タナカ・クライン双対性

数学において、タナカ・クライン双対性理論は、コンパクト位相群とその線型表現のカテゴリとの相互作用に関する理論である。これは、コンパクトかつ離散的な可換位相群の間のポンチャギン双対性を、コンパクトだが非可換な群に自然に拡張したものである。この理論は、タナカ忠夫とマーク・グリゴリエヴィチ・クラインにちなんで名付けられている。レフ・ポンチャギンが考察した可換群の場合とは対照的に、非可換コンパクト群の双対という概念は群ではなく、Gの有限次元表現によって形成される、なんらかの追加構造を持つ表現Π( G )のカテゴリである。

タナカとクラインの双対性定理は、カテゴリ Π( G ) からグループGへの逆の経路を記述し、グループをその表現のカテゴリから復元することを可能にします。さらに、それらは事実上、このようにグループから発生する可能性のあるすべてのカテゴリを完全に特徴付けます。アレクサンダー・グロタンディークは後に、同様のプロセスでタナカ双対性をタンナキアン形式論を介して代数群の場合に拡張できることを示しました。その間、タナカとクラインの元の理論は数理物理学者によって発展と改良が続けられました。タナカ-クライン理論の一般化は、量子群の表現を研究するための自然なフレームワークを提供し、現在、量子超群、量子群およびそれらの双対ホップ代数に拡張されています。

タナカ・クライン双対性の考え方：群の表現のカテゴリー

局所コンパクト可換群のポンチャギン双対性理論では、群Gの双対対象はその 1 次元ユニタリ表現からなる指標群 である。群Gが非可換であるとすると、指標群の最も直接的な類似物は、Gの既約ユニタリ表現の同値類の集合である。指標の積の類似物は、表現 のテンソル積である。しかし、既約表現のテンソル積は必ずしも既約ではないため、一般にGの既約表現は群どころかモノイドさえも形成できない。すべての有限次元表現の集合を考察し、それをモノイドカテゴリとして扱う必要があることが判明している。この場合、積は表現の通常のテンソル積であり、双対対象は反意表現の演算によって与えられる。 ${\displaystyle {\hat {G}},}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

カテゴリの表現は、恒等関数からそれ自身へのモノイド的な自然変換である。言い換えれば、これはTの空間の任意の自己準同型に関連し、テンソル積、および任意の絡み合い演算子、すなわち、との両立条件を満たす非ゼロ関数である。カテゴリのすべての表現の集合は、乗法と位相を持つことができ、その収束は点ごとに定義される。すなわち、列が何らかの に収束する場合、かつその場合のみ、すべてのに対して に収束する。したがって、集合はコンパクト（位相的）群になることが示される。 ${\displaystyle \Pi (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\Pi (G)}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$ ${\displaystyle \varphi (T\otimes U)=\varphi (T)\otimes \varphi (U)}$ ${\displaystyle f\colon T\to U}$ ${\displaystyle f\circ \varphi (T)=\varphi (U)\circ f}$ ${\displaystyle \Gamma (\Pi(G))}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$ ${\displaystyle \varphi \psi (T)=\varphi (T)\psi (T)}$ ${\displaystyle \{\varphi _{a}\}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{a}(T)\}}$ ${\displaystyle \varphi (T)}$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)}$ ${\displaystyle \Gamma (\Pi(G))}$

タナカとクレイン定理

タナカの定理は、コンパクト群Gをその表現カテゴリΠ( G )から再構築する方法を提供します。

G をコンパクト群とし、F : Π( G ) → Vect _CをGの有限次元複素表現から複素有限次元ベクトル空間への忘却関手とします。自然変換τ: F → Fに位相を与えるには、 （におけるその成分への自然変換をとる）によって与えられる各射影 End( F ) → End( V ) が連続関数となるような、可能な限り粗い位相を設定します。自然変換がテンソル保存的であるとは、それがGの自明な表現上の恒等写像であり、 という意味でテンソル積を保存する場合です。また、 τが自己共役的であるとは、 （バーは複素共役を表す）の場合です。すると、 Fのすべてのテンソル保存的自己共役自然変換の集合は End( F )の閉部分集合となり、 G が（コンパクト）群である場合はいつでも、それは実際には（コンパクト）群となります。Gの任意の元x は、各表現に対してx を乗算することで、テンソルを保存する自己共役自然変換を生じるため、写像 が得られる。そして、田中の定理によれば、この写像は同型写像となる。 ${\displaystyle \tau \mapsto \tau _{V}}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau_{V}}$ ${\displaystyle V\in \Pi (G)}$ ${\displaystyle \tau _{V\otimes W}=\tau _{V}\otimes \tau _{W}}$ ${\displaystyle {\overline {\tau}}=\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ ${\displaystyle G\to {\mathcal {T}}(G)}$

