線型写像空間上の位相

数学、特に関数解析においては、二つのベクトル空間間の線型写像の空間は様々な位相を持つことができます。線型写像の空間とこれらの位相を研究することで、空間そのものへの洞察が得られます。

記事「演算子位相」ではノルム空間間の線型写像の空間上の位相について説明していますが、この記事では位相ベクトル空間(TVS)のより一般的な設定におけるそのような空間上の位相について説明しています。

任意の写像空間上の一様収束位相

全体を通じて、次のことが前提となります。

1. ${\displaystyle T}$ は任意の空でない集合であり、は部分集合包含によって有向されるの部分集合の空でないコレクションです（つまり、任意の に対して となるような が存在する）。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$
2. ${\displaystyle Y}$ 位相ベクトル空間です（必ずしもハウスドルフまたは局所凸である必要はありません）。
3. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ 0の近傍の基数である${\displaystyle Y.}$
4. ${\displaystyle F}$ ^{は[注1 ]}のベクトル部分空間であり、定義域を持つすべての-値関数の集合を表す。${\displaystyle Y^{T}=\prod _{t\in T}Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:T\to Y}$ ${\displaystyle T.}$

𝒢-トポロジー

以下の集合は線型写像の空間上の位相の基本開部分集合を構成する。任意の部分集合と に対して${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

この族は 、原点において、唯一の並進不変位相の近傍基底^{[ 1 ]} を形成するが、この位相は必ずしもベクトル位相ではない（つまり、TVS にならない可能性がある）。この位相は選択された近傍基底に依存せず、内の集合上の一様収束位相、または-位相として知られる。^{[ 2 ]} しかし、この名称は を構成する集合の種類に応じて頻繁に変更される（例えば、「コンパクト集合上の一様収束位相」または「コンパクト収束位相」など。詳細は脚注を参照^{[ 3 ]}）。 $${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

のサブセットがに関して基本的であるとは、各 が の何らかの元のサブセットである場合に言われる。 この場合、コレクションは^{[ 2 ]}上の位相を変えることなくに置き換えることができる。また、 ^{[ 4 ]}上の結果として得られる -位相を変えることなく、の元のすべての有限和のすべてのサブセットのコレクションに 置き換えることもできる。${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F.}$

が任意の^{[ 5 ]}に対して有界部分集合であるとき、の部分集合を-有界と呼ぶ。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in F.}$

定理^{[ 2 ] [ 5 ]} —上の位相は、すべてのが有界である場合に限り、のベクトル空間構造と両立する。すなわち、すべてのに対して、すべてのが有界である場合に限り、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

プロパティ

基本的な開集合の性質についてここで説明するので、 と を仮定する。すると はの吸収部分集合であり、すべての に対して がを吸収する場合に限る。^{[ 6 ]}が釣り合っている 場合^{[ 6 ]}（それぞれ凸）であれば も となる。${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

等式は 常に成り立つ。がスカラーならば、特に^{[ 6 ]}となる。 さらに^{[ 4 ]} 、同様に^{[ 5 ]となる。}${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$ ${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

任意の部分集合と任意の空でない部分集合^{[ 5 ]}に対して、 次のことが成り立ちます。 ${\displaystyle G,H\subseteq X}$ ${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$

• もしそうなら^{[ 6 ]}${\displaystyle M\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• もしそうなら${\displaystyle G\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• 任意のおよびのサブセットの場合、${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G,H,K}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

の任意の部分集合族と^{[ 4 ]}の原点の任意の近傍族に対して${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Y,}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

均一な構造

任意の および を の任意の環境とすると（は標準一様性を備えている）、 の環境の基本システム上の値域としてすべての集合の族が 与えられれば、 上の一様構造 に対する環境の基本システムが形成され、これは一様 の一様性 が に収束する、または単に-収束一様構造と呼ばれる。^{[ 7 ]} - 収束一様構造は、が 上の値域としてすべての -収束一様構造の最小の上界である。^{[ 7 ]}${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$ ${\displaystyle G\subseteq T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

ネットと一様収束

を とし、を のネットとすると、 の任意の部分集合に対して、 が に一様収束する場合、任意の に対して が存在し、任意の に対して が満たされる（または同等に、任意の に対して が満たされる）と仮定します。^{[ 5 ]}${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},I}$ ${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

定理^{[ 5 ]} —がネットであり、が上の位相において、任意のに対してが上に一様収束する場合、かつその場合に限って、${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }\to f}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$

