累乗

さまざまな基底bに対するy = b ^xのグラフ:  10進数 、  基数 e、  基数 2、  ベース ⁠1/2⁠。0以外の任意の数の0乗は1なので、各曲線は点(0, 1)。任意の数の1乗は1x= 1yの値は。

数学において、指数演算( b ⁿと表記)は、底bと指数またはべき乗nの2 つの数値を扱う演算です。^{[ 1 ]} nが正の整数のとき、指数演算は底の繰り返し乗算に相当します。つまり、b ⁿはn個の底を乗算した積です。^{[ 1 ]}特に、. $${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.}$$ ${\displaystyle b^{1}=b}$

指数は通常、底の右側に上付き文字としてb ⁿのように表記され、コンピュータコードでは のように表記されますb^n。この二項演算は「bのn乗」と読み上げられることが多く、「bのn乗」、「bのn乗」^{[ 2 ]}、あるいは最も簡潔に「bのn乗」と呼ばれることもあります。

上記の定義は、いくつかの特性、特に乗法の規則を直ちに暗示しています。^{[注 1 ]} つまり、ある底をあるべき乗で乗じたものに、同じ底を別のべき乗で乗じたものを乗じると、その累乗は加算されます。 ${\displaystyle b^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{n}\times b^{m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}=b^{n+m}.\end{aligned}}}$$

べき乗は、正の整数以外のべき乗にも拡張できます。b が非ゼロの場合、定義は 乗法規則 と互換性があります。同様の議論から 、負の整数のべき乗、特に任意の非ゼロ数bの定義 、そして 分数のべき乗（mとn が両方とも整数の場合）の定義も 示唆されます。例えば、 はを意味し、これは平方根の定義です。 $${\displaystyle b^{0}=1}$$ ${\displaystyle b^{0}\times b^{n}=b^{0+n}=b^{n}}$ $${\displaystyle b^{-n}=1/b^{n},}$$ ${\displaystyle b^{-1}={\frac {1}{b}}}$ $${\displaystyle b^{n/m}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}}$$ ${\displaystyle b^{1/2}\times b^{1/2}=b^{1/2+1/2}=b^{1}=b}$ ${\displaystyle (b^{1/2})^{2}=b}$ ${\displaystyle b^{1/2}={\sqrt {b}}}$

指数の定義は、乗法の規則を維持しながら、任意の正の実数の底と任意の実数指数に対して定義するように自然に拡張できます。より複雑な定義では、複素数の底と指数、さらには特定の種類の行列を底または指数として定義できます。 ${\displaystyle b^{x}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

指数法は、経済学、生物学、化学、物理学、コンピュータサイエンスなど多くの分野で広く使用されており、複利、人口増加、化学反応速度論、波動の挙動、公開鍵暗号化などに応用されています。

語源

指数という用語は、ラテン語のexponereの現在分詞であるexponentemに由来し、「出す」という意味である。^{[ 3 ]}力（ラテン語：potentia、potestas、dignitas ）という用語は、古代ギリシャ語のδύναμις（dúnamis、ここでは「増幅」^{[ 4 ]} ）の誤訳である^{[ 4 ] [ 5 ]} 。これは、ギリシャの数学者ユークリッドが直線の平方を表すために用いた言葉である^{[ 6 ]}。これはキオス島のヒポクラテスの教えによるものである^{[ 7 ] 。}

指数という語は1544年にマイケル・スティフェルによって造語されました。^{[ 8 ] [ 9 ]} 16世紀には、ロバート・レコードが「square（平方） 」、「cube（立方）」、「zenzizenzic（4乗）」、「sursolid（5乗）」、「zenzicube（6乗）」、「second sursolid（ 7乗） 」、「zenzizenzizenzic（8乗）」という用語を使用しました。^{[ 10 ]} 「Biquadrate （双四乗）」も4乗を表すのに使用されています。

歴史

『砂の計算者』でアルキメデスは10の累乗を扱うために必要な指数法則10 ^a · 10 ^b = 10 ^{a + b}を証明した。^{[ 11 ]}そして彼は10の累乗を使って宇宙に含まれる砂粒の数を推定した。

9 世紀、ペルシャの数学者アル・フワーリズミーは、正方形を مَال ( māl、「所有物」、「財産」) と呼び、イスラム教徒は「当時やそれ以前の時代の大半の数学者と同様に、平方数は面積、特に土地、したがって財産を表すものと考えていた」^{[ 10 ]} 、また立方体をكَعْبَة ( Kaʿbah、「立方体」) と呼んだ。後のイスラム数学者は、 15 世紀までにこれを数学記法でそれぞれmīm (m) とkāf (k)の文字で表した。これは、アブー・アル・ハサン・イブン・アリー・アル・カラサディーの著作に見られる。^{[ 12 ]}ニコラ・シュケは15 世紀に指数記法の一種を使用し、例えば12 x ²を12 ²で表した。^{[ 13 ]}これは後に16世紀にヘンリクス・グラマテウスとミヒャエル・スティフェルによって用いられた。16世紀後半には、ヨスト・ビュルギがチュケと同様の方法で指数にローマ数字を用いた。iii44 x ³の場合。^{[ 14 ]}

1636年、ジェームズ・ヒュームは『ヴィエトの代数』の中でA ^3をA ⁱⁱⁱと書き、本質的に現代的な記法を用いた。^{[ 15 ]} 17世紀初頭、ルネ・デカルトは『幾何学』の中で現代の指数記法の最初の形式を導入した。その第1巻でこの記法が導入されている。^{[ 16 ]}

私は ... aa、つまりa を自身で乗算した2^を指定します。また、それをもう一度aで乗算して3^とし、こうして無限大にします。

— ルネ・デカルト、『La Géométrie』

デカルトなど、一部の数学者は2以上のべき乗にのみ指数を用い、平方数を乗算の繰り返しとして表すことを好みました。そのため、彼らは多項式を例えばax + bxx + cx ³ + dと書きました。

サミュエル・ジークは1696年にインデックスという用語を導入しました。^{[ 6 ]}インボリューションという用語はインデックスという用語と同義語として使われていましたが、使用頻度は低下しており^{[ 17 ]} 、より一般的な意味と混同しないようにする必要があります。

1748 年、レオンハルト オイラーは次のように記して可変指数、そして暗黙的に非整数指数を導入しました。

指数関数や、指数自体が変数であるべき乗を考えてみましょう。この種の量は代数関数ではないことは明らかです。なぜなら、代数関数では指数は定数でなければならないからです。^{[ 18 ]}

20世紀

計算が機械化されるにつれて、指数表記法の慣例によって数値の容量に合わせて表記法が適応されていった。例えば、コンラート・ツーゼは1938年に発表したコンピュータZ1で浮動小数点演算を導入した。1つのレジスタには先頭の数字の表現が、もう1つのレジスタには10の指数の表現が含まれた。それ以前には、レオナルド・トーレス・ケベドが「オートメーションに関するエッセイ」（1914年）を執筆し、数値の浮動小数点表現を提案していた。より柔軟な10進浮動小数点表現は、1946年にベル研究所のコンピュータで導入された。最終的に、教育者や技術者は、比率尺度における桁数の一般的な参照と一致する科学的表記法を採用した。^{[ 19 ]}

