位相的秩序

物理学において、トポロジカル秩序[ 1 ]は、量子力学におけるエンタングルメントや弾性システムにおけるフロッピーモードなどの非局所的な相互作用を持つシステムで発生する物質の状態または相を表します。 [ 2 ]気体や固体などの物質の古典的な相は、短距離相互作用から生じる粒子の空間配置の微視的パターンに対応しますが、トポロジカル秩序は長距離量子エンタングルメントのパターンに対応します。[ 3 ]異なるトポロジカル秩序 (または異なる長距離エンタングルメントのパターン) を持つ状態は、相転移なしでは互いに変化することができません。

技術的には、トポロジカル秩序は零温度で発生する。様々なトポロジカル秩序状態には、(1)基底状態の縮退[ 4 ]や分数統計または非可換群統計など、トポロジカル量子コンピュータの実現に使用できる興味深い特性がある。(2)重要なデバイス応用が期待される完全伝導エッジ状態、(3)素粒子の量子情報起源を示唆するゲージ場とフェルミ統計の出現[ 5 ]、(4)トポロジカル秩序のエンタングルメント起源を明らかにするトポロジカルエンタングルメントエントロピーなどがある。トポロジカル秩序は、スピン液体[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]や量子ホール効果[ 10 ] [ 11 ]などの物理系の研究で重要であり、フォールトトレラント量子計算への応用も期待されている。[ 12 ]

トポロジカル絶縁体[ 13 ]とトポロジカル超伝導体（1次元を超える）は、上で定義したようなトポロジカル秩序を持たず、そのエンタングルメントは短距離に限られますが、対称性が保護されたトポロジカル秩序の例です。

背景

原子から構成される物質は、固体、液体、超流動体など、様々な性質を持ち、様々な形態をとる。これらの物質の様々な形態は、しばしば物質の状態または相と呼ばれる。凝縮物質物理学と創発原理によれば、物質の様々な性質は、一般的に、物質中における原子の組織化の仕方の違いから生じる。原子（または他の粒子）のこれらの異なる組織化は、正式には物質中の秩序と呼ばれる。 [ 14 ]

原子は様々な方法で組織化することができ、それによって多様な秩序と多様な物質が生み出されます。ランダウ対称性の破れ理論は、これらの異なる秩序についての一般的な理解を提供します。この理論は、異なる秩序は実際には構成原子の組織における異なる対称性に対応していることを指摘しています。物質がある秩序から別の秩序へと変化すると（つまり、物質が相転移を起こすと）、原子の組織化における対称性が変化します。

たとえば、液体内では原子はランダムに分布しているので、原子を任意の距離だけ移動させても液体は変化しません。液体は連続的な並進対称性を持っているといいます。相転移の後、液体は結晶に変わることができます。結晶では、原子は規則的な配列（格子）に組織化されます。格子は、特定の距離（格子定数の整数倍）だけ移動させた場合にのみ変化しないため、結晶は離散的な並進対称性のみを持ちます。液体と結晶間の相転移は、液体の連続的な並進対称性を結晶の離散的な対称性に低下させる転移です。回転対称性についても同様です。このような対称性の変化は、対称性の破れと呼ばれます。したがって、液体と結晶の違いの本質は、2 つの相では原子の組織が異なる対称性を持っていることです。

ランダウ対称性の破れ理論は非常に成功した理論です。物理学者たちは長い間、ランダウ理論が物質におけるあらゆる秩序と、あらゆる（連続的な）相転移を記述できると信じていました。

