エリア

エリア
この正方形とこの円盤の面積は同じです。
一般的な記号	AまたはS
SI単位	平方メートル[m ^2 ]
SI基本単位では	1 ^平方メートル
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{2}}$

面積は、表面上の領域の大きさを測る尺度である。平面領域の面積または平面領域は、図形または平面の層の面積を指し、表面積は、開いた表面または3次元物体の境界の面積を指す。面積は、図形の模型を作るのに必要な一定の厚さの材料の量、または表面を一度の塗装で覆うのに必要な塗料の量として理解することができる。 ^{[ 1 ]}これは、曲線の長さ（1次元の概念）または立体の体積（3次元の概念）の2次元版である。2つの異なる領域が同じ面積を持つ場合がある（円を正方形にする場合など）。提喩によって、「面積」は「多角形の面積」のように、領域を指すために使用される場合がある。

図形の面積は、その図形を一定の大きさの正方形と比較することで測定できます。 ^{[ 2 ]}国際単位系（SI）では、面積の標準単位は平方メートル（m ²と表記）で、これは1辺が1メートルの正方形の面積です。^{[ 3 ]} 面積が3平方メートルの図形は、そのような正方形を3つ並べた面積と同じになります。数学では、単位正方形の面積は1と定義されており、その他の図形や面の面積は無次元の実数です。

三角形、長方形、円といった単純な図形の面積を求める公式はいくつか知られています。これらの公式を用いれば、多角形を三角形に分割することで、任意の多角形の面積を求めることができます。^{[ 4 ]} 曲線の境界を持つ図形の場合、面積を計算するには通常、微積分が必要です。全体として、平面図形の面積を求める問題は、微積分の歴史的発展の大きな動機でした。^{[ 5 ]}

球、円錐、円柱などの立体の場合、その境界面の面積は表面積と呼ばれます。^{[ 1 ] [ 6 ] [ 7 ]}単純な形状の表面積の公式は古代ギリシャ人によって計算されましたが、より複雑な形状の表面積を計算するには通常、多変数微積分が必要です。

面積は現代数学において重要な役割を果たしている。幾何学や微積分学における明らかな重要性に加え、面積は線型代数における行列式の定義と関連しており、微分幾何学における曲面の基本的な性質でもある。^{[ 8 ]}解析学においては、平面の部分集合の面積はルベーグ測度を用いて定義されるが、^{[ 9 ]}選択公理を仮定すると、すべての部分集合が測定可能であるとは限らない。^{[ 10 ]} 一般に、高等数学における面積は、2次元領域の体積の特殊なケースとみなされている。^{[ 1 ]}

面積は公理を用いて定義することができ、特定の平面図形の集合と実数の集合の関数として定義されます。そのような関数が存在することは証明できます。

正式な定義

「面積」の意味を定義する一つの方法は、公理を用いて定義することです。「面積」は、特殊な種類の平面図形（測定可能な集合と呼ばれる）の集合Mから実数集合への関数として定義することができ、以下の性質を満たします。^{[ 11 ]}

• MのすべてのSについて、a ( S ) ≥ 0。
• SとT がMに含まれる場合、S ∪ TとS ∩ Tも M に含まれ、a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T )も適用されます。
• SとTがMに含まれ、S ⊆ Tである場合、T − SはMに含まれ、a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S )です。
• 集合SがMに含まれ、S がTと合同である場合、TもMに含まれ、a ( S ) = a ( T )です。
• 任意の長方形RはMに含まれます。長方形の長さがhで幅がkの場合、a ( R ) = hk となります。
• Q を2つのステップ領域SとTに囲まれた集合とする。ステップ領域は、共通の底辺上にある隣接する長方形の有限和集合、すなわちS ⊆ Q ⊆ Tから構成される。そのようなステップ領域SとTのすべてにおいて、 a ( S ) ≤ c ≤ a ( T )を満たすような唯一の数cが存在するならば、a ( Q ) = cである。

このような面積関数が実際に存在することは証明できる。^{[ 12 ]}

ユニット

PVCパイプで作られた1平方メートルの正方形

長さの単位にはそれぞれ対応する面積の単位があり、それは与えられた辺の長さを持つ正方形の面積です。したがって、面積は平方メートル（m ²）、平方センチメートル（cm ²）、平方ミリメートル（mm ²）、平方キロメートル（km ²）、平方フィート（ft ²）、平方ヤード（yd ²）、平方マイル（mi ²）などで測定できます。^{[ 13 ]}代数的には、これらの単位は対応する長さの単位の 平方 と考えることができます。

