整数

整数とは、ゼロ（0）、正の自然数（ 1、2、3、…）、または正の自然数の否定（-1、-2、-3、…）です。^[1]正の自然数の否定または加法逆数は、負の整数と呼ばれます。^[2]すべての整数の集合は、しばしば太字の $Z$ または黒板太字で表されます。^[3]^[4] $\mathbb {Z}$

自然数の集合は、すべての有理数の集合の部分集合であり、すべての有理数の集合の部分集合であり、有理数の集合自体は実数の部分集合です。 [ ^a]自然数の集合と同様に、整数の集合は可算無限です。整数は、小数部なしで表すことができる実数と見なすことができます。たとえば、21、4、0、-2048は整数ですが、9.75、5は $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z}$ +1/2⁠、5/4、そして2の平方根はそうではありません。^[7]

整数は、自然数を含む最小の群と最小の環を形成します。代数的整数論では、整数は、より一般的な代数的整数と区別するために、有理数整数と呼ばれることがあります。実際、（有理）整数は代数的整数であり、有理数でもあります。

歴史

整数という語は、ラテン語のinteger（整数）に由来し、「全体」あるいは（文字通り）「触れられていない」という意味で、in（「ない」）とtangere （「触れる」）を組み合わせた造語である。「全体の」は、フランス語のentier （整数）に由来し、これは「全体」と「整数」の両方の意味を持つ。^[8]歴史的には、この用語は1の倍数、[ ^9]^{[10]あるいは}帯分数の整数部分を指すために使われてきた。^[11]^{[12]正の整数のみが対象とされていたため、この用語は}自然数と同義であった。整数の定義は、負の数の有用性が認識されるにつれて、時とともに負の数も含むように拡大された。 ^[13]例えば、レオンハルト・オイラーは1765年に著した『代数学原論』の中で、整数は正の数と負の数の両方を含むと定義した。^[14]

整数の集合という表現は、ゲオルク・カントールが無限集合と集合論の概念を導入した19世紀末まで使われていませんでした。整数の集合を表す文字Zの使用は、ドイツ語のZahlen（「数」）^[3]^{[4]に由来し、}ダヴィド・ヒルベルト^[15]に帰属しています。教科書でこの表記法が使用された最も古い例は、1947年にニコラ・ブルバキによって書かれた『代数』です。 ^{[3 ]}^[16]この表記法はすぐには採用されませんでした。例えば、別の教科書では文字Jが使用されており^[17]、1960年の論文では非負整数を表すためにZが使用されていました。^[18]しかし、1961年までに、Zは現代の代数学の教科書で正と負の整数を表すために一般的に使用されるようになりました。^[19]

記号は様々な集合を表すためにしばしば注釈が付けられるが、その用法は著者によって様々である。正の整数については、、、または、非負の整数については、非ゼロの整数についてはと表記される。非ゼロの整数についてはを使用する著者もいれば、非負の整数については、{−1,1}（の単位群）についてを使用する著者もいる。さらに、は $p$ を法とする整数の集合（すなわち、整数の合同類の集合）または $p$ 進整数の集合のいずれかを表すために使用される。^[20]^[21] $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ^{+}$ $\mathbb {Z} _{+}$ $\mathbb {Z} ^{>}$ $\mathbb {Z} ^{0+}$ $\mathbb {Z} ^{\geq }$ $\mathbb {Z} ^{\neq }$ $\mathbb {Z} ^{*}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{p}$

1950年代初頭まで、整数は整数と同義でした。^[22]^[23]^[24] 1950年代後半、新数学運動の一環として、^[25]アメリカの小学校教師は、整数は負の数を除く自然数を指し、整数は負の数を含むと教え始めました。^[26]^[27]整数は今日まで曖昧なままです。^[28]

代数的性質

整数は、無限に長い数直線上の離散的で等間隔の点と考えることができます。上記では、負でない整数は青で、負の整数は赤で示されています

自然数と同様に、は加算と乗算の演算に対して閉じています。つまり、任意の2つの整数の和と積は整数です。しかし、負の自然数（そして重要なのは 0）を含めると、自然数とは異なり、は減算に対しても閉じています。^[29] $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

整数は環を形成しますが、これは最も基本的な環であり、次の意味で定義されます。任意の環に対して、整数からこの環への環準同型は一意に存在します。この普遍的性質、すなわち環の圏における始対象であることは、環を特徴付けます。この一意な準同型は、環の標数が0である場合に限り、単射です。したがって、標数0のすべての環は、その最小の部分環である ⁠ ⁠に同型な部分環を含みます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

$\mathbb {Z}$ は除算に対して閉じていません。2つの整数の商（例：1を2で割る）は整数である必要がないためです。自然数は指数に対して閉じていますが、整数はそうではありません（指数が負の場合、結果が分数になる可能性があるため）。