発見と特性評価

しかし、1980年代後半以降、ランダウ対称性の破れ理論がすべての可能な秩序を記述できるわけではないことが徐々に明らかになっていった。高温超伝導を説明する試みとして[ 15 ] カイラルスピン状態が導入された[ 6 ] [ 7 ] 。当初、物理学者たちは依然としてランダウ対称性の破れ理論を用いてカイラルスピン状態を記述しようとした。彼らはカイラルスピン状態を、時間反転対称性とパリティ対称性は破れるが、スピン回転対称性は破れない状態であると特定した。ランダウの対称性の破れによる秩序の記述によれば、これで話は終わりになるはずだった。しかし、全く同じ対称性を持つ異なるカイラルスピン状態が多数存在することがすぐに認識され、対称性だけでは異なるカイラルスピン状態を特徴付けるのに十分ではなかった。これは、カイラルスピン状態が、通常の対称性による記述を超えた新しい種類の秩序を含むことを意味する。[ 16 ] 提案された新しい種類の秩序は「トポロジカル秩序」と名付けられた。[ 1 ]「位相秩序」という名称は、位相量子場理論（TQFT）であるカイラルスピン状態の低エネルギー有効理論に由来する。 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]基底状態の縮退[ 16 ]（閉空間またはギャップのある境界を持つ開空間で定義でき、アーベル位相秩序[ 20 ] [ 21 ]と非アーベル位相秩序[ 22 ] [ 23 ]の両方を含む） や縮退基底状態の非アーベル幾何学的位相[ 1 ]などの新しい量子数は、カイラルスピン状態におけるさまざまな位相秩序を特徴付け、定義するために導入された。最近では、位相秩序は位相エントロピーによっても特徴付けできることが示された。[ 24 ] [ 25 ]

しかし、実験によってすぐにカイラルスピン状態は高温超伝導体を記述できないことが示され、トポロジカル秩序理論は実験的に実現されない理論となった。しかし、カイラルスピン状態と量子ホール状態の類似性により、トポロジカル秩序理論を用いて異なる量子ホール状態を記述することが可能になる。[ 4 ]カイラルスピン状態と同様に、異なる量子ホール状態はすべて同じ対称性を持ち、ランダウ対称性の破れの記述の範囲外にある。異なる量子ホール状態における異なる秩序は実際にトポロジカル秩序によって記述できることがわかり、したがってトポロジカル秩序は実験的に実現される。

分数量子ホール状態（FQH）は、1989年にトポロジカル秩序の概念が導入される前の1982年に発見されました[ 10 ] [ 11 ]。しかし、FQH状態は実験的に発見された最初のトポロジカル秩序状態ではありません。1911年に発見された超伝導体は、実験的に発見された最初のトポロジカル秩序状態であり、Z 2トポロジカル秩序を有しています[注1 ] 。

位相的に秩序化された状態は通常、強く相互作用するボソン／フェルミオン系に現れるが、単純な位相的秩序は自由フェルミオン系にも現れることがある。この種の位相的秩序は整数量子ホール状態に対応し、格子上の整数量子ホール状態を考えると、満たされたエネルギーバンドのチャーン数によって特徴付けられる。理論計算によれば、このようなチャーン数は自由フェルミオン系において実験的に測定可能であることが示唆されている。 [ 29 ] [ 30 ]また、このようなチャーン数はエッジ状態 によって（おそらく間接的に）測定できることもよく知られている。

位相秩序の最も重要な特徴付けは、その基礎にある分数化励起（エニオンなど）とそれらの融合統計および編組統計（ボソンやフェルミオンの量子統計を超えることがある）であろう。現在の研究では、3+1次元時空における位相秩序にはループ状および弦状の励起が存在し、それらの多重ループ/弦編組統計は、3+1次元位相秩序を識別するための重要な特徴であることが示されている。[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] 3+1次元位相秩序の多重ループ/弦編組統計は、4次元時空における特定の位相量子場理論のリンク不変量によって捉えることができる。 [ 33 ]

機構

2+1次元の位相秩序の大きなクラスは、ストリングネット凝縮と呼ばれるメカニズムによって実現されます。[ 34 ]このクラスの位相秩序はギャップのある辺を持つことができ、ユニタリー融合圏（またはモノイド圏）理論によって分類されます。ストリングネット凝縮は無限に多くの異なるタイプの位相秩序を生成することが分かっており、これは、未発見の様々な新しいタイプの物質がまだ多く存在することを示唆している可能性があります。