継承されたプロパティ

局所的な凸状性

が局所凸ならば、上の -位相も であり、 が上でこの位相を生成する連続半ノルムの族であれば、 上の位相は次の半ノルムの族によって誘導される。 が上で変化し、上で変化する。^{[ 8 ]}${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ $${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

ハウスドルフネス

がハウスドルフならば、上の位相もハウスドルフである。^{[ 5 ]}${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

が位相空間であると仮定する。がハウスドルフであり、が任意の で有界となる連続写像全体からなるのベクトル部分空間であり、がで稠密である場合、上の -位相はハウスドルフである。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

境界性

の部分集合が-位相で有界であることと、任意の に対してが^{[ 8 ]}で有界であることは同値である。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

𝒢-トポロジーの例

点ごとの収束

を の有限部分集合全体の成す集合とすると、上の -位相は点収束の位相と呼ばれる。 上の点収束の位相は、が通常の積位相を帯びているときに から継承される部分空間位相と同一である。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle Y^{T}}$

が非自明な完全正則ハウスドルフ位相空間であり、が上の点収束位相上のすべての実数値（または複素数値）連続関数の成す空間である場合、が計量化可能であることと、が可算であることは同値である。^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

連続線型写像の空間上の𝒢位相

このセクション全体を通して、と は位相ベクトル空間であると仮定します。 は、包含によって 方向付けられたのサブセットの空でないコレクションです。 は、 からへのすべての連続線型写像のベクトル空間を表します。に、 から継承された -位相が与えられている場合、この位相を持つこの空間は と表されます。体(実数または複素数であると仮定します) 上の位相ベクトル空間の連続双対空間はベクトル空間であり、 と表されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle L(X;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

上の -位相は、すべての に対して が有界であることと、すべてのに対して が有界であることに限り、のベクトル空間構造と両立する。本稿の残りの部分では、この仮定が成り立つものとする。特に、 が の（フォン・ノイマン）有界部分集合からなる場合、この仮定が成り立つことに注意されたい。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

𝒢に関する仮定

ベクトル位相を保証する仮定

• （有向）は、 （部分集合）包含によって有向化されたの部分集合の空でない集合となる。つまり、任意の に対して、なる集合が存在する。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

上記の仮定は、集合の集合がフィルタ基底を形成することを保証します。次の仮定は、集合が均衡していることを保証します。すべてのTVSは0において均衡のとれた集合からなる近傍基底を持つため、この仮定は煩わしいものではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$

• (バランスが取れている):完全にバランスの取れたセットで構成される、原点の近傍基準です。${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Y}$

以下の仮定は、各セットが吸収されることを保証するため、非常によく行われます。${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

• （有界）:は、完全に有界な部分集合から構成されると仮定される。${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

次の定理は、結果として得られる-位相を変えずに を修正する方法を与える。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

定理^{[ 6 ]} —を の有界部分集合の空でない集合とする。をの（これも有界な）部分集合の以下のいずれかの集合で置き換えても、の -位相は変化しない。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

1. 内のすべての有限集合のすべての部分集合。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. 内のすべてのセットのすべてのスカラー倍数。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. 内の集合のすべての有限ミンコフスキー和。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. すべてのセットのバランスの取れた船体。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. のすべてのセットの閉鎖;${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

そして、が局所的に凸である場合、このリストに以下を追加することができます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. 全ての集合の閉じた凸包${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

一般的な仮定

一部の著者（例：Narici）は、 が次の条件を満たすことを要求します。これは、特に、 がサブセットの包含によって指示されることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ は、 内の集合の有限和の部分集合の形成に関して閉じていると仮定されます（つまり、 内の集合のすべての有限和のすべての部分集合は に属します）。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

一部の著者（例えばTrèves ^{[ 9 ]}）は、サブセット包含の下で導かれ、次の条件を満たすことを要求しています。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

とがスカラーならば、${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

がしばしば成り立つような成因論である場合、これらの公理は満たされます。が の有界部分集合の飽和族である場合も、これらの公理は満たされます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

プロパティ

ハウスドルフネス

線型範囲が の稠密部分集合であるようなTVSの部分集合は の全部分集合であるという。がTVSの部分集合族である 場合、の線型範囲が において稠密であるとき、 はにおいて全部分集合であるという。 ^{[ 10 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T.}$