例えば、1961年に学校数学研究グループはメートル法で使用される単位に関連した表記法を開発しました。^{[ 20 ] [ 21 ]}

指数は、測定単位や量の次元を表すためにも使われるようになりました。例えば、力は質量と加速度の積であるため、kg m/sec ²で測定されます。質量をM、長さをL、時間をTとすると、MLT ^{-2という式は}次元解析において力を表すために使用されます。^{[ 22 ] [ 23 ]}

用語

b ² = b · bという式は、「bの2乗」または「bの2乗」と呼ばれます。これは、辺の長さがbの正方形の面積がb ²であるためです。（「 bの2乗」とも呼ばれますが、「 bの2乗」や「bの2乗」の方がより一般的です。）

同様に、式b ³ = b · b · bは、辺の長さがbである立方体の体積がb ³であるため、「 bの立方」または「bの 3 乗」と呼ばれます。

指数が正の整数の場合、その指数は底の何倍かを表します。例えば、3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 です。指数が5であるため、底3は乗算に5回現れます。ここで、243は3 の5乗、つまり3の5乗です。

「raised」という単語は通常省略され、「power」も省略されることがある。そのため、3 ^{5 は}単に「3 to the 5th」または「3 to the 5」と読むことができる。

整数指数

整数指数による累乗演算は、基本的な算術演算から直接定義できます。

正の指数

反復乗算としての指数の定義は帰納法^{[ 24 ]}を使って形式化することができ、この定義は結合乗算があればすぐに使用することができます。

基本ケースは

${\displaystyle b^{1}=b}$

そして再発は

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

乗法の結合法則は、任意の正の整数mとnに対して、

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

そして

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

ゼロ指数

前述のように、（0でない）数の0乗は1である：^{[ 25 ] [ 1 ]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

この値は、単位元となる乗算を含むすべての代数構造で使用できる空積法によっても得られる。この式によって、

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

にも当てはまります。 ${\displaystyle n=0}$

0 ⁰の場合は議論の余地があります。整数の累乗のみを考慮する文脈では、一般的に0 ⁰に値1が割り当てられますが、それ以外の場合は、値を割り当てるかどうか、またどのような値を割り当てるかは文脈によって異なります。

負の指数

負の指数を持つべき乗は、任意の整数nと非ゼロのbに対して成り立つ次の恒等式によって定義される：^{[ 1 ]}

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

0を負の指数で乗じることは未定義であるが、状況によっては無限大（）と解釈されることがある。^{[ 26 ]}${\displaystyle \infty }$

負の指数を持つ指数のこの定義は、単位元を負の指数に拡張できる唯一の定義です( の場合を考えます)。 ${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$ ${\displaystyle m=-n}$

同じ定義は、乗法モノイド、すなわち、結合乗法と乗法単位元が1で表記される代数構造（例えば、与えられた次元の正方行列）における可逆元にも適用される。特に、このような構造において、可逆元xの逆元は、標準的に次のように表記される。${\displaystyle x^{-1}.}$

アイデンティティとプロパティ

以下のアイデンティティは、しばしば指数規則は、基数が0でない限り、すべての整数指数に当てはまる： ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

加算や乗算とは異なり、累乗は可換ではありません。例えば、ですが、オペランドを逆にすると異なる値 になります。また、加算や乗算とは異なり、累乗は結合的ではありません。例えば、(2 ³ ) ² = 8 ² = 64ですが、2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512です。括弧がない場合、上付き表記法による連続累乗の演算順序は、ボトムアップ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} (または左結合)ではなく、トップダウン (または右結合) です。つまり、 ${\displaystyle 2^{3}=8}$ ${\displaystyle 3^{2}=9}$

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

これは一般的には

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

和の累乗

和のべき乗は通常、二項式によって加数のべき乗から計算できる。

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

しかし、この式は、加数が可換（つまり、 ab = ba）である場合にのみ成立し、これは加数が可換な構造に属している場合に暗黙的に成立します。そうでない場合、例えばaとbが同じサイズの正方行列である場合、この式は使用できません。したがって、コンピュータ代数では、指数の基数が可換でない場合は、整数指数を扱う多くのアルゴリズムを変更する必要があります。一部の汎用コンピュータ代数システムでは、非可換な基数を持つ指数演算に異なる表記法（^ではなく^^を使用する場合もあります）が使用され、これは非可換指数演算と呼ばれます。

組み合わせ解釈

非負整数nとmについて、 n ^mの値は、 m個の要素からなる集合からn個の要素からなる集合への関数の数です（基数べき乗参照）。このような関数は、 n個の要素からなる集合からm個の組（またはn文字のアルファベットからm 個の文字からなる単語）として表すことができます。次の表に、 mとnの特定の値に対する例を示します。

n ^m	集合{1, ..., n }からのn ^m個の可能なm組の要素
0 ^5 = 0	なし
1 ^4 = 1	（1、1、1、1）
2 ^3 = 8	(1, 1, 1)、(1, 1, 2)、(1, 2, 1)、(1, 2, 2)、(2, 1, 1)、(2, 1, 2)、(2, 2, 1)、(2, 2, 2)
3 ^2 = 9	(1, 1)、(1, 2)、(1, 3)、(2, 1)、(2, 2)、(2, 3)、(3, 1)、(3, 2)、(3, 3)
4 ^1 = 4	（１）、（２）、（３）、（４）
5 ^0 = 1	（）

特定の根拠

10の累乗

10進法（10進数）では、 10の整数乗は、1の後に、指数の符号と大きさに応じて決まる数のゼロを前置して表されます。例えば、10 ³ =1000と10 ⁻⁴ =0.0001。

10を底とする指数は、科学表記法において、大きい数や小さい数を表すために使用されます。例えば、299 792 458  m/s（真空中の光の速度、メートル毎秒）は次のように表される。2.997 924 58 × 10 ⁸  m/sとなり、次のように近似される。2.998 × 10 ⁸  m/s。

10の累乗に基づくSI接頭辞は、小さな量や大きな量を表す際にも使用されます。例えば、接頭辞「キロ」は、10 ³ =1000なので1キロメートルは1000メートル。

2の累乗

2の最初の負の累乗には特別な名前があります。は半分、は四分の一です。${\displaystyle 2^{-1}}$ ${\displaystyle 2^{-2}}$

2のべき乗は集合論に登場します。これは、 n個の要素を持つ集合がその部分集合全体の集合であるべき集合を持ち、それが2 ⁿ個の要素を持つためです。

2の整数乗はコンピュータサイエンスにおいて重要です。正の整数乗2 ^{n は}、 nビットの整数2 進数で取り得る値の数を示します。たとえば、1バイトは2 ⁸ = 256の異なる値を取ることができます。2進数システムでは、任意の数を2の累乗の和として表現し、 2 進小数点によって区切られた0と1のシーケンスとして表します。ここで、1 は​​和に現れる2の累乗を示します。指数はこの1の位置によって決まります。非負の指数は小数点の左側の1の順位( 0から始まる) であり、負の指数は小数点の右側の順位によって決まります。

1つの力

1 の累乗はすべて1 ⁿ = 1となります。

ゼロの累乗

正の指数n > 0の場合、ゼロのn乗はゼロです：0 ⁿ = 0。負の指数の場合、は未定義です。 ${\displaystyle 0^{-n}=1/0^{n}=1/0}$