面積のSI単位は平方メートルであり、これはSI派生単位とみなされる。^{[ 3 ]}

コンバージョン

1 cm には 10 mm ありますが、1 cm ^{2には 100 mm 2}あります。

長さと幅が 1 メートルの正方形の面積の計算は次のようになります。

1メートル×1メートル＝1平方^メートル

したがって、異なる辺を持つ長方形（長さ 3 メートル、幅 2 メートルなど）の面積は、平方単位で次のように計算できます。

3メートル × 2メートル = 6平方メートル^。これは600万平方ミリメートルに相当します。その他の便利な変換は以下の通りです。

• 1平方キロメートル = 1,000,000平方メートル
• 1平方メートル = 10,000平方センチメートル = 1,000,000平方ミリメートル
• 1平方センチメートル = 100平方ミリメートル。

非メートル法単位

メートル法以外の単位では、2 つの平方単位間の変換は、対応する長さの単位間の変換の 平方になります。

1フィート= 12インチ、

平方フィートと平方インチの関係は

1平方フィート = 144平方インチ

ここで144 = 12 ² = 12 × 12です。同様に:

• 1平方ヤード = 9平方フィート
• 1平方マイル = 3,097,600平方ヤード = 27,878,400平方フィート

さらに、変換係数には次のものが含まれます。

• 1平方インチ = 6.4516平方センチメートル
• 1平方フィート = 0.092 903 04平方メートル
• 1平方ヤード = 0.836 127 36平方メートル
• 1平方マイル = 2.589 988 110 336平方キロメートル

歴史を含むその他のユニット

面積には他にも一般的な単位がいくつかあります。メートル法における面積の元々の単位はアールで、 以下の通りです。

• 1アール＝100平方メートル

アールは使われなくなったが、ヘクタールは今でも土地の測定によく使われている。^{[ 13 ]}

• 1ヘクタール = 100アール = 10,000平方メートル = 0.01平方キロメートル

その他のあまり一般的ではない面積のメートル法の単位には、テトラッド、ヘクタッド、ミリアドなどがあります。

エーカーは土地の面積を測るのにもよく使われます。

• 1エーカー = 4,840平方ヤード = 43,560平方フィート。

1エーカーは1ヘクタールの約40%です。

原子スケールでは、面積はバーンという単位で測定されます。^{[ 13 ]}

• 納屋1棟 = 10 ⁻²⁸平方メートル。

バーンは原子核物理学における相互作用の断面積を説明する際によく使われる。^{[ 13 ]}

南アジア（主にインド）では、各国がSI単位系を公式に使用しているものの、多くの南アジア人は依然として伝統的な単位を使用しています。各行政区分には独自の面積単位があり、中には名称は同じでも値が異なるものもあります。伝統的な単位の値については公式の合意が得られていません。そのため、SI単位系と伝統的な単位系間の変換は、使用している基準によって結果が異なる場合があります。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

固定値を持つ南アジアの伝統的な単位には次のようなものがあります。

• 1キラ = 1エーカー
• 1グマオン = 1エーカー
• 1 カナル = 0.125 エーカー (1 エーカー = 8 カナル)
• 1小数点 = 48.4平方ヤード
• 1チャタク = 180平方フィート

歴史

円領域

紀元前5世紀、キオスのヒポクラテスは、ヒポクラテスの月求積法の一部として、円板（円で囲まれた領域）の面積はその直径の2乗に比例することを初めて示したが^{[ 18 ]}、比例定数は特定しなかった。同じく紀元前5世紀のクニドスのエウドクソスも、円板の面積はその半径の2乗に比例することを発見した^{[ 19 ] 。}