凝縮弦の集団運動は、弦網の凝縮状態を超える励起を引き起こす。これらの励起はゲージボソンであることが判明している。弦の端は欠陥であり、別の種類の励起に対応する。これらの励起はゲージ電荷であり、フェルミ統計または分数統計を運ぶことができる。[ 35 ]

「膜」[ 36 ] 、 「ブレーンネット」[ 37 ]、フラクタルなどの他の拡張オブジェクトの凝縮も、位相的に秩序立った位相[ 38 ]や「量子ガラス性」につながる。[ 39 ] [ 40 ]

数学的定式化

群論が対称性の破れた秩序の数学的基礎であることは周知の事実である。では、位相的秩序の数学的基礎とは何だろうか？2+1次元位相的秩序のサブクラスであるアーベル位相的秩序は、K行列アプローチによって分類できることが見出された。 [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]ストリングネット凝縮は、テンソルカテゴリ（融合カテゴリやモノイドカテゴリなど）が2+1次元における位相的秩序の数学的基礎の一部であることを示唆している。最近の研究では、（分数化励起を持たない可逆位相的秩序まで）次のことが示唆されている。

  • 2+1D ボソン位相秩序は、ユニタリ モジュラー テンソル カテゴリによって分類されます。
  • 対称性 G を持つ 2+1D ボソン位相秩序は、G 交差テンソル カテゴリによって分類されます。
  • 対称性Gを持つ2+1次元ボソン/フェルミオン位相秩序は、モジュラー拡張を持つ対称融合圏上のユニタリ編組融合圏によって分類されます。ボソン系では対称融合圏Rep(G)、フェルミオン系では対称融合圏sRep(G)です。

高次元における位相的秩序はn-圏理論と関連している可能性があります。量子作用素代数は位相的秩序を研究する上で非常に重要な数学的ツールです。

位相秩序は拡張された量子対称性によって数学的に記述されると主張する人もいる。[ 45 ]

アプリケーション

ランダウ対称性の破れ理論によって記述される材料は、技術に大きな影響を与えてきました。例えば、スピン回転対称性を破る強磁性材料は、デジタル情報記憶媒体として用いることができます。強磁性材料で作られたハードディスクは、ギガバイト単位の情報を保存できます。 分子の回転対称性を破る液晶は、ディスプレイ技術において広く応用されています。並進対称性を破る結晶は、明確に定義された電子バンドをもたらし、トランジスタなどの半導体デバイスの製造を可能にします。異なる種類のトポロジカル秩序は、異なる種類の対称性を破る秩序よりもさらに豊富です。これは、トポロジカル秩序が刺激的で斬新な応用の可能性を示唆しています。

理論上の応用例の 1 つは、トポロジカル量子コンピューティングと呼ばれる手法で、トポロジカルに秩序立った状態を量子コンピューティングの媒体として使用することである。トポロジカルに秩序立った状態とは、複雑な非局所的量子もつれを持つ状態である。非局所性とは、トポロジカルに秩序立った状態における量子もつれが多くの異なる粒子に分散されていることを意味する。結果として、量子もつれのパターンは局所的な摂動によって破壊されることはない。これにより、デコヒーレンスの影響が大幅に軽減される。このことは、トポロジカルに秩序立った状態にある異なる量子もつれを使用して量子情報をエンコードすると、その情報がはるかに長く持続することを示唆している。[ 46 ]トポロジカル量子もつれによってエンコードされた量子情報は、トポロジカル欠陥を互いの周囲にドラッグすることによっても操作できる。このプロセスにより、量子コンピューティングを実行するための物理的装置が提供される可能性がある。[ 47 ]したがって、トポロジカルに秩序立った状態は、量子メモリと量子コンピューティングの両方にとって自然な媒体となる可能性がある。このような量子メモリと量子コンピューティングの実現は、フォールトトレランスを実現できる可能性がある。[ 12 ]