いくつかのコンテキスト（例：組合せ論）では、式0 ⁰は と等しいと定義されますが、他のコンテキスト（例：解析）では、定義されないことがよくあります。 ${\displaystyle 1}$

負の1乗

負の数に別の負の数を掛けると正の数になるため、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle (-1)^{n}=\left\{{\begin{array}{rl}1&{\text{for even }}n,\\-1&{\text{for odd }}n.\\\end{array}}\right.}$

このため、-1の累乗は交互列を表現するのに便利です。複素数iの累乗に関する同様の議論については、§ 複素数の n 乗根を参照してください。

大きな指数

1 より大きい数の累乗の列の極限は発散します。言い換えると、列は無限に大きくなります。

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}b>1}$

これは、「 bが 1 より大きい 場合、nが無限大に近づくのと同じように、bの n 乗は+∞に近づく」と解釈できます。

絶対値が1 未満の 数の累乗は0 に近づきます。

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}\left|b\right|<1}$

1 のべき乗は常に 1 です。

${\displaystyle b^{n}=1{\text{ for all }}n{\text{ for }}b=1}$

負の数の累乗は、n が偶数と奇数の間を移動するのと同じように、正と負の間を移動し、したがってn が大きくなっても制限されることはありません。 ${\displaystyle b\leq -1}$

指数が無限大に近づくにつれて指数値が1に近づく場合、極限は必ずしも上記のいずれにも当てはまりません。特に重要なケースは、

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\rightarrow e{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$

下記の§指数関数を参照してください。

その他の限界、特に不確定な形式をとる式の限界については、以下の「§ 累乗の限界」で説明します。

べき乗関数

n = 1, 3, 5のべき乗関数

n = 2, 4, 6のべき乗関数

の形の実関数（ ）は、べき関数と呼ばれることもあります。^{[ 30 ]}が整数で のとき、 の偶数およびの2 つの主要な族が存在します。が偶数のとき、は一般に の増加とともに正の無限大に近づき、 の減少とともに正の無限大に近づきます。偶数べき関数族のすべてのグラフは、 の一般的な形を持ち、 が増加するにつれて中央部がより平坦になります。^{[ 31 ]}このような対称性（）を持つ関数は、偶関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

が奇数のとき、の漸近的挙動は正から負の へ反転します。 の場合、も の増加とともに正の無限大に向かいますが、 の減少とともに負の無限大に向かいます。奇数べき関数族のすべてのグラフは、 の一般的な形を持ち、 が増加するにつれて中央部がより平坦になり、 の直線ではその平坦性が完全に失われます。このような対称性( )を持つ関数は奇関数と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=cx^{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

については、それぞれの場合において逆の漸近的挙動が成り立つ。^{[ 31 ]}${\displaystyle c<0}$

権力の表

b	b ^2	b ^3	b ^4	b ^5	b ^6	b ^7	b ^8	b9^​	b ^10	n = 11の場合、b ^n	OEIS番号
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	A000012
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024​	2048	A000079
3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19,683​	59 049	177147	A000244
4	16	64	256	1024​	4 096	16 384	65 536	262 144	1 048 576	4194304	A000302
5	25	125	625	3 125	15,625​	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625	48828125	A000351
6	36	216	1 296	7776​	46,656​	279,936​	1 679 616	10 077 696	60 466 176	362797056	A000400
7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249	1977326743	A000420
8	64	512	4 096	32,768​	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824	8589934592	A001018
9	81	729	6 561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401	31381059609	A001019
10	100	1000​	1万	10万	1 000 000	1000万​	1億​	1 000 000 000	10 000 000 000	100000000000	A011557
11	121	1331	14641	161051	1771561	19487171	214358881	2357947691	25937424601	285311670611
OEIS番号	A000290	A000578	A000583	A000584	A001014	A001015	A001016	A001017	A008454

有理指数

上から下へ：x ^1/8、x ^1/4、x ^1/2、x ¹、x ²、x ⁴、x ⁸。

xが非負の実数で、nが正の整数、またはxの唯一の非負の実数n乗根、つまり、次の式を満たす唯一の非負の実数yを表す場合、${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle y^{n}=x.}$

xが正の実数で、pとq > 0の整数である有理数の場合、は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\textstyle x^{p/q}}$

${\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}$

右辺の等式は、次のように設定して書き表すことができる。${\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},}$ ${\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}$

rが正の有理数の場合、定義により 0 ^r = 0となります。

これらすべての定義は、等式を有理指数に拡張するために必要です。 ${\displaystyle (x^{r})^{s}=x^{rs}}$

一方、これらの定義を正の実数以外の基数に拡張する場合、問題が生じる。例えば、負の実数は実数n乗根を持つが、nが奇数の場合は負の値を持つ。一方、 nが偶数の場合は実数根を持たない。後者の場合、恒等式としてどの複素n乗根を選択しても、その定義は満たされない。例えば、 ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}},}$ ${\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}$

${\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}$

これらの問題の処理方法の詳細については、 「§ 実指数」および「§ 複素数を底とする非整数指数」を参照してください。

実指数

正の実数の場合、実数乗の累乗は、有理数乗を連続的に実数に拡張する方法（後述の§ 有理指数の極限）と、底の対数と指数関数を用いる方法（後述の§ 対数による累乗）の2つの同値な方法で定義できます。結果は常に正の実数となり、上記で示した整数指数の恒等式と性質は、実数指数のこれらの定義でも当てはまります。2番目の定義は複素指数 に直接一般化できるため、より一般的に用いられています。

一方、負の実数の実数乗は、実数でない場合があり、複数の値をとる可能性があるため、一貫して定義するのがはるかに困難です。これらの値のうち1つ（主値と呼ばれる）を選択できますが、恒等式が成り立つ主値は選択できません。

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}$

は真です。§べき乗と対数の恒等式の不成立を参照してください。したがって、正の実数ではない基数を持つべき乗は、一般に多価関数と見なされます。

有理指数の極限

nが無限大に近づくとき、e ^{1/ n}の極限はe ⁰ = 1です。

任意の無理数は有理数列の極限として表現できるため、任意の実指数xを持つ正の実数bのべき乗は、規則^{[ 32 ]}との連続性によって定義できます。

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

ここで、この極限はrの有理数に対してのみ適用されます。この極限は、任意の正のbと任意の実数xに対して適用されます。

例えば、x = πの場合、非終端小数表現π = 3.14159...と有理数累乗の単調性を使用して、必要なだけ小さい有理数累乗で囲まれた区間を取得できます。${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

したがって、区間の上限と下限は同じ極限を持つ2つの列を形成し、${\displaystyle b^{\pi }.}$

これは任意の正のbと実数のxに対して、bとxの連続関数として定義されます。明確に定義された式も参照してください。^{[ 33 ]}${\displaystyle b^{x}}$

指数関数

指数関数は、オイラー数として定義できますが、循環論法 を避けるため、ここではこの定義を用いることはできません。代わりに、正の整数乗（繰り返し乗算）のみを用いた、指数関数 との独立した定義を与えます。そして、これが前の定義と一致することを証明します。${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$ ${\displaystyle e\approx 2.718}$ ${\displaystyle \exp(x),}$ ${\displaystyle e=\exp(1)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