次の表は、任意の整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ に対する加算と乗算の基本的な性質のいくつかを示しています。

加算について上記に挙げた最初の5つの性質は、加算の下ではがアーベル群であることを示しています。また、すべての非ゼロ整数は有限和1 + 1 + ... + 1または(-1) + (-1) + ... + (-1)として表すことができるため、巡回群でもあります。実際、加算の下ではは唯一の無限巡回群です。つまり、任意の無限巡回群はと同型です。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

について上記に挙げた最初の4つの性質は、乗算の下ではが可換モノイドであることを示しています。しかし、すべての整数に乗法逆元があるわけではありません（数2の場合のように）。つまり、乗算の下ではは群ではありません $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

上記の特性表のすべての規則（最後のものを除く）を総合すると、加算と乗算と共に、単位元を持つ可換環となることがわかります。これは、そのような代数構造を持つすべてのオブジェクトの原型です。式の等式は、すべての変数の値に対してにおいて真であり、任意の単位元可換環において真です。特定の非ゼロ整数は、特定の環においてゼロに写像されます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

整数にゼロ因子が存在しない（表の最後の特性）ことは、可換環が整域であることを意味します $\mathbb {Z}$

乗法逆数が存在しないことは、除算で閉じていないという事実と同値であり、は体ではないことを意味します。整数を部分環として含む最小の体は有理数体です。整数から有理数を構成するプロセスは、任意の整域の分数体を形成するために模倣できます。そして逆に、代数体（有理数の拡大）から始めて、その整数環を抽出でき、それはその部分環としてを含みます $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

通常の除算は上で定義されていませんが、「余りのある」除算は上で定義されています。これはユークリッド除算と呼ばれ、次の重要な性質を持ちます。2つの整数 $a$ と $b$ $（ b$ $\neq 0 ）$ が与えられたとき、 $a$ $=$ $q$ $\times$ $b$ $+$ $r$ かつ $0 \leq$ $r$ $< |$ $b$ $|$ となる一意の整数 $q$ と $r$ が存在し、ここで $|$ $b$ $|は$ $b$ の絶対値を表します。整数 $q$ は $aを$ $b$ で割ったときの商、 r $は$ 余りと呼ばれます。最大公約数を計算するユークリッドのアルゴリズムは、ユークリッド除算のシーケンスによって機能します。 $\mathbb {Z}$

上記は、がユークリッド領域であることを示しています。これは、が主イデアル領域であり、任意の正の整数は本質的に一意な方法で素数の積として表すことができることを意味します。^[30]これは算術の基本定理です。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

順序論的性質

$\mathbb {Z}$ は上限も下限もない全順序集合です。の順序は次のように与えられます。 $:... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...。$ 整数は0より大きい場合正、0より小さい場合 負です。0は負でも正でもないと定義されます。 $\mathbb {Z}$

整数の順序は、次のように代数演算と互換性があります。

$a < b$ かつ $c < d$ の場合、 $a + c < b + dです。$
$a < b$ かつ $0 < c$ の場合、 $ac$ $<$ $bcです$ $。$

したがって、上記の順序と合わせて、は順序付き環となります $\mathbb {Z}$

整数は、正の元が整列している唯一の非自明な全順序アーベル群である。^{[31]これは、}任意のネーター付値環は体または離散付値環のいずれかであるという命題と同等である。

構築

従来の展開

小学校の授業では、整数は（正の）自然数、 0、および自然数の否定の和として直感的に定義されることが多い。これは次のように形式化できる。 ^{[32]まず、}ペアノの公理に従って自然数の集合を構築し、これをと呼ぶ。次に、関数を介してと素で、と1対1に対応する集合を構築する。例えば、をと写像を持つ順序付きペアとする。最後に、0 をまたはに含まれないオブジェクト、例えば順序付きペア (0,0) とする。そして、整数は和集合と定義される $P$ $P^{-}$ $P$ $P$ $\psi$ $P^{-}$ $(1,n)$ $\psi =n\mapsto (1,n)$ $P$ $P^{-}$ $P\cup P^{-}\cup \{0\}$

伝統的な算術演算は、正の数、負の数、ゼロのそれぞれについて、整数に対して区分的に定義できます。例えば、否定は次のように定義されます。

$-x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}$

伝統的な定義スタイルは、多くの異なるケース（各算術演算を整数の種類の各組み合わせに対して定義する必要がある）につながり、整数が様々な算術法則に従うことを証明するのが面倒になります。^[33]

順序付きペアの同値類

現代の集合論的数学では、大文字小文字を区別せずに算術演算を定義できる、より抽象的な構成^[34]^{[35]がよく使用されます。}^{[36]したがって、整数は}自然数の順序付きペア $($ $a$ $,$ $b$ $)$ の同値類として正式に構成できます。^[37]