その後、ユークリッドの『原論』第 1 巻では、2 次元図形の面積が等しいことについて取り上げています。数学者アルキメデスはユークリッド幾何学の手法を用いて、著書『円の測定』で、円の面積は、底辺が円の円周と同じで高さが円の半径に等しい直角三角形の面積に等しいことを示してい ます(円周は 2 π rであり、三角形の面積は底辺の半分に高さを掛けたもので、円板の面積はπ r ^{2となります)。アルキメデスは、2 倍法で}πの値(つまり単位半径の円の面積)を概算しました。この法では、正三角形を円に内接させてその面積を記録し、次に辺の数を 2 倍にして正六角形を作成し、次に多角形の面積が円の面積に近づくにつれて辺の数を繰り返し 2 倍にしました (外接多角形でも同じことを行いました)。

三角形の面積

アレクサンドリアのヘロンは、三角形の面積を辺の数で求めるヘロンの公式を発見し、その証明は紀元60年頃に書かれた彼の著書『メトリカ』の中に見ることができる。アルキメデスは2世紀以上前にこの公式を知っていたとされており^{[ 20 ]} 、 『メトリカ』は古代世界で利用可能な数学的知識の集大成であるため、この公式はその著作で言及されているよりも古い可能性がある。 ^{[ 21 ]}紀元前300年、ギリシャの数学者ユークリッドは著書『原幾何学』の中で、三角形の面積は同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の面積の半分であることを証明した^{[ 22 ]}。

紀元499年、インド数学とインド天文学の古典時代の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、 『アーリヤバティーヤ』の中で三角形の面積を底辺の半分と高さの積として表現した。^{[ 23 ]}

ヘロンの公式に相当する公式は、ギリシャ人とは独立して中国で発見されました。これは1247年に秦九紹が著した『九部数学論』に掲載されました。^{[ 24 ]}

四辺形の面積

西暦7世紀、ブラフマグプタは、円周四辺形（円に内接する四辺形）の面積を辺の数で表す公式（現在ではブラフマグプタの公式として知られている）を考案しました。1842年、ドイツの数学者カール・アントン・ブレッチュナイダーとカール・ゲオルク・クリスチャン・フォン・シュタウトはそれぞれ独立して、任意の四辺形の面積を求める公式（ブレッチュナイダーの公式として知られている）を発見しました。

一般的な多角形領域

17 世紀にルネ・デカルトが直交座標を開発したことにより、19 世紀に ガウスが頂点の位置がわかっている任意の多角形の面積を求める測量公式を開発することができました。

微積分を用いて決定された面積

17 世紀後半の積分学の発達により、楕円の面積やさまざまな曲面三次元物体の 表面積など、より複雑な領域を計算するために使用できるツールが提供されました。

面積の公式

多角形の数式

交差しない（単純な）多角形の場合、そのn頂点の直交座標 （i =0, 1, ..., n -1）が分かっていると、面積は測量士の公式によって与えられます。^{[ 25 ]}${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

ここで、i = n -1 の場合、i +1 は係数nとして表され、0 を参照します。

長方形

この長方形の面積は lwです。

最も基本的な面積の公式は長方形の面積の公式です。長さl、幅wの長方形が与えられた場合、面積の公式は次のようになります。^{[ 2 ]}

A = lw  (長方形)。

つまり、長方形の面積は長さ×幅です。特別なケースとして、正方形の場合、 l = wとなるため、辺の長さがsの正方形の面積は次の式で表されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

A = s ²  （平方）。

長方形の面積の公式は、面積の基本的な性質から直接導かれ、​​定義や公理として扱われることもあります。一方、幾何学が算術よりも先に発展した場合、この公式は実数の乗算を定義するために使用できます。

切断、平行四辺形、三角形

平行四辺形を切り取って再配置すると長方形を形成できます。

面積を求める他の簡単な公式のほとんどは、分割法に由来します。これは、図形を複数の部分に分割し、それぞれの面積の合計が元の図形の面積と等しくなければならないというものです。例えば、任意の平行四辺形は、左の図に示すように、台形と直角三角形に分割できます。三角形を台形の反対側に移動すると、結果として得られる図形は長方形になります。したがって、平行四辺形の面積は長方形の面積と同じになります。^{[ 2 ]}

A = bh  （平行四辺形）。

平行四辺形を2つの等しい三角形に分割する

しかし、同じ平行四辺形を対角線で切断すると、右図に示すように、2つの合同な三角形に分けられます。したがって、それぞれの三角形の面積は平行四辺形の面積の半分になります。^{[ 2 ]}