指数関数を定義する方法は多数あるが、その1つは次の通りである。

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

指数恒等式（または乗法則）も成り立ちます。 ${\displaystyle \exp(0)=1,}$ ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

2 次項は極限に影響を与えず、 となります。 ${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$

オイラー数は と定義できます。前述の式から、xが整数のとき（これは累乗法の累乗定義から生じます）となります。x が実数の場合、前のセクションで定義した式から、 xが有理数の場合は指数恒等式、それ以外の場合は指数関数の連続性を用いて、 となります。 ${\displaystyle e=\exp(1)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

指数関数を定義する極限は、 xの任意の複素数値に対して収束するため、 の定義を拡張するために用いることができ、実数から任意の複素引数zまで拡張することができます。この拡張された指数関数は依然として指数恒等式を満たしており、複素数の底と指数に対する指数関数の定義によく用いられます。 ${\displaystyle \exp(z)}$ ${\displaystyle e^{z},}$

対数による累乗

e ^xを指数関数として定義することにより、任意の正の実数bに対して、指数関数と対数関数を用いてb ^xを定義することができる。具体的には、自然対数ln( x )が指数関数e ^xの逆関数であるという事実は、

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

あらゆるb > 0に対して。恒等式を保存するには、 ${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

したがって、任意の正の実数bに対して、 b ^xの代替定義として使用できます。これは、有理指数と連続性を用いた上記の定義と一致し、任意の複素指数に直接拡張できるという利点があります。 ${\displaystyle e^{x\ln b}}$

正の実数基数を持つ複素指数

bが正の実数である場合、底bと複素指数zのべき乗は、複素引数を持つ指数関数（上記 §指数関数の最後を参照）によって次のように定義されます。

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

ここで、 はbの自然対数を表します。 ${\displaystyle \ln b}$

これは恒等式を満たす

${\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}$

一般に、 b ^{z は}実数ではないため、定義されません。複素数のべき乗に意味が与えられると（後述の「複素数を底とする非整数の指数」を参照）、一般に、 ${\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}}$

${\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}$

ただし、zが実数またはtが整数の場合は除きます。

オイラーの公式、

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,}$

の極形式をzの実部と虚部で表すことができ、すなわち ${\displaystyle b^{z}}$

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}$

ここで三角関数の絶対値は1である。これは

${\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}$

複素数を底とする非整数指数

これまでの節では、非整数指数を用いたべき乗は、正の実数基数についてのみ定義してきました。他の基数では、一見単純なn乗根、つまりnが正の整数である指数の場合でさえ、既に困難が生じます。非整数指数を用いたべき乗の一般理論はn乗根にも適用できますが、この場合は複雑な対数を用いる必要がないため、理解しやすいため、まずこのケースについて検討する価値があります。 ${\displaystyle 1/n,}$

複素数のn乗根

全ての非零複素数zは極形式で次のように 表される。

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

ここで、 はzの絶対値、 はその偏角です。偏角は2 πの整数倍まで定義されます。つまり、 が複素数の偏角である場合、 はすべての整数 に対して同じ複素数の偏角となります。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta +2k\pi }$ ${\displaystyle k}$

2つの複素数の積の極形式は、絶対値を掛け合わせ、偏角を加算することで得られます。したがって、複素数のn乗根の極形式は、絶対値のn乗根をとり、その偏角をnで割ることで得られます。

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

を に加えると、複素数は変化しませんが、n乗根の偏角に加算され、新たなn乗根が得られます。これはn回 ( ) 繰り返すことができ、複素数の n乗根が得られます。${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2i\pi /n}$ ${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

通常は、 n 乗の n 乗根のうち 1 つを主根として選択します。一般的な選択は、最大の実部を持つ n乗根、または2つある場合は虚部が正のものを選択することです。これにより、主 n 乗根は、被根が負の実数値の場合を除いて、複素平面全体で連続した関数になります。この関数は、正の実数の被根に対して、通常のn乗根に等しくなります。負の実数の被根と奇数の指数の場合、通常の n乗根は実数ですが、主n乗根は実数ではありません。解析接続により、主n乗根は、通常の n 乗根を非正の実数を含まない複素平面に拡張する唯一の複素微分 可能関数であることが示されます。${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$

複素数を引数の増加によってゼロの周りで動かすと、複素数を増分した後に元の位置に戻り、そのn乗根は循環的に置換されます（n乗根は 倍されます）。これは、複素平面全体で連続するn乗根関数 を定義することは不可能であることを示しています。${\displaystyle 2\pi ,}$ $e^{2i\pi /n}$

団結の根源

1の3分の3根

n乗根とは、w ⁿ = 1 （nは正の整数）を満たすn個の複素数のことです。離散フーリエ変換や代数方程式の代数解（ラグランジュの分解） など、数学の様々な分野で用いられます。

n 乗の単位根はのn乗であり、つまり である。この生成特性を持つn乗の単位根は原始n乗の単位根と呼ばれ、 の形をとり、kはnと互いに素である。 の唯一の原始平方根は であり、原始4 乗の単位根はであり、${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n},\omega =\omega ^{1},\omega ^{2},...,\omega ^{n-1}.}$ ${\displaystyle \omega ^{k}=e^{\frac {2k\pi i}{n}},}$ ${\displaystyle -1;}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i.}$

n乗根を使用すると、複素数zのすべてのn乗根を、 zのn乗根とn乗根の n個の積として表現できます。

幾何学的には、n乗根は、実数 1 に 1 つの頂点を持つ 正n角形の頂点にある複素平面の単位円上に存在します。

数は最小の正の引数を持つ原始n乗根であるため、主原始n乗根と呼ばれ、時には主n乗根と短縮されるが、この用語はの主値である1と混同される可能性がある。 ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}${\displaystyle e^{\frac {2k\pi i}{n}}}$ ${\displaystyle 1^{1/n}}$

複素指数

複素数を底とする指数関数の定義は、前節で述べたのと同様の困難を伴います。ただし、 の可能な値は一般に無限に存在するという点が異なります。そのため、実数かつ非正のzの値に対して連続しない主値が定義されるか、多値関数として定義されます。 $z^{w}$ $z^{w}$

いずれの場合も、複素対数は複素指数を定義するために用いられる。

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

ここで、は使用される複素対数の変種であり、次のような 関数または多価関数である。${\displaystyle \log z}$

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

定義域内のすべてのzに対して。

元本価値

複素対数の主値は唯一の連続関数であり、一般には、すべての非ゼロ複素数zに対して、 ${\displaystyle \log ,}$

${\displaystyle e^{\log z}=z,}$

そしてzの引数は

${\displaystyle -\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi .}$

複素対数の主値は、 zの負の実数値において不連続であるため定義されず、それ以外の場合には正則（つまり複素微分可能）である。zが実数かつ正の場合、複素対数の主値は自然対数となる。${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \log z=\ln z.}$

の主値はとして定義されます。 ここでは対数の主値です。 ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$ ${\displaystyle \log z}$

この関数は、 zが実数かつ非正である点の近傍を除いて正則です。 ${\displaystyle (z,w)\to z^{w}}$

zが実数かつ正の場合、 の主値は上記で定義した通常の値に等しくなります。n が整数の場合、この主値は上記で定義した値と同じです。 ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle w=1/n,}$

多値関数

状況によっては、 zの負の実数値においてとの主値が不連続になるという問題が生じることがあります。このような場合、これらの関数を多価関数として考えると便利です。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z^{w}}$