クラインの定理は、コンパクト グループに対する双対オブジェクトとしてどのようなカテゴリが出現できるかという質問に答えます。

Π を有限次元ベクトル空間の圏とし、テンソル積と対合の演算を与えるものとする。Π がコンパクト群Gの双対対象となるためには、以下の条件が必要かつ十分である。

1. Π のすべてのオブジェクトAに対して(同型性を除いて必ず一意となる)という特性を持つオブジェクトが存在する。${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\otimes A\approx A}$

2. Π のすべてのオブジェクトA は、最小のオブジェクトの和に分解できます。

3. AとBが2つの極小オブジェクトである場合、準同型空間HomΠ ₍ A 、 B )は1次元（同型の場合）またはゼロになります。

これらの条件がすべて満たされている場合、カテゴリΠ = Π( G ) となります。ここで、Gは Π の表現のグループです。

一般化

タナカ・クラインの双対性理論への関心は、1980年代にドリンフェルドとジンボの研究で量子群が発見されたことで再び高まった。量子群の研究に対する主なアプローチの1つは、その有限次元表現を経由するものであり、これは対称モノイドカテゴリΠ( G ) に類似したカテゴリだが、より一般的なタイプである編み込みモノイドカテゴリを形成する。この場合にもタナカ・クライン型の優れた双対性理論が存在し、量子群とその表現の両方を研究できる自然な設定を提供することで、量子群の理論で重要な役割を果たすことが判明した。その後まもなく、編み込みモノイドカテゴリのさまざまな例が有理共形場理論で見つかった。タナカ・クラインの哲学では、共形場理論から生じる編み込みモノイドカテゴリは量子群からも得られると示唆されており、一連の論文でカジダンとルスティグはそれが確かにそうであることを証明した。一方、特定の量子群から生じる編み込みモノイドカテゴリは、レシェティキンとトゥラエフによって結び目の新しい不変量の構築に応用されました。

ドプリチャー・ロバーツの定理

ドプリッヒャー・ロバーツ定理（セルジオ・ドプリッヒャーとジョン・E・ロバーツによる）は、Rep( G )を圏論の観点から、ヒルベルト空間の圏の一種のサブカテゴリとして特徴付ける。^{[ 1 ]}ヒルベルト空間上のコンパクト群ユニタリ表現のそのようなサブカテゴリは以下の通りである。

1. 共役を持つ厳密な対称モノイドC*-圏
2. 部分オブジェクトと直和を持つサブカテゴリ。モノイド単位の自己準同型の C*-代数はスカラーのみを含む。

参照

• ゲルファンド・ナイマルク定理

注記

1. Doplicher, S.; Roberts, J. (1989). 「コンパクト群のための新しい双対性理論」. Inventiones Mathematicae . 98 (1): 157– 218. Bibcode : 1989InMat..98..157D . doi : 10.1007/BF01388849 .

外部リンク

• Durkdević, Mićok (1996年12月). 「量子主束とTannaka-Krein双対性理論」.数理物理学報告. 38 (3): 313– 324. arXiv : q-alg/9507018 . Bibcode : 1996RpMP...38..313K . CiteSeerX  10.1.1.269.3027 . doi : 10.1016/S0034-4877(97)84884-7 .
• Van Daele, Alfons (2000). 「不変積分を持つ量子群」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 97 ( 2): 541–6 . Bibcode : 2000PNAS...97..541V . doi : 10.1073/pnas.97.2.541 . JSTOR  121658. PMC  33963. PMID 10639115 . 
• Joyal, A.; Street, R. (1991)、「Tannaka双対性と量子群入門」(PDF)、カテゴリー理論、数学講義ノート、第1488巻、Springer、doi : 10.1007/BFb0084235、ISBN 978-3-540-46435-8