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  （三角形）。

同様の議論は、台形^{[ 26 ]}やより複雑な多角形^{[ 27 ]}の面積公式を求める際にも適用できる。

曲線の面積

サークル

円は扇形に分割することができ、それらを再配置するとほぼ平行四辺形が形成されます。

円の面積（より正確には円で囲まれた面積、または円板の面積）の公式も同様の方法に基づいています。半径rの円は、右図に示すように、扇形に分割することができます。各扇形はほぼ三角形で、扇形を並べ替えるとほぼ平行四辺形になります。この平行四辺形の高さはr、幅は円周の半分、つまりπ rです。したがって、円の総面積はπ r ²です。^{[ 2 ]}

A = π r ²  （円）。

この式で用いられている分割は近似値に過ぎませんが、円をより多くの扇形に分割するにつれて、誤差はますます小さくなります。近似平行四辺形の面積の極限は、円の面積であるπ r ²と全く同じです。^{[ 28 ]}

この議論は、実際には微積分学の考え方を単純に応用したものです。古代では、円の面積を求める際に同様に漸化法が用いられ、この方法は現在では積分学の前身として認識されています。現代の手法を用いると、円の面積は定積分を用いて計算できます。

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}$

楕円

楕円で囲まれた面積の公式は円の公式と関連しており、長軸と短軸がそれぞれxとyである楕円の場合、公式は次のようになる。^{[ 2 ]}

${\displaystyle A=\pi xy.}$

非平面表面積

アルキメデスは、球の表面積は同じ半径の平らな円盤の面積のちょうど 4 倍であり、球に囲まれた体積は同じ高さと半径の円筒の体積のちょうど 2/3 であることを示しました。

表面積の基本的な公式のほとんどは、面を切断して平坦化することで得られます（可展面を参照）。例えば、円柱（または任意の角柱）の側面を縦方向に切断すると、その面は長方形に平坦化できます。同様に、円錐の側面に沿って切断すると、側面は扇形に平坦化され、その結果得られる面積を計算できます。

球の表面積の公式を導出するのはより困難です。球はガウス曲率がゼロではないため、平坦化できないからです。球の表面積の公式は、アルキメデスの著書『球と円柱について』で初めて示されました。公式は以下のとおりです。^{[ 6 ]}

A = 4 πr ²  （球面）

ここで、rは球の半径です。円の面積の公式と同様に、この公式の導出には本質的に微積分学に似た手法が用いられます。

一般式

2次元図形の面積

三角形の面積${\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}}$

• 三角形: (ここで、 Bは任意の辺、hはB がある直線から三角形の他の頂点までの距離)。高さhがわかっている場合、この公式を使用できます。3 辺の長さがわかっている場合は、ヘロンの公式を使用できます。ここで、 a、b、cは三角形の辺、 は周囲の半分です。^{[ 2 ]}角度とその 2 つの包含辺が与えられている場合、面積は次のようになります。ここで、 Cは与えられた角度で、aとbは三角形の包含辺です。^{[ 2 ]}三角形を座標平面上にグラフ化する場合、行列を使用でき、 の絶対値に簡略化されます。この公式は靴ひもの公式としても知られ、3 点(x ₁、y ₁ )、(x ₂、y ₂ )、(x ₃、y ₃ )を代入することで座標三角形の面積を簡単に求めることができます。靴ひもの公式は、頂点が分かっている他の多角形の面積を求めるのにも使えます。座標三角形の場合は、微積分を使って面積を求めるという方法もあります。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}Bh}$ ${\displaystyle {\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})}$
• 等間隔の点（つまり整数座標を持つ点）のグリッド上に構築された単純な多角形において、多角形のすべての頂点がグリッド点となるもの：、ここでiは多角形内部のグリッド点の数、bは境界点の数である。この結果はピックの定理として知られている。^{[ 29 ]}${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$

微積分における面積

積分は、2 点 (ここではaとb ) 間の、 f ( x )で定義される曲線の下の面積を測定するものと考えることができます。

2つのグラフ間の面積は、2つの関数の積分の差を計算することで評価できる。

• 正の値の曲線と水平軸の間の面積は、水平軸上の2つの値aとb （bは2つの値のうち大きい方と定義される）の間で測定され、曲線を表す関数のaからbへの積分によって与えられる。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