が多価対数の一つの値（通常は主値）を表す場合、他の値は となる。ここでkは任意の整数である。同様に、がべき乗の一つの値を表す場合、他の値は となる。 ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 2ik\pi +\log z,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

${\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}$

ここで、kは任意の整数です。

kの値が異なれば の値は異なります。ただし、 wが有理数、つまりdwが整数となるような整数dが存在する場合は除きます。これは指数関数の周期性から生じます。より具体的には、が の整数倍である場合に限ります。${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle e^{a}=e^{b}}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

が有理数で、mと互いに素な整数n個の場合、はちょうどn 個の値を持ちます。この場合、これらの値は§複素数のn乗根で説明した値と同じです。wが整数の場合、 § 整数指数の値と一致する値は 1 つだけです。 ${\displaystyle w={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$ ${\displaystyle m=1,}$

多値べき乗は、グラフが複数のシートから構成され、各シートが各点の近傍において正則関数を定義するという意味で、正則である。zが0を中心とする円周に沿って連続的に変化すると、一回転後にはシートの値が変化する。 ${\displaystyle z\neq 0,}$ ${\displaystyle z^{w}}$

計算

の標準形は、 zとwの標準形から計算できます。これは単一の式で記述することもできますが、計算を複数のステップに分割する方が明確です。 ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle z^{w}}$

• zの極形式。 がzの標準形式（ aとbが実数）である場合、その極形式はおよびとなり、 ⁠ ⁠は2つの引数を持つ逆正接関数です。${\displaystyle z=a+ib}$ $${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (b,a)}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$
• zの対数。この対数の主値はであり、 は自然対数を表す。対数のその他の値は、任意の整数kについて を加算することで得られる。${\displaystyle \log z=\ln \rho +i\theta ,}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle 2ik\pi }$
• の標準形${\displaystyle w\log z.}$ cとdが実数の場合、の値は対応する主値である。${\displaystyle w=c+di}$ ${\displaystyle w\log z}$ $${\displaystyle w\log z=(c\ln \rho -d\theta -2dk\pi )+i(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi ),}$$ ${\displaystyle k=0.}$
• 最終結果。恒等式とを使用して、主値について次式を得ます。${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$ ${\displaystyle e^{y\ln x}=x^{y},}$ $${\displaystyle z^{w}=\rho ^{c}e^{-d(\theta +2k\pi )}\left(\cos(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )+i\sin(d\ln \rho +c\theta +2ck\pi )\right),}$$ ${\displaystyle k=0}$

例

• ${\displaystyle i^{i}}$ iの極形式はであり、の値はしたがって次のようになる。したがって、のすべての値は実数であり、主要な値は${\displaystyle i=e^{i\pi /2},}$ ${\displaystyle \log i}$ $${\displaystyle \log i=i\left({\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right).}$$ $${\displaystyle i^{i}=e^{i\log i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}e^{-2k\pi }.}$$ ${\displaystyle i^{i}}$ $${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx 0.2079.}$$
• ${\displaystyle (-2)^{3+4i}}$ 同様に、 -2の極形式は、上記の方法で得られる値は、この場合、すべての値は同じ引数と異なる絶対値を持ちます。${\displaystyle -2=2e^{i\pi }.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(-2)^{3+4i}&=2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2+3(\pi +2k\pi ))+i\sin(4\ln 2+3(\pi +2k\pi )))\\&=-2^{3}e^{-4(\pi +2k\pi )}(\cos(4\ln 2)+i\sin(4\ln 2)).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 4\ln 2,}$

どちらの例でも、 のすべての値は同じ偏角を持ちます。より一般的には、これはwの実部が整数である場合にのみ当てはまります。 ${\displaystyle z^{w}}$

べき乗と対数の恒等式の不成立

複素数べき乗と複素数対数が一価関数としてどのように定義されていても、正の実数のべき乗と対数の恒等式の一部は複素数では成立しません。例えば、

• 恒等式log( b ^x ) = x ⋅ log bは、 bが正の実数でxが実数であるとき常に成立する。しかし、複素対数の 主枝については、

  $${\displaystyle \log((-i)^{2})=\log(-1)=i\pi \neq 2\log(-i)=2\log(e^{-i\pi /2})=2\,{\frac {-i\pi }{2}}=-i\pi }$$

  対数のどの枝を用いたとしても、同様の恒等式の破綻は存在します。（この結果のみを用いた場合）最も的確な結論は、次のようになります。 $${\displaystyle \log w^{z}\equiv z\log w{\pmod {2\pi i}}}$$

  この恒等式は、logを多価関数とみなした場合でも成立しません。log ( w ^z )の取り得る値には、 z⋅logwの 真部分集合の値が含まれます。log ( w )の主値をLog( w )、mとnを任意の整数とすると、両辺の取り得る値は以下のようになります。

  $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\log w^{z}\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in+2\pi im\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}\\\left\{z\log w\right\}&=\left\{z\operatorname {Log} w+z\cdot 2\pi in\mid n\in \mathbb {Z} \right\}\end{aligned}}}$$
• ( bc ) ^x = b ^x c ^xおよび( b / c ) ^x = b ^x / c ^xという恒等式は、 bとcが正の実数でxが実数の 場合に成立します。しかし、主値については、次式 が 成り立ちます 。一方、xが整数の場合、これらの恒等式はすべての非ゼロ複素数に対して成立します。べき乗を多値関数と見なすと、(−1 ⋅ −1) ^1/2の取り得る値は{1, −1}です。この恒等式は成立しますが、 {1} = {(−1 ⋅ −1) ^1/2 }という表現は誤りです。$${\displaystyle (-1\cdot -1)^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=i\cdot i=i^{2}=-1}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=i\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i}$$
• 実数xとyに対しては( e ^x ) ^y = e ^xyという恒等式が成り立つが、複素数に対してもこの式が成り立つと仮定すると、1827年にクラウゼンによって発見された次のようなパラドックスが生じる。 [ ^{37 ]}任意の整数n に対して、次^の式が成り立つ。
  1. ${\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e}$
  2. ${\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad }$ （両辺の-乗を取る）${\displaystyle (1+2\pi in)}$
  3. ${\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$ （指数の使用と拡張）${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{xy}}$
  4. ${\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }$ （使用）${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$
  5. ${\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad }$ （ eで割る）
  しかし、整数nが 0 以外の場合はこれは誤りです。誤りは次のとおりです。定義により、は真の関数の表記であり、は多値関数である の表記です。したがって、 x = eの場合、表記は曖昧になります。ここで、指数を展開する前に、2 行目は である必要があります。 したがって、指数を展開する場合、zの複素数値に対してが暗黙的に想定されていますが、これは誤りです。複素対数は多値であるためです。言い換えると、誤った恒等式( e ^x ) ^y = e ^{xy を}、多値関数間の真の恒等式である に置き換える必要があります 。${\displaystyle e^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y),}$ ${\displaystyle x^{y}}$ ${\displaystyle \exp(y\log x),}$ $${\displaystyle \exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).}$$ ${\displaystyle \log \exp z=z}$ $${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},}$$

