486-49579-5。第40章、154ページ
5. Weisstein, Eric W.「擬似球」。MathWorld 。
6. ロバーツ、シボーン（2024年1月15日）「クロシェットサンゴ礁は双曲線的に産卵を続ける」ニューヨーク・タイムズ。
7. サーストン、ウィリアム、「三次元幾何学と位相幾何学」第1巻、プリンストン大学出版局、62ページ。
8. Hasanov, Elman (2004), "A new theory of complex rays" , IMA J. Appl. Math. , 69 (6): 521– 537, doi : 10.1093/imamat/69.6.521 , hdl : 11729/142 , ISSN 1464-3634 , 2013年4月15日時点のオリジナルよりアーカイブ 
9. Wheeler, Nicholas. 「擬球からサイン・ゴードン方程式へ」(PDF) . 2022年11月24日閲覧。

さらに読む

• スティルウェル、ジョン（1996）『双曲幾何学の源泉』アメリカ数学会・ロンドン数学会刊。ISBN 0-8218-0529-0。
• ヘンダーソン, DW;タイミナ, D. (2006). 「幾何学を体験する：ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の歴史」『美学と数学』（PDF） . シュプリンガー・フェアラーク.
• カスナー、エドワード、ニューマン、ジェームズ（1940年）『数学と想像力』サイモン＆シュスター社、140、145、155頁。
• Rogers, C.; Schief, Wolfgang K. 編 (2002). Bäcklund and Darboux transformations: Geometry and modern applications in soliton theory . Cambridge texts in applied math. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01288-1。

外部リンク

• 非ユークリッド
• 双曲面のかぎ針編み：デイビッド・ヘンダーソンとダイナ・タイミナへのインタビュー
• 仮想数学博物館の擬似球面。