が任意の上で有界となる連続線型写像全体からなるのベクトル部分空間であるとき、上の -位相はハウスドルフであり、がハウスドルフであり、^{[ 6 ]}上で全位相であるとき、ハウスドルフである。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T.}$

完全

以下の定理について、 が位相ベクトル空間であり、が局所凸ハウスドルフ空間であり、 が の有界部分集合の集合であり、 が部分集合包含によって有向に覆われ、次の条件を満たすとする：がスカラーならば、 が存在し、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ 完了する場合は
  1. ${\displaystyle X}$ は局所的に凸であり、ハウスドルフ、
  2. ${\displaystyle Y}$ 完了し、
  3. が線型写像であるときは、すべての集合が連続であるということに制限されれば、連続であることを意味する。${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle u}$
• がMackey 空間である場合、 と が両方とも完全である場合に限り、 は完全です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$
• がバレル型の場合、はハウスドルフ型かつ準完全型です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• とを準完備なTVSとし、(1)が樽型であるか、そうでなければ(2)がベール空間であり、とが局所凸であると仮定する。が被覆する場合、の任意の閉同連続部分集合は において完備であり、は準完備である。^{[ 11 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• をボルノロジー空間、局所凸空間、およびの有界部分集合の族とし、 のすべてのヌルシーケンスの値域が何らかの に含まれるものとする。が準完全（それぞれ、完全）であれば、 も準完全である。^{[ 12 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

境界性

を位相ベクトル空間とし、をの部分集合とする。 このとき、以下のものは同値である。^{[ 8 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

1. ${\displaystyle H}$ は で囲まれます。${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
2. あらゆるは境界で囲まれる。^{[ 8 ]}${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y}$
3. 集合内の原点の近傍はすべてを吸収する${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

が の有界部分集合の集合であり、その和がにおいて全であるとき、のすべての同値連続部分集合は -位相において有界である。^{[ 11 ]} さらに、と が局所凸ハウスドルフ空間であるとき、 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• が有界である（つまり、点ごとに有界であるか、単純に有界である）場合、それは^{[ 13 ]}の凸、バランス、有界、完全部分集合上の一様収束の位相において有界である。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$
• が準完全（つまり閉部分集合と有界部分集合が完全である）である場合、 の有界部分集合はすべての-位相に対して同一であり、は の有界部分集合の任意の族を覆う^{[ 13 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

例

${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)}$ （「...上の一様収束の位相」）	表記	名前 ("...のトポロジ")	別名
の有限部分集合${\displaystyle X}$	${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$	点収束/単純収束	単純収束の位相
のプレコンパクト部分集合${\displaystyle X}$		プレコンパクト収束
コンパクト凸集合${\displaystyle X}$	${\displaystyle L_{\gamma }(X;Y)}$	コンパクトな凸収束
コンパクトサブセット${\displaystyle X}$	${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$	コンパクト収束
の境界付き部分集合${\displaystyle X}$	${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$	有界収束	強いトポロジー

点収束の位相

を の有限部分集合全体の成す集合とすると、は 上の弱位相、つまり点収束の位相、あるいは単純収束の位相を持ち、この位相は と表記される。残念ながら、この位相は強作用素位相とも呼ばれ、曖昧さが生じる可能性がある。^{[ 6 ]}このため、本稿ではこの位相をこの名前で呼ぶことは避ける。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

のサブセットは、で有界である場合、単純有界または弱有界であると呼ばれます。 ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

の弱トポロジには次の特性があります。 ${\displaystyle L(X;Y)}$

• が可分（つまり可算な稠密部分集合を持つ）であり、が計量化可能な位相ベクトル空間であるならば、のすべての同値連続部分集合は計量化可能である。さらに が可分ならば も^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H.}$
  • したがって、特に、点ごとの収束の位相のあらゆる等連続部分集合上では、計量化が可能です。${\displaystyle L(X;Y),}$
• を から へのすべての関数の空間とします。が点ごとの収束の位相を与えられている場合、へのすべての線型写像（連続または非連続）の空間は で閉じています。 ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$
  • さらに、すべての線形写像（連続または非連続）の空間に稠密である。${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
• とが局所凸であるとする。 の任意の単有界部分集合は、の凸、バランス、有界、完全部分集合上の一様収束の位相を持つとき有界である。さらに が準完全ならば、 の有界部分集合の族は上のすべての -位相に対して同一であり、は^{[ 13 ]}を覆う有界集合の族である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