非合理性と超越性

bが正の実代数数でx が有理数である場合、 b ^xは代数的数です。これは代数的拡大の理論から得られます。bが任意の代数数である場合もこの理論は成り立ち、その場合、b ^xのすべての値（多値関数として）は代数的になります。x が無理数（つまり有理数ではない）で、bとxの両方が代数的である場合、ゲルフォンド・シュナイダーの定理により、b が0または1 の場合を除いて、 b ^xのすべての値は超越的（つまり代数的ではない）になります。

つまり、xが無理数で、b、x、b ^xのうち少なくとも 1 つが超越数である場合。 ${\displaystyle b\not \in \{0,1\},}$

代数における整数乗

正の整数指数による累乗の定義は、乗算として表される任意の結合演算に適用できます。 ^{[注 2 ]} x ⁰の定義には、さらに乗法単位元の存在が必要です。^{[ 38 ]}

集合と、乗法的に表される結合演算、および1で表される乗法的単位元からなる代数構造はモノイドである。このようなモノイドにおいて、元xのべき乗は次のように帰納的に定義される 。

• ${\displaystyle x^{0}=1,}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=xx^{n}}$ すべての非負整数nに対して。

nが負の整数の場合、 xが逆元を持つ場合にのみ定義されます。^{[ 39 ]}この場合、xの逆元はx ⁻¹と表され、x ^nは次のように定義されます。${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}$

整数指数による累乗は、代数構造のxとy 、および整数 mとnに対して、次の法則に従います。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{if }}xy=yx,{\text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}}\end{aligned}}}$

これらの定義は数学の多くの分野で広く用いられており、特に群、環、体、正方行列（環を形成する）において顕著である。また、関数合成のもとでモノイドを形成する集合からそれ自身への関数にも適用される。具体的な例としては、幾何学的変換や、任意の数学的構造の自己準同型などが挙げられる。

複数の演算が繰り返される場合、その演算記号を指数の前に添え字で添え字として置くことで、繰り返される演算を示すのが一般的です。例えば、f が実関数で、その値が乗算可能な場合、は乗算に関するべき乗を表し、また は関数合成に関するべき乗を表すこともあります。つまり、 ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{\circ n}}$

${\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}$

そして

${\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}$

一般的には と表記され、 と表記される${\displaystyle (f^{n})(x)}$ ${\displaystyle f(x)^{n},}$ ${\displaystyle (f^{\circ n})(x)}$ ${\displaystyle f^{n}(x).}$

グループで

乗法群は、乗算として表される結合演算を持ち、単位元を持ち、すべての要素に逆元が存在するような 集合です。

したがって、Gが群である場合、はすべての整数nに対して定義されます。 ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x\in G}$

群の元のすべてのべき乗の集合は部分群を形成する。特定の元xのすべてのべき乗からなる群（または部分群）は、 xによって生成される巡回群である。 xのすべてのべき乗が異なる場合、群は整数の加法群と同型である。そうでない場合、巡回群は有限（有限個の元を持つ）であり、その元の数はxの位数である。 xの位数がnの場合、xによって生成される巡回群はxの最初のnべき乗（指数0または1から無差別に始まる）から構成される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$

群論において、元の順序は基本的な役割を果たします。例えば、有限群の元の順序は常に、群の元の数（群の順序）の約数です。群の元の可能な順序は、群の構造の研究（シローの定理を参照）や有限単純群の分類において重要です。

上付き文字の表記は共役にも用いられます。つまり、g ^h = h ⁻¹ ghとなります。ここでgとhは群の元です。上付き文字は整数ではないため、この表記はべき乗と混同されることはありません。この表記法の根拠は、共役がべき乗の法則のいくつか、すなわち、およびに従うことです。${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$ ${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

リングの中で

環において、ある整数nに対して を満たす非零元が存在する場合がある。そのような元は冪零元であると言われる。可換環において、冪零元はイデアルを形成し、これを環の冪 根基という。${\displaystyle x^{n}=0}$

零根基が零イデアルに縮約される場合（つまり、任意の正の整数nに対して が成り立つ場合）、可換環は縮約される（reduced）と言われる。アフィン代数集合の座標環は常に縮約環となるため、縮約環は代数幾何学において重要である。 ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{n}\neq 0}$

より一般的には、可換環RのイデアルIが与えられたとき、 Iに冪を持つRの元の集合はイデアルであり、Iの根基と呼ばれる。零根基は零イデアルの根基である。根基イデアルとは、自身の根基に等しいイデアルである。体k上の多項式環において、イデアルが根基となるのは、それがアフィン代数集合上で零となるすべての多項式全体の集合である場合に限る（これはヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）の帰結である）。 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

行列と線形演算子

Aが正方行列であるとき、 Aとそれ自身とのn回の積は行列のべき乗と呼ばれる。また、Aは単位行列と定義され、^{[ 40 ]}、Aが逆行列であるとき、 Aは成り立つ。 ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

行列のべき乗は離散的動的システムの文脈でよく現れ、行列A はあるシステムの状態ベクトルxからシステムの次の状態Axへの遷移を表現します。 ^{[ 41 ]}これは例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈です。するとは 2 つの時間ステップ後のシステムの状態となり、以下同様に続きます。はn時間ステップ後のシステムの状態です。行列のべき乗は、現在の状態とnステップ後の時点の状態との間の遷移行列です。したがって、行列のべき乗を計算することは、動的システムの発展を解くことと等価です。多くの場合、行列のべき乗は固有値と固有ベクトルを使用して簡単に計算できます。 ${\displaystyle A^{2}x}$ ${\displaystyle A^{n}x}$ ${\displaystyle A^{n}}$

行列以外にも、より一般的な線形演算子も指数関数で表すことができます。例えば、微積分学の微分演算子 は、関数に作用して新しい関数 を与える線形演算子です。微分演算子のn乗はn次導関数です。 ${\displaystyle d/dx}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

これらの例は線型演算子の離散指数に対するものですが、多くの場合、連続指数を持つそのような演算子のべき乗を定義することも望ましいです。これが半群の数学的理論の出発点です。^{[ 42 ]}離散指数を持つ行列のべき乗を計算することで離散力学系を解くのと同じように、連続指数を持つ行列のべき乗を計算することで連続力学を持つ系を解きます。例として、熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式、および時間発展を含むその他の偏微分方程式を解くアプローチがあります。微分演算子を非整数乗でべき乗する特殊な場合は分数微分と呼ばれ、分数積分とともに分数計算の基本演算の 1 つです。

有限体

体とは、乗算、加算、減算、除算が定義され、乗算が結合法則であり、すべての非ゼロ元が逆元を持つという性質を満たす代数構造です。これは、 0の非正のべき乗を除き、整数指数によるべき乗が明確に定義されていることを意味します。一般的な例としては、この記事の前半で考察した複素数、実数、有理数の体があり、これらはすべて無限大です。

有限体とは、有限個の元を持つ体である。この元数は素数か素数のべき乗である。つまり、p が素数でk が正の整数であるとき、有限体は次の式で表される。任意のqに対して、 q個の元を持つ体が存在する。q個の元を持つ体はすべて同型であり、一般に、 q個の元を持つ体が 1 つだけあるかのように扱うことができる。この体は次の式で表される。${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

一つは

${\displaystyle x^{q}=x}$

すべての${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

の原始元とは、 gのq − 1 次の最初のべき乗の集合(つまり) が の非ゼロ元の集合に等しいような元gのことです。には原始元があり、はオイラーのトーティエント関数 です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$ ${\displaystyle \varphi (p-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle \varphi }$