直感的には、 $(a, b)は$ $a$ から $b$ を引いた結果を表す。^[37]1 − 2と4 − 5が同じ数を表すという予想を確認するために、これらのペアに次の規則で同値関係 $~を定義する。$

(a,b)\sim (c,d)

まさに次の場合

a+d=b+c

整数の加算と乗算は、自然数に対する同値な演算によって定義できます。^[37] $[(a, b)]$ を用いて $(a, b)$ を要素として持つ同値類を表すと、次のようになります。

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]

整数の否定（または加法逆数）は、ペアの順序を逆にすることで得られる。

-[(a,b)]:=[(b,a)]

したがって、減算は加法逆数の加算として定義できる。

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]

整数の標準的な順序は次のように与えられる

[(a,b)]<[(c,d)]

の場合に限り、

a+d<b+c

これらの定義は同値類の代表の選択とは無関係であることは容易に検証できる

すべての同値類には、 $(n,0)$ または $(0, n)$ (あるいはその両方) の形式の一意の要素があります。自然数 $n$ はクラス $[(n,0)]$ と同一視されます（つまり、自然数は $n を$ $[($ $n$ $,0) ]$ に写像することによって整数に埋め込まれます）。クラス $[(0,$ $n$ $)]は$ $-$ $n$ と表記されます（これは残りのすべてのクラスをカバーし、 -0 = 0 なのでクラス $[(0,0)]が2度目に表示されます）。$

したがって、 $[(a, b)]$ は次のように表記されます。

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b\end{cases}}

自然数が対応する整数と同一視される場合（上記の埋め込みを使用）、この表記法によって曖昧さは生じません。

この表記法は、整数の一般的な表現である ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} を$ 復元します。

いくつかの例を以下に示します。

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)]\end{aligned}}

その他のアプローチ

理論計算機科学では、整数の構築には、自動定理証明器や項書き換えエンジンなど、他のアプローチが用いられています。整数は、いくつかの基本演算（例：ゼロ、正則、前置詞）と、既に構築されていると想定される自然数（ペアノアプローチを用いて）を用いて構築された代数項として表現されます。

符号付き整数のこのような構成は少なくとも10種類存在します。^[38]これらの構成は、構成に使用される基本演算の数、これらの演算が受け入れる引数の種類（通常は0から2の間）、これらの演算の引数としての自然数の有無、そしてこれらの演算が自由構成子であるかどうか（つまり、同じ整数を1つだけ、または複数の代数項を使用して表現できるかどうか）など、いくつかの点で異なります。

前のセクションで示した整数の構築手法は、 2つの自然数とを引数として受け取り、整数（に等しい）を返す単一の基本演算ペアが存在する特定のケースに対応しています。整数0はペア(0,0)、ペア(1,1)、ペア(2,2)などと表記できるため、この演算は自由ではありません。この構築手法は証明支援ツール Isabelleで使用されていますが、他の多くのツールでは、より単純でコンピュータでより効率的に実装できる、自由コンストラクタに基づく代替構築手法が使用されています。 $(x,y)$ $x$ $y$ $x-y$

コンピュータサイエンス

整数は、コンピュータ言語ではプリミティブデータ型であることが多いです。しかし、実用的なコンピュータの容量は有限であるため、整数データ型はすべての整数のサブセットしか表現できません。また、一般的な 2の補数表現では、符号の固有の定義は「負、正、0」ではなく、「負」と「非負」を区別します。（ただし、コンピュータが整数値が真に正かどうかを判断することは確かに可能です。）固定長整数近似データ型（またはそのサブセット）は、いくつかのプログラミング言語（Algol68、C、Java、Delphiなど）でintまたはIntegerと表記されます

ビッグナンバーなどの可変長整数表現は、コンピュータのメモリに収まる任意の整数を格納できます。その他の整数データ型は固定サイズで実装されており、通常は2の累乗（4、8、16など）のビット数、または記憶可能な小数桁数（例：9または10）です。

基数

整数の集合は可算無限です。つまり、各整数を一意の自然数とペアにすることができます。このようなペアの例は次のとおりです。

(0, 1), (1, 2), (-1, 3), (2, 4), (-2, 5),

(3, 6), . . . ,(1 - k, 2 k - 1), (k, 2 k), . . .

より技術的には、の基数は $ℵ$ $0$ (アレフゼロ)に等しいと言われています。との要素間のペアリングは一対一と呼ばれます $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

脚注

^ より正確には、各体系は次の体系に埋め込まれ、部分集合に同型に写像されます。^[5]一般的に想定される集合論的包含は、実数を構築し、それ以前の構築を破棄し、他の集合を実数の部分集合として定義することによって得られます。^[6]

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出典

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外部リンク

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「整数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994]
正の整数 - 約数表と数値表現ツール
オンライン整数列百科事典OEIS参照
ワイスタイン、エリック・W.「整数」、MathWorld

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