• 2つの関数のグラフ間の面積は、一方の関数の積分f ( x )からもう一方の関数の積分g ( x )を引いた値に等しくなります。

${\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,}$ y 値が大きい曲線はどこですか。${\displaystyle f(x)}$

• 極座標で表される関数によって囲まれた領域は次のようになる。^{[ 1 ]}${\displaystyle r=r(\theta )}$

${\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}$

• 端点を持つパラメトリック曲線 で囲まれた面積は、線積分によって与えられます。${\displaystyle {\vec {u}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {u}}(t_{0})={\vec {u}}(t_{1})}$

${\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}$

またはz成分

${\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}$

（詳細はグリーンの定理§面積計算を参照）これがプラニメータ機械装置の原理です。

2つの二次関数間の有界領域

2つの二次関数の間の境界面積を求めるには、まず一方から他方を引き、その差を次のように書きます 。 ここで、f ( x )は二次関数の上限、g ( x )は二次関数の下限です。上記の面積積分の公式とVietaの公式を用いると、 ^{[ 30 ] [ 31 ]}が得られます 。境界関数の一方が二次関数ではなく一次関数であっても、上記は有効です。 $${\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}$$ $${\displaystyle A={\frac {(b^{2}-4ac)^{3/2}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}$$

3次元図形の表面積

• 円錐：^{[ 32 ]} 、ここでrは円底の半径、hは高さです。これは^{[ 32 ]}と書き直すこともできます。ここでrは半径、lは円錐の斜高です。は底面積、は円錐の側面積です。^{[ 32 ]}${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$ ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pi rl}$
• 立方体：ここでsは辺の長さである。^{[ 6 ]}${\displaystyle 6s^{2}}$
• 円柱：、ここでrは底辺の半径、hは高さです。 は、ここでdは直径です。${\displaystyle 2\pi r(r+h)}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \pi d}$
• プリズム:ここで、Bは底面積、Pは底辺の周囲長、hはプリズムの高さです。${\displaystyle 2B+Ph}$
• ピラミッド: 、ここで、 Bは底面積、Pは底辺の周囲長、Lは斜面の長さです。${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}$
• 直方体: 、ここでは長さ、wは幅、hは高さです。${\displaystyle 2(\ell w+\ell h+wh)}$ ${\displaystyle \ell}$

表面積の一般的な公式

連続的に微分可能な関数のグラフの表面積の一般的な公式は、xy平面上の滑らかな境界を持つ領域です。 ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle (x,y)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle A=\iint _{D}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy.}$

連続的に微分可能なベクトル関数であるベクトル形式の媒介変数曲面のグラフの面積のさらに一般的な公式は次の通りである: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle A=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

数式一覧

面積に関するその他の一般的な公式:

形	式	変数
四角	${\displaystyle A=s^{2}}$
矩形	${\displaystyle A=ab}$
三角形	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh\,\!}$
三角形	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin(\gamma )\,\!}$
三角形 （ヘロンの公式）	${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$
二等辺三角形	${\displaystyle A={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$
正三角形​ （正三角形）	${\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,\!}$
菱形/凧形	${\displaystyle A={\frac {1}{2}}de}$
平行四辺形	${\displaystyle A=ah_{a}\,\!}$
台形	${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}\,\!}$
正六角形​	${\displaystyle A={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
正八角形	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
正多角形 （側面） ${\displaystyle n}$	${\displaystyle A=n{\frac {ar}{2}}={\frac {pr}{2}}}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad =nr^{2}\tan({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{4n}}p^{2}\cot({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle \quad ={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin({\tfrac {2\pi }{n}})\,\!}$	${\displaystyle p=na\ }$ (周囲)外接半径外接円半径 ${\displaystyle r={\tfrac {a}{2}}\cot({\tfrac {\pi }{n}}),}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}=r\tan({\tfrac {\pi }{n}})=R\sin({\tfrac {\pi }{n}})}$ ${\displaystyle r:}$ ${\displaystyle R:}$
丸	${\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$ （直径） ${\displaystyle d=2r:}$
円形セクター	${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}r^{2}={\frac {L\cdot r}{2}}\,\!}$
楕円	${\displaystyle A=\pi ab\,\!}$
積分	${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}$
	表面積
球	${\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$
直方体	${\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}$
シリンダー （底部と上部を含む）	${\displaystyle A=2\pi r(r+h)}$
円錐 （底部含む）	${\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$
トーラス	${\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
革命の表面	${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}$ （x軸周りの回転）