トポロジカル秩序状態は一般に、非自明な境界状態を含むという特殊な性質を持つ。多くの場合、これらの境界状態は熱を発生することなく電気を伝導できる完全な伝導チャネルとなる。[ 48 ]これは、電子デバイスにおけるトポロジカル秩序のもう一つの潜在的な応用となり得る。

トポロジカル秩序と同様に、トポロジカル絶縁体[ 49 ] [ 50 ]にもギャップレス境界状態があります。 トポロジカル絶縁体の境界状態は、トポロジカル絶縁体の検出と応用において重要な役割を果たします。 この観察から当然、「トポロジカル絶縁体はトポロジカル秩序状態の例なのだろうか」という疑問が生じます。 実際、トポロジカル絶縁体は、この記事で定義するトポロジカル秩序状態とは異なります。 トポロジカル絶縁体は短距離のエンタングルメントのみを持ち、トポロジカル秩序はありませんが、この記事で定義するトポロジカル秩序は長距離のエンタングルメントのパターンです。 トポロジカル秩序は、どのような摂動に対しても堅牢です。 トポロジカル絶縁体には、ゲージ理論、分数電荷、分数統計が出現します。 対照的に、トポロジカル絶縁体は、時間反転と U(1) 対称性を尊重する摂動に対してのみ堅牢です。 準粒子励起には、分数電荷と分数統計はありません。厳密に言えば、トポロジカル絶縁体は対称性保護されたトポロジカル秩序（SPT秩序）の一例であり、[ 51 ] SPT秩序の最初の例はスピン1鎖のハルデン相である。 [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]しかし、スピン2鎖のハルデン相にはSPT秩序がない。

潜在的な影響

ランダウ対称性の破れの理論は、凝縮物質物理学の基礎となるものです。凝縮物質研究の領域を定義するために使われています。位相秩序の存在は、自然がランダウ対称性の破れの理論がこれまで示してきたものよりはるかに豊かであることを示しているようです。つまり、位相秩序は凝縮物質物理学に新しい方向、つまり高度に絡み合った量子物質の新しい方向を切り開きます。物質の量子相（つまり物質のゼロ温度相）は、長距離絡み合い状態と短距離絡み合い状態の 2 つのクラスに分けられることがわかります。[ 3 ]位相秩序は長距離絡み合い状態を説明する概念です。位相秩序 = 長距離エンタングルメントのパターン。短距離エンタングルメント状態は、すべて 1 つの相に属するという意味で自明です。しかし、対称性がある場合、短距離エンタングルメント状態であっても自明ではなく、異なる相に属する可能性があります。それらの相はSPT 秩序を含むと言われます。[ 51 ] SPT秩序は位相絶縁体の概念を相互作用系に一般化する。

局所ボソン（スピン）モデルにおける位相的秩序（より正確には、弦ネット凝縮）は、宇宙における光子、電子、その他の素粒子の統一的な起源を提供する可能性があると示唆する人もいます。 [ 5 ]

参照

注記

  1. ^超伝導は、動的 U(1) EM ゲージ場を持つギンツブルグ・ランダウ理論によって記述できることに注意してください。これはZ 2ゲージ理論、つまりZ 2トポロジカル秩序の有効理論です。超伝導体の渦糸状態の予測は、動的 U(1) ゲージ場を持つギンツブルグ・ランダウ理論の主な成功の 1 つでした。ゲージ化されたギンツブルグ・ランダウ理論の渦糸は、 Z 2ゲージ理論のZ 2磁束線にほかなりません。動的 U(1) ゲージ場を持たないギンツブルグ・ランダウ理論では、動的電磁相互作用を持つ実際の超伝導体を記述できません。 [ 9 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] ただし、凝縮物質物理学では、超伝導体は通常、非動的 EM ゲージ場を持つ状態を指します。このような状態は、トポロジカル秩序を持たない対称性が破れた状態です。

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位相的秩序

位相秩序の特徴

位相秩序の有効理論

位相秩序のメカニズム

量子コンピューティング

素粒子の出現

量子作用素代数

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