新入生の夢のアイデンティティ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

は指数pについて真である。したがって、写像 ${\displaystyle x^{p}=x}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}$

は体自己同型上で線型であり、フロベニウス自己同型と呼ばれる。体にはk 個の自己同型があり、これらはFのk次の（合成 の下での）べき乗である。言い換えれば、のガロア群はk位の巡回的な自己同型であり、フロベニウス自己同型によって生成される。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle q=p^{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

ディフィー・ヘルマン鍵交換は、有限体におけるべき乗法の応用であり、安全な通信に広く用いられています。べき乗法は計算コストが低いのに対し、その逆演算である離散対数は計算コストが高いという事実を利用しています。より正確には、 gが の原始元である場合、 q が大きくても、任意のeに対して を二乗することでべき乗法で効率的に計算できます。一方、 qが十分に大きい場合にeを から取得できる計算的に実用的なアルゴリズムは知られていません。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ ${\displaystyle g^{e}}$ ${\displaystyle g^{e}}$

集合のべき乗

2つの集合SとTの直積は、次式を満たす順序付き対の集合である。この演算は、厳密には可換でも結合的でもないが、標準同型までこれらの性質を持ち、例えば、次式と次式を識別できる。${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y\in T.}$ ${\displaystyle (x,(y,z)),}$ ${\displaystyle ((x,y),z),}$ ${\displaystyle (x,y,z).}$

これにより、集合Sのn乗を、Sの要素のn 組すべての集合として定義できるようになります。 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Sが何らかの構造を帯びている場合、 も自然に同様の構造を帯びていることが多い。この場合、「直積」という用語が一般的に「直積」として用いられ、べき乗は積構造を表す。例えば、 (ここでは実数) は のn個の直積、およびベクトル空間、位相空間、環など との直積を表す。${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

指数として集合

Sの n 個の要素の組は、次の関数として考えることができます。これは次の表記法に一般化されます。 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$

二つの集合SとTが与えられたとき、 TからSへのすべての関数の集合は と表記される。この指数表記は、以下の標準同型性によって正当化される（最初の同型性については、カリー化 を参照）。 ${\displaystyle S^{T}}$

${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},}$

${\displaystyle S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},}$

ここで、 は直積、 は離散和を表します。 ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \sqcup }$

集合は、集合の他の演算、典型的にはアーベル群、ベクトル空間、または加群の直和の指数として使用できます。直和と直積を区別するために、直和の指数は括弧内に置かれます。たとえば、 は実数の無限列のベクトル空間を表し、 は有限個の非ゼロ元を持つ列のベクトル空間を表します。後者は、ちょうど1つの非ゼロ元が1である列からなる基底を持ちますが、前者のハメル基底は明示的に記述できません（その存在はツォルンの補題を伴うため）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}}$

この文脈では、2 は集合を表すことができ、したがって、はSのべき集合、つまり、各関数を1の逆像にマッピングすることによって、 Sからへの関数の集合をSのサブセットの集合と同一視できる集合を表します。 ${\displaystyle \{0,1\}.}$ ${\displaystyle 2^{S}}$ ${\displaystyle \{0,1\},}$

これは、 | S ^T | = | S | ^{| T |}という意味で基数の累乗に一致します。ここで、| X |はXの基数です。

カテゴリー理論では

集合の圏において、集合XとYの間の射はXからYへの写像である。したがって、前節で示したXからYへの写像の集合は、次のようにも表すことができる。同型写像は次のように書き直すことができる 。${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle \hom(X,Y).}$ ${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U}}$

${\displaystyle \hom(U,S^{T})\cong \hom(T\times U,S).}$

これは、関数「 Tのべき乗」が関数「 Tとの直積」の右随伴関数であることを意味します。

これは、有限の直積が存在するカテゴリの指数の定義に一般化されます。このようなカテゴリでは、関数が存在する場合、関数 A は関数 A の右随伴になります。直積が存在し、関数がすべてのTに対して右随伴を持つ場合、カテゴリはカルティシアン閉カテゴリと呼ばれます。 ${\displaystyle X\to X^{T}}$ ${\displaystyle Y\to T\times Y.}$ ${\displaystyle Y\to X\times Y}$

繰り返し累乗

自然数のべき乗が乗算の繰り返しによって行われるのと同様に、べき乗の繰り返しに基づく演算を定義することが可能です。この演算はハイパー4またはテトレーションと呼ばれることもあります。テトレーションを繰り返すと別の演算が続き、これをハイパー演算という概念が用います。この演算のシーケンスは、アッカーマン関数とクヌースの上矢印記法で表現されます。べき乗が乗算よりも速く増加し、乗算が加算よりも速く増加するのと同様に、テトレーションはべき乗よりも速く増加します。(3, 3)で評価すると、関数の加算、乗算、べき乗、テトレーションはそれぞれ6、9、27、およびそれぞれ7 625 597 484 987 ( =3 ²⁷ = 3 ^{3 3} = ³ 3 ) です。

権限の限界

ゼロのゼロ乗は、不定形0 ⁰の極限の例をいくつか与えます。これらの例の極限は存在しますが、値は異なります。これは、2変数関数x ^{y が}点(0, 0)において極限を持たないことを示しています。この関数がどの点で極限を持つのかを考えてみましょう。

より正確には、で定義された関数を考えてみましょう。すると、D はR ²（つまり、積位相を備えた拡張実数直線R = [−∞ , +∞]に属するすべての( x , y )ペアの集合）の部分集合と見なすことができます。この集合には、関数fが極限を持つ点が含まれます。 ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x>0\}}$

実際、f は(0, 0)、(+∞, 0)、(1, +∞)、(1, −∞)を除くDのすべての累積点で極限を持ちます。^{[ 43 ]}したがって、これにより、 0 ≤ x ≤ +∞、−∞ ≤ y ≤ +∞のときはいつでも連続によって累乗x ^yを定義することができます。ただし、 0 ⁰、(+∞) ^0、1 + ^∞、1 ^−∞は不定形式のままです。

この連続性による定義によれば、次のようになります。

• 1 < x ≤ + ∞のとき、 x ^+∞ = +∞かつx ^−∞ = 0。
• 0 < x < 1のとき、 x ^+∞ = 0かつx ^−∞ = +∞。
• 0 ^y = 0かつ(+∞) ^y = +∞ （0 < y ≤ +∞の場合）
• −∞ ≤ y < 0のとき、0 ^y = +∞かつ( +∞) ^y = 0。

これらのべき乗は、 xの正の値に対してx ^yの極限をとることによって得られる。この方法では、 x < 0の場合にはx ^yを定義することができない。なぜなら、 x < 0の( x , y )のペアはDの集積点ではないからである。

一方、nが整数の場合、x ^{n の}べき乗は、負の値も含め、 xのあらゆる値に対して既に意味を持ちます。このため、負のnに対して上記で得られた定義0 ⁿ = +∞は、 nが奇数の場合に問題となる可能性があります。なぜなら、この場合、x は正の値では 0 に近づくものの、負の値では0に近づかないため、 x ⁿ → +∞となるからです。