上記の計算は、多くの一般的な図形の面積を求める方法を示しています。

不規則な（したがって任意の）多角形の面積は、「測量士の公式」（靴ひもの公式）を使って計算することができます。^{[ 28 ]}

面積と周囲の関係

等周不等式は、長さLの閉曲線（つまり、その曲線が囲む領域の周囲の長さはL）と、その曲線が囲む領域の 面積Aについて、

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、等式は曲線が円である場合にのみ成立します。したがって、与えられた周囲長を持つ閉図形の中で、円の面積は最大です。

反対に、与えられた周囲長Lを持つ図形の面積が任意に小さい場合もあります。これは、任意の角度2 つが 0° に任意に近くなり、他の 2 つが 180° に任意に近くなるように任意に遠くまで「傾けられた」ひし形で示されます。

円の場合、面積と円周（円周の長さを表す用語）の比は半径rの半分に等しくなります。これは、面積の公式πr ²と円周の公式 2 πrからわかります。

正多角形の面積は、その周囲の半分に遠近法線を掛けたものです（遠近法線とは、中心から各辺の最も近い点までの距離です）。

フラクタル

多角形の辺の長さを2倍にすると、その面積は4倍になります。これは、2（新しい辺の長さと古い辺の長さの比）を2乗（多角形が存在する空間の次元）した値です。しかし、 2次元で描かれたフラクタルの1次元の長さをすべて2倍にすると、フラクタルの空間内容は2のべき乗に比例しますが、このべき乗は必ずしも整数ではありません。このべき乗は、フラクタルの フラクタル次元と呼ばれます。 ^{[ 33 ]}

面積の二等分線

三角形の面積を二等分する線は無数にあります。そのうち3本は三角形の中線（各辺の中点と対角の頂点を結ぶ線）であり、三角形の重心で交わります。実際、重心を通る面積の二等分線はこれら2本だけです。三角形の面積と周長を半分に分ける線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。どの三角形にも、このような線が1本、2本、または3本あります。

平行四辺形の中心を通る線は、面積を二等分します。

円やその他の楕円の面積の二等分線はすべて中心を通り、中心を通る弦はすべて面積を二等分します。円の場合、それらは円の直径です。

最適化

ワイヤーの輪郭が与えられたとき、それを覆う（「充填」する）面積が最小の曲面は極小曲面です。身近な例としては、石鹸の泡などが挙げられます。

リーマン円の充填領域の問題は未解決のままである。^{[ 34 ]}

円は、同じ周囲長を持つ 2 次元の物体の中で面積が最大です。

円周多角形（円に内接する多角形）は、同じ長さの辺が指定された数だけある多角形の中で面積が最大になります。

三角形の等周不等式の一種は、与えられた周囲長を持つ三角形の中で面積が最大の三角形は正三角形であるというものである。^{[ 35 ]}

与えられた円に内接する三角形の中で面積が最大のものは正三角形であり、与えられた円に外接する三角形の中で面積が最小のものは正三角形である。^{[ 36 ]}

正三角形の面積に対する内接円の面積の比は、正三角形以外の三角形の面積よりも大きい。^{[ 37 ]}${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

正三角形の面積と周囲の二乗の比は、他のどの三角形よりも大きい。^{[ 35 ]}${\displaystyle {\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},}$

参照

• ブラフマグプタ四辺形は、整数の辺、整数の対角線、および整数の面積を持つ循環四辺形です。
• 等面積図
• ヘロン三角形、つまり整数の辺と整数の面積を持つ三角形。
• 三角不等式の一覧
• 面積が 7 分の 1 の三角形。基準三角形の面積の 7 分の 1 の内部三角形。

• ラウスの定理、面積7分の1の三角形の一般化。

• 桁数- サイズ別の領域のリスト。
• 五角形の公式の導出
• プラニメーターは、地図上など、小さな領域を測定するための機器です。
• 投影面積
• 凸四角形の面積
• ロビンスの五角形は、辺の長さと面積がすべて有理数である円五角形です。

参考文献

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外部リンク