等連続部分集合

• の等連続部分集合の弱閉包は等連続である。${\displaystyle L(X;Y)}$
• が局所的に凸である場合、 の等連続部分集合の凸均衡包は等連続です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• とをTVSとし、(1)が樽型空間であるか、あるいは(2)がベール空間であり、とが局所凸であると仮定する。このとき、 の任意の単有界部分集合は等連続である。^{[ 11 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• の等連続部分集合上では、以下の位相は同一である: (1) の全部分集合上の点収束の位相、(2) 点収束の位相、(3) プレコンパクト収束の位相。^{[ 11 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y),}$ ${\displaystyle X}$

コンパクト収束

を のすべてのコンパクト部分集合の集合とすると、 はコンパクト収束の位相、つまりコンパクト集合上の一様収束の位相を持ち、この位相は と表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$

コンパクト収束の位相には次の特性がある。 ${\displaystyle L(X;Y)}$

• がフレシェ空間またはLF 空間であり、が完全な局所凸ハウスドルフ空間である場合、は完全です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$
• 等連続な部分集合上では、次の位相が一致します。 ${\displaystyle L(X;Y),}$
  • 稠密な部分集合上の点収束の位相${\displaystyle X,}$
  • 点収束の位相${\displaystyle X,}$
  • コンパクト収束のトポロジー。
  • プレコンパクト収束のトポロジー。
• がモンテル空間であり、が位相ベクトル空間である場合、と は同一の位相を持ちます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

有界収束の位相

を のすべての有界部分集合の集合とすると、は 上の有界収束の位相、または上の一様収束の位相を持ち、この位相は で表される。^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

上の有界収束のトポロジには、次の特性があります。 ${\displaystyle L(X;Y)}$

• がボルノロジー空間であり、が完全な局所凸ハウスドルフ空間である場合、は完全です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• と が両方ともノルム空間である場合、通常の演算子ノルムによって誘導される 上の位相は上の位相と同一である。^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • 特に、 がノルム空間である場合、連続双対空間上の通常のノルム位相は上の有界収束の位相と同一である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• のすべての等連続部分集合は で有界です。${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

極性トポロジー

全体を通じて、それはTVS であると想定します。 ${\displaystyle X}$

𝒢-トポロジと極性トポロジ

がTVSであり、その有界部分集合がその弱有界部分集合と完全に一致する場合（例えば、がハウスドルフ局所凸空間である場合）、（本稿で定義される）上の -位相は極位相であり、逆に、任意の極位相は-位相である。したがって、この場合、本稿で述べた結果は極位相にも適用できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

しかし、が TVS であり、その有界部分集合が弱有界部分集合と完全に一致しない場合、「 で有界」という概念は「で -有界」という概念よりも強い（つまり、 で有界であればで -有界であることを意味する）ため、上の -位相（この記事で定義されているように）は必ずしも極位相ではない。重要な違いの一つは、極位相は常に局所凸であるのに対し、-位相は必ずしもそうではないということである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

極位相は、この記事で説明するより一般的な一様収束位相よりも強力な結果をもたらします。そのため、メインの記事「極位相」を参照してください。ここでは、最も一般的な極位相をいくつか挙げます。

極性トポロジーのリスト

が、その有界部分集合がその弱有界部分集合と同じである TVS である と仮定します。${\displaystyle X}$

表記: が 上の極位相を表す場合、この位相に恵まれた はまたは単にで表されます(例: の場合、 となるので、 およびすべて はに恵まれた を表します)。 ${\displaystyle \Delta (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

> （「...上の一様収束の位相」） ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)}$	表記	名前 ("...のトポロジ")	別名
の有限部分集合${\displaystyle X}$	${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle s(Y,X)}$	点収束/単純収束	弱い/弱い*トポロジー
${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ -コンパクトディスク	${\displaystyle \tau (Y,X)}$		マッキー位相幾何学
${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ -コンパクト凸集合	${\displaystyle \gamma (Y,X)}$	コンパクトな凸収束
${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ -コンパクト部分集合（またはバランスのとれた-コンパクト部分集合） ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$	${\displaystyle c(Y,X)}$	コンパクト収束
${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ -境界付き部分集合	${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$	有界収束	強いトポロジー

双線型写像空間上の𝒢-ℋ位相

を別々に連続な双線型写像の空間とし、を連続な双線型写像の空間とします。ここで、と は同じ体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間です。 に位相を置いたのと同様に、と にも位相を置くことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$