整数指数を使った効率的な計算

反復乗算を用いてb ^{n を}計算するにはn − 1 回の乗算が必要ですが、次の例に示すように、それよりも効率的に計算できます。2 ¹⁰⁰を計算するには、2進数で書かれた指数 100 に ホーナーの規則を適用します。

${\displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}$ 。

次に、ホーナーの規則を右から左に読みながら、次の項を順番に計算します。

2 ^2 = 4

2 (2 ^2 ) = 2 ^3 = 8

（2 ^3）^2 = 2 ^6 = 64

(2 ^6 ) ^2 = 2 ^12 =4096

(2 ^12 ) ^2 = 2 ^24 =16 777 216

2 (2 ^24 ) = 2 ^25 =33 554 432

(2 ^25 ) ^2 = 2 ^50 =1 125 899 906 842 624

(2 ^50 ) ^2 = 2 ^100 =1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376

この一連の手順では、99 回の乗算ではなく 8 回の乗算のみが必要です。

一般に、 b ^{n を}計算するのに必要な乗算回数は、を二乗するべき乗法 を使うことでまで減らすことができます。ここで、 はnの2進表現における1の数を表します。いくつかの指数（100 はその中に含まれません）については、最小加算チェーンべき乗を計算して使うことで、乗算回数をさらに減らすことができます。b ⁿの乗算の最小シーケンス（指数の最小長さの加算チェーン）を見つけることは難しい問題で、現在効率的なアルゴリズムは知られていませんが（部分集合の和の問題を参照）、多くの合理的に効率的なヒューリスティックアルゴリズムが利用可能です。^{[ 44 ]}しかし、実際の計算では、二乗によるべき乗法は十分に効率的であり、実装がはるかに簡単です。 ${\displaystyle \sharp n+\lfloor \log _{2}n\rfloor -1,}$ ${\displaystyle \sharp n}$

反復関数

関数合成とは、関数の右側に書かれた関数の余定義域が左側に書かれた関数の定義域に含まれるような関数に対して定義される二項演算である。これは次のように表記され、定義される 。${\displaystyle g\circ f,}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

fの定義域内のすべてのxに対して。

関数fの定義域がその余定義域に等しい場合、関数を任意の回数自身と合成することができ、これは合成における関数のn乗を定義し、一般に関数のn次反復と呼ばれる。したがって、 は一般にfのn次反復を表す。例えば、は^{[ 45 ]}を意味する。${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f^{3}(x)}$ ${\displaystyle f(f(f(x))).}$

関数の余域で乗算が定義されている場合、これは関数の乗算、つまり点ごとの乗算を定義し、これにより別の累乗が誘導されます。関数表記を使用する場合、2 種類の累乗は一般に、関数の反復の指数を関数の引数を囲む括弧の前に配置し、点ごとの乗算の指数を括弧の後に配置することで区別されます。したがって、および関数表記が使用されていない場合は、多くの場合、合成記号を指数の前に置くことで曖昧さを解消します。たとえば、および歴史的な理由から、反復乗算の指数は、特定の関数 (通常は三角関数 )の引数の前に置かれます。 したがって、および はどちらも でありではないことを^{意味しますが、いずれにしても、これはほとんど考慮されません。歴史的に、これらの表記法のいくつかの変種が}異なる著者によって使用されていました^{。[ 46}${\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),}$ ${\displaystyle f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).}$ ${\displaystyle f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,}$ ${\displaystyle f^{3}=f\cdot f\cdot f.}$ ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$ ${\displaystyle \sin(\sin(x)),}$

この文脈では、指数は常に逆関数を表します（逆関数が存在する場合）。したがって、乗法逆関数の分数は一般に次のように用いられます。${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.}$ ${\displaystyle 1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.}$

プログラミング言語では

プログラミング言語では、一般的に指数演算は中置演算子か関数適用として表現されます。これは、上付き文字をサポートしていないためです。指数演算に最もよく使われる演算子記号はキャレット（^）です。ASCIIコードの初期バージョンには、指数演算を表す上矢印記号（↑）が含まれていましたが、 1967年にキャレットに置き換えられたため、プログラミング言語ではキャレットが一般的に使用されるようになりました。^{[ 49 ]} 表記法には以下のものがあります。

• x ^ y: AWK、BASIC、J、MATLAB、Wolfram Language ( Mathematica )、R、Microsoft Excel、Analytica、TeX (およびその派生言語)、TI-BASIC、bc (整数指数用)、Haskell (非負整数指数用)、Lua、およびほとんどのコンピュータ代数システム。
• x ** yFortranの文字セットには、指数関数に+-*/()&=.,'使用される と以外の小文字や句読点が含まれていなかったため、 ^{[ 50 ] [ 51 ]}（代わりに使用された初期バージョン。^{[ 52 ]}）。他の多くの言語もこれに倣いました：Ada、Z shell、KornShell、Bash、COBOL、CoffeeScript、Fortran、FoxPro、Gnuplot、Groovy、JavaScript、OCaml、ooRexx、F#、Perl、PHP、PL/I、Python、Rexx、Ruby、SAS、Tcl、ABAP、Mercury、 Haskell （浮動小数点指数用）、Turing、VHDL。**a xx b
• x ↑ y: Algolリファレンス言語、Commodore BASIC、TRS-80レベルII/III BASIC。^{[ 53 ] [ 54 ]}
• x ^^ y: Haskell (分数基数、整数指数用)、D。
• x⋆y: APL。

中置指数演算子を持つほとんどのプログラミング言語では、 は右結合、つまりa^b^cと解釈されますa^(b^c)。^{[ 55 ]}これは(a^b)^cが と等しいためa^(b*c)、あまり役に立たないためです。一部の言語では、 は左結合であり、特にAlgol、MATLAB、Microsoft Excelの数式言語では左結合です。

他のプログラミング言語では関数表記法が使用されます。

• (expt x y): Common Lisp。
• pown x y: F# (整数基数、整数指数)。

その他にも、標準ライブラリの一部として指数演算のみを提供するものもあります。

• pow(x, y): C、C++ (mathライブラリ内)。
• Math.Pow(x, y): C#。
• math:pow(X, Y):アーラン。
• Math.pow(x, y): Java。
• [Math]::Pow(x, y): PowerShell。

Rustなどの型安全性を優先する静的型付け言語では、指数演算はさまざまな方法で実行されます。

• x.pow(y)整数xとしておよびy
• x.powf(y)浮動小数点x数としてy
• x.powi(y)x浮動小数点数とy整数として

参照

• 二重指数関数 – 指数関数の指数関数
• 指数関数的減少 – 現在の価値に比例した割合で価値が減少する
• 指数体 – 追加の演算を伴う数学体
• 指数関数的成長 – 現在の量に比例した速度で量が増える
• ペンテーション – 算術演算
• 指数関数トピックのリスト
• モジュラー指数 – モジュラー算術における指数
• Unicode の下付き文字と上付き文字 – Unicode の分母と分子のグリフ
• x ^y = y ^x  – 一般に、べき乗は交換法則に反するPages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. 乗算には、3 つの一般的な表記法があります。は、明示的な数値や非常に基本的なレベルで最もよく使用されます。 は、変数が使用される場合に最もよく使用されます。 は、乗算について話していることを強調する場合や、乗算記号を省略すると混乱を招く場合に使用されます。${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle x\cdot y}$
2. より一般的には、定義にはべき乗結合性で十分です。

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