(それぞれ、 )を、少なくとも1つの空でない集合を含む(それぞれ、 )の部分集合の族とします。 を -位相上に、したがってその任意の部分集合、特におよび 上に 配置できるすべての集合の集合とします。この位相は-位相、またはの積上の一様収束位相として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle Z^{X\times Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$

しかし、前述と同様に、この位相は、すべての双線形写像に対して、この空間（つまり、または）で、すべての および に対して、集合が で有界であるという追加要件がなければ、または のベクトル空間構造と必ずしも互換性があるわけではありません。 と の両方が有界集合で構成されている場合、位相化するとこの要件は自動的に満たされますが、 を位相化しようとすると、そうならない可能性があります。の -位相は、と の両方が有界集合で構成され、以下のいずれかの条件が満たされる場合、 のベクトル空間構造と互換性があります。${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle b(G,H)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• ${\displaystyle X}$ およびは樽型空間であり、局所的に凸です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$ はF空間であり、計量化可能であり、ハウスドルフである。この場合、${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)=B(X,Y;Z).}$
• ${\displaystyle X,Y,}$ は反射的フレシェ空間の強い双対である。${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$ はノルム化されており、反射的フレシェ空間の強い双対です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

ε-トポロジー

とが局所凸空間であり、 と がそれぞれとの等連続部分集合の成す集合であるとする。このとき、上の -位相は位相ベクトル空間位相となる。この位相は ε-位相と呼ばれ、この位相ではまたは単に と表記される。${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

このベクトル空間と位相の重要性の一つは、それが多くの部分空間を含んでいることである。例えば、この部分空間は次のように表される 。この部分空間が与えられたとき、その部分空間位相は次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

がこれらのベクトル空間の体である場合、はとテンソル積である 。実際、とが局所凸ハウスドルフ空間である場合、はベクトル空間同型であり、これは次と等しい。${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$ ${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

これらのスペースには次の特性があります。

• と が局所凸ハウスドルフ空間である場合、は完全であり、かつ と が両方とも完全である場合に限ります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• とが両方ともノルムされている場合（それぞれ両方ともバナッハ）、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

参照

• ボルノロジー空間 – 有界作用素が連続する空間
• 有界線形演算子 – 線形変換の一種Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 双対システム – ベクトル空間の双対
• デュアルトポロジ
• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧
• 収束のモード – シーケンスまたはシリーズの性質
• 演算子ノルム – 線形演算子の「大きさ」の尺度
• 極位相 – 有界部分集合のある部分集合上の一様収束の双対空間位相
• 強双対空間 – 有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間
• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 一様収束 – 関数列の収束モード
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間
• 弱位相 – 数学用語
  • 曖昧な位相

参考文献

1. は単なる集合であり、ベクトル空間構造が備わっているとは想定されていないため線形写像で構成されるとは想定されておらず、これは現在定義できない表記法です。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\subseteq Y^{T}}$

1. この位相では各集合は原点の近傍ですが、必ずしも原点の開いた近傍であるとは限らないことに注意してください。${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、79–88頁。
3. 実際には、は通常、特定の性質を持つ集合の集合から成り、この名前はこの集合を反映するように適切に変更される。例えば、 がのコンパクト部分集合の集合であり（そして が位相空間である）、この位相は のコンパクト部分集合上の一様収束の位相と呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
4. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、19–45 ページ。
5. ジャーコウ 1981年、43–55頁。
6. Narici & Beckenstein 2011、pp. 371–423。
7. グロタンディーク 1973、pp. 1–13。
8. シェーファー＆ウォルフ 1999、81ページ。
9. Trèves 2006、第32章。
10. シェーファー＆ウォルフ 1999、80ページ。
11. シェーファー＆ウォルフ 1999、83ページ。
12. シェーファー＆ウォルフ 1999、117ページ。
13. シェーファー＆ウォルフ 1999、82ページ。
14. シェーファー＆ウォルフ 1999、87ページ。

参考文献

• グロタンディーク、アレクサンダー(1973). 『位相ベクトル空間』 . チャルジュブ、オーランド訳. ニューヨーク: ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• ホグベ＝ンレンド、アンリ(1977).ボルノロジーと関数解析：双対性位相幾何学理論入門コース-ボルノロジーと関数解析におけるその応用. ノースホランド数学研究. 第26巻. アムステルダム, ニューヨーク, ノースホランド. ISBN 978-0-08-087137-0. MR  0500064 . OCLC  316549583 .
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .